FUNCIONES ANALITICAS

Ampliacin de Matemticas (Ingeniera de Telecomunicacin) Curso 2010/2011 1

Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicacin.Ampliacin de Matemticas.

Leccin 7.

FUNCIONES ANALTICAS.

Curso 2010-2011

La teora de funciones de una variable compleja, o teora de funciones analticas, no slo es unade las teoras matemticas ms hermosas, sino que adems es bien conocida su aplicacin envarias ramas de la ciencia y la tcnica. Muchos problemas interesantes en matemtica aplicada,que aparecen en la teora del calor, la dinmica de fluidos y la electrosttica, encuentran sumarco adecuado en la teora de funciones analticas. Tras el establecimiento por L. Euler dela definicin y las propiedades de las funciones elementales (la exponencial, los logaritmos ylas funciones trigonomtricas) a mediados del siglo XVIII, fueron A. L. Cauchy (17891857) yC. F. Gauss (17771855) los que dieron a la teora de funciones de variable compleja su primergran impulso, a comienzos del siglo XIX, convirtindola en una de las lneas de investigacincapitales a lo largo de todo el siglo. Sus trabajos fueron continuados, entre otros, por B. Riemann(18261866), en sus aspectos geomtricos, y por J. Liouville (18091882) y K. Weierstrass (18151897), en sus aspectos analticos. Durante el siglo XX la teora de funciones de variable complejaha continuado siendo uno de los campos de investigacin ms activos, no slo en sus aspectosms tericos; tambin se han descubierto nuevas aplicaciones a otras ramas de la ciencia y de latcnica.

1 Funciones de variable compleja

En la asignatura de lgebra se han estudiado la nocin de nmero complejo y sus formas deexpresin (partes real e imaginaria, mdulo y argumento), su aritmtica (suma, resta, multipli-cacin, divisin, extraccin de races y conjugacin) y una introduccin a la geometra del planocomplejo (identificacin de los nmeros complejos con los puntos del plano y de la expresin polarcon las coordenadas polares). En la parte de esta asignatura dedicada a los nmeros complejosestudiaremos las funciones que dependen de una variable compleja y toman valores complejos.

Definiciones. Una funcin de variable compleja f : z C w = f(z) C es una reglaque a cada nmero complejo z de una cierta regin del plano complejo C le asigna otro nmerocomplejo w = f(z). La regin se llama dominio de definicin de f y w se llama imagen dez por f . En los ejemplos ms importantes el dominio de definicin es un conjunto abierto (noincluye a su frontera) y conexo (dos puntos cualesquiera de pueden unirse mediante una curva

2 Leccin 7. Funciones Analticas

contenida en ) del plano. Puesto que ste es el marco de trabajo habitual, las regiones abiertasy conexas del plano complejo reciben el nombre genrico de dominios.

Al identificar los nmeros complejos con los puntos del plano y escribir w = f(z) en trminosde sus expresiones en parte real e imaginaria, z = x + jy y w = u + jv = f(x + jy) vemosque tanto la parte real u como la imaginaria v dependen de x e y, lo que nos permite escribirf(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y). Es decir, una funcin de variable compleja consiste en un parde funciones reales de dos variables reales; con lo que podemos identificar f como funcin de lavariable compleja z,

f : z C w = f(z) C,con f como funcin de las variables reales x e y,

f : (x, y) R2 (u(x, y), v(x, y)) = f(x, y) R2.

A veces se utilizan coordenadas polares en vez de cartesianas. Si expresamos un nmero complejoz = x+ jy en su forma polar

z = r (cos() + jsen ()) = rej = |z| ejArg (z),donde r = |z| = px2 + y2 = zz es su mdulo, = Arg (z) = arctan(y/x) (, ] es suargumento principal y ej = cos() + jsen () es la exponencial con exponente imaginario puro,entonces f(z) se escribe como

f(rej) = u(r, ) + jv(r, ).

Una primera consecuencia de esta identificacin de las funciones de variable compleja conlos pares de funciones de dos variables reales (o campos vectoriales bidimensionales) es que noes posible hacer la grfica de una funcin compleja; necesitaramos saber dibujar superficies enR4. Sin embargo, s hay algunas representaciones visuales que pueden resultar de ayuda, comorepresentar el mdulo y el argumento de f(z) por separado, al igual que se hace con los espectrosde amplitudes y de fases en el anlisis de Fourier. Otra opcin, ms comn, es estudiar cmotransforma la funcin f ciertas clases especiales de curvas (por ejemplo, rectas horizontales, rectasverticales, rectas cualesquiera, circunferencias), o de regiones (bandas, semi-bandas y crculos).Puesto que, al fin y al cabo, una funcin compleja es una transformacin del plano en s mismo,saber cmo transforma ciertas regiones nos ayudar a entender mejor las propiedades de lafuncin.

