FUNCIONES APLICADAS-1

Funciones

Problemas de aplicación

RESUELTOS

Patricio Alcaíno Martínez

Derechos Reservados

Funciones Aplicadas-Ejercicios resueltosPatricio Alcaíno Martínez – Derechos Reservados 2

Palabras iniciales

Estimados usuari@s:

Este material, que pongo a su disposición, está creado a partir de investigaciones reales. Los datos han sido adaptados a situaciones didácticas, pero reflejan bien el ámbito de las aplicaciones de las funciones como modelos.

Se tratan este documento, las funciones reales básicas: lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica y potencia.

Para trabajar con este material, el usuario deberá operar conceptual y operacionalmente con la valoración de expresiones algebraicas, la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones elementales y con el concepto de función.

Para trabajar con este material el usuario deberá hacer uso de calculadoracientífica.

No se autoriza el uso comercial de este material, ni su uso masivo.

Atentamente;

Patricio Alcaíno Martínez


1. Cerdo silvestreSe ha establecido en forma experimental que para una variedad de cerdo silvestre, la relación entre su edad E (meses) y su peso P (Kg.), está descrita por la función:

P = 0,15 + 1,2 E; válida entre el nacimiento y los 18 meses.

1.1. ¿Cuál es la variable independiente en este modelo?

1.2. ¿Cuál es el dominio de la función?

1.3. De acuerdo al modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 9 meses de edad?

1.4. Según la función, ¿aproximadamente, a qué edad un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg?

Solución:

1.1. ¿Cuál es la variable independiente en este modelo?

La variable independiente es la edad E.

1.2. ¿Cuál es el dominio de la función?

El dominio de la función corresponde al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, en este caso la edad E.

Por definición, la variable E varía entre 0 y 18 meses. Entonces, ese es el dominio de la función.

1.3. De acuerdo al modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 9 meses de edad?

Reemplazando E en el modelo:

P = 0,15 + 1,2 E

P(9) = 0,15 + 1,2 9

P(9) = 10,95 Kg.

Un ejemplar de 9 meses de edad pesa 10,95 Kg.

1.4. Según la función, ¿aproximadamente, a qué edad un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg?

Reemplazando P en el modelo:

P = 0,15 + 1,2 E

7,5 = 0,15 + 1,2 E

Despejando E:

2,115,05,7

E

E = 6,125 meses.

Un ejemplar llega a pesar 7,5 Kg. a los 6,125 meses de edad.


2. La iguanaDentro de su primer año de vida, el peso P de cierta variedad de iguana criada en cautiverio varía con la edad E según la función: P = 25 + 3E, donde P está en gramos y E en días.

2.1. ¿Qué indica la pendiente de esta función?

2.2. ¿Cuánto pesa una iguana a los 30 días de nacida?

2.3. ¿En qué % sube el peso de una iguana entre los días 7 y 14?

2.4. ¿Cuál es dominio y el recorrido de esta función?

Solución:

2.1. ¿Qué indica la pendiente de esta función?

En una función lineal de la forma y = a + bx, la pendiente b indica las unidades de variación de la variable Y, por cada unidad e variación de la variable independiente x.

En este caso la pendiente es 3. Indica que por cada día el peso de la iguana varía en +3 gramos. Esto es, que la iguana sube de peso a razón de 3 gramos por día.

2.2. ¿Cuánto pesa una iguana a los 30 días de nacida?

El peso está dado por P = 25 + 3E. Reemplazando E = 30:

P = 25 + 3E

P = 25 + 3 30 = 115 gr.

Según el modelo, una iguana, a los 30 días pesa 115 gramos.

2.3. ¿En qué % sube el peso de una iguana entre los días 7 y 14?

P(7) = 25 + 3 7 = 46 gr.

P(14) = 25 + 3 14 = 67 gr.

Variación = 67 – 46 = 21

Llevando a %:

10046

21P 45,7%

Entre el día 7 y 14 una iguana sube su peso en un 45,7%.

2.4. ¿Cuál es dominio y el recorrido de esta función?

Según el enunciado de la situación, este modelo es válido en el primer año de vida. Como la edad está medida en días, entonces E varía entre E = 0 y E = 365.


El dominio de la función es, entonces: Dom f = 365;0 días.

Esto significa que el recorrido se ubica entre f(0) y f(365).

Calculando:

P(0) = 25 + 3 0 = 25 gr.

P(365) = 25 + 3 365 = 1.120 gr.

El recorrido de la función es, entonces: Rec f = 120.1;25 gramos.


