1 Definicin de funciones de creencia usando morfologa matemtica aplicado a imgenes fusionadas David Vivas1,Julio Ibarra2 1. Universidad San Francisco de Quito, Colegio Politcnico. Calle Diego de Robles y Va Interocenica, Campus Cumbay. Casilla Postal 17 1200 841, Quito, Ecuador. 2. Universidad San Francisco de Quito, Colegio Politcnico. Calle Diego de Robles y Va Interocenica, Campus Cumbay. Casilla Postal 17 1200 841, Quito, Ecuador. Resumen:elenfoquedestetrabajoesdefinirlasfuncionesdecreenciaparaaplicacionesen procesamiento de imgenes, especficamente para imgenes que provienen de varias fuentes. La idea bsica est en la similitud entre las propiedades de los operadores morfolgicos y las propiedades de la funciones de creencia. Se utiliza la morfologa matemtica y la teora de conjuntos difusos para introducir imprecisin en las funciones de masa y funciones de creencia, utilizando especficamente elementosestructuralesdifusosadecuados.Elusodelamorfologamatemticagarantizaquelas funcionesde creencia obtenidas tienen las propiedades requeridas.Abstract: This paper defines the belief functions to be used in image processing. Belief functions areusefulformultiplesourceclassificationapplications.Thebasicideaistousethesimilarity between the properties of mathematical morphology operators, fuzzy sets, and belief functions. The proposed approach is applied in image fusion and synthetic images.1. Introduccin La fusin de la informacin en procesamiento de imgenes ha llevado a un inters cada vez mayor durantelosltimosaosenlastcnicasdeadquisicindelainformacin.Enlatecnologadela informacin a menudo necesitamos procesar y razonar con cierto tipo de informacin que provienen de diferentes fuentes tales como sensores, experiencia o modelos, ste tipo de informacin siempre viene contaminado con varios tipos de imperfeccin como por ejemplo imprecisin, incertidumbre, ambigedad, ruido, etc. En el procesamiento de imgenes la fusin de la informacin aparece como una etapa necesaria para aplicacionescomoimgenesmedicas,imgenesareasysatelitales,controldecalidad,visin robtica, etc. Este paso permite resolver problemas que no se pueden abordar al usar solamente un tipo de adquisicin, debido a su imperfeccin e incompletitud. Un problema principal en este campo esrepresentarlosdiferentestiposdeimperfeccionescomolaimprecisin,incertidumbre, ambigedad,lafaltadefiabilidad,etc.Sehandesarrolladovariastcnicasestadsticasy probabilsticasespecialmenteconelfinderesolverestosproblemas.Enparticularlosmtodos basadosenelusodelasfuncionesdecreenciasehandesarrolladoenlosltimosaos.Eneste trabajo se desarrollar los mtodos para poder realizar una adecuada clasificacin de la informacin proveniente devarias fuentes en las imgenes,un breveejemplo que se desarrollarmas adelante muestra cual es el objetivo de este trabajo. Figura 1.- Dos ejemplos de imgenes provenientes de dos fuentes distintas, las cuales sern fusionadas para obtener una mejor calidad de la informacin2 En el primer ejemplo (a, b) las dos imgenes representan observaciones degradadas de una imagen de dos clases (un cuadrado blanco en un fondo negro). Debido al ruido, tomar una decisin sobre la pertenencia de un punto a una de las clases, basndose solo en las escalas de grises de ste punto en las dos imgenes, podra terminar con una imagen muy ruidosa, en ese sentido es necesario utilizar otras tcnicas de clasificacin de la informacin proveniente de las imgenes.El segundo ejemplo muestra imgenes mdicas reales, debido a la limitada resolucin se puede observar una mezcla de variasclasespuras.Lograrrealizarunaadecuadaclasificacindelainformacinnospermite observar una patologa (rea brillante) que es visible en la segunda imagen pero no en la primera, se puede modelar una clasificacin adecuadausando una disyuncin de las clases que son vistas con niveles de gris similares en las imgenes. 2.- Imgenes fusionadas, funciones de creencia, morfologa matemtica, conjuntos difusos. 2.1.- Imgenes fusionadas El proceso de fusionar imgenes consiste en combinar la informacin relevante de un conjunto de imgenes en una sola imagen, donde la imagen resultante fusionada ser ms informativa y completa que cualquiera de las imgenes originales, sin producir detalles que no existen en las imgenes dadas. Estas tcnicas pueden mejorar la calidad e incrementar la aplicacin y el uso de estos datos. Estas imgenessepuedenobtenermediantediferentessensores,adiferentestiemposydiferentes caractersticas espaciales y espectrales [1-3]. Entre las tcnicas mas comunes para fusionar imgenes setienentcnicasaritmticascomo:mtododepromedio,seleccionarelmximo,seleccionarel mnimo, Discrete wavelet transform based fusion, anlisis de los principales componentes basados enfusin,Fusinbasadaentransformacinmultiescala,etc.Elobjetivodeproducirestetipode imgenesesintegrarlosdetallesgeomtricosdealtaresolucin(panchromaticimage)yla informacindecolordebajaresolucin(multiespectralimage)paraproducirunaimagendealta resolucin.[4,5].UtilizandoPythonyCV2seobtuvolafusindelasimgenesutilizandolos mtodos del mnimo y del mximo.

