Funciones Derivables. Contenidos Introducción Definición de Derivada Recta Tangente y Normal...
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Funciones Derivables
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Funciones Derivables
Contenidos
Introducción Definición de Derivada Recta Tangente y Normal Derivada Funcional Algebra de Derivadas Formulario Básico Ejercicios
Interpretación Geométrica
0x
P 0f x
x
Q f x
f
0x x
0f x f x
Recta Secante
Curva
Interpretación Geométrica
0x
P 0f x
x
Q f x
f
0x x
0f x f x
Recta Secante
Curva
Interpretación Geométrica
0x
P 0f x
x
Q f x
f
0x x
0f x f x
Recta Secante
Curva
Interpretación Geométrica
0x
P 0f x
x
Q f x f
0x x 0f x f x
Recta SecanteCurva
Interpretación Geométrica
P
f
Recta Tangente
y mx b 0f x
0x
0
0
0x x
f x f xLim
x x
fSe dice que una función es derivable en 0x si existe
Lo que anotaremos por
Esta valor corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto 0x
0 ,dy
xdx
0 ,d
f xdx
0x
D y 0' ,f x
La Derivada
Ejemplo 1
Sea la función
a) ¿Es derivable en
3 1
2 1
1 1 2( )
1 2
3 2
x si x
si x
si xf x
si x
x si x
0 1x b) ¿Es derivable en
0 2x
c) ¿Es derivable en 0 6x
d) Grafique la función
?
?
?
Solución
Volver
Ejemplo 2
Sea la función
2 8 15 5 3
3 3 1( )
4 1 4
4 4 10
x x si x
si xf x
x si x
x si x
a) ¿Es derivable en 0 1x b) ¿Es derivable en
0 2x
c) ¿Es derivable en 0 6x
d) Grafique la función
?
?
?
Solución
Volver
Recta Tangente y Normal
0 0 0'y f x f x x x
La ecuación de la recta tangente en 0x es
La ecuación de la recta Normal en 0x
0 00
1
'y f x x x
f x
es
Interpretación Geométrica
P 0f x
f
Recta Tangente
Recta Normal
Curva
y mx b
1y x b
m
Interpretación Geométrica
f
Curva
Volver
Recta tangente y Normal en distintos Instantes
0x 1x 3x2x 4x 5x 6x
Ejemplo 3
Sea la función
a) Hallar la ecuación de la recta Tangente y Normal en el punto 0 4,5x
2 8 15 5 3
3 3 1( )
4 1 4
4 4 10
x x si x
si xf x
x si x
x si x
b) Hallar la ecuación de la recta Tangente y Normal en el punto 0 8x
c) Grafique la situación
d) ¿ Es derivable en -3? Justifique su respuesta
Solución
Volver
0
'h
f a h f af a Lim
h
Sea función se define la derivada funcional comof
a Dom f
Volver
La Derivada Funcional
Ejemplo 4
Sea la función2( )f x x Demuestre ' ( ) 2f x x
Solución
Ejemplo 5
Sea la función ( )f x x Demuestre 1
' ( )2
f xx
Solución
son dos funciones derivable en,
d df dgf x g x x x
dx dx dx
Si yf g0x entonces
d df dgf x g x x x
dx dx dx
d df dgf x g x x g x f x x
dx dx dx
2
df dgx g x f x xf xd dx dx
dx g x g x
Álgebra de Derivadas
Suma
Resta
Producto
División
son dos funciones derivable en,
d df dgf g x g x x
dx dx dx
Si yf g
Regla de la Cadena0x entonces
Volver
f x ' 0f x
f x x 'f x
nf x x 1nf x n x
Funciones Polinomiales
Formulario
Funciones Irracionales
f x x 1'
2f x
x
3f x x 3 2
1'
3f x
x
nf x x 1
1'
n nf x
n x
Función Derivada
Función Derivada
f x Ln x 1'f x
x
axf x e ' axf x ae
Funciones Exponencial y Logarítmica
bf x Log x
xf x a
1' bf x Log ex
' ln xf x a a
Formulario
Función Derivada
'f x Cos x f x Sen x
'f x Sen x f x Cos x
f x Tang x 2'f x Sec x
Funciones Trigonometrica
Funciones Hiperbólicas
f x Senh x
f x Cosh x
f x Tangh x
'f x Cosh x
'f x Senh x
2'f x Sec h x
Función Derivada
Función Derivada
f x ArcSen x
f x ArcCos x
f x ArcTang x
FunciónDerivada
Funciones Trigonometricas Inversas
2
1'
1f x
x
2
1'
1f x
x
2
1'
1f x
x
secf x ArcCo x
f x ArcSec x
tanf x ArcCo g x
2
1'
1f x
x x
2
1'
1f x
x x
2
1'
1f x
x
f x ArcoSenh x
f x ArcCosh x
f x Tangh x
2
1'
1f x
x
Función Derivada
Funciones Hiperbólicas Inversas
2
1'
1f x
x
22
1' 1
1f x x
x
Volver
Ejercicios
3
4
1
1
x xy
x
Determinar la primera derivada usando las operaciones básicas de derivación
5 34 2 3y x x x
32 2 4y x x x
35
3
1
5
1xxy
2
2 3
5 5
xy
x x
2 1
2 1y
x x
1
1
xy
x
( ) ( )
( ) ( )
Sen x Cos xy
Sen x Cos x
1
1
x
x
ey
e
3 lny x x
EjerciciosDeterminar la primera derivada usando la regla de la cadena
3 1ln
1
xy x
x
(2 ) 1
(2 )
Cos xy
Sen x
ln 1 ln 1y x x
8 53 33 31 1
1 18 5
y x x
44 1
3 2
xy
x
43 2 1y x x
2ln 1 xy x xe
2
54 1
7
xy
x
2ln 1y x
