FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 4.1 CONCEPTOS … · 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos...

Funciones. Características - Matemáticas B – 4º E.S.O.

FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

4.1 CONCEPTOS BÁSICOS 3º 4.1.1 DEFINICIONES 3º Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama

“x” e “ y” . • “x” es la var iable independiente. • “y” es la var iable dependiente (depende de la “x” ).

3º La función, que se suele denominar y = f(x), asocia a cada valor de x un único

valor de y : x ⇒ y = f(x) Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación gráfica: sobre unos ejes cartesianos, con sendas escalas, representamos las dos variables: • La x sobre el eje horizontal o eje de abscisas. • La y sobre el eje vertical o eje de ordenadas. Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.

3º Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f o

D(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función. 3º Se llama recor r ido de f y se designa Rec(f) o R(f), al conjunto de valores que

toma la función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuando hay un x tal que f(x) = y

4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES 4º 4.2.1 MEDIANTE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA 4º Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es

mediante su representación gráfica. Por eso, siempre que pretendamos analizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada.

4º 4.2.2 MEDIANTE UN ENUNCIADO 4º Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que

nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa. Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar perfectamente determinada.

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4º 4.2.3 MEDIANTE UNA TABLA DE VALORES 4º Con frecuencia se nos dan los datos de una función mediante una tabla de

valores en la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros casos, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.

4º 4.2.4 MEDIANTE SU EXPRESIÓN ANALÍTICA O FÓRMULA 4º La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función.

Pero requiere un minucioso estudio posterior.

4.3 DOMINIO DE DEFINICIÓN Y EXPRESIÓN ANALÍTICA 4º 4.3.1 DEFINICIÓN 4º Se llama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se

designa por D(f) = Dom (f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x).

4º 4.3.2 RESTRICCIONES DEL DOMINIO 4º El dominio de una función puede quedar restringido por una de las siguientes

causas: • Imposibilidad de realizar alguna operación.

- Valores que anulen el denominador. - Raíces de índice par de números negativos.

• Contexto real del cual se ha extraído la función. • Voluntad de quien propone la función.

4º 4.3.3 CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 4º • Polinomios: D = R

• Cocientes : f(x) = )x(d

)x(n: D = R – { x / d(x) = 0}

• Raíces de índice impar: D = R

• Raíces de índice par: f(x) = n )x(r : D = { x/ r(x) ≥ 0}

4.4 RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN 4º 4.4.1 DEFINICIÓN 4º Se llama recorr ido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de

valores de y para los cuales existe x, es decir, conjunto de valores que toma la variable dependiente “y” .

4º 4.4.2 CÁLCULO DEL RECORRIDO 4º Para calcular el recorrido de una función, se dibuja y luego se estudia sobre el

eje de ordenadas.


4.5 PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS 4º 4.5.1 PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX 4º Como el eje de abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma

(xo,0) 4º 4.5.2 PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY 4º Como el eje de ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma

(0,yo).

4.6 SIMETRÍA 4º 4.6.1 DEFINICIÓN 4º Una función es par ó simétr ica respecto del eje OY si f(x) = f(-x)

Una función es impar ó simétr ica respecto del or igen O si f(x) = - f(-x). Una función que no es par ni impar se dice que es no simétr ica.

4.7 DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD 3º 4.7.1 IDEA INTUITIVA 3º La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo

trazo. 3º Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad. 4º 4.7.2 DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD 4º Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidades de ningún

tipo. Una función puede ser continua en un intervalo si solo presenta discontinuidades fuera de él.

4º Las funciones con expresiones analíticas elementales son continuas en sus dominios.

4º 4.7.3 TIPOS DE DISCONTINUIDADES Varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:

• Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen o decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto.

• Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en ese punto.

• No está definida (le falta un punto) ó el punto que parece que le falta lo tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en ese punto.


4.8 TENDENCIA Y PERIODICIDAD 3º 4.8.1 TENDENCIA 3º Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos

predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas reciben el nombre de asíntotas. Existen tres tipo de asíntotas: • Asíntotas verticales: x = a • Asíntotas horizontales: y = b • Asíntotas oblicuas: y = mx + n

3º 4.8.2 PERIODICIDAD 3º Función per iódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la

variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama per iodo.

4.9 MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS 3º 4.9.1 MONOTONÍA 4º Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y.

Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y. 4º 4.9.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4º Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor más

alto de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.

3º Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto

la función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio. Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.