3. Chinchilla lanígeraSegún un estudio realizado con la chinchilla lanígera, el peso y la edad están relacionados a través de las funciones siguientes:

MP = 172 + 0,96 Edad

HP = 162 + 1,2 Edad

Donde PM y PH es el peso de machos y hembras, respectivamente. El peso se expresa en gramos y la edad en días.

De acuerdo a los modelos:

3.1. ¿Cuánto pesa una chinchilla macho a los 16 días?

3.2. ¿A los cuántos días una chichilla hembra pesa 460 gramos?

3.3. De acuerdo a estos modelos, ¿a qué edad, machos y hembras de la chinchilla lanígera tienen el mismo peso?

Solución:

3.1. ¿Cuánto pesa una chinchilla macho a los 16 días?

Calculando MP (16):

MP (16) = 172 + 0,96 16 = 187,36 gramos.

Según el modelo, a los 16 días una chinchilla macho pesa 187,36 gramos.

3.2. ¿A los cuántos días una chichilla hembra pesa 460 gramos?

Calculando 1HP (460):

162 + 1,2 Edad = 460

1,2 Edad = 460 – 162

Edad = 2,1162460

Edad = 248,3 días.

Una chinchilla hembra pesa 460 gramos a los 248,3 días.

3.3. De acuerdo a estos modelos, ¿a qué edad, machos y hembras de la chinchilla lanígera tienen el mismo peso?

Igualando:

172 + 0,96 Edad = 162 + 1,2 Edad

Despejando:


1,2 Edad - 0,96 Edad = 172 – 162

0,24 Edad = 10

Edad = 7,4124,0

10 días.

Según los modelos, machos y hembras de la chinchilla lanígera tienen el mismo peso aproximadamente a los 42 días.


4. Crianza del carpinchoEn la crianza de carpinchos en cautiverio para fines comerciales, se considera que el peso P de los ejemplares varía con la edad E de acuerdo a la función:

P = 4 + 2 E, estando P en Kg y E en meses.

Respecto del costo C de su alimentación, varía con la edad E según la función:

C = 0,1 E + 0,5, estando C en $US y E en meses.

A partir de esta información:

4.1. ¿Cuánto pesa un ejemplar de 7 meses de edad?

4.2. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 10 meses de edad?

4.3. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 40 Kg?

4.4. ¿Cuánto pesa un carpincho que gasta 4 dólares en alimentación?

4.5. Plantear una función que calcule directamente en costo en alimentación en función del peso del animal.

Solución:

4.1. ¿Cuánto pesa un ejemplar de 7 meses de edad?

El peso, en función de la edad está dado por: P = 4 + 2 E

Calculando P(7):

P(7) = 4 + 2 7 = 18 Kg.

Un ejemplar de 7 meses pesa 18 Kg.

4.2. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 10 meses de edad?

El costo, en función de la edad está dado por: C = 0,1 E + 0,5.

Calculando C(10):

C(10) = 0,1 10 + 0,5 = 1,5 dólares.

Un ejemplar de 10 meses genera un costo de alimentación de US$1,5.

4.3. ¿Cuál es el costo en alimentación de un ejemplar de 40 Kg?

Primero se calcula la edad, en función del peso:

4 + 2 E = 40

Despejando E:

E = 18 meses.

Ahora, con la edad, se calcula el costo.

C(18) = 0,1 18 + 0,5 = 2,3 dólares.

El costo en alimentación de un ejemplar de 40 Kg es US$2,3.


4.4. ¿Cuánto pesa un carpincho que gasta 4 dólares en alimentación?

Primero se calcula la edad, en función del costo en alimentación:

0,1 E + 0,5 = 4

Despejando E:

E = 35 meses.

Ahora, con la edad, se calcula el peso.

P(35) = 4 + 2 35 = 74 Kg.

Un carpincho que gasta 4 dólares en alimentación pesa 74 Kg.

4.5. Plantear una función que calcule directamente en costo en alimentación en función del peso del animal.

De la ecuación del peso P en función de la edad E, se despeja E:

P = 4 + 2 E

E = 2

4P = 2P

21 = 0,5P – 2, con E en meses y P en Kg.

Reemplazando esta expresión en la ecuación de C en función de E:

C = 0,1 E + 0,5

5,0)2P5,0(1,0C

5,02,0P05,0C

3,0P05,0C .

La función es: 3,0P05,0C , estando C en $US y P en Kg.


5. Diámetro del tronco de árbolPara cierta especie de árbol abundante en zonas templadas, se ha determinado la relación entre el diámetro del tronco y la edad del árbol. La relación está dada por la función:

E = 0,005 D2 + 0,5D – 1

Donde E es la edad, en años y D el diámetro, en cm.