3 Figura 2.- Las imgenes superiores son las originales que provienen de diferentes fuentes, y las dos imgenes inferiores muestran la fusin de las originales, utilizando un mtodo aritmtico, en el primer caso se utiliz el criterio del mnimo y del mximo en el segundo. 2.2.- Funciones de creencia Lateoradelasfuncionesdecreenciasebasaendosideas:laprimeraideaesobtenergradosde creenciaparaunainterrogantedadaapartirdelasprobabilidadesdelapreguntaencuestinyla segunda: la regla de Dempster que sirve para combinar tales grados de creencia cuando se basan en eventos independientes de evidencia [6]. Esta teora conocida adems como la teora de evidencia o comolateoradeDempster-Shafer(DS)esunmarcodetrabajoquepermitemanejarymodelar diferentes tipos de incertidumbre. Este tipo de funciones tienen su base o fundamento en ciertos tipos dedatosllamadosEvidentialdatabaseEDBoDempsterShaferdatabase(DSdatabase),los cualesalmacenanciertotipodeinformacindecertezaoincertidumbreyquesernmodelados usandolateoradefuncionesdecreencia.Lateorapermitecombinarlaevidenciadediferentes fuentes y llegar a un grado de creencia (representada matemticamente por las funciones de creencia), las cuales toman en cuenta todas las evidencias disponibles. Los datos que se almacenan en este tipo debasespuedentenerciertascaractersticascomo:datosdecerteza,deincertidumbre, probabilsticos,posibilisticos,datosperdidos,datosdeevidencia,etc.Elformalismomatemtico comienzaapartirdeunconjuntodeposibilidadesbajoconsideracin,porejemplo:losvalores numricos de una variable o como pares de variables por ejemplo: fecha ylugar de origen de una reliquia en particular con el objetivo de determinar si es una reliquia o una copia reciente, entonces una hiptesis sobre este problema se representa por un subconjunto de este marco de discernimiento (D) como por ejemplo (Dinasta Ming, China) o (Siglo 19, Alemania). La teora DS nos permite, por creencia sobre tales proposiciones, estar representadas como intervalos acotados por dos valores, la creencia (Bel) o soporte y la Plausibilidad (Pl).Existentresfuncionesbsicasquedebenserbienentendidas,estasson:lafuncindemasade creencia la cual especifica la distribucin de masa de creencia (m-valores) sobre todos los posibles subconjuntos de un cuadro de discernimiento (D), la funcin De creencia y la funcin Plausibilidad. Similar a la regla de Bayes en teora de probabilidades, la regla de Dempster se utiliza en la teora DS para combinar mltiples eventos independientes de evidencia pertenecientes a una variable.[7,8]2.2.1.- La funcin de masa de creencia es similar a la funcin de distribucin de probabilidad con una importante diferencia que se detalla a continuacin. Bajo teora de la probabilidad, la funcin de distribucin asigna probabilidad de masa a cada elemento de un conjunto digamos {a1, a2, a3, ,an}. SupongaquelaprobabilidaddemasaasignadoaunelementoaiserepresentaporP(ai),lacual representalaprobabilidaddequeaiescierta.Bajo lateoradeprobabilidad,P(ai)tomaunvalor entre 0 y 1 de tal manera que la suma de todas las probabilidades de masa suman uno. La principal diferencia entre las dos teoras es que bajo la teora DS, las funciones de masa de creencia bsicas sonasignadasnosoloaelementossimplesdelconjunto{a1,a2,a3,,an}sinoatodoslos subconjuntos de dos, tres, cuatro, elementos, etc, hasta todos los elementos del conjunto. Entonces una funcin Bel se denomina funcin de creencia si tiene la forma de la ecuacin (1), con m(A) > 0 y que suma 1, tambin con m () =0. Los subconjuntos A de para los cuales m(A) >0 se denominan elementos focales de la funcin de creencia. [9].2.2.2.-Lafuncindecreenciaenunconjuntodeelementos,digamosAdeuncuadrode discernimiento (D), representa la creencia total de que uno tiene basado en la evidencia obtenida. Es la suma de todas las funciones de masas de creencia asignadas a los elementos que estn contenidos en el conjunto A y la masa de creencia asignada al conjunto A. Matemticamente se puede expresar lacreenciatotalenelconjuntoAcomo:Bel(A) = m(B)BAadiferenciadelateorade probabilidad es, donde se tiene que Bel (A) = 0 representa falta de evidencia sobre A, mientras que P(A) = 0 representa la imposibilidad de A. Sin embargo, Bel (A) = 1 representa certeza, esto es A es certero de que en realidad ocurra, similar a P (A) = 1, lo cual adems representa la certeza de que A es cierto. 4 2.2.3.- La funcin Plausibilidad en un conjunto A de un cuadro de discernimiento (D) que consiste enunconjuntodeelementosmutuamenteexclusivosyexhaustivos,representanlamxima posibilidad de que A es cierto dada la evidencia. Matemticamente es igual a la suma de las masas decreencia sobre todos los subconjuntosdeD que tienen interseccin no nula con el conjunto A. [10] La plausibilidad y la creencia se definen de la siguiente manera [11]: Bel(A) = m(B) =BA m(B)BA , A Pl(A) = m(B)BA , A (1) Por lo tanto de stas definiciones se deduce que: creencia plausibilidad.La creencia (Bel) mide la fuerza de la evidencia en favor de una proposicin p, el rango va desde 0 (que indica ausencia de evidencia)hasta1(queindicacerteza),enotrosentidoBelmidelacantidaddecreenciaque directamente sustenta una hiptesis dada, es decir, de manera especfica establece una cota inferior. En este sentido se puede establecer la siguiente relacin con el fin de definir la plausibilidad: Pls (p) = 1 - Bel (~p)(2) cuyo rango va desde 0 a 1. [12] Paraejemplificarunpocoestateora,supongamosqueXesunavariablequetomavaloresin, siendo ste el dominio o marco de discernimiento (D). Entonces la variable X se puede representar comounpar(valor,confianza).Lacomponentevalorcorrespondeaunsubconjuntodeyla componente confianza es un indicador de la confiabilidad de la informacin dada en la variable X, enestesentidopodemoshablardedoscaractersticasbsicasrelacionadasalavariableX,la imprecisin, que se relaciona directamente con la