4º 4.9.3 TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M) 4º Para medir la variación (aumento o disminución) de una función en un intervalo

se utiliza la tasa de var iación media. 4º Se llama tasa de var iación media de una función f en el intervalo [a,b] al

cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo.

T.V.M de f en [a,b] = ab

)a(f)b(f

−−


4º

La T.V.M. de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB.

4.10 CURVATURA, PUNTOS DE INFLEXIÓN 3º 4.10.1 CURVATURA 4º Una función es cóncava cuando presenta la siguiente forma: ∩

Una función es convexa cuando presenta la siguiente forma: ∪ 4º 4.10.2 PUNTOS DE INFLEXIÓN 4º Puntos (del dominio) donde la función cambia de curvatura, es decir, pasa de

cóncava a convexa o de convexa a cóncava.

Funciones elementales - Matemáticas B – 4º E.S.O.

TEMA 5 – FUNCIONES ELEMENTALES

5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES

5.1.1 - FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables. La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad.

5.1.2 - FUNCIÓN CONSTANTE: y = n

Se representan mediante una recta paralela al eje X. Su pendiente es 0. La recta y = 0 coincide con el eje X.

5.1.3 - FUNCIÓN GENERAL: y = mx + n

3º 3º 3º

Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0,n). Al número n se le llama “ordenada en el origen” .

4º 5.1.4 - ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE: y – y0 = m.(x – x0) Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta: P(x1,y1), Q(x2,y2) la pendiente

se calcula : m = 12

12

xx

yy

−−

Si de una recta conocemos un punto P(x1,y1) y su pendiente m, la ecuación de la recta es: y – y1 = m.(x – x1)

4º 5.1.5 - FUNCIONES LINEALES “ A TROZOS” 4º

Es frecuente encontrarnos con funciones cuyas gráficas están formadas por trozos de rectas. Para describir analíticamente una gráfica formada por trozos de rectas, se dan las ecuaciones de los diversos tramos, enumerando por orden de izquierda a derecha, indicando en cada uno de los tramos los valores de x para los que la función está definida.

Por ejemplo, si tiene tres trozos: f( x) =

≥<<

≤

b x si )x(f

b x a si )x(f

a x si )x(f

3

2

1

ISA E ILLO

Underline


5.2 PARÁBOLAS Y FUNCIONES CUADRÁTICAS 4º 5.2.1 - FUNCIONES CUADRÁTICAS 4º Las funciones y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0 llamadas

cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo R.

4º

Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más ancha, más estrecha,...) depende del coeficiente de la x2 “a” , del siguiente modo: • Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente

de x2, las parábolas correspondientes son idénticas, aunque pueden estar situadas en posiciones distintas.

• Si a >0 tiene las ramas hacia arriba, es decir, es convexa. Si a < 0, tiene las ramas hacia abajo, es decir, es cóncava.

• Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola. 4º 5.2.2 - REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 4º Las funciones cuadráticas se representan mediante parábolas y la forma de éstas

depende, exclusivamente, del coeficiente de x2. Veamos algunos pasos que conviene dar para la representación de: y = ax2 + bx + c 1. Obtención de la abscisa del vér tice: Vx = -b/2a 2. Obtención de algunos puntos próximos al vér tice: Construcción de una tabla de

valores con el vértice y un par de valores más pequeños y un par de valores más grandes.

3. Puntos de cor te con los ejes: Con el eje X : y = 0 ⇒ Resolver la ecuación ⇒ Calcular x ⇒ (x0,0) Con el eje Y : x = 0 ⇒ Sustituir la x por cero y hallar y ⇒ (0,y0)

4. Representación: Escogemos sobre los ejes unas escalas adecuadas que nos permitan plasmar la información obtenida.

4º 5.2.3 - RECTAS Y PARÁBOLAS ESTUDIO ANALÍTICO 4º

Resolver el sistema:

++=+=

cbxaxy

nmxy2

• Si obtenemos dos soluciones: Se cortan en dos puntos ⇒ SECANTES • Si obtenemos una solución: Se cortan en un punto ⇒ TANGENTES • Si no obtenemos solución : No se cortan ⇒ EXTERIORES

4º ESTUDIO GRÁFICO 4º Se representan las dos funciones en la misma gráfica. Y se clasifican como en el

estudio analítico.

Nota: En algunas funciones a trozos también aparecerán las rectas y las parábolas conjuntamente.