Según la función:

5.1. ¿Cuál sería el diámetro de un árbol de 9 años?

5.2. ¿A qué edad del árbol el diámetro del tronco llega a 40 cm?

5.3. ¿Para qué diámetro de árbol es útil el modelo?

5.4. Trace un gráfico de la función.

Solución:

5.1. ¿Cuál sería el diámetro de un árbol de 9 años?

Calculando )9(C 1 :

0,005 D2 + 0,5D – 1 = 9

Es una ecuación de segundo grado:

0,005 D2 + 0,5D – 10 = 0

0,005 D2 + 0,5D – 10 = 0 /: 0,005

D2 + 100D – 2.000 = 0

2

20004100100D

2

22,134100

D

1D 17,1

2D -117,1

Puesto que no existe un diámetro negativo, la raíz negativa no es solución del problema.

Luego D = 17,1 cm.

A los 9 años, el diámetro del árbol es 17,1 cm.

5.2. ¿A qué edad del árbol el diámetro del tronco llega a 40 cm?

Calculando E(40):

E = 0,005 D2 + 0,5D – 1

E = 0,005 240 + 0,5 40 – 1 = 27 años.

El diámetro del tronco del árbol llega a 40 cm a los 27 años.


5.3. ¿Para qué diámetro de árbol es útil el modelo?

El modelo será útil para todo diámetro D que entregue una edad mayor que cero, ya que no tiene sentido hablar de edad negativa.

Para esto, debe cumplirse:

0,005 D2 + 0,5D – 1 > 0

Es la ecuación de segundo grado:

0,005 D2 + 0,5D – 1 = 0 /: 0,005

D2 + 100D – 200 = 0

2

2004100100D

2

2

9,103100D

1D 1,96

2D -102 (la raíz negativa no es solución del problema).

El modelo será aplicable a diámetros D > 1,96 cm.

5.4. Trace un gráfico de la función.

Para los efectos, se construirá previamente una tabla de valores tal como la siguiente:

D E

10 0,5

20 2

30 4,5

40 8

50 12,5

60 18

70 24,5

80 32

Edad de árboles, según diámetro

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

-150 -100 -50 0 50 100

Diámetro (cm)

Ed

ad (

año

s)


6. Hojas de frambuesaDe acuerdo a un estudio, el número de hojas de la planta de frambuesa (Rubus idaeus) según cantidad de nutriente que se le agrega a cada planta, está dada por la función:

N = c + bx + ax2,

Donde:

N = número de hojas por planta

X = nutriente, en gramos por planta

b,a y c, constantes reales desconocidas.

Un trabajo experimental determinó los siguientes valors para N y X:

Nutriente N° hojas

0 25

50 35

100 40

6.1. Calcule los parámetros a, b y c, indicando cuál es el modelo resultante.

6.2. De acuerdo al modelo resultante, ¿cuántas hojas desarrolla una planta a la cual se le agregan 85 gramos de nutriente?

6.3. Según el modelo resultante, ¿cuál es la cantidad de nutriente necesario de agregar para que las plantas desarrollen 36 hojas?

Solución:

6.1. Calcule los parámetros a, b y c, indicando cuál es el modelo resultante.

x N

0 25

50 35

100 40

Con los valores de x y N conocidos, se puede plantear el siguiente sistema:

2

2

2

100c100bc40)3(

50c50bc35)2(

0c0bc25)1(

De a ecuación (1), queda que c = 25.

Entonces:

c000.10b1002540)3(

c500.2b502535)2(

Multiplicando (2) por 2 y restándole la (3), queda:

c000.10b1002540)3(

c000.5b1005070)2(


c000.52530)4(

Despejando c:

001,0c

Reemplazando c = 25 y c = -0,001, se calcula b:

25,0b

El modelo funcional resultante es:

N = 25 + 0,25x – 0,001x2, donde:

6.2. De acuerdo al modelo resultante, ¿cuántas hojas desarrolla una planta a la cual se le agregan 85 gramos de nutriente?

Reemplazando en la función:

N(85) = 25 + 0,25 85 – 0,001 285 = 39,025

N(85) = 39

De acuerdo al modelo resultante, una planta con 85 gramos de nutriente desarrolla 39 hojas.

6.3. Según el modelo resultante, ¿cuál es la cantidad de nutriente necesario de agregar para que las plantas desarrollen 36 hojas?

En este caso se conoce N, se desconoce x:

25 + 0,25x – 0,001x2 = 36

Ordenando la ecuación de segundo grado:

x2 - 250x +11.000 = 0

2

000.114250250x

2

2136250

x

1x 193 gr.

