Funciones CuadráTicas
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Funciones Cuadráticas
Por: Profa. Carmen Batiz UGHS
Índice
Propiedades de las funciones cuadráticas Solución de una función cuadrática Formas para hallar una solución
Propiedades de una ecuación cuadrática
Forma estándar cuadrática:
ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0
donde x es una variable y a , b y c son constantes.
Propiedades de una ecuación cuadrática
Forma Vértice: y = a(x – h)2 + k
Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.El vértice siempre es: (h, k)
Solución de una ecuación cuadrática
La solución de una ecuación cuadrática es lo mismo que hallar los ceros de la ecuación cuadrática.
Los ceros de una ecuación cuadrática son los puntos donde la parábola intercepta el eje de x.
Formas de hallar la solución de una función cuadrática
Factorización
Raíz cuadrada
Completando al cuadrado
Fórmula Cuadrática
Ejemplo 1Halla la solución mediante factorización:
x2 – 8x + 7 = 0Observemos si hay factores comunes.
La otra forma de factorizar un trinomio es por tanteo : ( ___ ____ ) ( _____ _____)
Observemos si es cuadrado perfecto.
x x
Factores de x2
Factores de 7 que sumado o restado de a -8
-7 -1
Por lo tanto x2 – 8x + 7 = 0
(x-7) (x-1) = 0
(x-7) = 0 ó (x-1) = 0 Propiedad del producto de cero
x = 7 ó x = 1Esto implica que los ceros de esa parábola son (7,0) y (1,0)
Ejemplo 2Halla la solución mediante factorización:
6x2 – 19x – 7 = 0( ) ( ) = 02x 3x-7 + 1
Verifica que el término del medio sea -19x
2x
-21x(2x – 7) = 0 ó (3x + 1) = 0
x = 7/2
ó x = -1/3Los cero son (3 ½, 0) y (-1/3, 0 )
Ejemplo 3Halla la solución mediante factorización:
x2 - 6x + 5 = 0( ) ( ) = 0x x- 5 - 1
(x – 5) = 0 ( x – 1 )= 0
x = 5 ó x = 1
Los puntos son (5,0) y ( 1 ,0)
Ejemplo 4Halla la solución mediante factorización:
2x2 = 3x
2x2 - 3x = 0 Igualamos a cero
Hay un factor común por lo tanto la factorización sérá:x ( 2x – 3) = 0
x = 0 ó x = 3/2Los interceptos son: (0,0) y (3/2,0)
Solución por raíz cuadrada:
2
3x
2
2
Ejemplo 1: 2x2 – 3 = 0
2x2 = 3Despejemos por la variable
x2 = 3/2
2
6
Los interceptos son: ( , 0) y ( , 0)2
6
2
6
Solución por raíz cuadrada:
9x
Ejemplo 2 3x2 + 27 = 0
3x2 = -27
x2 = -27/3
x2 = -9
ix 3
Los interceptos son: (3i, 0) y (-3i, 0)
Solución por raíz cuadrada:
4
5)2
1( x
2
5)2
1( x
2
5
2
1x
Ejemplo 3 (x + ½ )2 = 5/4
Primero elimina el exponente 2
Ahora elimino el 1/2
Los interceptos son:
)2
5-1-(y )0,
2
51(
Solución
Multiplica mentalmente:
1. (x+3)2
2. (x-4)2
3. (2x-7)2
4. (3x+2)2
x2 + 6x + 9
x2 – 8x + 16
4x2 – 28x + 49
9x2 + 12x + 4
Generalización:El resultado de la multiplicación mentalmente del cuadrado de un binomio :
1. Siempre será un trinomio
2. El primer y tercer término es el cuadrado del primer y segundo término del binomio.
3. El segundo término es el doble del producto del primer y segundo término del binomio.
Factoriza cada trinomio si es posible
1. x2 – 12x + 36
2. m2 + 10m + 25
3. 4t2 – 20t + 25
4. h2 – 7h + 49
5. y2 + 14y + 14
6. 9 – 6t – t2
Solución
1. (x – 6)2
2. (m + 5)2
3. (2t – 5)2
4. No factorizable
5. No factorizable
6. No factorizable
¿Cómo saber si un trinomio es cuadrado perfecto?
1. El primer y tercer término son cuadrados perfectos y positivos.
2. El segundo término es el doble del producto de un factor de primer y tercer termino del trinomio.
¿Cómo completar al cuadrado un trinomio?