Veamos algunos ejemplos muy simples que nos permitirn ilustrar algunos aspectos de intersen el estudio de las funciones de variable compleja.

Ejemplos. (1) La funcin f(z) = az + b, donde a 6= 0 y b son constantes complejas, sellama funcin lineal. Si b = 0, entonces la accin de f(z) = az la podemos estudiar mejor encoordenadas polares. Si |a| es el mdulo de a y = Arg (a) es su argumento principal, entonces

f(rej) = |a| ejrej = |a| rej(+)

luego f consiste en un giro de ngulo seguido de una homotecia (cambio de escala) de factor|a| que ser una contraccin si |a| < 1 o una dilatacin si |a| > 1. Esta funcin transforma lneasrectas en lneas rectas y circunferencias en circunferencias.


Si b 6= 0, entonces la transformacin f(z) = az + b consiste en aadir una traslacin, en laque el origen de coordenadas pasa a situarse sobre el punto b, al efecto del giro y la homoteciadados por az. Tambin en este caso las rectas se transforman en rectas y las circunferencias encircunferencias.

(2) La funcin f(z) = 1/z se llama inversin y est definida para z 6= 0. Esta funcin trans-forma rectas o circunferencias en rectas o circunferencias de acuerdo con el siguiente esquema:

1. Las circunferencias que no pasan por el origen se transforman en circunferencias que nopasan por el origen.

2. Las circunferencias que s pasan por el origen se transforman en rectas que no pasan por elorigen.

3. Las rectas que s pasan por el origen se transforman en rectas que s pasan por el origen.

4. Las rectas que no pasan por el origen se transforman en circunferencias que s pasan por elorigen.

Una forma cmoda de entender este comportamiento es considerar el plano complejo extendidoC que consiste en aadir al plano complejo C un punto, llamado punto del infinito, que serepresenta por . Entonces, podemos extender la definicin de f(z) = 1/z a C poniendof(0) = y f() = 0. El punto del infinito puede visualizarse mediante la representacinconocida como la esfera de Riemann que consiste en situar sobre el origen una esfera e identificarcada punto z del plano complejo con el punto de la esfera que se obtiene al cortar sta con lalnea recta que une el polo norte con el punto z dado. De esa manera tenemos que

1. el origen se identifica con el polo sur de la esfera,

2. el punto del infinito se identifica con el polo norte,

3. las lneas rectas que pasan por el origen corresponden a meridianos que pasan por los polos,

4. las lneas rectas que no pasan por el origen corresponden a circunferencias sobre la esferaque pasan por el polo norte pero no por el polo sur,

5. las circunferencias que pasan por el origen corresponden a circunferencias que pasan por elpolo sur pero no por el polo norte y, finalmente,

6. las circunferencias que no pasan por el origen corresponden a circunferencias que no pasanpor ninguno de los polos.

En resumen, las rectas y circunferencias del plano complejo corresponden a circunferenciasen la esfera de Riemann y la inversin transforma circunferencias en la esfera de Riemann encircunferencias en la esfera de Riemann.

(3) Las funciones bilineales son las de la forma

f(z) =az + bcz + d


siendo a, b, c, d C con c 6= 0 y ad bc 6= 0 (si fuera ad bc = 0, entonces f(z) sera constante),y estn definidas en todo C salvo en el punto d/c. Escribiendo

f(z) =ac+

bc adc2z + cd

entonces vemos que f consiste en una aplicacin lineal c2z+cd seguida de una inversin ms otraaplicacin lineal. En consecuencia, f transforma la familia de todas las rectas y circunferenciasdel plano en ella misma.

(4) Si escribimos z = x + jy, entonces la funcin f(z) = z2 = (x2 y2) + j2xy se identificacon la funcin de R2 en R2 dada por (x, y) (x2 y2, 2xy). Esta funcin transforma la familiade todas las rectas verticales y la familia de todas las rectas horizontales en familias de parbolascuyo eje es el eje de abscisas pero que se cortan perpendicularmente. Observemos tambin quelas curvas de ecuacin u(x, y) = constante, que en este caso son hiprbolas, son ortogonales a lascurvas de ecuacin v(x, y) = constante que, en este caso, tambin son hiprbolas. En trminosde las coordenadas polares, la funcin z2 eleva al cuadrado el mdulo y multiplica por dos elargumento,

z = r (cos() + jsen ()) z2 = r2 (cos(2) + jsen (2)) .