5.3 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA 4º 5.3.1 - DEFINICIÓN 4º Las funciones y = k/x se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se

representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados. 4º 5.3.2 - CÁLCULO DE LÍMITES 4º si grado f(x) grado g(x)

( ) alim si grado f(x) grado g(x) (siendo a y b los coeficientes de mayor grado)

( ) b0 si grado f(x) grado g(x)

x

f x

g x→∞

±∞ >= =

<

4º 5.3.3 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA 4º • Calcular el dominio

• Construir una tabla de valores teniendo en cuenta el dominio • Representan teniendo en cuenta las asíntotas.

5.4 FUNCIONES RADICALES 4º 5.4.1 - DEFINICIÓN 4º Las funciones y = )x(f se llaman funciones radicales. Su representación gráfica son

medias parábolas.

4º 5.4.2 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA 4º • Calcular el dominio

• Hacer una tabla de valores teniendo en cuenta el dominio, y dando valores a la “x” de los que sepamos hallar la raíz.

• Representación gráfica.


5.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 4º 5.5.1 - DEFINICIÓN 4º Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = ax, siendo la base

a un número real positivo distinto de 1. 4º Todas ellas son continuas, están definidas en todo R y pasan por los puntos (0,1) y (1,a)

Si a > 1, son crecientes y convexas Si a < 1, son decrecientes y concavas

4º 5.5.2 - CÁLCULO DE LÍMITES

<>∞+

=+∞→ 1 a si 0

1 a si alim x

x

<∞+>

=−∞→ 1 a si

1 a si 0alim x

x

4º 5.5.3 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA 4º • Tabla de valores : Con valores de x :-∞, -2, -1, 0, 1, 2, +∞

• Representación gráfica, teniendo en cuenta las asíntotas.

5.6 FUNCIONES LOGARÍTMICAS 4º 5.6.1 - LOGARITMOS 4º Se llama logar itmo en base a de b, y se escribe log a b, al exponente al que hay que

elevan la base a para obtener b. Log a b = c ⇔ ac = b a > 0, a ≠ 0, b >0

4º 5.6.2 - CÁLCULO DE LOGARITMOS 4º Los logaritmos en base 10 se llaman logar itmos decimales y se escriben log x

Los logaritmos en base e se llaman logar itmos neper ianos y se escriben ln x Estos son los únicos logaritmos que sabe resolver la calculadora. Para hallar logaritmos en cualquier otra base, debemos utilizar: • La definición de logaritmo: log a b = x ⇒ ax = b (Si b es una potencia de a)

• Si b no es potencia de a, la siguiente regla : log a b = aln

bln

alog

blog

alog

blog

c

c ==


4º 5.6.3 - PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 4º • Loga 1 = 0

• Loga a = 1 • Log a b

c = c. log a b • Log a (b.c) = log a b + log a c • Log a (b:c) = log a b - log a c

4º 5.6.4 - FUNCIONES LOGARITMICAS 4º Las funciones logarítmicas son inversas de las exponenciales. Es decir son simétricas

respecto de la bisectriz del primer cuadrante. 4º Descr ipción de las funciones logar ítmicas

• La función logarítmica y = log a x es la inversa o recíproca de la exponencial y = ax • Su dominio es (0, + ∞) y su recorrido todo R. Tiene una asíntota en x = 0 • Es continua y pasa por los puntos (1,0) y (a,1) • Si a > 1 es creciente y cóncava. Y si a < 1 es decreciente y convexa

4º 5.6.5 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA 4º Representar gráficamente y = log a x

Modo 1 : • Se calcula su función inversa: y = ax • Se realiza una tabla de valores para la función y = ax • Se crea una tabla de valores para y = log a x , intercambiando los valores de x e y de

la tabla anterior. Modo 2 : Se calcula una tabla de valores con potencias de la base: a-∞, a-2, a-1, a0, a1, a2, a+∞

Modo 3 : Tabla de valores en su dominio y usar la calculadora. Se representa sobre unos ejes coordenados con las escalas convenientes.


5.7 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 4º 5.7.1 - ECUACIONES EXPONENCIALES 4º Si no hay sumas:

• Si se pueden poner como potencias de la misma base se igualan los exponentes. • Si no se pueden poner como potencias de la misma base, se aplica la definición de

logaritmo y se utiliza el cambio de base para calcularlo con ayuda de la calculadora. 4º Si hay sumas :

• Se quitan las sumas o restas de los exponentes teniendo en cuenta las propiedades de las potencias: ab+c = ab.ac ; ab-c = ab : ac

• Se realiza el cambio de variable ax = z • Se plantea la ecuación teniendo en cuenta (a2)x = a2x = z2 • Se resuelve la ecuación en z ⇒ z = z0 • ax = z0 ⇒ Se calcula x como en el caso anterior

4º 5.7.2 - ECUACIONES LOGARÍTMICAS 4º Aplicando las propiedades de los logaritmos llegaremos a uno de estos dos casos:

• Si log (f(x)) = nº ⇒ Aplicar la definición de logaritmo para obtener una expresión exponencial.

