Funciones como ModeloMatematico

LA GRFICA DE UNA FUNCIN

Sparejas (caso, esta grfica es una curva parablica, motivo por el que sole-mos decir que el baln

Una pequena introduccion a lamodelacion matematica

Lic. Mat. Carlos Felipe Piedra Caceda

Notas de clase

Lima

Julio del 2013

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FUNCIONES COMO MODELO MATEMATICO

El aplicar la matematica a los problemas de la vida real comprende el si-guiente proceso de modelizacion:

1. Presentacion de una situacion simplificada del mundo real.

2. Traduccion de la situacion en terminologa matematica y obtencion delmodelo.

3. Trabajar sobre el modelo y resolucion del problema.

4. Presentacion de la solucion (en terminos no matematicos).

La mejor manera de desarrollar una habilidad para tratar con problemasverbales es practicar intensamente. Como los tipos de aplicaciones son muchosy muy variados, es difcil dar reglas especficas para hallar las soluciones. Lossiguientes consejos son utiles en muchos casos.

1. Lea el problema cuidadosamente varias veces y fjese en los datos y enlas incognitas que deben encontrarse.

2. Si es posible, haga un dibujo o un diagrama que incluya los datos per-tinentes. Introduzca variables para denotar las incognitas. Palabras co-mo: que, encuentre, cuanto, donde y cuando debenguiarle para reconocer las incognitas.

3. Tratar de descomponer el problema en otros mas pequenos.

4. Escriba una lista de hechos conocidos y relaciones entre las variables.Una relacion entre variables generalmente se escribe como una ecuacion.

5. Puede ser util encontrar el valor de la funcion para uno o mas valoresen la variable de manera que pueda generalizarse el procedimiento.

6. Si la eleccion de variables desemboca en una funcion indebidamentecomplicada, considerese otra alternativa.

1

Esquema general del proceso de modelizacion:

Figura 1: Proceso de modelizacion

La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en unproblema es una habilidad matematica que importa desarrollar. Por estarazon mostraremos algunos ejemplos tomados en diferentes campos.

2

PROBLEMAS

Instrucciones: Lea, comprenda, analice, aplique y resuelva. En el desarro-llo, debe aparecer todos los pasos que lo llevan a su respuesta. Trabaje demanera clara y ordenada.

1. Un rectangulo tiene 20 cm de permetro. Escribe la funcion que da elarea de ese rectangulo en funcion de su base x. Cual es el dominio deesa funcion?

2. Un triangulo isosceles tiene 20 cm de permetro. Llama x al lado de-sigual e y a los lados iguales. Escribe y en funcion de x. Que tipo defuncion obtienes?

3. Escribe en funcion de x el area de la parte coloreada en cada una deestas figuras:

N

6

a) x

6

x

6

b)

6

x

x

6

6

c)

Figura 2:

4. De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triangulosrectangulos isosceles cuyos lados iguales miden x.

4

x

x

Figura 3:

a) Escribe el area del octogono que resulta en funcion de x.

b) Cual es el dominio de esa funcion?

3

5. Con 100 metros de valla queremos acotar un recinto rectangularaprovechando una pared.

x

60 m

Figura 4:

a) Llama x a uno de los lados de la valla. Cuanto valen los otrosdos lados?

b) Construye la funcion que nos da el area. Cuando se hace maximay cuanto vale ese maximo?

c) Cual es su dominio de definicion?

6. Con un liston de madera de 3 metros de largo, queremos fabricar unmarco para un cuadro.

a) Si la base midiera 0, 5m, cuanto mediran la altura y la superficiedel cuadro?

b) Cual es el valor de la superficie para una base cualquiera x ?

c) Para que valor de la base se obtiene la superficie maxima?

d) Cuanto vale dicha superficie?

7. Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x ,x/2 y 2x cm.

a) Escribe la funcion que da el volumen del envase en funcion de x.

b) Halla su dominio sabiendo que el envase mas grande tiene 1 l devolumen.

8. Se sabe que la concentracion en sangre de un cierto tipo de anestesiaviene dada por la grafica siguiente:

a) Cual es la dosis inicial?

b) Que concentracion hay, aproximadamente, al cabo de los 10 min-utos? Y al cabo de 1 hora?

4

Figura 5:

c) Cual es la variable independiente? Y la variable dependiente?

d) A medida que pasa el tiempo, la concentracion de la anestesia enla sangre, aumenta o disminuye?