En particular, esto significa que transforma la circunferencia unidad en s misma conservando suexterior y su interior.

(5) Si escribimos z = x + jy, entonces z = x jy, as que la conjugacin se identifica conla funcin de R2 en R2 dada por (x, y) (x,y) que es la reflexin en el eje de abscisas. Encoordenadas polares, lo que hacemos es tomar el opuesto del argumento principal,

z = r (cos() + jsen ()) z = r (cos() jsen ()) .

En particular, esta funcin tambien transforma la circunferencia unidad en s misma conservandosu exterior y su interior.

Una ventaja de la identificacin de una funcin de variable compleja

f : z C w = f(z) C

con un par de funciones reales de dos variables reales

f : (x, y) R2 (u(x, y), v(x, y)) = f(x, y) R2

es que las nociones de lmite y continuidad se trasladan de forma inmediata. Sin embargo, comoveremos, esto no ser as con la derivabilidad.

Definiciones. Sea f : C C una funcin de variable compleja y sea z0 un punto de ode su frontera. Se dice que el lmite de f(z) cuando z tiende a z0 existe y vale w0 si dada unacota > 0 de la aproximacin, existe un radio > 0 tal que |f(z) w0| < siempre que z esten y 0 < |z w0| < , lo que se escribe

limzz0

f(z) = w0.


Si z0 = x0 + jy0 y w0 = u0 + jv0, entonces es fcil ver que limzz0

f(z) = w0 si, y slo si,

lim(x,y)(x0,y0)

u(x, y) = u0 y lim(x,y)(x0,y0)

v(x, y) = v0.

Si z0 , entonces se dice que f es continua en z0 si

limzz0

f(z) = f(z0).

De nuevo, es fcil ver que f es continua en z0 si, y slo si, u(x, y) y v(x, y) son ambas continuasen (x0, y0) como funciones de dos variables. Diremos que f es continua en si es continua encada punto de .

Por consiguiente, para saber si una funcin de variable compleja es continua, basta condeterminar si lo son su parte real y su parte imaginaria como funciones de dos variables reales, loque se ha estudiado en la asignatura de Clculo de primer curso. De todas formas, las funcionesque vamos a considerar sern continuas salvo en algunos casos especiales que precisaremos.

Ejercicio. La nocin de lmite que hemos visto se puede ampliar hasta considerar funcionesque tienden a infinito, lim

zz0f(z) = , y lmites cuando la variable tiende a infinito, lim

zf(z).

Dejamos como ejercicio formular de manera precisa las definiciones correspondientes y establecerlas propiedades habituales. Una advertencia: a diferencia de la recta real que tiene dos puntos delinfinito, segn nos alejemos por la derecha (+) o por la izquierda (), en el plano complejoslo hay un punto del infinito.

2 Funciones elementales

Al igual que en el caso de las funciones de variable real, hay algunas funciones complejas (poli-nomios, races, exponenciales, etc.) que, por su importancia en la teora y en las aplicaciones,hay que conocer y saber usar con soltura. Naturalmente, estas funciones se extienden al campocomplejo a partir de sus conocidas en el campo real; algunas de manera obvia, otras con msdificultad. Se conocen con el nombre genrico de funciones elementales.

Polinomios. Dados los nmeros complejos a0, a1, a2, . . . , an, con an 6= 0, la funcin p(z) definidaen el plano complejo C por

p(z) = a0 + a1z + a2z2 + + anzn

se llama polinomio complejo de grado n con coeficientes a0, a1, a2, . . . , an. Tanto la parte realcomo la parte imaginaria de p(z) son polinomios de grado menor o igual que n en las variablesx e y, que son funciones continuas, as que p(z) es una funcin continua en todo el plano. ElTeorema Fundamental del lgebra afirma que todo polinomio complejo de grado n se anula enn puntos del plano complejo z1, z2, . . . , zn (contados tantas veces como indica su multiplicidad),que se llaman races del polinomio. Conocidas las races, el polinomio se factoriza como

p(z) = an(z z1)(z z2) (z zn).


En coordenadas polares z = rej, el polinomio viene dado por

p(rej) = a0 + a1rej + a2r2ej2 + + anrnejn.

