FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que vande R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de Rn y devuelven un valorde R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rn y devuelven uno de Rm. La dificultad de estasfunciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de R2 en R, quese pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican muchollegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones,aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.

CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Sea

una aplicación que a cada

le asigna

. Entonces

es una función escalar de varias variables.

NOTACIÓN: En el caso de que n=2, haremos:

Y en el caso de que n=3

DEFINICIÓN: Sea

. Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de en el que está definida

Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Sea

. Llamamos GRÁFICA de

al conjunto

. A dicha gráfica la llamaremos superficie:

Ejemplo:

1

Llamamos CURVAS DE NIVEL a los puntos de la forma

. Son los puntos obtenidos al intersercar la superficie generada por

con un plano z=cte, y proyectarla en el plano.

OBSERVACIÓN: Sea

. Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de

a los conjuntos de la forma conjunto

.

DEFINICIÓN: Sea

una aplicación que a cada

le asigna un vector

. Entonces

es una función vectorial de varias variables.

Y a las

se las llama funciones coordenadas.

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea

. Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de

.

2

LÍMITES:

DEFINICIÓN: Sea

y un punto de acumulación de . Entonces se dcice que:

si:

Graficamente podemos verlo así: Siempre existe un � tal que las imágenes de la parte de la bola de centro y radio � que pertenece a pertenecen a una bola de radio � con centro en

.

Ejemplo:

Demostrar que

como

Con lo que queda comprobado.

DEFINICIÓN: Decimos que el límite de

es infinito si:

3

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a , la distancia de la función al cero es muy grande.

DEFINICIÓN: Si es un contorno de

es, llamamos ENTORNO PERFORADO de a

PROPIEDADES:

Si

tiene límite en , este es único.

•

Si

tienen límites

en respectivamente, entonces:

•

Si

tienen límites

en respectivamente, entonces:

•

Si además

en un entorno perforado de y

, entonces:

•

OBSERVACIÓN: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es comoacercarnos al punto. Hay muchas maneras(por rectas, parabolas, cubicas, etc). Pero como el límite ha de sersiempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos deacercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.

Ejemplo:

4

Nos acercamos por una trayectoria recta:

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista;solo dice que si existiera debería ser ese.

Ejemplo:

Si

tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

Luego el límite no existe.

PROPOSICIÓN: Sea

, y sea

,

Entonces

TEOREMA(Del Sandwich): Supongamos que tenemos

, y sea un punto de acumulación de . Si existe un entorno de tal que

y se verifica que:

Entonces:

5

Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Otro metodo de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que rtienda a cero. Muchas veces este sistema es muy comodo.

Ejemplo:

1)

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2)

Por el teorema del Sandwich

CONTINUIDAD:

DEFINICIÓN: Decimos que

es continua en , punto de acumulación de , si:

1) Existe

6

2) Existe y es finito

3)

PROPIEDADES:

Si

son continuas en , entonces

es continua en

•

Si

son continuas en , entonces

es continua en

•

Si además

, entonces

es continua en

•

PROPOSICIÓN:

es continua en si y solo si

son continuas en para

DIFERENCIABILIDAD:

IDEA INTUITIVA: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable avarias variables. La idea básica consiste en coger un vector y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y elvector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a unavariable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

DEFINICIÓN: Sea

7

, , punto interior de , y

. Entonces llamamos derivada de

según el vector a:

OBSERVACIÓN: Si , entonces:

Demostración:

NOTACIÓN: Sea

. Entonces definimos la norma de cómo:

DEFINICIÓN: Llamaremos derivada direccional de

según una dirección definida por a la derivada según el vector :

Ejemplo:

8

Existen todas las derivadas direccionales de

, pero

no es continua en (0,0)

Si hacemos

Luego el límite no existe y la función no es continua.

OBSERVACIÓN: Si

, entonces:

DEFINICIÓN: Sea

, , punto interior de . Entonces llamamos derivada parcial respecto de

a la derivada direccional de

según el vector

de la base canónica de . Lo representamos de la siguiente manera:

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea

, abierto. Entonces se dice que

es diferenciable en si existe una aplicación lineal

, que llamaremos diferencial de

en , tal que:

9

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar

, sea una `o pequeña' de

, de tal manera que tiende más rapidamente a 0 que

. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

OBSERVACIÓN: Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en unplano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo:

¿Existe

?