9. Para medir la capacidad respiratoria de los pulmones, se hace una prue-ba que consiste en inspirar al maximo y despues espirar tan rapido co-mo se pueda en un aparato llamado espirometro. Esta curva indicael volumen de aire que entra y sale de los pulmones.

4 8 12 162 6 10 14 18 TIEMPO (s)

VOLUMEN (l)

1

2

3

4

Figura 6:

a) Cual es el volumen en el momento inicial?

5

b) Cuanto tiempo duro la observacion?

c) Cual es la capacidad maxima de los pulmones de esta persona?

d) Cual es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?

10. Se suelta un globo que se eleva y, al alcanzar cierta altura, estalla. Lasiguiente grafica representa la altura, con el paso del tiempo, a la quese encuentra el globo hasta que estalla.

2 4 6 8 10 12 TIEMPO (min)

ALTURA (m)

ESTALLA

100

200

300

400

500

Figura 7:

a) A que altura estalla? Cuanto tarda en estallar desde que losoltamos?

b) Cual es el dominio de definicion de esta funcion?

c) Que altura gana el globo entre el minuto 0 y el 4?

11. La siguiente grafica representa una excursion en autobus de un grupode estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia al instituto(en kilometros)

a) A cuantos kilometros estaba el lugar que visitaron?

b) Cuanto tiempo duro la visita al lugar?

c) Hubo alguna parada a la ida? Y a la vuelta?

d) Cuanto duro la excursion completa (incluyendo el viaje de ida yel de vuelta)?

6

Figura 8:

12. En la factura del gas de una ciudad se paga una cantidad fija de 15euros, y 0,75 euros por cada metro cubico consumido.

a) Cuanto se paga por 3 m3? Y por 15 m3?

b) Representa la funcion metros cubicos consumidos-coste.

13. La dosis de un medicamento es 0,25 gramos por cada kilo de peso delpaciente, hasta un maximo de 15 gramos.

a) Cuantos gramos tiene que tomar un nino que pesa 10 kg?Y otro de 30 kg? Y una persona de 70 kg?

b) A partir de que peso se toma la dosis maxima (15 g)?

c) Representa la funcion peso del paciente-dosis indicada.

14. Las tarifas de una empresa de transportes son: 40 euros por tonelada de carga si esta es menor o igual a 20 t. Si la carga es mayor que 20 t, se restara, de los 40 euros, tantos euroscomo toneladas sobrepasen las 20 t.

a) Dibuja la funcion ingresos de la empresa segun la carga que trans-porte (carga maxima: 30 t).

b) Obten la expresion analtica y representala.

15. El precio del metro cuadrado de un material plastico para suelos de-pende de la cantidad que compremos, x, y viene dado por la funcion

7

f(x) definida as:

f(x) =

10 0,05x si 0 x 50

7,5 0,02(x 50) si 50 < x < 100

6,5 0,002(x 100) si 100 x 500

a) Representa graficamente esta funcion.

b) Cual sera el precio si compro 300 m2?

16. Una de las siguientes ecuaciones, que se corresponde con la grafica,expresa la relacion entre la altura, h, alcanzada por un balon que selanza hacia arriba, y el tiempo, t. Cual de ellas es?

20

40

60

80

1 2 3 4 5

t

h

Figura 9:

a) h(t) = t2 + 80

b) h(t) = 8t t2

c) h(t) = 40t 5t2

d) h(t) = 4t2 + 80t

17. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de unedificio. La altura que alcanza viene dada por h(t) = 80 + 64t 16t2

(t en segundos y h en metros).

a) Dibuja la grafica en el intervalo [0; 5].

b) Halla la altura del edificio.

c) En que instante alcanza su maxima altura?

8

18. La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, un proyectil quelanzamos verticalmente con una velocidad de 500 m/s, es:h(t) = 500t 5t2

a) Haz una representacion grafica.

b) Di cual es su dominio de definicion.

c) En que instante alcanza la altura maxima? Cual es esta?

d) En que intervalo de tiempo el proyectil esta a una altura superiora los 4 500 metros?

19. El precio de venta de un artculo viene dado por la expresionI(x) = 12 0,01x2

(x= numero de artculos fabricados; I(x) en cientos de euros).

a) Si se fabrican y se venden 500 artculos, cuales seran los ingresosobtenidos?

b) Representa la funcion No de artculos-Ingresos.

c) Cuantos artculos se deben fabricar para que los ingresos seanmaximos?

20. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricacion de x televi-sores son G(x) = 2000+25x, en miles de euros, y los ingresos mensualesson I(x) = 60x 0,01x2, tambien en miles de euros. Cuantos televi-sores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) seamaximo?

21. El coste de produccion de x unidades de un producto es igual a1

4x2+35x+25 euros y el precio de venta de una unidad es 50 x

4euros.

a) Escribe la funcion que nos da el beneficio total si se venden las xunidades producidas.

b) Halla el numero de unidades que deben venderse para que el be-neficio sea maximo.

22. Los gastos anuales de una empresa por la fabricacion de x ordenadoresson G(x) = 20000+250x en euros, y los ingresos que se obtienen por lasventas son I(x) = 600x 0,1x2 en euros. Cuantos ordenadores debenfabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea maximo?

9

23. La cantidad de nieve que es capaz de limpiar un quitanieves de lacarretera depende del espesor de esta. Se han recogido datos de una deestas maquinas en un momento determinado:

ESPESOR DE LA NIEVE (cm) 50 40 30 25 20 15 10 5

DISTANCIA QUE LIMPIA EN UNA HORA (Km) 6 7.5 10 12 15 20 30 60

a) Representa graficamente estos datos y une los puntos para poderanalizar mejor la grafica. Descrbela.

b) Supon que para espesores mayores de nieve la maquina se com-porta de manera analoga. Para un espesor de 60 cm, cuantoskilometros, aproximadamente, despejara en una hora?

24. La siguiente tabla recoge la medida del permetro del craneo de un ninodurante los primeros meses de vida:

TIEMPO (meses) 0 3 9 15 21 27 33

PERIMETRO (cm) 34 40 44 46 47 48 49

a) Haz una grafica relacionando estas dos variables. Elige una escalaadecuada.

b) Que tendencia se observa en el crecimiento del craneo de un nino?

c) Cuanto crees que medira el permetro craneal de un nino de 3anos?

25. Completa la tabla que relaciona la base y la altura de los rectanguloscuya area es 24 cm2.

BASE (x cm) 0.5 1 1.5 2 2.5 3

ALTURA (y cm)

a) Representa graficamente esta funcion.

b) Cual de estas tres expresiones corresponde a esta funcion?y = x

24; y = 24

x; y = 24x

26. Las ventanas de un edificio de oficinas han de tener 2 m2 de area.

10

a) Haz una tabla que muestre como vara la altura de las ventanassegun la longitud de la base.

b) Representa la funcion base-altura.

27. El coste por unidad de fabricacion de unas pegatinas disminuye segun elnumero de unidades fabricadas y viene dado por la funcion: y = 0,5x+10

x

a) Haz la grafica correspondiente. Se pueden unir los puntos que hasrepresentado?

b) Cual sera el coste cuando el numero de pegatinas se hace muygrande?

28. Las amebas, como sabes, son seres unicelulares que se reproducen par-tiendose en dos (biparticion). Esto se realiza mas o menos rapidamentesegun las condiciones del medio en que se encuentren (cultivo). Supon-gamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se du-plican aproximadamente cada hora y que, inicialmente, hay una ameba.

a) Calcula el numero aproximado de amebas que habra segun pasanlas horas y completa esta tabla en tu cuaderno:

TIEMPO (horas) 0 1 2 3 4 5 6

N DE AMEBAS 1 2 4

b) Representa graficamente estos datos en una hoja de papel cuadri-culado.

c) Cambia los ejes y representa la funcion cuyas variables sean, ahora:x: numero de amebasy: tiempo (en horas).

29. Las sustancias radiactivas se desintegran transformandose en otras sus-tancias y lo hacen con mayor o menor rapidez, segun de cual se trate.Supongamos que tenemos 1 kg de una sustancia radiactiva que se desin-tegra reduciendose a la mitad cada ano. El resto de la masa no desa-parece, sino que se transforma en otro componente qumico distinto.

a) Completa la tabla siguiente (utiliza la calculadora para obtenerlos valores con tres cifras decimales):

TIEMPO (anos) 0 1 2 3 4 5 6

SUST. RADIOACT. (Kg) 1 0.5 0.250 0.125

11

b) Representa graficamente los datos en papel cuadriculado.

c) Cambia los ejes y representa la funcion cuyas variables son, ahora,x: peso de la sustancia radiactiva (en kg)y: tiempo transcurrido (en anos).

30. Se sabe que la concentracion de un farmaco en sangre viene dado pory = 100(0,94)t (y en miligramos, t en horas).

a) Cual es la dosis inicial?

b) Que cantidad de ese farmaco tiene el paciente al cabo de 1 hora?Y de tres horas?

c) Representa la funcion.

d) Si queremos que la concentracion no baje de 60 mg, al cabo decuanto tiempo tendremos que inyectarle de nuevo?

31. Si sacamos del congelador hielo muy fro (a 10 C, por ejemplo), sutemperatura va aumentando hasta llegar a 0 C. Esta temperatura semantiene y, cuando ya no queda hielo, aumenta hasta igualarse con latemperatura ambiente. El hielo con sal se derrite a, digamos, 6 C(por eso se echa sal en las calles heladas), y permanece a esa tempe-ratura durante el tiempo que tarde en derretirse. Las siguientes graficasmuestran ambas situaciones:

2 3 4 5 6

10

5

0

5

10

1

TEMPERATURA C

HIELO

HIELO SALADO

TIEMPO (h)

Figura 10:

a) Cual es la temperatura del hielo normal y cual la del hielo saladoa las 3 h?

12

b) Cuando empiezan a derretirse?

c) Cuanto permanecen por debajo de 5 C?

d) Si estamos a 12 C y las calles estan heladas, tiene sentidoecharles sal? Por que?

32. Estas graficas describen de forma aproximada el comportamiento detres atletas, A, B, C, en una carrera de 400 m.

ESPACIO (m)A B C

TIEMPO (s)

20 30 40 50 60

100

200

300

400

10

Figura 11:

a) Cual salio a mas velocidad? Quien gano?

b) Describe la carrera.

33. Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noriagira. Esta es la representacion grafica de la funcion tiempo-distancia alsuelo de uno de los cestillos:

4

8

12

16

10 20 30 40 50 60 70 80

DISTANCIA (m)

TIEMPO (s)

Figura 12:

13

a) Cuanto tarda en dar una vuelta completa?

b) Observa cual es la altura maxima y di cual es el radio de la noria.

c) Explica como calcular la altura a los 130 segundos sin necesidadde continuar la grafica.

34. La tarifa de un telegrama con entrega domiciliaria es de 145 pesetaspor tasa fija mas 8 pesetas por palabra. Construye una tabla de valoresy representa la funcion que relaciona el coste del telegrama segun elnumero de palabras. Se trata de una funcion continua? Por que?

35. En una fotocopiadora tienen establecido distintos precios para las copiasde un mismo original. Las 100 primeras, a 5 pesetas cada una; de la 101a la 200, a 4 pesetas; de la 201 a la 500, a 3 pesetas, y mas de 500, a2 pesetas. Representa la funcion que relaciona el numero de fotocopiasrealizadas con el precio pagado por unidad.

36. El radio de un crculo mide 5 cm. Expresa la altura y de un rectanguloinscrito en el mismo en funcion de la medida de la base x. Construyeuna tabla de valores adecuada y representa graficamente la funcion.Es continua?

37. La grafica siguiente expresa la evolucion del numero de nacimientos enuna ciudad de Espana.

= =

= =

= =

Figura 13:

a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento del ndicede natalidad.

b) En que perodo de tiempo permanece constante la natalidad?

14

c) En que anos se ha conseguido el mayor numero de nacimientos?Indica los maximos y mnimos de esta funcion

38. La grafica siguiente muestra como vara la profundidad del agua en unpuerto durante un da cualquiera.

A qu horas aumenta la profundidad? Y a qu horas disminuye?

=

=

Figura 14:

a) A que horas aumenta la profundidad? Y a que horas disminuye?

b) A que hora se produce la profundidad maxima? Y la mnima?

c) Fjate que de 13 a 20 horas la profundidad aumenta (crece lamarea). Aumenta igual de rapido durante todo ese perodo detiempo?

39. Dibuja la grafica de la funcion y = x2. A partir de ella, indica sudominio e imagen, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y lospuntos en los que hay maximos o mnimos.