Funciones racionales. Una funcin racional compleja es un cociente de dos polinomios com-plejos sin races comunes r(z) = p(z)/q(z), as que est definida en todo el plano C salvo en lasraces del denominador q(z) y es continua en su dominio de definicin.

Races n-simas. Cuando escribimos un nmero complejo z = x+ jy en su forma polar

z = |z| [cos (Arg (z)) + jsen (Arg (z))] = r (cos() + jsen ()) = rej,el mdulo r = |z| es una funcin continua en el plano mientras que el argumento = Arg (z)es continua salvo en z = 0, donde no est definida, y en el semieje real negativo, donde s estdefinida pero no es continua. A veces se toma el argumento principal en el intervalo [0, 2) conlo que s sera continua en el semieje real negativo pero no en el semieje real positivo.

Veamos ahora que si n es un nmero natural y z 6= 0, entonces z tiene exactamente n racesn-simas, es decir n nmeros complejos distintos z0, z1, . . . , zn1 tales que znk = z para cadak = 0, 1, . . . , n 1. Estas races se obtienen de la siguiente manera: todas tienen el mismomdulo |zk| = |z|1/n = r1/n donde el exponente 1/n indica aqu la raz n-sima real de un nmeroreal positivo (que s es nica). Por otro lado, si empezamos en /n = Arg (z)/n, sus argumentosestn separados por un ngulo de 2/n

Arg (z0) =n, . . . ,Arg (zk) =

+ 2kn

, . . . ,Arg (zn1) = + 2(n 1)

n,

As pues, las n races n-simas de un nmero complejo vienen dadas por

zk = r1/ncos

+ 2k

n

+ jsen

+ 2k

n

= r1/nej(+2k)/n (k = 0, 1, . . . , n 1).

Geomtricamente, estas races estn todas situadas en los vrtices de un polgono regular de nlados inscrito en la circunferencia de radio |z|1/n. Puesto que todo complejo no nulo admiten races n-simas, para definir una funcin raz n-sima hay que especificar cul tomamos. Lohabitual es definir la funcin raz n-sima principal como z0, o sea,

z1/n = r1/nejArg (z)/n

donde Arg (z) indica el argumento principal. Esta funcin est definida en todo el plano pero esdiscontinua en el cero y en el semieje real negativo.

Con respecto a la raz principal, los valores de las demas races forman lo que se conoce comolas ramas de la funcin multivaluada raz n-sima.

Son especialmente importantes las races n-simas de la unidad

wk = cos(2k/n) + jsen (2k/n) = ej2k/n, para k = 0, 1, . . . , n 1

que forman los vrtices de un poligono regular de n-lados sobre la circunferencia unidad. Laraz principal es w0 = 1. Sin embargo, veremos que en algunas aplicaciones es ms til usar la


raz w1 = cos(2/n) + jsen (2/n) = ej2/n que se denomina raz primitiva n-sima de la unidadporque con sus potencias consecutivas podemos conseguir todas las dems:

1 = w0 = w01, w1 = w11, w2 = w

21, . . . , wk = w

k1 , . . . , wn1 = w

n11 .

Exponenciales. Hasta ahora las funciones exponenciales que se han utilizado son la exponencialreal, ex con x R, y la exponencial imaginaria pura, ej = cos() + jsen () con R, quese obtiene al separar en partes real e imaginaria el desarrollo en serie de potencias de la funcinexponencial real evaluada en j.

Cmo definiramos la exponencial compleja ez = ex+jy de manera que coincida con lasanteriores si, respectivamente, z es real o imaginario puro? Si queremos que, adems, se mantengala propiedad de que ea+b = eaeb, entonces, pondramos

exp(z) = ez = ex+jy = exejy = ex (cos(y) + jsen (y)) ,

expresin que define la funcin exponencial compleja. Observemos que para z = x+jy su imagenez es un nmero complejo con mdulo ex y argumento y; en particular, ez nunca es cero. Puestoque las partes real e imaginaria de ez son funciones continuas de x e y, la funcin exponenciales continua en todo el plano y, como en el caso real, verifica que ez+w = ezew para z, w C.Adems, es peridica de perodo 2j, ya que ez+2j = eze2j = ez.

Otra manera de definir la exponencial compleja sera extender la expresin de ex como seriede potencias al campo complejo, es decir, definir

ez =Xn=0

zn

n!.

Puede comprobarse que ambas definiciones son equivalentes, esto lo veremos ms adelante.

Logaritmos complejos. Si z es un nmero complejo, se dice que otro nmero complejo w es unlogaritmo complejo de z si ew = z. Veamos cmo podemos hallar los logaritmos de z = x+ jy (sies que hay; por ejemplo, ya sabemos que z = 0 no tiene logaritmos). Si w = u+jv debe ser tal queew = z, entonces, como hemos visto antes, eu debe ser el mdulo de z y v debe ser un argumentode z. De eu = |z|, que es una igualdad con la exponencial real, obtenemos que u = log(|z|),donde log() indica el logaritmo neperiano de un nmero real y positivo. Por otro lado, si Arg (z)denota el argumento principal de z, entonces v debe ser de la forma v = Arg (z)+2k para algnnmero entero k. En definitiva, todo nmero complejo no nulo z tiene infinitos logaritmos wk,dados por

wk = log(|z|) + j (Arg (z) + 2k) , para k = 0,1,2, . . .Todos estos logaritmos tienen la misma parte real y sus partes imaginarias difieren en un mltiploentero de 2, as que estn todos situados sobre una lnea recta vertical, habiendo el mismo espacioentre dos de ellos consecutivos. El logaritmo w0 = log(|z|) + jArg (z) correspondiente a k = 0,que es el que est situado en la banda < Im(w) se llama logaritmo principal y se denotapor

Log(z) = log(|z|) + jArg (z).La funcin logaritmo principal est definida en todo el plano salvo en el origen y es continuasalvo en el semieje real negativo. Observemos que el logaritmo principal de ez puede no ser z


y que el logaritmo principal de un nmero real y positivo coincide con su logaritmo neperianohabitual. Al igual que ocurre con las races n-simas, el conjunto de todos los logaritmos de unnmero complejo constituye una funcin multivaluada con diversas ramas.

Potencias. Cuando a > 0 y b son nmeros reales, entonces la potencia ab se define comoab = eb log(a). Esta definicin se extiende al campo complejo usando la funcin logaritmo principal:Dados z 6= 0 y w, se define la potencia compleja (principal) zw como

zw = ewLog(z).

Si w = 1/n, entonces la potencia principal z1/n nos proporciona la raz n-sima principal z0 =|z|1/n ejArg (z)/n definida antes.Funciones trigonomtricas e hiperblicas. Las frmulas de Euler

cos(x) =ejx + ejx

2y sen (x) =

ejx ejx2j

se extienden al campo complejo para definir las funciones coseno y seno complejos como

cos(z) =ejz + ejz

2y sen (z) =

ejz ejz2j

.

Si escribimos z = x+ jy, hacemos los clculos y separamos las frmulas anteriores en partes reale imaginaria, obtenemos expresiones alternativas

cos(x+ jy) = cos(x) cosh(y) jsen (x)senh(y)sen (x+ jy) = sen (x) cosh(y) + j cos(x)senh(y)

de las que deducimos, por ejemplo, su continuidad en C. Puede comprobarse fcilmente que estasfunciones tienen las mismas propiedades que las correspondientes funciones reales en cuanto serefiere a frmulas como las del seno y coseno de una suma, etc. No as en cuanto a su acotacin;de hecho se tiene que

|cos(z)|2 = |cos(x)|2 + |senh(y)|2|sen(z)|2 = |sen(x)|2 + |senh(y)|2

as que |cos(z)|2+|sen(z)|2 = 1+2 |senh(y)|2 que puede tomar valores tan grandes como queramostomando y suficientemente grande. S se sigue verificando, en cambio, la igualdad cos2(z) +sen2 (z) = 1.

Para definir las funciones hiperblicas tambin extendemos al campo complejo las definicionesreales

cosh(z) =ez + ez

2y senh(z) =

ez ez2

.

Observemos que, entonces, cos(z) = cosh(jz) y sen (z) = jsenh(jz).


3 Funciones analticas

Definiciones. Sean un dominio en C y f : C una funcin de variable compleja. Sea z0un punto de . Diremos que f es derivable en z0 si existe el lmite

f 0(z0) = limzz0

f(z) f(z0)z z0

que, en ese caso, se llama derivada de f en z0.

Diremos que f es analtica en cuando es derivable en todos los puntos de ; otros trminosmuy utilizados son diferenciable, holomorfa o regular. En particular, una funcin analtica entodo el plano C se llama entera.

Si f es analtica en , entonces podemos definir la funcin

f 0 : z f 0(z) C

que se llama funcin derivada o, simplemente, derivada de f .

