FuncionesDefinición:

Una función f : A → B es una relación que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder un único elemento del conjunto B.

El conjunto A se llama Dominio de la Función y el conjunto B es el Rango o Codominio.

A Bf

1

2

m

n

p

Para indicar que a un elemento x de A

se le hace corresponder un elemento y de B,

se escribe y=f(x) y se lee:

• y es igual a f de x.

o bien:

• y es la imagen de x.

o bien:

• x es una preimagen de y.

Veamos si las siguientes figuras representan funciones

Es el conjunto de valores de la variable x, para los cuales la función existe.El dominio viene caracterizado por el tipo de función.

Ejemplos:

Sea ; el dominio es

Sea ; el dominio es

Dominio de una función numérica

32)( xxf ),( Df

xxf )( ),0[ Df

Es el conjunto de elementos del Codominio, que son imagen de algún elemento del Dominio.El Conjunto Imagen es un subconjunto del Codominio.

Ejemplos:

1)Sea

2)Sea

Conjunto Imagen

32)( xxf RCod ),(

xxf )( 0),0[Im UR

R ),(Im

RCod ),(

Formas de expresar una función:

•Mediante Gráficas

•Mediante Tablas

•Analíticamente

La siguiente es la gráfica de un bebé que al nacer pesó 3,300 kg.

a)¿Qué ocurre en los primeros días de vida? Interpreta el punto P.

b) ¿Qué días el niño pesó 150 g menos que al nacer?

c) En algún momento de la segunda quincena la madre cambió el pecho por la mamadera. ¿Le gustó el cambio al niño?

d) Indica el aumento de peso durante la primera, segunda y tercera quincena.

e) Indica el máximo y mínimo peso que dio el niño durante el mes y en qué días.

f) Indica los máximos y mínimos locales, y absolutos.

FUNCIONES EXPLÍCITAS

Una función es explícita cuando está definida de la forma y = f(x), es decir, está despejada la variable dependiente y en términos de la variable independiente x.

Ejemplos: y = f(x) = 3x2 +2x+1 ; y=sen(x)

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Una función está dada en forma implícita cuando está escrita de la forma f(x,y) = 0, es decir, no está despejada la variable dependiente y.

Ejemplos: f(x,y) = y2 - 2xy + 7x2 - 1 = 0 ; 3y - 4x = 7

Representación gráfica de funcionesUn punto cualquiera del plano está representado por un par ordenado de números (x,y).

La coordenada x se llama abcisa y la coordenada y se denomina ordenada.

Ejemplos:

Teorema de Pitágoras

Primero recordemos que un triángulo rectángulo es aquel que tiene...

...un ángulo recto, es decir, de 90 grados.

El Teorema de Pitágoras dice que:

en todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Distancia entre dos puntos

Para hallar la distancia entre dos puntos del plano, por ejemplo entre P1 y P2, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, ya que se ve claramente que los puntos P1, P2 y Q forman un triángulo rectángulo.

222

12

21 QPQPPP

121 xxQP Como:

122 yyQP y

entonces: 2122

122

21 yyxxPP

2122

1221 yyxxPPd

Función Constante

2)( xfy

1)( xfy

kxfRRf )(/:donde k es un valor real

La función linealbxmxfRRf .)(/:

m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) que pertenecen a la recta, la pendiente m se puede calcular así:

12

12

xx

yym

siempre que 12 xx

La pendiente de una recta es independiente del orden en que consideramos dos puntos en ella.

21

21

12

12

xx

yy

xx

yy

Para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos P1=(x1,y1) y P2=(x2,y2) hacemos:

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Por ejemplo, dados P1=(3;4) y P2=(-2;6), la recta que pasa por ambos puntos será:

46

4

32

3

yx

2

4

5

3

yx

5423 yx 20562 yx

yx

5

2062 5

26

5

2 xy

5

26

5

2 xy

Para hallar la ecuación de una recta, dados un punto (x1,y1) y la pendiente m, hacemos:

)( 11 xxmyy Ejemplo: Hallar la recta de pendiente 3 que pasa por el punto (1;-4).

)1(34 xy

73 xy

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y de signo opuesto.

21

1m

m

Rectas Paralelas y Perpendiculares

21 mm

Funciones definidas por partes

Las llamamos así a las funciones que están definidas por intervalos.

Ejemplo:

3

22

)(

x

x

xf

1

1

x

x

Estas funciones pueden definirse en dos o más intervalos.