componente valor y la incertidumbre relacionada a la componente confianza de la variable. De manera particular si X es la temperatura medida en un saln puede expresarse de varias maneras. La temperatura est entre 15 y 25 grados centgrados, es decir T = ([15,25], certeza), la cual se traduce como cierta pero imprecisa. Probablemente est en 20 grados, T=(20, probable), es precisa pero incierta Probablementeestentre15y25gradosT=([15,25],probable),ambassonciertaspero imprecisas. Paraelprocesamientodeimgenesespecficamenteunesquematpicoutilizandolateoradelas funciones de creencia se presenta a continuacin: [13, 14] Definir un conjunto de discernimiento (D) que representa las hiptesis de inters para tomar una decisin (que ser la imagen que deseamos obtener) Estimar las funciones de masa de las caractersticas de las clases en cada imagenCombinar las funciones de masa de todas las imgenestomar una decisin basado en el clculo de la funcin de creenciaUna de las dificultades cuando se usa la teora de las funciones de creencia para imgenes fusionadas consiste en estimar las funciones de masa en disyunciones para dar una apropiada representacin de laimprecisinenlainformacinqueseobtienedecadaimagen.Estaimprecisinpuedeserlos nivelesdegrisquecaracterizanalasclasesencadaimagen,imprecisineneldominioespacial debido al ruido, una delineacin muy pobre de los objetos, y un efecto parcializado del volumen, etc.Varios ejemplos donde es muy til hacer una disyuncin y donde las funciones de creencia generan respuestas apropiadas, se dan a continuacin [15]: cuando las fuentes de informacin proveen solamente unas pocas de varias clasescuando una fuente no diferencia entre dos clases, la ambigedad y la oscilacinun efecto parcial de volumen o mezclado de pixeles debido a la naturaleza discreta de las imgenes.5 2.2.4.- La regla de Dempster La teora de evidencia de Dempster Shafer ha tomado mucha importancia en los ltimos aos como unmtodoqueprometelidiarconalgunosproblemasbsicosqueaparecenencombinacinde evidenciasyenfusindelainformacin.Entenderestateorarequiereunabuenabaseen conocimientodeteoradeprobabilidad,sinembargomostraremosunenfoquemassencillo.El problema que ahora enfrentamos es como combinar dos conjuntos independientes de probabilidad demasaasignadosendiferentessituaciones.EnelcasodediferentesfuenteslateoraDSesun operadorapropiadopararealizartaltrabajo.Lareglaobtienecreenciascompartidasentrevarias fuentes, especficamente la combinacin (denominada probabilidad de masa conjunta) es calculada paradosmasasdeprobabilidaddiferentesm1ym2delasiguientemanera(masadelantese generalizar para n masas de probabilidad): [16] m1,2 () = 0,m1,2 () =(m1 m2) (A) = 11 1 () 2 ()= Donde: K= 1 () 2 ()= mide la cantidad de conflicto entre los dos conjuntos de masas.Ejemplo: como ejemplo de como la regla de Dempster produce resultados cuando es aplicado en una situacin de fusin de la informacinpodemos analizar lo siguiente: Suponga que dos amigos A y B, quieren ver una pelcula y solamente estn disponibles tres pelculas diferentes X, Y,Z, entonces A expresa su preferencia por la pelcula X, con probabilidad de 0.99 y su preferencia por la pelcula Y con probabilidad del 0.01. Mientras que B expresa su preferencia por la pelcula Z con preferencia del 0.99 y la preferencia por la pelcula Y con probabilidad de 0.01. Si combinamos estas preferencias conlaregladecombinacinDempstertenemosquelapreferenciacombinadaporlapelculaY resultan en una probabilidad de 1 ya que sta es la pelcula que A y B estn de acuerdo en ver. La regladeDempstertambinproduceresultadosenelcasoenqueexistetotalconflictocomopor ejemplo,siAprefiereverlapelculaXconprobabilidadde1yBprefierelapelculaZcon probabilidad de 1 tambin, entonces al tratar de combinar estas preferencias con la regla de Dempster tenemos como resultado un caso indefinido, lo cual significa que no existe solucin y por lo tanto A y B no vern juntos ninguna pelcula, este tipo de eventos tienen masa de probabilidad de 0.2.3.- Morfologa matemticaLosoperadoresmorfolgicosmatemticossondefinidosenenrejadoscompletos,esdeciren conjuntos ordenados (T, ) en el cual cada parte X no nula tiene un supremo denotado por X y un nfimoX.Tpicamente,TrepresentaelconjuntopotenciadeunconjuntoEyrepresentala inclusin o el enrejado de las funciones, tales como los niveles de gris que definen las imgenes. Las dos operaciones principales son la dilatacin () y la erosin () definidas como operaciones que van deThastaTyqueconmutanconel supremoyelnfimorespectivamente.Enprocesamientode imgenes, los conjuntos y las funciones estn definidas en un dominio espacial subyacente denotado por S, tpicamente Zn o Rn. En ese sentido, para un elemento estructurante B (un subconjunto de S), la dilatacin morfolgica de un conjunto X T se define como:B (X) = {x X , x X } (3) Donde:xeselsimtricodelelementoestructuraltrasladadox,delamismamaneralaerosin morfolgica de X se define como: B (X) = {x X , Bx X } (4) En el conjunto de funciones numricas definidas sobre S, la dilatacin y la erosin por un elemento estructurante B se expresan como: B (f)(x) =f(y)yBxsup (5) B (f)(x) =f(y)yBxinf(6) 6 En estas ecuaciones, x denota un punto sobre S, estas funciones son definidas en Sy toman valores numricos. A partir de la dilatacin y de la erosin otros dos operadores se definen por composicin: la apertura = y la cerradura = . Las principales propiedades de estos operadores son: El par (,) forma una adicin, es decir que T, T, (a) b a (b)y se incrementan con respecto a . = y = La apertura es anti extensiva y la cerradura es extensiva Id y Id, donde Id es el operador identidad, es decir que Id (a) = a. Ladilatacinylaerosinmorfolgicas(usandounelementoestructural)sonoperadores dualesconrespectoalcomplemento,demanerasimilarlaaperturaylacerradurason operadores duales, por ejemplo, siendo B un elemento estructural simtrico:

(X) =

( X ), donde es el complemento de X en el espacio correspondiente. De manera similar si T es la red de funciones de Sen [0,1], la dualidad se expresa como: x S ,B (f)(x) = 1- B (1-f) (x) (7) Similares relaciones se tienen para la apertura y la cerradura. Para definiciones basadas en un elemento estructural B, si el origen pertenece al elemento estructural, entonces B Id y B Id. 2.3.1.- Relacin entre la morfologa matemtica y las propiedades de las funciones de creencia Formalmente, las propiedades requeridas para definir o caracterizar las funciones de creencia (Bel) y plausibilidad (Pl) definidas en un conjunto de discernimiento D son las siguientes: [17] Bel () = Pls () = 0,Bel (D) = Pls () =1 (8) 1, . . .

(

), Bel (=1...

) (1)||+1{1},(

)(9) ,Bel (A) = (), (10) , Pls (A) = 1 Bel () (11) , Bel(A) Pls(A) (12) Dada una funcin de masa normalizada es decir una funcin que va desde 2D hasta [0,1] de tal manera que () = 1 y m () = 0, una funcin de creencia se puede obtener a partir de la ecuacin (10).Tambin si dejamos de lado el hecho de que m () = 0 las frmulas pueden modificarse y tener que: Bel (D) = 1 m () y Pls (A) = Bel (D) - Bel (). Cuando varias fuentes han sido combinadas en una forma conjunta, la funcin de masa resultante m se obtiene a partir de las masas de cada fuentemiusandolaregladeDempsterexpresadacomo:m(A)=(m1 m2 mn)(A)= 1(1)2(2)

(

)1=, lo cual puede conducir a una masa diferente de cero en el conjunto vaco [12] La idea principal es explotar al mximo la similitud entre varias propiedades de la morfologa matemtica y las funciones de creencia. De manera particular la dualidad que se tiene en ambas teoras y los pares de operadores de cada una de ellas. Es decir: la anti extensividad de la erosin y la extensividad de la dilatacin nos lleva a deducir que:

. De igual manera existen semejanzas cuando se utiliza la apertura (

=

) y cerradura (

=

). Ntese que siempre se tiene que

, cualquiera que sea el elemento estructural B [18]. 7 2.4.- Conjuntos Difusos Losconjuntosdifusos son aquellos cuyos elementos tienen grados de pertenencia,es decir, la teoradeconjuntosdifusospermiteevaluargradualmentelapertenenciadeelementosenun conjunto; a diferencia de la teora clsica de conjuntos donde la pertenencia de un elemento en un conjunto es evaluado en trminos binarios de acuerdo a una condicin bivalente, es decir un elemento pertenece o no pertenece a dicho conjunto.Un conjunto difuso se define como: Sea X un espacio de puntos, con un elemento genrico de X denotado por x. Por lo tanto X={x}. Un conjunto difuso A en X es caracterizado por una funcin de pertenencia fA (x), la cual asocia concadapuntoenXunnmerorealenelintervalo[0,1],conlosvaloresdefA(x)enxque representan el grado de pertenencia de x en A. Por lo tanto, cuan mas cerca sea el valor defA (x) a la unidad, mas alto ser el grado de pertenencia de x en A [19,20]. La morfologa matemtica aplicada a conjuntos difusos son de particular inters para tratar con funciones que tomanvalores entre [0,1] y para poder representar diferentes tipos de imprecisin. Tambinsetienenotrasventajasaunquehaydiferentesinterpretacionesdefuncionesde pertenencia, funciones de distribucin de probabilidad y de masa o creencia, sin duda hay una relacin entre ellas. [21,22].Aspectos importantes: Las nociones de conjuntos difusos son muy tiles para introducir imprecisin en las clases de las imgenes, es decir en sus caractersticas a niveles de gris, esto se logra bsicamente al utilizar un elemento estructural difuso adecuado que permita introducir la imprecisin. Formalmentesepuedeutilizarfuncionesdepertenenciaofuncionesdeprobabilidadpara estimarlasfuncionesdemasausandomorfologamatemticadifusayaqueunadelas restricciones mas fuertes de esta teora es tratar con funciones que toman valores entre [0,1]. Se define la morfologa matemtica sobre conjuntos difusos con una base en las funciones de pertenencia. Demaneragenerallabaseestentrasladarlasecuacionesdeoperacionesmorfolgicaspara conjuntos binarios en sus equivalentes funcionales difusos. De este principio se desprenden las siguientes definiciones para la dilatacin

() y erosin

() de un conjunto difuso por un elemento estructural difuso definido en un espacio S, que en trminos generales es el espacio Rn. S,

() () =S [(), ( )](13) S,

()() =S [(), ( )] (14) Dondeeslat-normayeslat-conormadualdeconrespectoalcomplementoc,elcual garantiza la dualidad entre la erosin y la dilatacin. La apertura y la cerradura difusas se definen de la manera usual, es decir de la erosin seguida de una dilatacin y de la dilatacin seguida de una erosin, respectivamente. Estos operadores bsicos tienen excelentes propiedades con respecto a la morfologa matemtica y con respecto a los conjuntos difusos, especficamente, las definiciones tiles para nuestro propsito son donde los operadores son duales y aplicados con un elemento estructural tal como() = 1. [23] Esnecesariotenerencuentalaimportanciaquetienelateoradifusasobreloselementos estructurales los cuales son los elementos que van a introducir la imprecisin, como aclaracin podemos mostrar un ejemplo de como est compuesto un elemento estructural difuso.8

Figura 3.- Elemento estructural difuso en escala de grises mostrado en la forma de umbral clsica y en la forma de teora difusa con aproximacin. Para mostrar este ejemplo se utiliz Python 2.7 como lenguaje de programacin. Cabeaclararquelosvaloresdeunconjuntodifusodebenserinterpretadoscomogradosde pertenenciaynocomovalores delospixeles,enese sentido losvaloresdelospixeles delas imgenes deben tener una equivalencia que va de [0,255] a [0,1], como se muestra en el ejemplo anterior. 3.-Funcionesdecreenciaapartirdelamorfologamatemticaparaelcasodedos elementos focales. Habamos visto que los subconjuntos A de para los cuales m(A) > 0 se denominan elementos focales de la funcin de creencia. En esta seccin se mostrar como se obtienen las funciones de creencia a partir de los operadores de la morfologa matemtica. Con el objetivo de aplicar a las imgenes fusionadas, se asume que todos los valores de las funciones (de masa, de creencia, de plausibilidad)sonporsimismasfuncionesdefinidassobreelespacioS.Sepuedeinterpretar esta asuncin de dos maneras, S, el conjunto de valores m (A) (x), Bel(A)(x), Pls (A) (x) para todos lossubconjuntosA satisfacen las propiedades de funcionesdemasa,decreenciay plausibilidadydeformacontraria ,m(A)esconsideradacomounafuncinqueva desde Shasta [0,1], lo cual puede interpretarse como una funcin de pertenencia o una funcin de posibilidad. [24] 3.1.- Construccin de las funciones de creencia La erosin y la dilatacin difusa, respectivamente la apertura y cerradura, son duales respecto al complemento,locualsugierequepuedenserinterpretadoscomofuncionesdecreenciayde plausibilidad [15]. Asumiendoquesetieneunafuncin demasainicial0definidasobreel marco de discernimiento D, y teniendo solamente A y como elementos focales, con AD y =D\A de tal manera que 0 (A) + 0 () = 1, se puede tambin interpretar que 0 (A) y0() son funciones sobre S hasta [0,1]. En el caso de D = {1, 2} se tiene que A = {1} y = {2}. Entonces se definen las funciones de creencia y plausibilidad usando los dos operadores duales (tpicamente erosin y dilatacin o apertura y cerradura). Para erosin y dilatacin se define por lo tanto de la siguiente manera: [25] Bel (A) =

