Funciones
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4
Ley de Maduración de Ostwald
El radio de las partículas crece según la relación :
La maduración de Ostwald es un fenómeno observado en soluciones sólidas o líquidas de soles que describe el cambio de una estructura homogénea con el tiempo. Con el tiempo, los cristales pequeños o partículas de sol se disuelven, y vuelven a depositar en grandes cristales o partículas de sol.
Donde:
¿Esta ley será aplicable al proceso de obtención del queso?
¿Qué tipo de variables se necesitan?
5
Una fábrica de empaques desea diseñar cajas abiertas de una pieza de cartón de 20 cm por 40 cm, cortando cuadrados de longitud lateral de “x” cm en cada una de sus esquinas. Para ello se doblan las solapas hacia arriba para construir una caja sin tapa, como se muestra en la figura:
a) Exprese el volumen V de la caja en términos de xb) ¿El Volumen hallado en el ítem anterior es una función?c) En caso afirmativo, indique la variable dependiente e independiente.d) ¿Para qué valores de x está definida la expresión matemática que representa el volumen?
DISEÑO DE CAJAS CON AYUDA DE LAS MATEMÁTICAS
6
Si se conocen ciertas causas se puede conocer las consecuencias
¿Cómo obtenemos f(x)?
• A cada precio del petróleo le corresponde
• A cada velocidad le corresponde
• A cada altura le corresponde
• Un precio del transporte
• Una distancia recorrida
• Una presión atmosférica
7
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
problemas vinculados a gestión e ingeniería a
partir de las Funciones, usando el cálculo de su
Dominio, su regla de correspondencia y la lectura
de su Gráfica.
8
Es decir, una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.
FUNCIÓN
Una función se define formalmente de la siguiente manera:
Sea f: A B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada xA hay un solo yB, tal que x f y, que se denota como: y = f(x)
i
Al conjunto B se le llama RANGO, Ran(f)=Bii
A la relación f se le conoce como REGLA DE CORRESPONDENCIAiv
A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Rango o Recorrido de la función.
iii
Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A
9
2 .
3 .
5 .
7 .
. 4
. 9
. 25
. 49
fA B
Ejemplos: Identifique las correspondencias que son funciones
Función
x .
y .
z .
w .
. 1
. 2
. 3
. 4
fA B
Relación
1 .
6 .
8 .
9 .
. a
. b
. c
. d
fA B
Función
L .
M .
J .
V .
. 4
. 9
. 25
. 49
fA B
Relación
10
Ejemplo
En la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses).
Edad (meses)
Longitud (cm)
2 4 3 8 4 15 6 29 7 34 8 38 9 42
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. El par (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.
14
Clasificación de las funciones
Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como adición, sustracción, multiplicación, división, radicación y potencia.
A
Ejemplos
2( ) 3 2f x x x Función cuadrática
B
1 21 2 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a x a C
Función Polinomial (entera) de grado “n”( )f x ax b
Función lineal
1 21 2 1 0
1 21 2 1 0
...( )( )
( ) ...
n nn nm m
m m
a x a x a x a x aP xr x
Q x b x b x b x b x b
D
Funciones Racionales
Función Racional No entera
15
A
Ejemplos
2( ) 5f x x
Las funciones irracionales incluyen radicales en la regla de correspondencia
B
1( )
2
xf x
x
C
2( ) 1f x x x
2( )
4
xr x
x
D
Funciones Irracionales
1( )
2
xf x
x
E
16
Dominio de una función:Está formado por el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente.
Rango de una función:Está formado por el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente.
Dom( f ) { x A / ! y B tal que: ( x ;y) f }
Ran( f ) { y B / x A tal que : y f ( x)}
Dominio y Rango de una función
Ejemplo
Gráfica y Funciones Especiales
Función Constante Una función constante f se define así:
f = {(x, y) R x R / y = f (x) = c, c = constante}
Además: Dom(f) = R y Ran(f) = {c}
Su representación gráfica es:
X
Y
y = f (x) = c
0
c
Función Identidad Una función identidad f se define así:
f = {(x, y) R x R/ y = f (x) = x}
Además: Dom(f) = R y Ran(f) = R
Su representación gráfica es:
x f(x)
-3 -3
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
3 3
18
Funciones obtenidas a partir de otras
Ejemplo 01:Grafique f(x) = -2
0
-2
3
X
X 0 3
f (x) =-2 -2 -2
Y
Ejemplo 02:Grafique f(x) = 3x-2
0
-2
4
2 X
Y
19
Función Cuadrática Una función cuadrática f se define así:
f = {(x, y) R x R/ y = f (x) = x2}
Además: Dom(f) = R y Ran(f)= R+
Su representación gráfica es una parábola
x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
Función Raíz Cuadrada
Una función raíz cuadrada f se define así:
f = {(x, y) R x R/ y = f (x) = }
Además: Dom(f) = [0; ) y Ran(f) = [0; >
Su representación gráfica es:
x f(x)
-1 No real
0 0
1 1
2 1,4142..
4 2
9 3
16 4
20
Funciones obtenidas a partir de otras
Ejemplo 01:Grafique
2a) f ( x) 2x 8x 9
Ejemplo 02:Grafique
2b) f ( x) 2 6x 3x
Hallar el vértice en cada caso mediante:
b bV h,k , f
2a 2a
Entonces el vértice es V (2,1)
Como entonces la parábolase abre hacia arriba.
a 2 0
Entonces el vértice es V ( 1,5)
Como entonces la parábola se abre hacia abajo
a 3 0
2f ( x) ax bx c
Funciones obtenidas a partir de otras
Ejemplo 01:Grafiquea) f ( x) x 5
Ejemplo 02:Grafiqueb) f ( x) x 2
Dom( f ) : x 5 0x 5
Ran( f ) : y 0;
2
-5 0 X
Y
-1 4 11
34
Dom( f ) : x 2 0x 2
Ran( f ) : y ;0
-1-2 -1
X
Y
22
FUNCIONES ESPECIALES
TIPOS REGLA DE CARRESPONDENCIA DOMINIO GRÁFICA
CONSTANTE
LINEAL
CUADRÁTICA
RAIZ CUADRADA
Tabulando
Trasladando y reflejando
f ( x) k , k
f ( x) mx b
2f ( x) ax bx c
xxf )( ,0
R
R
RR
En resumen: