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Indice general
1. FUNCIONES ELEMENTALES 3
1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Definicion de funcion real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Funciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Funcion Escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Onda Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3. Pulso triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4. Funcion Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Funcion polinomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Funcion racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Repaso de Descomposicion en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.6. Funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.7. Funcion trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.8. Funciones hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4. Operaciones con funciones y funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1. Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2. Inversas para las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
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2 ´ INDICE GENERAL
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Capıtulo 1
FUNCIONES ELEMENTALES
1.1. Definiciones
1.1.1. Definicion de funcion real
Una funcion f en los reales es una regla que asigna a cada numero x un unico numero real f (x):
x → y = f (x)
x: variable independiente, argumento o entrada.y: variable dependiente, valor de la funcion o salida.
1.1.2. Definiciones generales
El dominio de una funcion y = f (x), que denotamos por Domf , es el conjunto de numeros
reales x en los que tiene sentido f (x)
Dom(f ) = {x ∈ R/∃f (x)}
La imagen de f , que denotamos por Imf , es el conjunto de numeros reales y para los que existe
x ∈ R con y = f (x)
Im(f ) = {y ∈ R/∃x\y = f (x)}
Para visualizar una funcion es muy util dibujar su grafica:
Sea f una funcion con dominio D, el conjunto de puntos (x, f (x)) ∈ R2 con x ∈ D forman la grafica
de f .
Sea f : D → R una funcion:
3
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4 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
1. f es una funcion inyectiva si x1 = x2 implica que f (x1) = f (x2), o, de manera equivalente, si
f (x1) = f (x2) entonces x1 = x2, esto es, si asigna argumentos distintos a valores distintos.
2. f : D → R se dice sobreyectiva si Im(f ) = R.
Si f : D → B , con B ⊂ R se dice sobreyectiva si Im(f ) = B .
3. f es una funcion biyectiva o uno-a-uno si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Una funcion f es periodica de periodo k si f (x + k) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ) y decimos que
k es el periodo mınimo de f si k > 0 y no existe ningun otro periodo T de f con 0 < T < k.
Para aprovechar las simetrıas de la grafica de una funcion decimos que una funcion f es par si
f (x) = f (−x) para todo x ∈ Dom(f ). Decimos que la funcion f es impar si f (−x) = −f (x) para
todo x ∈ Dom(f ).
La grafica de una funcion par es simetrica respecto del eje y, mientras que la de una funcion impar
es simetrica respecto del origen.
1.2. Funciones usuales
1.2.1. Funcion Escalon
A continuacion definiremos una funcion que utilizareis muy frecuentemente a lo largo de vuestro
grado.
Definicion. Dado a > 0, definimos la funcion escalon o Heaviside en el origen U a(t)se define
como:
U a(t) =
0 t < a
1 t > a
u(t-a)
1
a t
Figura 1.1: Funcion Escalon
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1.2. FUNCIONES USUALES 5
1.2.2. Onda Cuadrada
Las ondas cuadradas se usan para definir tensiones, a intervalos regulares, en un tiempo muy
reducido. Tambien se puede definir como la convolucion de dos funciones reales.
Por ejemplo una onda cuadrada puede expresarse como:
f (t) = u(t − a) − u(t − b)
f(t)
1
a b t
Figura 1.2: Funcion Cuadrada
1.2.3. Pulso triangular
Se define una senal pulso triangular de duracion 2τ y amplitud A centrado en t0 como:
x(t) =
A
1 +
t − t0τ
t0 − τ ≤ t < t0
A
1 − t − t0
τ
t0 ≤ t < t0 + τ
0 caso contrario
x(t)
A
t 0t - 00 t + t
Figura 1.3: Funcion Triangular
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6 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
1.2.4. Funcion Signo
La funcion de signo obtienen el signo de cualquier numero real que se tome por entrada.
f (t) = sgn(t) =
1 t > 0
0 t = 0
−1 t < 0
La funcion signo es discontinua en 0, y es una funcion impar.
Figura 1.4: Funcion Signo
1.2.5. Valor absoluto
f (x) = |x| =
x si x > 0
x si x ≤ 0
f(t)
1
1-1 t
Figura 1.5: Funcion Valor Absoluto
Esta funcion siempre sera par, mayor o igual que cero .
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1.3. FUNCIONES ELEMENTALES 7
1.3. Funciones elementales
1.3.1. Funcion potencial
y = xα, donde α es cualquier numero real.
En general esta funcion esta definida para x > 0, crece monotonamente cuando α > 0 y decrece
monotonamente cuando α < 0
y = x1/2
y = x-3/2
1 2
1
2
x
y
1 2
1
2
x
y
Figura 1.6: Funcion potencial
Casos particulares:
1. Si α es un numero positivo, la funcion y = xα esta definida sobre todo el eje real−∞ < x < +∞.
Para α = 3 y α = 4, las graficas de las funciones estan representadas en la figuras.
2. Si α es un numero negativo entero, la funcion xα esta definida para todos los valores de x,
excepto x = 0.
3. Si α = p
q > 0 es un numero racional, donde q es impar, la funcion xα esta definida sobretodo
el eje real y, cuando q es par, la funcion xα esta definida para x ≥ 0.
1.3.2. Funcion polinomica
y = a0 + a1x + a2x2
+ . . . + anxn
El campo de definicion es toda la recta numerica R
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8 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
1.3.3. Funcion racional
y = P (x)
Q(x)
donde P (x) y Q(x) son polinomios, el dominio de f (x) viene dado por todos los numeros reales salvo
las raıces del denominador, es decir
Dom(f ) = {x ∈ R/Q(x) = 0}
1.3.4. Repaso de Descomposicion en fracciones simples
Sea f (x) = P (x)
Q(x), una funcion racional, siendo P (x) y Q(x) polinomios.
Si el grado de P (x) es mayor o igual que el grado de Q(x) efectuamos el cociente, obteniendo:
P (x)
Q(x) = C (x) +
R(x)
Q(x)
con C (x) y R(x) polinomios y el grado de R(x) es menor que el grado Q(x). Supongamos en adelante
funciones racionales de la forma P (x)
Q(x) con grado de P (x) menor que el grado de Q(x) , siendo Q(x)
un polinomio de grado n cuyo coeficiente de grado maximo es 1 y a1, a2, · · · , an sus n raıces
Podemos considerar los siguientes casos:
1. Las raıces de Q(x), a1, a2, · · · , an, son reales y distintas. Se puede hacer una descomposicion
de la forma:P (x)
Q(x) =
A1
x − a1+
A2
x − a2+ · · · +
An
x − an
Para determinar Ai, se puede reducir a comun denominador. El mınimo comun multiplo
sera Q(x), e igualando los numeradores se obtiene un sistema de n ecuaciones. En este ca-
so resulta mas comodo para calcular Ai multiplicar ambos terminos por (x − ai) y sustituir x
por ai, de donde:
Ai =
P (x)
(x − a1) · · · (x − ai−1)(x − ai+1) · · · (x − an)
x=ai
Ejemplo: Descomponer en fracciones simples la funcion racional x
x2 − 5x + 6Calculamos las raıces del denominador:
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 ⇒ x = 2, x = 3
Por tanto:x
x2 − 5x + 6 =
A1
x − 2 +
A2
x − 3
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1.3. FUNCIONES ELEMENTALES 9
con
A1 =
x
x − 3
x=2
= −2 A2 =
x
x − 2
x=3
= 3
x
x2
−5x + 6
= −2
x
−2
+ 3
x
−3
Tambienx
x2 − 5x + 6 =
A1
x − 2 +
A2
x − 3 =
A1(x − 3) + A2(x − 2)
(x − 2)(x − 3)
quitando denominadores se obtiene:
x = A1(x − 3) + A2(x − 2)
Sustituyendo x por 2 se obtiene A1 = −2, analogamente sustituyendo x por 3, obtenemos
A2 = 3.
x
x2 − 5x + 6 = −2
x − 2 +
3
x − 3
2. Las raıces de Q(x) son todas reales pero alguna con multiplicidad mayor que 1. Sean a1, a2, · · · , ah
dichas raıces y k1, k2, · · · , kh respectivamente sus multiplicidades. Entonces la descomposicion
de la funcion correspondiente a cada raız ai es. :
Ai1
x − ai+ Ai2
(x − ai)2 + · · · + Aiki
(x − ai)ki
Los coeficientes se calculan reduciendo a comun denominador.
Ejemplo:
Descomponer en fracciones simples la funcion racional x + 1
x2 + 4x + 16Como x2 + 4x + 16 = (x − 4)2, la descomposicion sera:
x + 1
x2 + 4x + 16 =
A
x + 4 +
B
(x + 4)2 =
A(x + 4) + B
(x + 4)2
quitando denominadores se obtiene:
x + 1 = Ax + 4A + B ⇒ A = 1, B = −3
Por tantox + 1
x2 + 4x + 16 =
1
x + 4 +
−3
(x + 4)2
3. Q(x) puede tener raıces complejas simples. Entonces si a + bj es raız de Q(x), tambien sera raız
a − bj.
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10 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
Trataremos las raıces complejas conjugadas conjuntamente utilizando la expresion Ax + B
(x − a)2 + b.