40. Estudia la simetra de las siguientes funciones:

a) y = x2

b) y = x3

c) y = x4 6x2

15

41. Estudia, algebraicamente, la simetra de las siguientes funciones:

a) 24 2xxy = b) x

xy

12 += c)

5xy =

Figura 15:

d) 9

12

=

xy e) 23 xxy += f)

1

12+

=

xy

1x

=

=

=

=

=

Figura 16:

16

g) 12 23 += xxy h) 12 +

=

x

xy

=

=

=

=

=

Figura 17:

42. Halla los puntos de corte con los ejes cartesianos de las siguientes fun-ciones:

a) y = 2x 4

b) y = 2x+ 1

c) y = x2 2x 3

d) y = x2 4

d) y = x2 + 6x

43. Estudia la grafica de la siguiente funcion y = f(x), indicando:

Mximos y mnimos (relativos y absolutos), indicando el valor de

Figura 18:

a) Dominio e imagen.

b) Continuidad.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

17

d) Maximos y mnimos (relativos y absolutos), indicando el valor dela funcion en esos puntos.

e) Simetra.

f) Puntos de corte con los ejes.

44. Las cuatro graficas siguientes corresponden a funciones discontinuas.

4

4

224

2

2

4

I

4 6

4

22

2

2

4

II

4

22

2

2

4

III

4

4

224

2

2

4

IV

Figura 19:

a) Diga cuales son los puntos de discontinuidad. Cual es su dominiode definicion?

b) Indica si tienen maximos o mnimos y diga cuales son.

c) En que intervalos son crecientes y en cuales son decrecientes?

45. Se intersectan en algun punto las graficas de las siguientes funciones?

a) y = 1 x y y = 3 x

b) y = 3x 5 y y = 3 x

c) y = 3 x y y = 62x2

d) y = 4 y y = 4

18

46. Una liebre coja describe la trayectoria y = x2 , y un perro recorre larecta y = x , la distingue y la logra capturar. Hallar el punto donde lacaptura; si sus coordenadas son positivas.a). (2;1) b). (1;1) c). (3;1) d). (2;2) e). n.a.

47. Una empresa que produce leche, tiene envases de forma de cilindro cir-cular recto y de volumen 442, 8cm3. Construya un modelo matematico(funcion) que exprese el area del envase.

48. En la NASA, en un sistema de coordenadas se observo un ovni Aquese mueve en lnea recta pasando por el punto (4;3) y esta recta, eraparalela a la recta que describa al moverse otro ovni B, cuya ecuacionera y = 3x+5. Hallar la ecuacion de la recta que describe el movimientodel ovni A.a). y = 5x 15 b). y = 3x 5 c). y = 4x+ 15d). y = 3x e). y = 3x 15

49. El Golden Gate, un puente suspendido, abarca la entrada de la Bahade San Francisco. Sus torres de 746 pies de alto estan separadas 4200pies. El puente esta suspendido por dos grandes cables de mas de 3piesde diametro; la amplia carretera esta 220 pies sobre el nivel del agua.Los cables tienen forma parabolica y tocan la superficie del caminoen el centro del puente. Encuentre la altura del cable que esta a unadistancia de 1000 pies del centro.

50. Cuando un automovil choca contra un tope en el camino, un amor-tiguador del vehculo se comprime una longitud de 6 pulgadas, luegose libera. El amortiguador vibra en movimiento armonico amortiguadocon una frecuencia de 2 ciclos por segundo. La constante de amor-tiguamiento para este amortiguador en particular es 2.8.a). Determine el desplazamiento del amortiguador desde su posicion dereposo como una funcion del tiempo. Tome t=0 como el instante en elque el amortiguador es liberado.b). Cuanto tiempo se requiere para que la amplitud de la vibraciondisminuya a 0.5 pulgadas?

51. Una plataforma de perforacion a 12 millas de la costa debe ser conecta-da mediante un oleoducto a una refinera que esta a 20 millas en lnearecta desde el punto de la costa mas cercano a la plataforma. Si instalar

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la tubera debajo del agua cuesta 500 000 dolares por milla, y en tierracuesta 300 000 dolares por milla, que combinacion de instalacion sub-acuatica y terrestre da la conexion mas barata? (Sugerencia: se dan lassiguientes graficas)

Figura 20:

Figura 21:

Figura 22:

Lic. Mat. Carlos Felipe

Piedra Caceda.

20