Archivo: Clase25

Autor: M.Sc. Jorge Hernández

Fecha: 05/05/06

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Clase # 25. Fecha: 30/05/2000

Continuación Unidad II:

Funciones. Límites. Continuidad.

Objetivo # 7:

- Introducción.

- Continuidad en un punto.

- Continuidad en un intervalo.

- Funciones continuas.

- Ejemplos.

Contenido.

1. Introducción.

La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea

sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel. Esta idea se

traspone al gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad

de una función. Observemos los siguientes gráficos.

Estos gráficos muestran lo que es trazo continuo y trazo no continuo. De acuerdo a esto

definimos entonces lo que es una función continua.

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2. Continuidad en un punto.

Definición: Decimos que una función f es continua en un punto ax = si se

cumplen las siguientes condiciones:

a) )(af existe

b) )(xfLimax→

existe

c) ).()( afxfLimax

=→

La primera de estas condiciones nos dice que la función debe estar definida en el

punto donde se requiere la continuidad, es decir, en ,ax = dicho de otro modo,

)(af debe ser un número real.

La segunda condición nos habla acerca de la aproximación de la función a un valor

numérico por el lado izquierdo y por el lado derecho, valor numérico que debe ser el

mismo. Recordemos que la existencia del límite depende de la igualdad de los

límites laterales.

La tercera condición condiciona la continuidad a la igualdad del valor de la función

en ,ax = es decir, )(af con el valor numérico obtenido en el límite.

Definición: Una función f no es continua en un punto si deja de cumplir alguna de

estas condiciones.

Ejemplo: una función continua.

La función 2)( xxf = es continua en .3=x En efecto,

a) 93)3( 2==f , es decir, )3(f existe ya que 9 es un número real.

b) 9 2

3=

→xLim

x, ya que es una función polinómica

c) De las anteriores, la condición es obvia.

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Ejemplo: una función discontinua en .1=x

La función )1/(1)( −= xxf es discontinua en .1=x En efecto,

a) )1(f no existe como valor numérico ya que al sustituir 1 en la función, el

denominador se anula, y la división entre cero no está definida.

Tan solo el hecho de la función no cumpla esta condición basta para concluir que la

función no es continua.

3. Continuidad en un intervalo.

Definición: Una función f es continua en un intervalo ( )ba, si es continua en

todos los puntos ( )bacx ,∈= .

En el ejemplo b) la función es continua en los intervalos ( )1,2 −− y ( )2,1 pero es

discontinua en cualquier intervalo que contenga a 1−=x o .1=x

4. Función continua.

Definición: una función f es continua si es continua en todos los puntos de su

dominio.

En el caso de la función cuadrática 2)( xxf = , decimos que f es continua ya que

para cualquier punto x en R la función es continua. Caso contrario, la función

)1/(1)( −= xxf no es continua en R ya que la función no es continua en .1=x

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5. Ejemplos.

5.1 Determinar si la función 53)( 3+= xxf es continua.

5.2 Determinar si la función

>+

≤=

2,53

2,)(

2

xx

xxxf

si

si es una función continua.

Solución de 5.1.

Queremos probar que f es continua en cualquier punto de R. Sea ax = cualquier

número en R. Probaremos la continuidad de la función en este punto. Primero,

notemos que la función 53)( 3+= xxf tiene como dominio a todos los números

reales, por tanto, )(af existe, y tiene como valor a .53)( 3+= aaf

Por otra parte, se tiene que

5353 33+=+

→axLim

ax

Lo que nos indica que el límite existe.

Por último, es obvio, de los resultados obtenidos, que el límite y el valor de la función

en el punto son iguales.

Concluimos entonces que la función es continua en el punto ,ax = y como a fue

escogido en forma arbitraria, sigue que la función es continua en cualquier valor

numérico para x.

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Solución de 5.2.

Según la definición de la función, vemos que en 2=x hay un cambio en la forma de

obtener los valores de f , por lo que vamos a analizar la continuidad de esta función

en ese preciso valor.

Es claro que cuando 2=x la función toma el valor de 42)2( 2==f , por lo tanto la

primera de las condiciones de continuidad es satisfecha.

Ahora,

4)( 2

22==

−−→→

xLimxfLimxx

y

1153)(22

=+=−+

→→

xLimxfLimxx

Se deduce que el límite de la función no existe, por lo tanto la función no es continua

en ,2=x en consecuencia, no es continua.