funciones con variables

CURSO : Matemática I I

DOCENTE : Lic. Mat. María Jessica Sánchez Gastelo

E- mail : [email protected]

FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES1. DEFINICIÓN:Una función ( ) de dos variables, es una regla que asigna a cada par ordenado (x; y) en D un único numero real denotado por

2. NOTACIÓN FUNCIONAL:

2:f D R R

( ; )f x y

),( ),(

R : 2

yxfzyx

RDf

Donde: D: Dominio de f (x ; y): Variables independientes z : Variable dependiente

3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES

Si f es una función real de dos variables (x, y), definimos:

a) DOMINIO DE f

b) RANGO DE f

)},(!/),{()( 2 yxfzRzRyxfDom

( ) { ( , ) /( , ) ( )}Ran f z f x y R x y Dom f

C) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

R2

R

TÉCNICAS PARA ENCONTRAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

2)( el entonces ,"" e ""en polinomioun es ),( Si )1 RfDomyxyxfz

0),()( ),( entonces ,),(),( Si )2 yxPfDomyxyxPyxf

0),()( ),( Entonces

),(

),(),( es, esto racional, es función la Si )3

yxQfDomyx

yxQ

yxPyxff

0),()(),( entonces )],,([ ),( Si )4 yxPfDomyxyxPLnyxf

1),()( ),( entonces )],,([ ),( Si )6 yxPfDomyxyxPArcsenyxf

1),()( ),( entonces )],,([ cos),( Si )7 yxPfDomyxyxPArcyxf

2),()( ),( entonces )],,([ ),( Si )8 RyxfDomyxyxPArctgyxf

2)( polinomioun es

),( si )],,(cos[),(y )],([ ),( Si )5

RfDom

yxPyxPyxfyxPSenyxf

EJEMPLOS1. Dadas las siguientes funciones: 1.1) Determina el dominio 1.2) Traza la gráfica del dominio.

2 2

2 2

2 2

) ( ; ) 9

) ( ; ) 1

) ( ; ) ( )

) ( ; ) 2

) ( ; ) 1 1

) ( ; ) 4

2) ( ; )

) ( ; ) ( 2)

a f x y x y

b f x y x y

c f x y x arcsen y

d f x y x y

e f x y x y

f f x y x y

x yg f x y

x y

h f x y Ln x y

2

2

) ( ; ) cos( )

) ( ; )

) ( ; )

i f x y ar x y

j f x y x y

k f x y y x

2. Determina el rango de las siguientes funciones (forma analítica)

2 2

2 2

2 2

) ( ; )

) ( ; ) 9

1) ( ; ) 36 9 4

3

a f x y x y

b f x y x y

c g x y x y

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, la grafica de f es el conjunto:

)}(),(),,(/),,{( 3 fDomyxyxfzRzyxS

Ecuación de la Elipsoide

Grafica de la Superficie

Ecuación del paraboloide Elíptico


12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

b

y

a

x

c

z

GRÁFICA DE SUPERFICIES

Ecuación del Paraboloide Hiperbólico


Ecuación del Cono


2

2

2

2

b

y

a

x

c

z 2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Ecuación del Hiperboloide de una hoja


Ecuación del Hiperboloide de dos hojas


12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x

Ecuación del la Esfera


Ecuación del Cilindro


2 2 2 2x y z r 222 cyx

EJEMPLOSDetermina la gráfica el dominio y rango de las siguientes funciones

2 2

2 2

) ( ; ) 9

1) ( ; ) 36 9 4

3

a f x y x y

b g x y x y

Curvas de Nivel

El sistema de representación de curvas de nivel consiste en cortar la superficie del terreno mediante un conjunto de planos paralelos entre sí, separados una cierta distancia unos de otros.

Curvas de NivelLas curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuaciones f(x, y) = k, donde k es una constante (en el rango de f)

Ejemplos: 1) Describa las curvas de nivel de las siguientes funciones

2) La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular es

Donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas isotermas.

2 2

2

a) ( , ) , 1, 0, 2, 4

b) ( , ) , 0, 4, 9;16

c) ( , ) , 1, 0, 2, 4

f x y x y k

f x y x y k

f x y y x k

22 75.075.0600 yxT

Gracias

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