Funciones de ángulos multiples

Desarrollo de Expanciones de Angulos Multiples

Carlos Lopez S. , [email protected]

January 5, 2013

Abstract

En el precente trabajo se ha realizado la demostracion de expancionesde angulos multiples mediante tres metodos como lo son: Analitico , Nu-merico y Grafico en la materia de Geometria - Trigonometria II en laUnidad Educativa Tecnico Salesiano de Cuenca - Ecuador.

Para realizar la demostracion Analitica se nececito basicamente de laidentidad sin2 A + cos2 A = 1 de las cuales al despejar se obtienen otrasidentidades que son indispensables en el desarrollo de este metodo

Para la demostracion Grafica me permiti usar el programa Derive elcual facilita mucho el trabajo de realizar las graficas de las expanciones yuno de los beneficios mas importantes es que los graficos se los obtiene taly como estan expresados en la expancion

Para realizar la comprobacion numerica de las expanciones se utilizodiferentes angulos expresados en radianes

1 ObjetivoEl objetivo del trabajo es demostrar mediante los metodos antes mencionadoslas siguientes expanciones de angulos multiples :

cos2A =1

2+

1

2cos 2A (1)

cos3A =3

4cosA+

1

4cos 3A (2)

cos4A =3

8+

1

2cos 2A+

1

8cos 4A (3)

cos5A =5

8cosA+

5

16cos 3A+

1

16cos 5A (4)

cos6A =5

16+

15

32cos 2A+

3

16cos 4A+

1

32cos 6A (5)

sin2A =1

2− 1

2cos 2A (6)

1

sin3A =3

4sinA− 1

4sin 3A (7)

sin4A =3

8− 1

2cos 2A+

1

8cos4A (8)

sin5A =5

8sinA− 5

16sin 3A+

1

16sin 5A (9)

sin6A =5

16− 15

32cos 2A+

3

16cos 4A− 1

32cos 6A (10)

2 Expancion 1: cos2A = 12 +

12 cos 2A

2.1 Demostracion AnaliticaPartimos de la relación trigonométrica del coseno de la suma de ángulos

cos(2A) = cos(A+A) (11)

Desarrollamos la relación del coseno de la suma de ángulos

cos(2A) = cosA cosA− sinA sinA (12)

cos(2A) = cos2A− sin2A (13)

Reemplazamos el sin2A = 1− cos2A, segun la identidad pitagorica

cos(2A) = cos2A− (1− cos2A) (14)

cos(2A) = 2 cos2A− 1 (15)

Despejamos cos2A:

2 cos2A = 1 + cos 2A (16)

cos2A =1

2+

1

2cos 2A (17)

2

2.2 Demostracion Grafica2.2.1 Grafica de la funcion: y = cos2A

Figure 1: Grafica de la funciony = cos2A

2.2.2 Grafica de la funcion: y = 12 + 1

2 cos 2A

Figure 2: Grafica de la funciony = 12 + 1

2 cos 2A

2.3 Comprobacion Numerica2.3.1 Comprobacion para A = Π

6 rad

cos2A =1

2+

1

2cos 2A (18)

Ahora reemplazamos el valor del angulo A

cos2π

6=

1

2+

1

2cos[(2)(

π

6)]

(19)

Calculando esos valores se obtiene que:

3

3

4=

1

3+

1

4(20)

3

4=

3

4(21)

3 Expancion 2: cos3A = 34 cosA+ 1

4 cos 3A


cos 3A = cos(A+ 2A) (22)


cos 3A = cosA cos 2A− sinA sin 2A (23)

cos 3A = cosA(2 cos2A− 1)− sinA(2 sinA cosA) (24)

2 cos3A− cosA− 2 sin2A− cosA (25)


2 cos3A− cosA− 2(1− cos2A)− cosA (26)

2 cos2A− cosA− 2 cosA− cos3A (27)

Despejamos cos3A

cos 3A = −3 cosA+ 4 cos2A (28)

4 cos2A = 3 cosA+ cos 3A (29)

cos3A =3

4cosA+

1

4cos 3A (30)

4

3.2 Demostracion Grafica3.2.1 Grafica de la funcion :y = cos3A

Figure 3: Grafica de la funcion y = cos3A

3.2.2 Grafica de la funcion :y = cos3A = 34 cosA+ 1

4 cos 3A

Figure 4: Grafica de la funcion cosA = 34 cosA+ 1

4 cos 3A

3.3 Comprobacion numerica3.3.1 Comprobacion para A = Π

2 rad

cosA =3

4cosA+

1

4cos 3A (31)


cosπ

2=

3

4cos

π

2+

1

4cos 3

π

2(32)

Calculando esos valores se obtiene que:

5

0 =3

4∗ 0 + 1

4∗ 0 (33)

0 = 0 (34)

4 Expancion 3:cos4A = 38 +

12 cos 2A+ 1

8 cos 4A

4.1 Demostracion Analitica:Partimos de la relación trigonométrica del coseno de la suma de ángulos

cos4A = cos (2A+ 2A) (35)


cos4A = cos 2A cos 2A− sin 2A sin 2A (36)


cos4A = (2 cosA− 1) cos 2A− (2 sinA cosA) (2 sinA cosA) (37)

cos4A = 2 cos2A cos 2A− cos 2A− 4 sin2A (38)

cos4A = 2 cos2A (2 cosA− 1)− cos 2A− 4(1− cos2A

)cos2A (39)

cos4A = 4 cos4A− 2 cos2A− cos 2A− 4 cos2A+ 4 cos4A (40)

Despejamos cos 4A

cos 4A = − cos 2A− 6 cos2A+ 8 cos4A (41)

cos 4A = − cos 2A− 6

(1

2+

1

2cos 2A

)+ 8 cos4A (42)

cos 4A = − cos 2A− 3− 3 cos 2A+ 8 cos4A (43)

cos 4A = −3− 4 cos 2A+ 8 cos4A (44)

Despejamos cos4A

8 cos4A = cos (4A) + 3 + 4 cos 2A (45)

cos4A =1

8cos (4A) +

3

8+

1

2cos 2A (46)

cos4A =3

8+

1

2cos 2A+

1

8cos 4A (47)

6

4.2 Demostracion Grafica:4.2.1 Grafica de la funcion:y = cos4A


4.2.2 Grafica de la funcion:y = 38 + 1

2 cos 2A+ 18 cos 4A

Figure 6: Grafica de la funcion y = 38 + 1

2 cos 2A+ 18 cos 4A

4.3 Comprobacion Numerica:4.3.1 Comprobacion para A = π

4

cos4A =3

8+

1

2cos 2A+

1

8cos 4A (48)


cos4π

4=

3

8+

1

2cos 2

π

4+

1

8cos 4

π

4(49)

Calculando esos valores se obtiene que

7

1

4=

3

8+ 0− 1

8(50)

1

4=

1

4(51)

5 Expancion 4: cos5A = 58 cosA+

516 cos 3A+

116 cos 5A


cos 5A = cos (2A+ 3A) = (52)


cos 5A = cos (2A) cos (3A)− sin (2A) sin (3A) (53)

Reemplazamos el cos 3A = 4 cos3A− 3 cosA y el sin 3A = 3 sinA− 4 sin3A

cos 5A = 4 cos 3A− 3 cosA cos 2A− sin2A− 3sinA− 4sin3A2sinA (cosA) (54)


cos 5A = 4 cos 3A−3 cosA cos 2A−(1− cos 2A

)−6(1− cos 2A

)cosA−8

(1− cos 2A

)(1− cos 2A

)cosA (55)

cos (5A) = 16 cos5A+ 12 cos 3A+ 9 cosA (56)

cos 5A =5

8cos (A) +

5

16cos (3A) +

1

16cos (5A) (57)

8

5.2 Demostracion Grafica5.2.1 Grafico de la funcion:y = cos5A


5.2.2 Grafico de la funcion: y = 58 cosA+ 5

16 cos 3A+ 116 cos 5A

Figure 8: y = 58 cosA+ 5

16 cos 3A+ 116 cos 5A

5.3 Comprobacion Numerica5.3.1 Comprobacion paraA = π

2

cos5A =5

8cosA+

5

16cos 3A+

1

16cos 5A (58)


cos5π

2=

5

8cos

π

2+

5

16cos 3

π

2+

1

16cos 5

π

2(59)