(0 (A)),Pls (A)=

(0 (A)) Bel () =

(0 ()),Pls ()=

(0 ()) De manera similar usando la apertura y la cerradura se tiene: Bel (A) =

(0 (A)),Pls (A)=

(0 (A)) Bel () =

(0 ()),Pls ()=

(0 ()) 3.2.- Propiedades Lassiguientespropiedadessondadasparalaerosin yladilatacin,sabiendoquesetienelo mismoparaaperturaycerradura.Siempreseasumequeelpardeoperadoressontomados teniendo en cuenta las definiciones duales y con (0) = 1, lo que garantiza las propiedades de las funciones de creencia y de plausibilidad. Entonces usando la propiedad de dualidad entre la erosin y la dilatacin, tenemos: S 9 Bel (A) (x)= v(m0 (A)) (x) = v(1 m0 (A)) (x) =1 - v(m0 (A))(x) = 1- Pls (A) (x)De manera similar: Bel (A) (x) = 1 - Pls (A) (x) Yaquelaerosinyladilatacindifusassoninternasen[0,1]ydadoque

podemos concluir que (Bel (A) + Bel (A)) [0,1]. Si establecemos que S,Bel ()(x) = Pls () (x)=0 y Bel (D) (x) = Pls (D) (x) =1, tenemos todas las propiedades que deberan satisfacerse por las funciones de creencia.Como habamos establecido que Bel (A) = m (B)BA,B, de acuerdo a sta ecuacin se puede obtener la nueva funcin de masa: S m (A) (x) = Bel (A) (x) m (A) (x) = Bel (A) (x) =1 Pls (A) (x), m (A A) (x) = 1 - Bel (A) (x) - Bel (A) (x) = v(m0 (A)) (x) - v(m0 (A)) (x) = v(m0 (A)) (x) - v(m0 (A)) (x) Esta nueva funcin de masa incluye la imprecisin representada por y permite definir un valor de masa en la disyuncin A , ntese que 0 m (A A) 1 y que adems esta funcin de masacorrespondeexactamentealafuncingradientemorfolgicoquenoesmasquela diferencia entre la dilataciny la erosin.Ejemplo.UnejemplodelaconstruccindestasfuncionesdondeSesunespacio1D,se representa en la figura 2. La funcin de masa inicial esta definida en dos hiptesis disjuntas A1 y A2 tales que D = A1 A2. Cada masa m0 (Ai) es una funcin que va de S hasta [0,1]. Para cada punto x Sse tiene m0 (A1) (x) + m0 (A2) (x) = 1. La erosin se realiza utilizando dos elementos estructurales diferentes con el objetivo de mostrar la influencia en el resultado de las funciones de creencia y las funciones de masa. Figura 4.- Obtencin de las funciones de creencia y plausibilidad usando erosin difusa con dos elementos estructurales diferentes. 10 Para un elemento estructural escogido como un elemento estructural difuso y que tiene la forma de un paraboloide, se tiene: Bel (A1) (x) = v(m0 (A1)) (x) = infyS [(m0(A1)(y),1 (y x)], Bel (A2) (x) = v(m0 (A2)) (x) = infyS [(m0(A2)(y),1 (y x)], Pls (A1) (x) = (m0(A1))(x)= supyS [(m0(A1)(y), (x y)]Pls (A2) (x) (m0(A2))(x)= supyS [(m0(A2)(y), (x y)]Debido a la dualidad entre y respecto al complemento y a la simetra de respecto al origen, es decir ( ) =( ), se tiene: Pls (A1) (x) = 1 - infyS (1 m0(A1)(y), 1 (y x)) = 1 Bel (A2)(x), Pls (A2)(x) = 1 - Bel (A1)(x) Finalmente m(D) se obtiene como: m (D) (x) = 1 Bel (A1) (x) Bel(A2)(x) Las funciones de masa resultantes son mostradas en la figura 5, ya que el elemento estructural representa la imprecisin entre las dos hiptesis, es importante la observacin de que usando un elemento estructural mas largo se obtiene as mismo una masa mas grande en D. Figura 5.- Resultado de las funciones de masa en A1 y A2 y en D. En el segundo ejemplo se obtuvo la funcin de masa con un elemento estructural mas largo y por lo tanto este introduce mayor imprecisin en la funcin de masa respectiva 3.3.- Conclusiones respecto al ejemplo Consideremos que las funciones de creencia estn bien definidas en el espacio de caractersticas de los puntos de la imagen, es decirque pueden ser los niveles de gris de una imagen, entonces S= [0,255]. Cuando las clases de una imagen pueden ser caracterizadas mediante sus niveles de gris entonces la erosin y la dilatacin hechas por un elemento estructural difuso puede utilizarse para representar la imprecisin en los lmites de las clases en la escala de los niveles de gris, esto nos lleva a una funcin de masa en la disyuncin de dos clases que toman altos valores en los niveles de gris que son intermedios entre los de las dos clases. En ese sentido la fusin de varias imgenes ayudar entonces en resolver la ambigedad entre ambas clases en sta rea.11 Por otra parte si las funciones de creencia estn definidas directamente en el espacio de la imagen, esdecir siS=Z2oZ3,enestecasolaimprecisinespacialenladelineacindelas clases u objetos es introducida usando un elemento estructural difuso definido en el espacio de la imagen. Este elemento estructural deber introducir la informacin a priori, es decir si la plausibilidad de que un punto pertenezcaa una clase es alta, entonces el efecto de la dilatacin ser aumentar la plausibilidad de que los puntos vecinos pertenezcan a la misma clase.4.- Aplicaciones en imgenes fusionadas Existen varios posibles esquemas para aplicar en las imgenes fusionadas. Pero bsicamente se basan en el procedimiento siguiente: (1)Obtener la masa inicial normalizada m0 (2)obtencindelasfuncionesdecreenciayplausibilidaddeloselementosfocalesydesus complementos, utilizando operadores morfolgicos duales. (3)La dualidad de los operadores nos asegura que Pls (A) = 1 Bel () y tambin por el hecho de que