Sobreyectiva No inyectiva No sobreyectiva Inyectiva

Biyectiva No sobreyectiva No inyectiva

Función Inversa

Una función biyectiva admite función inversa.

Si la función es f a su función inversa la llamaremos f-1

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta identidad, es decir, a la recta y = x.

La función azul es y=ln(x)

La función verde es y= ex

La función violeta es la recta identidad y = x

La función azul es y=3x+4

La función verde es y= 1/3 x – 4/3

La función violeta es la recta identidad y = x

La siguiente es la gráfica de la función y = x2

¿Esta función tiene inversa?

Función Valor Absoluto

xxf )(

Equivale a

x

xxxf )(

Si

Si 0

0

x

x

Función Valor Absoluto

xxf )(

Una función es PAR si cumple que: f(x) = f(-x), para todos los x del dominio.

)()(: xfxfDx

Función Par

Es decir si su gráfica es simétrica respecto del eje yCon lo que se produce una simetría.Las funciones pares definidas por polinomios de grado par, no tienen función inversa.

Una función es IMPAR si cumple que: f(x)= -f(-x), para todos los x del dominio.

)()(: xfxfDx

Función Impar

Con lo que se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. De la misma manera para toda función impar definida en el punto "0" se tiene que f(0)=0.

Función Polinómica

012

21

1 ...)( axaxaxaxaxf nn

nn

nn

Si n=0 se tiene entonces función constante

Si n=1 se tiene entonces función lineal

Si n=2 se tiene entonces

función cuadrática

0)( axf

01)( axaxf

012

2)( axaxaxf

Función Cuadrática

cbxaxxf 2)(

Usaremos para este caso una notación muy común

Ejemplos

Función Cuadrática54)( 2 xxxf )5)(1( xx 9)2( 2 x

Funciones Racionales

)(

)()(

xQ

xPxf

Siendo y funciones polinómicas)(xP )(xQ

Función PeriódicaFunción que repite el mismo valor a intervalos regulares de la variable.

Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que pueda hacer f(x+p) = f(x) para todas las x.

Donde P es el período.

)()( Pxfxf

Ejemplo:

Funciones Trigonométricas

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes.

Existen seis clases de funciones trigonométricas:

seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante

Función SenoSe denomina función seno, y se denota por f (x) = sen(x), a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Período: Df: Im: [-1,1]2 ),(

Se denomina función coseno, y se denota por f (x) = cos(x), a la aplicación de la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. La función coseno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Período: Df: Im: [-1,1]

Función Coseno

2 ),(

Función Tangente)cos(

)()tan(

x

xsenx

No es continua. No se define en todos los reales, ya que hay valores para los cuales no existe. Su período es y su imagen son todos los reales.

Función Exponencial

xaxf )(

Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma

10 aya

1a

10 aRDomRIm

xxf 2)(

x

xf

2

1)(

Función Logarítmica

Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma

donde "a" es constante (un número) y se denomina la base del logaritmo.

Y = loga x

xxf alog)(

10 aya

Composición de Funciones

Una función compuesta es una función formada por la aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x.

zyx ))(()( xfgxfx

A g ο f se le llama composición de f y g. Nota: se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Composición de FuncionesTambién se la llama Función Compuesta.

El dominio de la función compuesta es igual al dominio de la primera función que aplicamos.

Ejemplo: f o g

Dadas: 2)(/:)(/),0[: xxfRRfxxgRg

xxxgfxfogRfog 2)())(())(/(),0[:)(

DfRIg ),(),0[

Observación: D(f o g)=Dg

xxgRgxxfRRf )(/),0[:)(/: 2

Ejemplo: g o f (Vamos a usar las mismas funciones del ejemplo anteriorDadas:

)()( foggof

No existe (gof) es decir no existe2))(( xxfg

Observación: DgIf ),0[)0,(

Costo Total CT =CF+CV(x)

CF Costo Fijo

CV Costo Variable

Costo Medio CM=CT/(x)

Beneficio o Utilidad B=IT-CT

IT Ingreso Total

Si igualamos el Beneficio a cero, el valor hallado de x será el punto de equilibrio, es decir el ingreso es igual al costo. IT-CT=0

Funciones para Aplicaciones Económicas

La función de demanda D(p) para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática.D(p) = mp + n con m<0 o bien D(p) = ap2 + bp + c, con a<0.

La función de oferta S(p) , para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. La relación puede ser lineal o cuadrática.S(p) = kp + v con k>0 o bien S(p) = dp2 + ep + f, con d>0.

El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades de producto que se demandan.

Demanda y Oferta