9

0 =5

8∗ 0 + 5

16∗ 0 + 1

16∗ 0 (60)

0 = 0 (61)

6 Expancion 5: cos6A = 516 +

1532 cos 2A+ 3

16 cos 4A+132 cos 6A


cos (6A) = cos (3A+ 3A) (62)


cos (6a) = cos (3A) cos (3A)− sin (3A) sin (3A) (63)


cos (6A) =(4 cos 3A− 3 cosA

) (4 cos 3A− 3 cosA

)−(3 sinA− 4 sin 3A

) (3 sinA− 4 sin 3A

)(64)

Reemplazamos el sin2A = 1−cos2A, segun la identidad pitagorica y sumamosterminos semejantes

cos6A = 32 cos 6A+ 24 cos 4A− 30 cos 2A+ 19 (65)

cos6A =cos 6A+ 24 cos 4A− 30 cos 2A+ 19

32(66)

cos6A =5

16+

15

32cos 2A+

3

16cos 4A− 1

32cos 6A (67)

10

6.2 Demostracion Grafica:6.2.1 Grafica de la funcion:y = cos6A


6.2.2 Grafica de la fincion: y = 516 + 15

32 cos 2A+ 316 cos 4A+ 1

32 cos 6A

Figure 10: Grafica de la funcion y = 516 + 15

32 cos 2A+ 316 cos 4A+ 1

32 cos 6A

6.3 Comprobacion Numerica:6.3.1 Comprobacion para A = π

4

cos6A =5

16+

15

32cos 2A+

3

16cos 4A+

1

32cos 6A (68)


cos6π

4=

5

16+

15

32cos 2

(π4

)+

3

16cos 4

(π4

)+

1

32cos 6

(π4

)(69)


11

1

16=

5

16+ 0− 3

16− 1

16(70)

1

16=

1

16(71)

7 Expancion 6:sin2A = 12 −

12 cos 2A


cos 2A = cos (A+A) (72)Desarrollamos la relación del coseno de la suma de ángulos

cos 2A = cosA cosA− sinA sinA (73)

cos 2A = cos2A− sin2A (74)Reemplazamos el cos2A = 1− sin2A, segun la identidad pitagorica

cos 2A = 1− 2 sin2A (75)Despejamos sin2A

2 sin2A = 1− cos 2A (76)

sin2A =1

2− 1

2cos 2A (77)

7.2 Demostracion Grafica7.2.1 Grafico de la funcion y = sin2A

Figure 11: Grafica de la funcion y = sin2A

12

7.2.2 Grafico de la funcion y = 12 − 1

2 cos 2A

Figure 12: Grafica de la funcion y = 12 − 1

2 cos 2A

7.3 Comprobacion Numerica7.3.1 Comprobacion para A = π

6

sin2A =1

2− 1

2cos 2A (78)


sin2(π6

)=

1

2− 1

2cos 2

(π6

)(79)


1

4=

1

2− 1

4(80)

1

4=

1

4(81)

8 Expancion 7: sin3A = 34 sinA− 1

4 sin 3A


sin 3A = sin (A+ 2A) (82)


sin 3A = sinA cos 2A+ sin 2A cosA (83)

Reemplazamos el sin 2A = 1− 2 sin2A, segun la identidad pitagorica

13

sin 3A = sinA(1− 2 sin2A

)+ cosA (2 sinA cosA) (84)

sin 3A = sinA− 2 sin3A+ 2 sinA cos2A (85)

Reemplazamos el cos2A = 1− sin2A, segun la identidad pitagorica

sin 3A = sinA− 2 sin3A+ 2 sinA1−(1− sin2A

)(86)

sin 3A = sinA− 2 sin3A+ 2 sinA1− 2 sin3A (87)

sin 3A = 3 sinA− 4 sin3A (88)

Ahora despejamos sin3A

4 sin3A = 3 sinA− sin 3A (89)

sin3A =3

4sinA− 1

4sin 3A (90)