• Si log (f(x)) = log (g(x)) ⇒ f(x) = g(x) ⇒ Resolver Nota: Hay que comprobar las soluciones, teniendo en cuenta que las expresiones que hay dentro de los logaritmos deben ser positivas.

Funciones elementales I - Matemáticas B – 4º E.S.O.

– FUNCIONES ELEMENTALES I DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Ejercicio 1: Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta: a) b) c) d)

DOMINIO Ejercicio 2: Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) y = 6x

12

b) y = x21 c) y = 4x

x2

d) y = x2

e) y = 4x

12

f) y = 2x

1

g) y = x2x

12

h) y = x36

i) y = 2)5x(3

j) y = 3 4x2 k) y = x1x l) y = 1x 2

m) y = 3x2x

n) y = log2 (x2 – 4) ñ) y = tag x

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DADAS GRÁFICAMENTE Ejercicio 3 : Observando la gráfica de estas funciones, estudia sus propiedades a) b) c) d)

Ejercicio 4 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo.

a ¿Cuál es el dominio? b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento. c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función y

explica su significado dentro del contexto del problema.

Funciones elementales I - Matemáticas B – 4º E.S.O. Ejercicio 5 : La siguiente gráfica muestra el recorrido que hizo Cristina durante un día de excursión desde

que salío del albergue hasta que regresó.

a Indica cuál es el dominio. b ¿Qué distancia máxima se aleja del albergue? c ¿Cuánto tiempo dedica a descansar? d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la

gráfica y explica su significado dentro del contexto del problema.

Ejercicio 6 : La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena hotelera a lo largo de un año:

a ¿Cuál es el dominio? b ¿En qué mes se produce mayor número de reservas? ¿Cuántas hay? c ¿En qué periodo del año las reservas están por encima de las 15.000? d ¿En qué mes el número de reservas es de 5.000? e Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la función.

Construcción de una gráfica a través de sus propiedades Ejercicio 7 : La gráfica de una función tiene las siguientes características: a Dominio de definición: 0, ). b Crece en 0, 3 y 5, ; decrece en 3, 5. c El único punto de corte con los ejes es el 0, 0. d Tiene un máximo relativo en 3, 5 y un mínimo relativo en 5, 1. e No hay ninguna discontinuidad. Representa dicha función. Construcción de gráficas de funciones partiendo de un enunciado Ejercicio 8 : Marta sale de su lugar de trabajo a las 8 de la tarde en bicicleta y se dirige a un supermercado situado a 600 m de su trabajo, tardando en llegar 10 minutos. Después de permanecer allí un cuarto de hora, se va a un restaurante que hay a 1 km del supermercado, tardando 20 minutos en el recorrido. Tras estar 2 horas cenando con unos amigos, se va a su casa situada a 2 400 m del restaurante. Llega a su casa a las 11 y media de la noche. Representa la gráfica tiempodistancia. Ejercicio 9 : Pablo y Victor deciden hacer una marcha de 24 km en un día. Salen a las 7 de la mañana del campamento base y durante 3 h y cuarto andan un trayecto de 12 km a un ritmo constante; deciden descansar durante media hora para reponer fuerzas. Hasta la una de la tarde continúan andando recorriendo, hasta ese momento, tres cuartas partes del trayecto total. Dos horas más tarde inician el último tramo del recorrido que realizan en hora y media, momento en el que descansan 15 minutos. Regresan al campamento base haciendo una parada de un cuarto de hora a 10 km del final; llegan al campamento a las 8 y media de la tarde. Representa la gráfica tiempodistancia. Ejercicio 10 : Un coche tiene que realizar un trayecto de 900 km. Sale del lugar de origen con el depósito lleno, 44 l. Cuando lleva recorridas dos terceras partes, observa que le queda por consumir la cuarta parte del depósito y decide repostar, echando 19 l. Nuevamente, a 100 km del final, con la mitad del depósito sin consumir, vuelve a repostar para tener el depósito lleno. Continúa su trayecto hasta el final, quedándole 3/4 partes de gasolina sin consumir. Representa la gráfica distanciagasolina consumida.

FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO.