nos aseguramos de que Bel (A) Pls (A) (4)Se obtienen las nuevas funciones de masa, las cuales incorporan la imprecisin representada por el elemento estructural usado en las operaciones morfolgicas (5)ya queBel (A) = (), y ya que m satisface las propiedades de funcin de masa, entonces Bel (=1...

) (1)||+1{1}, (

), es decir que la funcin Bel satisface la anterior ecuacin Los varios esquemas que se presentan para el tratamiento de imgenes fusionadas son segn el artculo: a)De dos hiptesis Sicadaimagenproveeinformacinenunahiptesisysucontraria,entonceselmtodo propuesto se aplica directamente. b)Estimar cada clase o disyuncin de clases En este esquemaes posibleobtener decada imagenvarias funciones demasa donde cada una de ellas tiene solo dos elementos focales complementarios, este esquema se presenta y es ampliamente utilizado en los mtodos de reconocimiento de patrones c)Refinamientos sucesivosOtro esquema posible consiste en realizar refinamientos sucesivos de las funciones de masa.d)Mtodo directo Se aplica en el caso en el que se tiene n elementos focales en la estimacin inicial, tomando encuentaquecadaunodeestoselementosfocalespuedesersencillaoladisyuncinde variashiptesis.Esteesquemapuedecombinarseconrefinamientossucesivosconel objetivo de tener mayor discriminacin entre clases 5.- Implementacin del mtodo (ejemplo propio) Elsiguienteejemploesunareproduccindelejemplomostradoenelartculoyselorealiz utilizando el programa Python 2.7 como lenguaje de programacin, adems se utiliz la librera Pymorph para procesamiento de imgenes en escala de grises disponibles en la red [26, 27]. En primera instancia se realiz el procesamiento con un elemento estructural difuso de tamao 3x3 tantoparalaerosinyladilatacindifusas,tambinsemostrarnlosmismosresultados utilizando otro tipo de elemento estructural como se ver mas adelante. Mostraremos la teora expuesta anteriormente considerando una imagen que tiene dos observaciones ruidosas, que se consideran provenientes de dos fuentes de informacin diferentes. La imagen original contiene dos clases, el cuadrado blanco y el fondo color negro, el cuadro de discernimiento simplemente esD={C1,C2}.Cabesealarquesehanutilizadolasmismasimgenesoriginalesquese exponen en el artculo con la finalidad de comparar los resultados implementados en este trabajo. 12 Figura 6.- a) Imagen original con dos clases C1 y C2. b) y c) Imgenes ruidosas Utilizando Python 2.7 las funciones de masa inicial 01(1) ,02(1) y las funciones de masa para la segunda clase 01(2) = 1 01(1), 02(2) = 1 02(1)son obtenidas como se muestranacontinuacin,tomandoencuentaquelosvaloresdelospixelesdebenser normalizados, es decir deben corresponder al intervalo [0,1].a) b) c)d) Figura 7.- a) imgenes originales proporcionan las funciones de masa inicial, b) se normalizan los pixeles de la imagen al intervalo [0,1] c) obtencin de las funciones de masa incial para la segunda clase d) seccin (3x3 pixeles) de las funciones de masa de la clase 1 y 2 que muestran los valores normalizados en el intervalo [0,1]. Como se expuso anteriormente los resultados obtenidos se muestran en las figuras 8 y 9. 13

Figura 8.-funciones de masa para C1: a) 01(1) b)02(1), se considera imgenes de la fuente 1 y fuente 2

Figura 9.- funciones de masa para C2: a) 01(2) = 1 01(1) y b) 02(2) = 1 02(1),Acontinuacinseprocedeaintroducirimprecisinutilizandolosconceptosdemorfologa matemtica difusa utilizando el elemento estructural difuso mostrado en la figura 10. Figura 10.- Elemento estructural difuso (3x3 pixeles). a) muestra en forma de imagen b) muestra en forma de array con los valores originales y con los valores normalizados. Con este concepto se obtienen las funciones Bel (C1) utilizando la erosin de 01(1), la funcin Pls (C1) mediante la dilatacin de 01(1), la funcin Bel (C2) a partir de la erosin de 01(2) y la Pls (C2) mediante la dilatacin de 01(2) respectivamente, como se muestran en la figura 12. 14 Figura 11.- Operaciones Morfolgicas difusas aplicadas a las funciones de masa de la fuente 1 y de la fuente 2 respectivamente utilizando Python como lenguaje de programacin y la librera Pymorph (pm) como herramienta de procesamiento de imgenes