Est claro que toda funcin derivable es continua. Por otro lado, se puede comprobar quelas reglas de derivacin de las funciones reales (suma, producto, cociente, regla de la cadena,regla de LHpital, etc.) se trasladan sin dificultad a la derivacin de funciones complejas. Enparticular, trabajando como en el caso real podemos obtener que si n es un nmero natural,entonces f(z) = zn es analtica en C y que su derivada es f 0(z) = nzn1.

Sin embargo, la nocin de derivabilidad en el campo complejo es un concepto mucho msexigente que en el campo real. La razn es que en el caso real la variable se mueve en unintervalo as que slo hay dos formas de aproximarse al punto en el que tomamos lmite: porsu izquierda o por su derecha. En el caso complejo la variable se mueve en un disco centradoen el punto hacia el que nos acercamos, pero esta aproximacin puede hacerse a lo largo de unnmero ilimitado de curvas. La potencia del concepto de funcin analtica se pone de manifiestoen el hecho, que demostraremos en la siguiente leccin, de que si una funcin f es analtica enun dominio , entonces su derivada f 0 tambin es analtica en . Por contra, sabes bien que enel caso real existen funciones que son derivables pero cuya derivada no es derivable.

Interpretacin geomtrica de la derivada. Sea f una funcin analtica en un dominio Cy sea z0 . Si ponemos

f(z) f(z0) f 0(z0) (z z0),entonces cuando f 0(z0) 6= 0 la derivada puede interpretarse geomtricamente de la siguientemanera: El mdulo |f 0(z0)| es un factor de escala de las distancias entre las imgenes de lospuntos,

|f(z) f(z0)| |f 0(z0)| |z z0| para z z0,y el argumento Arg (f 0(z0)) es una rotacin,

Arg (f(z) f(z0)) Arg (z z0) + Arg (f 0(z0))

De aqu se deduce una propiedad geomtrica muy importante: las funciones analticas con-servan los ngulos en los puntos en los que f 0 6= 0. Concretamente se tiene el siguiente resultado.


Teorema 1. Sea f una funcin analtica en un dominio C. Sea z0 y sean 1 y 2dos curvas paramtricas regulares que se cortan en z0. Si f 0(z0) 6= 0, entonces las curvas f(1) yf(2) se cortan en f(z0) con el mismo ngulo con el que 1 y 2 se cortan en z0.

Las funciones analticas con la propiedad de conservacin de ngulos descrita se llaman trans-formaciones conformes.

4 Las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Volvamos a la identificacin de una funcin de variable compleja

f : z C w = f(z) C

con una funcin de dos variables reales

f : (x, y) R2 (u(x, y), v(x, y)) = f(x, y) R2.

Cul es la relacin entre la analiticidad de f y la diferenciabilidad de las funciones u y v? Larespuesta nos la dan los siguientes teoremas.

Teorema 2. Si f es analtica en , entonces las funciones u y v son diferenciables en y severifican las siguientes expresiones

f 0(x+ jy) =ux(x, y) + j

vx(x, y) =

vy(x, y) j u

y(x, y).

En particular, u y v verifican

ux=

vy

yuy= v

xen ,

que se conocen como ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Teorema 3. Si las funciones u y v son diferenciables en y se verifican las ecuaciones deCauchy-Riemann, entonces f es analtica en .

Si se trabaja en coordenadas polares en vez de cartesianas, de manera que escribimos f(rej) =u(r, ) + jv(r, ), entonces

f 0(rej) = ejur+ j

vr

=

ej

r

v j u

cuando f es analtica. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares son, entonces,

ur=1

rv

y1

ru= v

r.

Corolario. Si la derivada f 0 de una funcin f analtica en un domino es cero, entonces f esconstante en .


Ejemplo. Si f(z) = z, entonces u(x, y) = x y v(x, y) = y que, aunque son funciones di-ferenciables, no verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Es decir, como funciones de dosvariables u y v son diferenciables en C pero como funcin compleja f no es analtica en ningnpunto; esto nos dice que el nexo que habamos establecido para la continuidad no se extiende ala diferenciabilidad que, a partir de ahora, deber seguir una ruta propia, ms rica que el estudiode la diferenciabilidad de funciones reales de dos variables. La mayora de las propiedades yaplicaciones que veremos en las siguientes lecciones dependen de esta caracterstica especial.

Ortogonalidad de las curvas de nivel. Si f = u + jv es analtica en entonces, aplicandolas ecuaciones de Cauchy-Riemann, tenemos que los gradientes de u y v son ortogonales:

u v = ux

vx+

uy

vy=

ux(u

y) +

uy

ux= 0.