2x 57 gr.

Matemáticamente, la planta dará 36 hojas con el agregado de 57 gramos y con 193 gramos de nutriente.

Sin embargo, la solución económica es 57 gramos.


7. LangostinosEn el período de los años sesenta y setenta, el interés comercial por los langostinos creció considerablemente en el mundo, generando numerosos estudios. Entre ellos está el de la relación entre el peso y la longitud. Según el estudio, la relación entre ambas variables queda definida mediante la ecuación:

P = 4,25 10-6 2,3L , donde:

P = Peso del langostino, medido en gramos.

L = Longitud total del langostino, medido en mm.

7.1. Según el modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 90 mm. de longitud?

7.2. Según el modelo, ¿cuál es la longitud de un ejemplar de 11,9 gramos de peso?

Solución:

7.1. Según el modelo, ¿cuánto pesa un ejemplar de 90 mm. de longitud?

Se desconoce el peso P, conociendo la longitud L.

Valorando la función para L = 90:

P(90) = 4,25 10-6 2,390

Calculando con la calculadora:

P = 7,62 gramos.

Según el modelo, un ejemplar de 90 mm. de longitud pesa 7,62 gramos.

7.2. Según el modelo, ¿cuál es la longitud de un ejemplar de 11,9 gramos de peso?

Se desconoce la longitud L, conociendo el peso P:

P = 4,25 10-6 2,3L

4,25 10-6 2,3L = 11,9

62,3

1025,4

9,11L

62,3 108,2L / 2,3

2,3 6108,2L

Calculando con la calculadora:

5,103L mm.

Según el modelo, la longitud un ejemplar de 11,9 gramos de peso es 103,5 mm.


8. Consumo de electricidadSe estima que en cierto barrio residencial, el consumo mensual en electricidad por hogar varía con el ingreso per cápita de este, de acuerdo a la función:

Xln810Y , siendo:

Y = Consumo mensual de electricidad, en $miles.

X= Ingreso per cápita mensual por hogar, en $miles.

8.1. Según el modelo propuesto, ¿cuál es el consumo mensual de electricidad de un hogar que tiene un ingreso per cápita de $120 mil al mes?

8.2. Según el modelo ¿Cuál será el ingreso per cápita mensual de un hogar que consume $22 mil mensuales en electricidad?

Solución:

8.1. Según el modelo propuesto, ¿cuál es el consumo mensual de electricidad de un hogar que tiene un ingreso per cápita de $120 mil al mes?

Se conoce X = 120 y se debe calcular Y:

120ln810)120(Y = 28,29993394

El consumo mensual de electricidad de un hogar que tiene un ingreso per cápita de $120 mil al mes es, aproximadamente, $28.300.

8.2. Según el modelo ¿Cuál será el ingreso per cápita mensual de un hogar que consume $22 mil mensuales en electricidad?

Se conoce Y = 22 y se debe calcular X:

Reemplazando en la función queda la ecuación:

22Xln810 /+10

1022Xln8 /:8

8

32Xln

4Xln / xe

4eX

59815003,54X

El ingreso per cápita mensual de un hogar que consume $22 mil mensuales en electricidad es, aproximadamente $54.598.


9. Precio de la construcción en la Unión Europea

El precio del 2m construido, en las principales ciudades de la Unión Europea, varía según

la función t025,0e2P , siendo P el precio en miles de euros por 2m y t el tiempo, expresado en años, a partir de 1990.

Según el modelo:

9.1. ¿Cuál es el precio del 2m construido en el año 2006?

9.2. ¿En qué año el precio del 2m construido llegará a 4.500 €?

9.3. ¿En qué % habrá variado el precio del 2m construido entre el año 1990 y 2000?

Solución:

9.1. ¿Cuál es el precio del 2m construido en el año 2006?

Se da el tiempo t, y se debe calcular P:

El tiempo t = 2006 – 1990 = 16

Entonces:t025,0e2P

16025,0e2)16(P

4,0e2)16(P

Calculando en la calculadora:

983649395,2)16(P

Es el precio del 2m construido en el año 2006 es 2.984 €.

9.2. ¿En qué año el precio del 2m construido llegará a 4.500 €?

Se conoce P, y hay que calcular t:

Expresando el precio en miles:

5,4e2 t025,0 /:2

2

5,4e t025,0

25,2e t025,0 /ln

25,2lnt025,0

025,0

25,2lnt

t 32,4372 años a partir de 1990.


Año = 1990 + 32,4 = 2022,4

El precio del 2m construido llegará a 4.500 € en el año 2022-2023.