Figura 12.- Funciones Bel y Pls de la fuente 1: a) Bel (C1),b) Pls (C1), c) Bel (C2),d) Pls (C2), obtenidas a partir de las operaciones aplicadas en la figura 11 A continuacin se obtiene las mismas funciones descritas en la figura 11 pero en este caso para la imagen de la fuente 2 y se muestran en la figura 13. 15 Figura 13.- a) Bel (C1) utilizando la erosin de 02(1), b) la funcin Pls (C1) mediante la dilatacin de 02(1), c) la funcin Bel (C2) a partir de la erosin de 02(2) y d) la Pls (C2) mediante la dilatacin de 02(2) respectivamente y usando el cdigo descrito en la figura 11 Acontinuacin se obtiene las masas m1 (D) ym2(D) quees laresultantedelasmasas delas fuentes 1 y 2 respectivamente utilizando para esto una simple suma de las imgenes dilatadas correspondientes. Los resultados se muestran en la figura 15. Figura 14.- Clculo de las funciones de masa resultantes para las dos imgenes fuente utilizando Python cuyo resultado se ve en la figura siguiente Figura 15.- Funciones de masa a) m1 (D) y b) m2 (D) para las dos fuentes 16 Los valores obtenidos en las imgenes de la figura 15 son altos, de manera particular en el rea intermedia entre las dos clases, lo cual es consistente con el hecho de que en la frontera de las dos clases existe imprecisin introducida especficamente por el elemento estructural utilizado. Acontinuacinseobtienelafusindem1ym2respectivamentecuyosresultadossedan utilizando la regla de Dempster de las intersecciones y que se ve reflejado por la operacin lgica AND en programacin como muestra la figura siguiente. Figura 16.- Fusion de las masas correspondientes utilizando la regla de Dempster en Python Figura 17.- Imgenes de las masas resultantes para C1, C2 y D respectivamente obtenidas con el cdigo anterior Por ltimo se obtiene la imagen final despus de la fusin, escogiendo en cada pixel la clase con el valor mas alto de masa, es decir a un punto x se le asigna al cuadrado blanco si:m(C1)(x) > m(C2)(x) y se le asigna al fondo negro si sucede lo contrario. El resultado final se muestra en la figura 18.Notequeenelresultadofinalesmuyparecidoalaimagenoriginalexceptoporalgunas irregularidades que aparecen en la frontera que separa a las dos clases. Figura 18.- Cdigo Python que permite realizar el clculo descrito en el prrafo anterior, es decir la imagen final deseada cuyo resultado se ver mas adelante 5.1.- Observacin: Es preciso aclarar que los valores obtenidos en la frontera de las dos clases representanlaimprecisinqueexisteenestazonayquedependendelelementoestructural 17 utilizado, para un elemento estructural mas grande se puede observar una lnea ms marcada que limita la frontera de las dos clases, este resultado se observa en la figura 19. Figura 19.- a) Elemento estructural difuso de tamao (8x8 pixeles), b - c) funciones de masa m1 (D) y m2 (D) respectivamente, d-f) masas resultantes para C1, C2 y D respectivamente 5.3.- Aplicacin del mtodo utilizando apertura y cerradura como operadores morfolgicos Si utilizamos la apertura y la cerradura como operadores morfolgicos duales para remplazar a la erosin y la dilatacin respectivamente y adems utilizando el elemento estructural de tamao 8x8 pixeles visto en la figura 19 podemos observar los resultados siguientes. Figura 20.- Funciones Bel y Pls de la fuente 1: a) Bel (C1),b) Pls (C1), c) Bel (C2),d) Pls (C2), obtenidas a partir de apertura y cerradura Figura 21.- a) Bel (C1) , b) Pls (C1), c) Bel (C2)y d) Pls (C2) para la fuente dos usando de igual manera la apertura y cerradura 18 Figura 22.- Funciones de masa a) m1 (D) y b) m2 (D) para las dos fuentes Figura 23.- Imgenes de las masas resultantes para C1, C2 y D respectivamente 5.4.- Resultados finales Figura 24.- Imagen original 19 OPERADORES MORFOLOGICOS USADOS Erosin y DilatacinApertura y Cerradura Elemento Estructural Utilizado Tamao 3x3 Tamao 8x8 Tabla 1.-Imgenes resultantes utilizando los operadores duales de erosin-dilatacin y apertura y cerradura con dos elementos estructurales 5.5.- Conclusiones Observando los resultados podemos concluir que utilizando los elementos estructurales difusos mencionados antes de 3x3 y 8x8 pixeles hay una gran diferencia entre cada uno de los operadores morfolgicos duales utilizados, por ejemplo al aplicar el mtodo propuesto usando la apertura y la cerradura con el elemento estructural de 8x8 se obtuvo el mejor resultado deseado ya que las clases han sido separadas totalmente sin embargo los lmites que separan a las clases son bastante irregulares especialmente las lneas verticales, debido especficamente a los operadores duales utilizadosyaquecomopodemosverenelcasodelosresultadosobtenidosconerosin dilatacin los lmites entre las dos clases es mucho mas uniforme y suavizada, por otra parte en este caso las clases nohan sido separadas efectivamente ya que se puede observar aun mucho ruido en la zona blanca y esto se debe al elemento estructural utilizado, ntese tambin que al usar el elemento 8x8 con erosindilatacinla separacin delas clases es mas efectiva.Por ltimoutilizandoaperturacerraduraconelelementoestructural3x3seobtieneunbuen resultado excepto por un leve ruido en la imagen blanca y por los lmites poco uniformes entre las clases. Se podra probar con otros elementos estructurales difusos tales de diferentes formas comoparablicosoelipsoidesparaverotrosresultadosycomprobarsihayunamejoraenla separacin delas clases al usar erosindilatacin. En estesentido no se puededecir quela aplicacin del mtodo es mas efectiva si se utiliza la apertura cerradura que cuando se utiliza 20 la erosin dilatacin ya que esto depende mucho de la forma y tamao del elemento estructural usado como se observa en los resultados. 6.- Aplicacin en imgenes mdicas En esta seccin se realizar una aclaracin del mtodo utilizado al trabajar con imgenes mdicas reales, cabe aclarar que ste ejemplo est mostrado en el artculo en cuestin. Las imgenes con lascualessevaatrabajarenesteejemploprocedendeunprocesoderesonanciamagntica utilizando dos tipos de parmetros para obtenerlas. Las dos imgenes originales constituyen las dos fuentes que van a ser combinadas con el objetivo de mejorar la clasificacin. En la primera imagen no es posible mirar la patologa del paciente pero se puede observar los ventrculos y el fluido cerebro espinal (CSF) bien definidos y separados del resto del cerebro. La segunda imagen muestra un rea brillante que corresponde a la patologa y los ventrculos y el CSF son difciles de separar del resto del cerebro. Figura. 