Acercándonos por h=0:

Y por k=0

Luego la función no es diferenciable

IDEA INTUITIVA: Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n=2.

10

Sea

(pequeño), y

diferenciable en

,

para ciertos y

. Entonces

Puedo hacer

igual a la función en más el plano en un punto (x,y) tangente en , más un error pequeño.

Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie

en el punto

al plano

PROPIEDADES:

1) Si

es diferenciable en , entonces la diferencial es única.

2)

es diferenciable en si y solo si

es diferenciable en

. Además la diferencial es:

11

3) Si

son diferenciables en , entonces

,

,

son diferenciables en , y se verifica:

•

•

•

PROPOSICIÓN: Sea

. Si

es diferenciable en , entonces existe

, y además

Demostración:

OBSERVACIÓN: Sea

, y

. Entonces:

DEFINICIÓN: Sea

. Entonces llamamos VECTOR GRADIENTE de

en a:

OBSERVACIÓN:

Si

es diferenciable en

•

12

, entonces

(Si es unitario)=

. Dicha expresión es máxima cuando tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que elvector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función.

•

PROPOSICIÓN: Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.

Ejemplo:

Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por ladefinición:

Luego si

fuera diferenciable, su difernecial sería cero

Luego la función no es diferenciable.

DEFINICIÓN: Sea

diferenciable en . Entonces a la matriz asociada a la aplicación

en las bases canónicas de y se le llama MATRIZ JACOBIANA de

en , y se denota

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OBSERVACIÓN: Estudiemos como es la matriz. Si

, tomamos

. Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:

Sea

y

PROPOSICIÓN: Si

es diferenciable en , entonces es continua en

Demostración: La haremos para

Hay que demostrar que:

Como

es diferenciable en

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DEFINICIÓN: Sea

, abierto. Decimos que

es de clase

en si todas las derivadas parciales de

están definidas en un entorno de y además son continuas en .

Por consiguiente

es de clase

en si lo es en todos los puntos de

TEOREMA: Si

es de clase

en , entonces es diferenciable en

OBSERVACIÓN: En general, el recíproco no es cierto.

TEOREMA(Regla de la cadena): Sea

, y

, tal que

. Si

es diferenciable en

y

es diferenciable en

, entonces

es diferenciable, y además:

OBSERVACIÓN: Por tanto

Ejemplo:

15

DEFINICIÓN: Sea

. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de , entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos ordende la derivada el,número total de veces que hemos derivado.

NOTACIÓN:

.. Además, para simplificar:

Ejemplo:

TEOREMA(Schwarz): Sea

, abierto, y . Si existen

,

16

,

en un entorno de y

es continua en , entonces existe

y además :

: Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

DEFINICIÓN: Decimos que una función es de clase

en

si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en . Analogamente decimos que una función es de clase

en si lo es en tofos los puntos de

DEFINICIÓN: Si

es de clase

en , llamamos diferencial segunda de

en a:

OBSERVACIÓN:

La diferencial segunda es una forma bilineal.• La diferencial segunda se puede representar matricialmente:•

A dicha matriz se la llama MATRIZ HESSIANA o HESSIANO de

Por ser

de clase

, se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática•

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asociada. La podemos asimilar simbolicamente a una binomio:

En general:

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Si

es de clase

en , llamamos diferencial de orden en a:

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden en como un binomio a la

DEFINICIÓN: Sea

. abierto, y

de clase

en . Entonces se define en POLINOMIO DE TAYLOR de orden

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de

en como:

y el RESTO DE TAYLOR de orden como:

TEOREMA(Taylor): Sea

. abierto, y

de clase

en , y

, tales que el segmento

de extremos

está incluido en . Entonces existe

tal que:

por tanto:

OBSERVACIÓN: Si hacemos

, entonces:

APLICACIONES:

PROPOSICIÓN:

1)Sea

entonces

es perpendicular a la curva () o superficie () de nivel que pasa por

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.

Demostración:

Sea una superficie de nivel de

, tal que

y sea una curva

, tal que

y

Si componemos

con

(Por ser

)

Como es genérica,

es perpendicular a toda curva de , y por tanto es perpendicular a .