FUNCIONES ELEMENTALES RECTAS: Ejercicio 1 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades.

a) y = - 3x21

b) 2x + y – 1 = 0 c) y = 2x23

d) y = -0,5x + 3,5 e) y = 1x53

f) y=

43x2

Ejercicio 2 : Halla la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y cuya pendiente es - 31

Ejercicio 3 : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, –4) y (–2, 3). Ejercicio 4 : Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I 2x y 0 II x 2y 1 0 III y 2 Ejercicio 5 : Escribe la ecuación de la recta cuya gráfica es la siguiente: a) b) c)

Ejercicio 6 : Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos 2, 1 y 1, 3, y represéntala. Ejercicio 7 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 1, 3 y tiene pendiente 1. Ejercicio 8 : Escribe la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación x + 2y = 3 y pasa por el punto P(2,-3) PARÁBOLAS: Ejercicio 9 : Halla el vértice de las siguientes parábolas: a) y = 2x2 – 10x + 8 b) y = 2x2 – 8x + 2 Ejercicio 10 : Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola y = -x2 + 4x Ejercicio 11 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades a) y = x2 – 3x b) y = -x2 + 4 c) y = -x2 + 4x – 1

d) f(x) = 1x22

x 2

e) y = (x + 1)2 – 3 f) f(x) = -2x2 + 4x

ESTUDIO CONJUNTO DE RECTAS Y PARÁBOLAS Ejercicio 12 : Asocia a cada gráfica su ecuación:

a) y = -3x + 5 b) y = (x+2)2 c) y = - x35 d) y = -4x2

I) II) III) IV)

FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. Ejercicio 13 : Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:

a) y = x32 b) y = 2x2 – 3 c) y = 3,5x – 0,75 d) y = -x2 + 4

I) II) III) IV)

Ejercicio 14 : Resolver analítica y gráficamente a)

9yx85yx4x 2

b)

1x2x

6y3x22

FUNCIONES A TROZOS

Ejercicio 15 : Halla f 1, f 0 y f 2, siendo: f(x)=

2 x si x

2 x 1- si 1x-1 x si 1x3

2

2

Ejercicio 16 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades

a) y =

1 x si 2x

1 x si 1x22 b) y =

1 x si 21 x -

1 x si 2x

c) y =

1- x si 42x1- x si x2 2

d) y =

2 x si 32 x si 1x 2

e) y =

1- x si x-

1- x si 2

1x

2

PROBLEMAS CON FUNCIONES

Ejercicio 17 : Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene. Ejercicio 18 : En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 10 C 50 F y que 60 C 140 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F. Ejercicio 19 : Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:

a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados? b) Construye la función que nos da el área del recinto. Ejercicio 20 : El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando. Ejercicio 21 : El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base.

FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. FUNCIONES RADICALES Y DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Ejercicio 22 : Representa y estudia las propiedades de las siguientes funciones: a) y = 1x b) y = - 2x c) y = x2 Ejercicio 23 : Representa y estudia las propiedades de las siguientes funciones:

a) y = 1x

1

b) 24x

3y

c) y = 3x3x2

Ejercicio 24 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:

a) y = 4x

1

b) y = 2x c) y = 4x1 d) y = x2

I) II) III) IV)

Ejercicio 25 : Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:

a) y = 4x

1

b) y = x2 c) y = 2x1 d) y = - 1x

I) II) III) IV)

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Ejercicio 26 : Representa gráficamente la siguiente función y estudia sus propiedades

a) y = 3x+1 b) y = 2x

41

c) y = 1 – log2 x d) xlogy

41 e) y = 21–x

Ejercicio 27 : Observa la siguiente gráfica: a) b) c) d)

a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente. b) Estudia sus propiedades

FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ejercicio 28 : Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: a) 2x = 32 b) 3x = 1/9 c) 3x = -1/3 d) (1/3)x = 9 e) log2 16 = x f) log x 4 = 2 g) log3 1/9 = x h) log3 x = -2 i) log2 3 = x j) logx 3 = 2 k) 2x = 5 l) 3x = -2 Ejercicio 29 : Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: a) log(x2 + 1) – log(3x-8) = 1 b) log(20x) + log(2x) = 3 c) log(x + 2) + log(10x +20) = 3 d) log x = log 2 + 2log(x-3) e) log(3x + 1) – log(2x – 3) = 1 – log 5 f) 4x – 4.2x + 4 = 0 g) 3x + 31-x = 4 h) 52x –30.5x + 125 = 0 i) 52x-1 = 25 41x 2 j) 52x-1 = 25

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