25.- Imgenes mdicas que proceden de dos fuentes diferentes, estas imgenes sern fusionadas con el objetivo de tener mejores resultados en la clasificacin y distincin de las clases, con el fin de tener mayor claridad en la patologa cerebral del paciente A partir de estas observaciones se puede modelar el problema como una clasificacin simple. En este sentido se tienen tres clases diferentes {C1, C2, C3} que corresponden a las caractersticas delcerebro,alosventrculosjuntoalCSFylapatologarespectivamente.Asmismolos elementos focales son {C1, C3} y {C2} para la primera imagen y {C1, C2} junto a {C3} para la segunda imagen. Las masas iniciales se definen a partir de los histogramas correspondientes en elespaciodelosnivelesdegrisysemuestranenlafigura7. Figura. 26.- Funciones de masa inicial para las dos imgenesLa combinacin de stas funciones de masa usando la regla de Dempster nos lleva a elementos focales reducidos a unitarios. La ambigedad entre las clases en cada imagen se resuelve con la ayudadelainformacincontenidaenlaotraimagen.Paralograrelobjetivopropuestose 21 trabajar sobre las funciones de masa inicial. El tamao de la erosin y la dilatacin se obtienen a partir del rango de ambigedad de los niveles de gris y entre las clases en los histogramas. La dilatacinylaerosinsonaplicadaseneldominiodelosnivelesdegris.Elresultadodela erosin sobre las funciones de masa inicial y sobre la funcin de masa en el espacio D se muestra en la figura 8. Figura 27.- Obtencin de las funciones de masa erosionadas y funciones de masa en D para las dos imgenesAhoralacombinacinconlaregladeDempsterproveeelementosfocalesqueincluyen disyunciones como se muestra en la taba de interseccin siguiente: C2{C1,C3}D {C1,C2}C2C1{C1,C2} C3C3C3 DC2{C1,C3}D Tabla 2.- Interseccin entre los elementos focales de las dos fuentes despus de la erosin. La siguiente figura muestra tres tipos de imgenes resultantes: Figura 28.- La primera imagen est basada en la regla de mxima probabilidad, la segunda imagen se basa en un mximo de creencia sobre las clases unitarias, esta imagen incluye ms de la regin intermedia en el rea patolgica, la tercera imagen se basa en un mximo de creencia sobre todas las hiptesis (incluyendo las disyunciones excepto D), esta imagen es la mas importante ya que muestra queelusodelosoperadoresmorfolgicosmatemticospermitenmodelarexplcitamentela imprecisin en niveles de gris. La decisin en favor de {C1,C3} claramente muestra el rea intermedia alrededor de la patologa lo cual es consistente con las interpretaciones mdicas. De manera similar detallemoslaregladedecisinalrededordelapatologa(C3).Lasdecisionespotencialesensta regin patolgica son C1, C3y {C1, C3}. El mximo de creencia nos lleva a tomar decisiones en favor de: 22 C1 si m (C3) = m ({C1 y C3}) = 0 C3 si m (C1) = m ({C1 y C3}) = 0 {C1 y C3} si m ({C1 y C3}) 0 o (m (C3) 0 y m (C1) 0) Otra regla clsica consiste en considerar la plausibilidad en vez de la creencia. En ste ejemplo esto nos llevara a tomar decisiones en favor de: C1 si m (C3) = 0 C3 si m (C1) = m ({C1 y C2}) = 0 {C1 y C3} si m (C3) 0 y (m (C1) 0 o m ({C1, C2}) 0) Estas reglas son algo diferentes de aquellas que se basan en la mxima creencia, desde un punto de vista prctico solo hay muy pocas situaciones donde las decisiones son realmente diferentes, adems stas reglas involucran m ({C1, C2}), lo cual es poco interesante en este caso.6.- Conclusiones Con este trabajo se ha logrado mostrar que la teora de las funciones de creencia junto a la regla de combinacin de hiptesis de Dempster Shafer son adecuadas cuando las fuentes de informacin que forman las imgenes fusionadas tienen imprecisin y es difcil tomar una decisin con respecto a la pertenencia o no pertenencia a las diferentes clases de cada uno de los pixeles de cada una de las imgenes. Tambin se ha mostrado la estrecha relacin que existe entre la teora de las funciones de creenciacon lamorfologa matemtica y los conjuntosdifusos,de tal maneraquese pudo definir operaciones como la erosin y dilatacin difusas, es decir utilizando un elemento estructural difuso quepermitiingresarimprecisinenlasimgenesconlafinalidaddelograrunacorrecta clasificacin de los pixeles en cada una de las clases de las imgenes fusionadas.En el ejemplo de implementacin del mtodo se ha podido demostrar la valencia del mismo al aplicar las funciones de creencia junto con la teora de los conjuntos difusos de tal manera que es posible establecerunazonaquedelimitalasclasesenlasqueestdivididalaimagenintroduciendo imprecisin mediante el elemento estructural. Tambin se ha podido verificar laimportancia de la dualidad de las operaciones morfolgicas ya que se ha logrado validar de igual manera que el mtodo sirve tambin si se utiliza las operaciones de apertura y cerradura en vez de la erosin y la dilatacin, en este caso se puede observar que la imagen final tiene los bordes menos suavizados en la zonas dondelasdosclasessedivideninclusivelasesquinasdelcuadradoblancohansidounpoco redondeadas con estos operadores, de todas maneras en los dos casos la divisin de las clases ha sido efectiva, si comparamos la implementacin realizada en este trabajo y los resultados obtenidos en el artculopodemosobservarqueenlosdoscasossellegaobtenerelresultadodeseadoexcepto cuandoseusladilatacinerosinyaqueexisteaunruidoenlaimagenblancaquedepende bsicamentede la forma del elemento estructural utilizado. 7.- Referencias [1]DifferentImagefusintechniquesacriticalreview,DeepakKumarSahu;M.P.Parsai; Departament of Electronics & Communication Engineering, Jabalpur Enginnering College, Jabalpur MP, India [2]DataFusionin2Dand3DImageProcessing:AnOverview,IsabelleBloch;HenriMaitre; EcoleNationaleSuprieuredesTelecommunications(GETTlconParis),SignalandImage Processing Department.[3] Using synthetic images to register real images with Surface models; Berthold K.P.; Horn and Brett L; Bachman, Massachusetts Institute of Technology, August (1977) [4]Wavelet for ImageFusion; Shih-Gu Huang, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University. 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