En consecuencia, si dos curvas de nivel u(x, y) = c1 y v(x, y) = c2 se cortan en un punto (x, y) talque f 0(x+ jy) 6= 0, entonces se cortan ortogonalmente en dicho punto (si f 0(z) = 0, esto no tienepor qu ocurrir). Debido a esto, las curvas de nivel u(x, y) = c y v(x, y) = c forman lo que seconoce como dos familias de trayectorias ortogonales. Esta propiedad es crucial en la aplicacinde la teora de funciones de variable compleja al electromagnetismo y a la mecnica de fluidos yaque dichas familias de curvas de nivel desempean el papel de las lneas equipotenciales y de laslneas de corriente.

Derivadas de las funciones elementales. Para terminar la leccin, usaremos las ecuacionesde Cauchy-Riemann junto con las reglas de derivacin, para dar la lista de las derivadas de lasfunciones elementales.

1. Todo polinomiop(z) = a0 + a1z + a2z2 + + anzn

es una funcin entera y se tiene

p0(z) = a1 + 2a2z + 3a3z3 + + nanzn1.2. Toda funcin racional r(z) = p(z)/q(z) es analtica en su dominio de definicin (el planoC salvo los puntos que anulan el denominador) y se tiene

r0(z) =p0(z)q(z) p(z)q0(z)

(q(z))2.

3. La funcin raz cuadrada principal f(z) = z1/2 es analtica en todo el plano salvo el origen

y el semieje real negativo, y su derivada es f 0(z) =1

2z1/2.

4. La funcin exponencial ez es entera y su derivada es ella misma.

5. La funcin logaritmo principal f(z) = Log(z) es analtica en todo el plano salvo el origen

y el semieje real negativo, y su derivada es f 0(z) =1

z.

6. Los senos y cosenos trigonomtricos e hiperblicos son funciones enteras y sus derivadasson

cos0(z) = sen (z), sen 0(z) = cos(z), cosh0(z) = senh (z), senh0 (z) = cosh(z).


5 Ejercicios

Ejercicio 1. Representa geomtricamente los conjuntos de nmeros complejos dados por lassiguientes condiciones:

(1) Re(z) > 0. (2) z = z.(3) < Arg (z) < . (4) |Arg (z) /2| < /2.(5) |z + 1| < 1. (6) |z + j| 2.(7) |z + 2j|+ |z 2j| < 6. (8) Im (z2) > 4.(9) 1 < |z + j| 2. (10) Im(z) > 4 y 1 < Re(z) < 3.(11) Im(1/z) = 4. (12) Re (z2) = 1 y 1 < Re(z) < 3.

(13)z1z+1

= 2. (14) Arg

z 1z + 1

= /4.

(15) |z z1| = |z z2| . (16) 0 < Re(jz) < 1.Cules de ellos son dominios?

Ejercicio 2. Determina, en trminos de una variable compleja, la ecuacin de las siguientescurvas:

1. La recta que pasa por los puntos (0, 1) y (2,1).

2. La circunferencia con centro en (2, 1) y radio 4.

3. La elipse con focos (3, 0) y (3, 0) cuyo eje mayor tiene longitud 10.

Ejercicio 3. Prueba que la ecuacin

azz + bz + bz + c = 0, donde a, c R, b C y |b|2 > acrepresenta una circunferencia o una recta en el plano complejo. Es cierto el recproco?; es decir,podemos escribir siempre la ecuacin de una recta o de una circunferencia en la forma descrita?

Ejercicio 4. Sean z y w dos nmeros complejos. Prueba que se verifica la ley del paralelogramo:

|z + w|2 + |z w|2 = 2 |z|2 + |w|2 .Por qu crees que esta igualdad recibe ese nombre?

Ejercicio 5. Expresa las funciones complejas f(z) = z3, f(z) =1

1 z y f(z) =z 1z + 1

en la

forma f(x+ jy) = u(x, y) + jv(x, y).

Ejercicio 6. En qu regiones se transforma el sector angular 0 r 1, 0 /4 bajo lasaplicaciones f(z) = z2, g(z) = z3 y h(z) = z4?

Ejercicio 7. En qu regin se transforma el tringulo limitado por las rectas y = x y x = 1bajo la aplicacin f(z) = z2?

Ejercicio 8. En qu regin se transforma la mitad superior del anillo 1 r R bajo laaplicacin f(z) = z + z1? Indicacin: usa la expresin polar.


Ejercicio 9. Prueba que |exp(z)| < 1 si y slo si Re(z) < 0.Ejercicio 10. Prueba la frmula de De Moivre: si n es un nmero entero, entonces

(cos() + jsen ())n = cos(n) + jsen (n).