8.2 Demostracion Grafica8.2.1 Grafico de la funcion y = sin3A


14

8.2.2 Grafica de la funcion y = 34 sinA− 1

4 sin 3A

Figure 14: y = 34 sinA− 1

4 sin 3A

8.3 Comprobacion Numerica8.3.1 Comprobacion para A = π

3

sin3A =3

4sinA− 1

4sin 3A (91)

Ahora reemplazamos los valores del anguloA

sin3(π3

)=

3

4sin(π3

)− 1

4sin 3

(π3

)(92)

Calculando eso valores se obtiene que

3

4=

3

4+ 0 (93)

3

4=

3

4(94)

9 Expancion 8:sin4A = 38 −

12 cos 2A+ 1

8 cos4A


cos (4A) = cos (2A+ 2A) (95)


cos (4A) = cos 2A cos 2A− sin 2A sin 2A (96)

Reemplazamos el sin 2A = 1− 2 cos2A segun la identidad pitagorica

15

cos (4A) =(2 cos2A− 1

)cos 2A− (2 sinA cosA) (2 sinA cosA) (97)

cos (4A) = 2 cos2A cos 2A− cos 2A− 4 sin2A cos2A (98)

Reemplazamos el cos2A = 1− sin2A segun la identidad pitagorica

cos (4A) = 2(1− sin2A

) (1− 2 sin2A

)− cos 2A

−4 sin2A cos2A (99)

cos (4A) = 2(1− 2 sin2A− sin2A+ 2 sin2A

)− cos 2A− 4 sin2A

(1− sin2A

)(100)

cos (4A) = 2− 10 sin2A+ 8 sin2A− cos 2A (101)

Reemplazamos el sin2A = 12 − 1

2 cos 2A segun la identidad pitagorica

cos (4A) = 2− 10

(1

2− 1

2cos 2A

)+ sin4A− cos 2A (102)

Despejamos sin4A

3− 4 cos 2A+ cos 4A = 8 sin4A (103)

sin4A =3

8− 1

2cos 2A+

1

8cosA (104)

9.2 Demostracion Grafica9.2.1 Grafica de la funcion y = sin4A


16

9.2.2 Grafica de la funcion y = 38 − 1

2 cos 2A+ 18 cosA

Figure 16: y = 38 − 1

2 cos 2A+ 18 cosA


2

sin4A =3

8− 1

2cos 2A+

1

8cos4A (105)

Ahora reemplazamos los valores del angulo A

sin4A =3

8− 1

2cos 2A+

1

8cos4A (106)

1 =3

8− 0− 3

8(107)

1 = 1 (108)

10 Expancion 9: sin5A = 58 sinA− 5

16 sin 3A+ 116 sin 5A


sin 5A = sin(3A+ 2A) (109)

sin 5A = sin 3A cos 2A+ cos 2A sin 3A (110)

Reemplazamos el 3A por la expancion realizada anteriormente: cos3A =34 cosA+ 1

4 cos 3A que al despejar nos queda cos 3A = 4 cos3A− 3 cosA

17

sin 5A = sin 3A(1− 2 sin2A) + (4 cos3A− 3 cosA)(2 sinA cosA) (111)

sin 5A = sin 3A− 2 sin2A− sin 3A+ 8 sinA cos4A− 6 sinA cos2A (112)

Reemplazamos el 3A por la expancion realizada anteriormente: cos3A =34 cosA+ 1

4 cos 3A que al despejar nos queda cos 3A = 4 cos3A− 3 cosA

sin 5A = sin 3A− 2 sin2A− (4 cos3A− 3 cosA) + 8 sinA cos4A− 6 sinA cos2A(113)

sin 5A = sin 3A− 6 sin3A+ 8 sin5A+ 8 sinA cos4A− 6 sinA cos2A (114)

Reemplazamos el cos2A = 1− sin2A segun la identidad pitagorica

sin 5A = sin 3A−6 sin3A+8 sin5A+8 sinA(1−2 sin2A)2−6 sinA(1−2 sin2A)(115)

Reemplazamos mediante factoreo 1− 2 sin2A

sin 5A = sin 3A−6 sin3A+8 sin5A+8 sinA(1−2 sin2A+sin4A)2−6 sinA+6 sin3A(116)