Para completar el cuadrado de un trinomio, se debe obtener el tercer término.
¿Cómo completar al cuadrado un trinomio?
El tercer término se obtiene dividiendo el segundo término por 2 y cuadralo.
Ejemplos:Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
1. x2 - 8x = -36
x2 - 8x + ____= -36
-8 2
( )2 = 16
16 +16
Ejemplos:Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
x2 - 8x + 16 = -20
(x – 4)2 = -20
x 4 20
x i 4 2 5 x i 4 2 5
1. Escribe la ecuación en la forma x2 + bx + ___ = c
Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
2. Busca el tercer término y suma éste al termino c.
Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
Obten la raíz cuadrada del binomio y del término c.
2. 5x2 = 6x + 8
5x2 - 3x +____= 8 + ___
( )2 ( ) 2
1( )5
x2 – 3x + ____ = 8 5 5
3
5=
3
5
9
25 9
25
25
9
25
40
5
32
x
4. 2x2 = 3x - 4
2x2 –3x + ____= -4 + _____ 2
1( )2
x2 – 3x + ____= -2 + ____ 4
9
16
( )x 3
4
23
162
9
16
Intenta
Halla el conjunto de solución completando al cuadrado:
1. x2 + 6x – 2 = 0
2. 2x2 –4x + 3 = 0
3. x2 + 8x = 3
Y ¿Cómo se usa?
Ejemplo 1:Halla los valores de la variable en la ecuación 2x2 + 6x + 1 = 0
a = 2 ; b = 6 ; c = 1
Al sustituir en la fórmula cuadrática obtendremos:
Y ¿Cómo se usa?
Ejemplo 1:
xb b ac
a
2 4
2 )2(2
)1)(2(466 2
4
8366
x 6 28
4 4
726 4
72
4
6
2
7
2
3
x 3 7
2
Ejemplo 1:Halla los valores de la variable en la ecuación 2x2 = -6x - 7
a = 2 ; b = 6 c = 7
xb b ac
a
2 4
2
2x2 + 6x + 7 = 0
Ejemplo 1:Halla los valores de la variable en la ecuación 2x2 = -6x - 7
x 6 6 4 2 7
2 2
2( ) ( )( )
( ) 4
56366
4
206
xi
6 2 5
4 4
52
4
6 i
2
5
2
3 i
2
53 ó
2
53 ix
ix
El discriminante nos puede indicar si la solución de una función cuadrática es una o dos reales; o complejas.
El discriminante nos puede indicar si la solución de una función cuadrática es una o dos reales; o complejas.
Discriminante Y....
Si b2 – 4ac es:
> 0 tiene dos interceptos en x
= 0 tiene un intercepto en x
< 0 no tiene intercepto en x
En otras palabras:
Si el discriminante es:
> 0 Tendrá dos soluciones reales
< 0 Tendrá soluciones complejas o no reales
= 0 Tendrá solo una solución real
Ejemplo 1:Halla el discriminante para determinar si la solución es real o compleja.
1. x2+ 5x – 14 = 0
2. 3x2 –7x + 5 = 0
3. x2 – 2x +1 = 0
Solución:
1. 81 Implica que tiene dos soluciones reales
2. -11Implica que tiene dos soluciones complejas
3. 0Implica que tiene una solución real
Ejemplo 2:
Halla los valores de la variable en la ecuación x2 - x - 1 = 0 , utilizando la fórmula cuadrática.
a = 1 ; b = -1 c = -1
Solución:Halla los valores de la variable en la ecuación x2 - x - 1 = 0
a = 1 ; b = -1 c = -1
xb b ac
a
2 4
2
)1(2
)1)(1(4)1(1 2 x
1 1 4
2 2
51
¿Cómo se halla los interceptos en una función cuadrática?
Si le das valor de cero a la y podrás encontrar los valores de x y éstos serán los interceptos de la función cuadrática.
Ejemplo 3:
Indica cuántos interceptos en x tiene las siguientes funciones cuadráticas.
1. x2+ 5x – 14 = 0
2. 3x2 –7x + 5 = 0
3. x2 – 2x +1 = 0
Solución:
1. 81 Implica que tiene dos soluciones reales
2. -11Implica que tiene dos soluciones complejas
3. 0Implica que tiene una solución real
Ejemplos:Halla los interceptos de x de las siguientes
funciones cuadráticas.
1. y = x2+ 5x – 14
2. y = 3x2 –7x + 5
3. y = x2 – 2x +1