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CAPITULO III CALCULO II

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

3.1 DEFINICIÓN

Se denomina función de varias variables a la función que tiene n variables independientes y m variables dependientes.

Una función de varias variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales(x,y) un solo un numero real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. El conjunto de valores z corresponden a los pares ordenados se llaman imagen o rango.

3.2 CLASES DE FUNCIONES

• Función escalar de variable escalar • Función vectorial de variable escalar • Función escalar de variable vectorial • Función vectorial de variable vectorial

3.2.1 FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE ESCALAR

Se obtienen cuando en los pares ordenados, los primeros elementos son escalares y los segundos elementos también son escalares. Como en toda función los primeros elementos del par ordenado no se reiteran.

Su notación es:

y = f(x)

Donde: y es la variable dependiente

x es la variable independiente

x.y ℜ∈

Por ser un conjunto de pares ordenados, una función puede ser representada por:

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(1) Una fórmula. Por ejemplo, 3 x2 + 1. Para cada x, primer elemento del par, el segundo elemento, f(x), se obtiene reemplazando ese valor de x en la fórmula.

(2) Una tabla como la siguiente:

X f(x) -1 4 0 1 ½ 7/4 1 4 2 13

(3) Un esquema con diagramas de Venn:

(4) Un gráfico cartesiano:

3.2.1.1 OPERACIONES

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1) SUMA DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f(x) y g(x) cualesquiera, la suma de , denotada por

, es otra función definida por . El dominio de

es la intersección de sus respectivos dominios.

Ejemplo 1 Dadas dos funciones definidas en los reales por y

, determinar f(x)+g(x), e igualmente su dominio:

• =

Como podemos observar el y , luego será intersección de los dos dominios; por consiguiente:

3.2.1.2 PRODUCTO DE FUNCIONES:

Dadas dos funciones f(x) y g(x), denotada por , es otra función definida por

. el dominio de es la intersección de sus respectivos dominios.

Ejemplo 3 Dadas dos funciones y , definidas en R,

determinar , e igualmente su dominio.

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Calculamos ahora .

.

Por consiguiente:

3.2.2 FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE ESCALAR

Se obtienen cuando en los pares ordenados, los primeros elementos son escalares, los segundos elementos son vectores. Los primeros elementos del par ordenado no se reiteran.

Su notación es:

F = (f1(t) , f2(t),................... fn(t))

Donde.

F(t) es la función vectorial

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f1(t) , f2(t),................... fn(t) son sus funciones componentes, t es la variable escalar

Una función vectorial de variable escalar en el plano o el espacio, se expresa respectivamente por:

F = (f1(t) , f2(t)) = f1(t) i + f2(t) j (plano)

F = (f1(t) , f2(t) ,f3(t)) = f1(t) i + f2(t) j + f3(t)k (espacio)

3.2.2.1 DOMINIO Y CODOMINIO

Dominio.- El dominio es una función vectorial D(f) cuyos componentes son funciones escalares, será la intersección de los dominios de esas funciones componentes.

Codominio.- El condominio es una función vectorial de variable escalar C(f) , esta constituido por los vectores que determinan la función en sus respectivo dominio.

3.2.2.2 OPERACIONES Producto de una Función escalar por una función vectorial

La función f(t) F

Producto escalar entre dos funciones vectoriales su resultado es una función escalar

La función G(t) º F(t)

Producto vectorial entre dos funciones su resultado es una función vectorial La función G(t) x F(t)

3.2.3 FUNCIÓN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL

Una función de dos variables reales es un par ordenado cuyo primer elemento es un par ordenado: ((x, y), f(x, y)). Formalmente, esta expresión equivale a una terna ordenada: (x, y, z).

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El dominio de la función (Df) estará conformado por vectores y el condominio de la función (Cf) estará conformado por escalares.

En este tipo de funciones los vectores pueden ser de dimensión: n y los componentes de estos vectores serán números reales, los escalares también serán numeraos reales.

F = (x,y) F = (x,y,z)

Una función de dos variables puede ser representada por:

(1) Una fórmula, por ejemplo: 3 x2 + y. A cada par (x, y) corresponde un valor f(x, y) que se obtiene reemplazando los valores de x e y esa fórmula.

(2) Una tabla como la siguiente:

x y f(x, y) -1 -1 2 0 0 0

1/2 1/4 2 1 1 4 2 1 13

(3) Un esquema con diagramas de Venn:

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(4) Un gráfico cartesiano:

Operaciones: Se definen sobre las intersecciones de sus respectivos dominios.

Sí: f = F(t) : g = G(t) f,g son funciones escalares de variable vectorial.

(f + g)(f) = Df+g : Df ∩ Dg Suma

(f . g) (f) = f(f) . g(f) : Dfg : Df∩ Dg producto

(f/g) (t) = f(f) /g(f) ; g ? 0; Df∩ Dg cociente

3.2.4 FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE VECTORIAL

Llamada también función vectorial de varias variables, donde no se reitera en primer elemento del par ordenado. Una función vectorial de variable vectorial, se obtiene cuando en sus pares ordenados los primeros elementos son vectores Vn y sus segundos elementos son vectores Vm. Donde el dominio Df y el condominio Cf estarán formados por vectores de dimensión: n, m respectivamente. Su notación es la siguiente:

F = F(t) t = (t1,t2,......t n) T = (f1,f2,......fm)