Usa la frmula de De Moivre para probar las siguientes igualdades

1. sen 3() = 34sen () 1

4sen (3).

2. cos(5) = 16 cos5() 20 cos3() + 5 cos().

Ejercicio 11. Sea z un nmero complejo. Prueba que si z 6= 1, entonces

1 + z + z2 + + zn = 1 zn+1

1 z .

Usa esta igualdad para deducir que si x es un nmero real tal que 0 < x < 2, entonces severifican las siguientes igualdades:

1 + cos(x) + cos(2x) + + cos((n 1)x) = cos ((n 1)x/2) sen (nx/2)sen (x/2)

,

sen (x) + sen (2x) + + sen ((n 1)x) = sen ((n 1)x/2) sen (nx/2)sen (x/2)

.

Ejercicio 12. Calcula los logaritmos, sealando el principal, de los nmeros 1, j, 1 + j, 1 j,3 + 4j y 2.Ejercicio 13. Calcula los logaritmos principales de los siguientes nmeros: exp(23j), exp((2+)j/4) y exp (Log(2 9j)).Ejercicio 14. Resuelve las siguientes ecuaciones:

1 + j ez = 0, e1 ez = 0, cos(z) = 2, sen (z) = cosh(4), cosh(z) = 0,cos(z) = sen (z), sen (z) = 8 + j, cos(z) = jsen (z), y senh (z) = 0.

Ejercicio 15. En general las funciones complejas en las que intervienen los logaritmos no tienenlas mismas propiedades que las correspondientes funciones reales elementales. Inventa un ejemplopara probar que Log(ab) 6= Log(a) + Log(b) en general.Ejercicio 16. Calcula la parte principal de los siguientes nmeros complejos:

1j, (1)j, jj y jLog(1+j).

Ejercicio 17. Halla todos los valores de

arcsen(2), arccos(1 + j) y arctan(1 + j).


Ejercicio 18. Prueba que las nicas funciones complejas derivables que son de la forma f(x+jy) = u(x) + jv(y) estn dadas por f(z) = az + b, con a R, b C.Ejercicio 19. Prueba que la nica funcin entera f(z) que satisface f 0(z) = f(z) y f(0) = 1 esla funcin exponencial.

Ejercicio 20. Sea f una funcin analtica en un dominio . Prueba que f debe ser constanteen si se cumple que f(z) es real para todo z .Ejercicio 21. Sea f una funcin analtica en un dominio . Prueba que si f(z) es analtica en, entonces f debe ser constante en .

Ejercicio 22. Describe las familias de trayectorias ortogonales que se obtienen a partir de lasfunciones analticas

f(z) = z, f(z) = 2z 2 + j, f(z) = z2, f(z) = z2 2z 1, f(z) = ez y f(z) = Log(z).

Ejercicio 23. Describe el mayor dominio en el que f(z) =Log(z + 4)z2 + j

es analtica.

Ejercicio 24. Halla el mayor dominio en el que f(z) = Log (Log(z)) es analtica.

Ejercicio 25. Halla el mayor dominio en el que f(z) = Log (z2 2 + 3j) es analtica.Ejercicios y cuestiones de exmenes de cursos anteriores.

Ejercicio 26. En qu regin se transforma el crculo |z 1| 1 mediante la funcin bilinealw =

zz 2?

Ejercicio 27. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann: qu son?, qu relacin tienen con laanaliticidad?, para qu sirven?

Ejercicio 28. Determina la funcin entera f = u+ jv cuya parte real viene dada por u(x, y) =y2 x2 + 2x y y cumple f(j) = j.Ejercicio 29. Dibuja, explicando cmo lo hallas, el dominio ms grande que contiene al punto1+j y en el que la funcin f(z) = Log(z3) es analtica, donde Log(w) indica el logaritmo principalde w cuando el argumento principal de w se toma en [0, 2).

6 Bibliografa

Para desarrollar esta leccin pueden consultarse los siguientes textos. El de James incluye variasaplicaciones interesantes a la ingeniera y muchos ejercicios adicionales. El de Churchill y Brownes un libro excelente para complementar las explicaciones tericas.

[517.5/2-CHU] R.V. Churchill, J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones, Cap. 1, 2 y 3.

[51:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Cap. 1.

[517.5/WUN] W.A. Wunsch, Variable compleja con aplicaciones, Cap. 1, 2 y 3.

FUNCIONES ANALITICAS

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