9.3. ¿En qué % habrá variado el precio del 2m construido entre el año 1990 y 2000?

Precio en el año 1990:0e2)0(P = 2 M€

Precio en el año 2000:25,0e2)10(P = 2,568 M€

Diferencia: 2,568 – 2 = 0,568 M€

Llevando a %:

1002

568,028,4%.

Entre el año 1990 y 2000, el precio del 2m construido habrá subido en un 28,4%.


10. Contaminación ambientalSegún cierta información científica confiable, a partir del año 1950, la concentración de CO2 ambiental, en cierta ciudad de Europa Oriental varía según la función:

t02,1·175C ; donde: C = concentración de CO2, en ppm (partes por millón) y t = años

transcurridos desde 1950.

10.1. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál es la concentración de CO2 ambiental en el año 1950?

10.2. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál será la concentración de CO2 ambiental en el año 2012?

10.3. Según el modelo, aproximadamente ¿a los cuántos años desde 1950 la concentración de CO2 ambiental es de 245 ppm?

10.4. Según el modelo, aproximadamente ¿en qué año la concentración de CO2 ambiental fue o será de 490 ppm?

10.5. ¿En qué % creció la concentración de CO2 ambiental entre el año 1950 y 1980?

Solución:

10.1. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál es la concentración de CO2 ambiental en el año 1950?

Se calcula C cuando t = 0.

002,1·175)0(C

175)0(C ppm.

La concentración de CO2 ambiental en el año 1950 es, aproximadamente 175 ppm.

10.2. Según el modelo, aproximadamente ¿cuál será la concentración de CO2 ambiental en el año 2012?

Se calcula C cuando t = 2012 – 1950 = 62.

6202,1·175)62(C

)62(C 597,4 ppm.

Según el modelo utilizado, la concentración de CO2 ambiental en el año 2012 será, aproximadamente, 597,4 ppm.

10.3. Según el modelo, aproximadamente ¿a los cuántos años desde 1950 la concentración de CO2 ambiental es de 245 ppm?

Se conoce C y se debe calcular t:

t02,1·175 245 /:175

t02,1175

245= 1,4 /log


4,1log02,1logt

02,1log

4,1logt

1799,16t años.

La concentración de CO2 ambiental será de 245 ppm a los 17 años después de 1950.

10.4. Según el modelo, aproximadamente ¿en qué año la concentración de CO2 ambiental fue o será de 490 ppm?

Se conoce C y se debe calcular t:

t02,1·175 490 /:175

t02,1175

490= 2,8 /log

8,2log02,1logt

02,1log

8,2logt

5299,51t años.

La concentración de CO2 ambiental será de 490 ppm en el año 2002.

10.5. ¿En qué % creció la concentración de CO2 ambiental entre el año 1950 y 1980?

CO2 ambiental en 1950 = 002,1·175)0(C = 175 ppm

CO2 ambiental en 1980 = 3002,1·175)0(C = 317 ppm

Diferencia = 317 – 175 = 142 ppm.

Llevando a %:

100175

14281,1%

Entre el año 1950 y 1980 la concentración de CO2 ambiental creció un 81,1%.


11. PastizalesDebido a la importancia económica que tienen los pastizales para el desarrollo de la ganadería, se ha realizado una investigación de una variedad de pasto, cuya altura está dada por la función:

tlog253h ; con t > 0; donde:

h : es la altura del pasto, en cm.

t : es la edad del pasto, en semanas.

11.1. Según el modelo, aproximadamente ¿en cuántas semanas el pastizal llega a tener 30 cm. de altura?

11.2. Según el modelo, aproximadamente ¿qué altura tendrá el pasto en la semana 15?


Solución:


Se conoce h =30 y se debe calcular t:

tlog253h

30tlog253 /-3

27tlog25 /: 25

25

27tlog /: 25

08,1tlog / x10

08,110t

12t semanas.

Según el modelo, el pastizal llega a tener 30 cm. de altura aproximadamente a las 12 semanas.

11.2. Según el modelo, aproximadamente ¿qué altura tendrá el pasto en la semana 15?

Se conoce t = 15 y se calcula h:

tlog253h

15log253)15(h

)15(h 32,4 cm.

A la semana 15, el asto tendrá 32,4 cm de altura.



Se conoce h =42 y se debe calcular t:

tlog253h

42tlog253 /-3

39tlog25 /: 25

25

39tlog /: 25

56,1tlog / x10

56,110t

36t semanas.

Según el modelo, el pastizal llega a tener 42 cm. de altura aproximadamente a las 36 semanas, aproximadamente.

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