Si

es diferenciable en

, entonces el plano tangente a la gráfica de

en el punto

es:

•

Ejemplo:

Calcular el plano tangente a

en

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DEFINICIÓN: Sea

, y punto interior de . Entonces:

alcanza un máximo relativo en si existe , entorno de , tal que

•

alcanza un mínimo relativo en si existe , entorno de , tal que

•

alcanza un máximo absoluto en si

•

alcanza un mínimo absoluto en si

•

Diremos que

alcanza un extremo relativo en si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que

alcanza un extremo absoluto en si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.

TEOREMA: Si

es continua en , y es un conjunto compacto de , entonces

alcanza un máximo y un mínimo absolutos en .

21

TEOREMA(Condición necesaria): Sea

, y punto interior de . Si

es diferenciable en y alcanza un extremo relativo en , entonces

OBSERVACIÓN: Los puntos en los que

es diferenciable y se verifica

se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativosson puntos estacionarios.

OBSERVACIÓN: Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no esnada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con ladiferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.

DEFINICIÓN: Sea

una forma cuadrática no nula:

Se dice que es definida positiva si

•

Se dice que es definida negativa si

•

Se dice que es semidefinida positiva si

y no es definida positiva

•

Se dice que es semidefinida negativa si

y no es definida negativa

•

Se dice que es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen

, tales que

•

TEOREMA(Condición suficiente): Sea

, abierto, y supongamos que

es de clase

en . Sea un punto estacionario de

22

, es decir, tal que

. Entonces:

Si

es definida positiva, entonces

alcanza en un mínimo relativo.

•

Si

es definida negativa, entonces

alcanza en un máximo relativo.

•

Si

es indefinida, entonces

no alcanza en un extremo relativo.

•

OBSERVACIÓN:

Si

es semidefinida(positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información.

•

A los puntos estacionarios para los que

es indefinida se les llama puntos de silla de

•

DEFINICIÓN: Llamamos RANGO de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y SIGNATURAal número de autovalores positivos que posee(contando multiplicidad).

OBSERVACIÓN: Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene autovalores reales(contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número deautovalores diferentes de cero(contando multiplicidad)

TEOREMA: Sea

una forma cuadrática. Entonces:

es definida positiva si y solo si

y

.

•

es definida positiva si y solo si

y

.

•

es semidefinida positiva si y solo si

.

•

es semidefinida positiva si y solo si

y

.

•

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TEOREMA(Criterio de Sylvester): Sea

el determinante de orden formado por los elementos de las primeras filas y las primeras columnas de la matriz asociada a . Entonces:

es definida positiva si y solo si

.

•

es definida negativa si y solo si

.

•

OBSERVACIÓN: En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencialsegunda, su matriz es una forma cuadrática.

DEFINICIÓN: Sea

y

(ligadura). Sea también

, y sea . Entonces se dice que

tiene en un extremo relativo condicionado por la ligadura

si existe un entorno de tal que se verifica:

. Entonces es un máximo relativo condicionado por

.

•

. Entonces es un mínimo relativo condicionado por

.

•

OBSERVACIÓN: Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por lasuperficie

, dada por una función que llamaremos ligadura.

TEOREMA(Condición necesaria): Sea

y

, abierto, y

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y

de clase

en . Sea también , y supongamos que

y que el rango de

sea (Los vectores gradiente son independientes). Si la función

tiene un extremo relativo en condicionado por la ligadura

, entonces existen

tales que la función

(Función de Lagrange o lagrangiano ) verifica que

(Tiene un punto estacionario en )

Ejemplo:

Hallar los extremos de

condicionados por

Es facil darse cuenta que es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

Construimos el lagrangiano

Como sabemos que :

, y por ser

, nos queda que

Y además

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Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos

OBSERVACIÓN: A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estoslineales.

TEOREMA(Condición suficiente): Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que

y

sean de clase

en . Consideramos entonces la forma cuadrática

Entonces :

Si es definida positiva, entonces es un mínimo relativo de

condicionado por

•

Si es definida negativa, entonces es un máximo relativo de

condicionado por

•

Si es indefinida, entonces no es un extremo relativo.

•

CÁLCULO(Busqueda de extremos absolutos en compactos): Si

, compacto, sabemos que

tiene máximo y mínimo absolutos en . Dichos extremos pueden ser del interior de , y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de . Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos

en dichos puntos.

Vease Topología Usual en

Véase Formas Bilineales y Sesquilineales en Álgebra

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