Sumamos terminos semejantes

sin 5A = sin 3A+ 2 sinA− 16 sin3A+ 16 sin5A (117)

Reemplazamos el 16 sin3A por la expancion anteriormente realizada :sin3A =34 sinA− 1

4 sin 3A

sin 5A = sin 3A+ 2 sinA− 16(3

4sinA− 1

4sin 3A) + 16 sin5A (118)

18

10.2 Demostracion Grafica10.2.1 Demostracion Grafica de la funcion y = sin5A


10.2.2 Demostracion grafica de la funcion y = 58 sinA − 5

16 sin 3A +116 sin 5A

Figure 18: Grafica de la funcion y = 58 sinA− 5

16 sin 3A+ 116 sin 5A


6

sin5A =5

8sinA− 5

16sin 3A+

1

16sin 5A (119)


sin5(π6

)=

5

8sin(π6

)− 5

16sin 3

(π6

)+

1

16sin 5

(π6

)(120)

19

Calculando esos valores obtenemos que

1

32=

5

15− 1

16+

1

32(121)

1

32=

1

32(122)

11 Expancion 10: sin6A = 516−

1532 cos 2A+ 3

16 cos 4A−132 cos 6A

11.1 Demostracion AnaliticaPartimos de la relación del coseno de la suma de dos ángulos:

cos (6A) = cos (3A+ 3A) (123)

Desarrollamos la relación del coseno de la suma de dos ángulos:

cos (6A) = cos (3A) cos (3A)− sin (3A) sin (3A) (124)


cos (6A) =(4 cos 3 (A)− 3 cos (A)

) (4 cos 3 (A)− 3 cos (A)

)−(3 sin (A)− 4 sin3 (A)

)(3 sin (A)− 4 sin3 (A)

)(125)

Reemplazamos el sin2A = 1− cos2A segun la identidad pitagorica

cos (6A) = 16 cos (A)−12 cos4 (A)−12 cos 4 (A)+9 cos2 (A)−9(1− cos 2 (A)

)+12

(1− cos2 (A)

)(1− cos2 (A)

)− 12

(1− cos 2 (A)

)(126)

32 cos (6A) = cos (6A) + 24 cos (4A)− 30 cos (2A) + 19 (127)

sin 6a =5

16− 15

32cos (2A) +

3

16cos (4A)− 1

32cos (6A) (128)

20

11.2 Demostracion Grafica11.2.1 Grafica de la funcion y = sin6A


11.2.2 Grafica de la funcion y = 516 − 15

32 cos 2A+ 316 cos 4A− 1

32 cos 6A

Figure 20: Grafica de la funcion y = 516 − 15

32 cos 2A+ 316 cos 4A− 1

32 cos 6A


3

sin6A =5

16− 15

32cos 2A+

3

16cos 4A− 1

32cos 6A (129)


sin6(π4

)=

5

16− 15

32cos 2

(π4

)+

3

16cos 4

(π4

)− 1

32cos 6

(π4

)(130)


21

1

16=

5

16− 1

16− 3

16− 0 (131)

1

16=

1

16(132)

12 Conclusiones:

12.1 Como hemos podido observar para comprobar la igual-dad de este tipo de igualdades tenemos tres opcionesque son: demostracion anlitica , demotracion grafica, y comprobacion numerica

12.2 La demostracion Analitica como se pudo ver es lamas complicada pero al final se sabra con exactitudsi son o no las expanciones iguales

12.3 En la demostracion Analitica se ha necesitado devarias identidades pitagoricas y ademas para compro-bar las expanciones mas complejas se ha necesitadode expanciones comrprobadas anteriomente como esel caso de la expancion de sin6 que se ha ocupado laexpancion sin3

12.4 En la demotracion Grafica he ocupado el programaDerive para lograr que los graficos sean tal y comoestan expresados en la ecuacion por que de lo con-trario si se hace a mano se corre el riesgo de cometerun error

12.5 La demostracion numerica es la mas facil de realizary al igual que la analitica me permite saber con ex-actitud si son o no iguales las expanciones

12.6 Performing the work in the show that had less prob-lems numerical demonstration was to do it becauseit needs only to mathematical principles so if youwant to check only for this method is the most rec-ommended

22

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