Ejemplo:
1
(x2 + 4x + 5)(x2 + 1) =
Ax + B
x2 + 4x + 5 +
Cx + D
x2 + 1
1 = (Ax + B) (x2 + 1) + (Cx + D) (x2 + 4x + 5). Donde es necesario plantear un sistema de
cuatro ecuaciones con cuatro incognitas para calcular A, B, C y D:
x0 → 1 = B + 5D
x1 → 0 = A + 5C + 4D
x2 → 0 = B + D + 4C
x3
→ 0 = A + C
⇒ A = 1/8
⇒ B = 3/8
⇒ C = −1/8
⇒ D = 1/8
Con lo cual:
1
(x2 + 4x + 5)(x2 + 1) =
1
8
x + 3
(x + 2)2 + 1
+
1
8
−x + 1
x2 + 1
4. Q(x) tiene raıces complejas multiples.Supongamos que a + bj, y por lo tanto a− bj son raıces
de con multiplicidad k de Q(x).La descomposicion de la funcion correspondiente a las raıces
a + bj y a− bj es:
A1x + B1
(x − a)2 + b2 +
A2x + B2
((x − a)2 + b2)2 + · · · +
Akx + Bk
((x − a)2 + b2)k
Ejemplo: Descomponer en fracciones simples la funcion racional x2 + x + 1
(x2 + 1)2
x2 + x + 1
(x2 + 1)2 =
Ax + B
x2 + 1 +
Cx + D
(x2 + 1)2
Quitando denominadores:
x2 + x + 1 = (Ax + B)(x2 + 1) + Cx + D = Ax3 + Bx2 + (A + C )x + B + C
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1.3. FUNCIONES ELEMENTALES 11
de donde se deduce A = 0, B = 1, C = 1, D = 0. Por tanto:
x2 + x + 1
(x2 + 1)2 =
1
x2 + 1 +
x
(x2 + 1)2
1.3.5. Funcion exponencial
y = ax (a > 0, a = 1).
El campo de definicion es toda la recta numerica R. El numero a se denomina base del exponente.
Cuando a > 1 esta funcion crece monotonamente y para 0 < a < 1 decrece monotonamente.
y = ax
(a>1)
y = ax
(0<a<1)
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
Figura 1.7: Funcion exponencial
Si a > 0 y b, c ∈ R se tiene:
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. abac = ab+c
4. ab
ac = ab−c
5. (ab)c = abc
6. c√
a = ab/c
La funcion exponencial de base a > 1 no esta acotada superiormente aunque si lo esta inferi-
ormente en R.
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12 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
lımx→+∞
ax = +∞, se tiene que lımx→+∞
a−x = lımx→−∞
ax = 0
Si 0 < a < 1 la funcion exponencial de base a no esta acotada superiormente aunque si lo esta
inferiormente en R. Se verifica que:
lımx→+∞
a−x = lımx→−∞
ax = +∞ lımx→+∞
ax = 0
Si 0 < a < b entonces: ax < bx si x > 0 y bx < ax si x < 0
1.3.6. Funcion logarıtmica
y = loga x (a > 0, a = 1).
y = log xa
(a>1)
y = log xa
(0<a<1)
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
Figura 1.8: Funcion logarıtmica
El numero a se denomina base de funcion logarıtmica. El campo de definicion es el intervaloinfinito(0, +∞). Cuando a > 1, la funcion logarıtmica crece monotonamente y para 0 < a < 1,
decrece monotonamente.
La funcion logarıtmica y = loga x es funcion inversa de la funcion exponencial y = ax y viceversa. La
funcion logarıtmica de base a = e se denota por ln x y se denomina logarıtmico natural; la funcion
logarıtmica de base a = 10 se denota log x y se denomina logaritmo decimal, es decir,
loge x = ln x, log10 x = log x
Para a, x, y > 0 y c ∈ R:
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1.3. FUNCIONES ELEMENTALES 13
1. loga 1 = 0.
2. loga = 1.
3. loga x + loga y = loga(xy).
4. loga x − loga y = loga
xy
.
5. loga xc = c loga x.
Para base a > 1 la funcion logarıtmica no esta acotada superior ni inferiormente. De hecho se
tiene:
lımx→+∞
loga x = +∞ lımx→0+
loga x = −∞
Para base 0 < a < 1 la funcion logarıtmica no esta acotada superior ni inferiormente y se tiene:
lımx→+∞
loga x = −∞ lımx→0+
loga x = +∞
Para todo numero real x > 0 se tiene logbx = loga x · logb a, cualesquiera que sean los numeros
reales positivos a y b. Esto permite los cambios de base de los logaritmos, mediante la f ormula:
loga x = logb x
logb a por ejemplo
ln x
ln a =
log x
log a
1.3.7. Funcion trigonometricas
1. Funcion seno y = sen x. El seno (sen x) es la ordenada de un punto de la circunferencia de
radio 1 centrada en el origen que forma un angulo x con el eje horizontal.
y = sen(x)
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-2
-1
1
2
x
y
Figura 1.9: Funcion seno
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14 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
La funcion esta definida para todos los x. es periodica con perıodo T = 2π. La grafica del seno
se denomina sinusoide.
2. Funcion coseno y = cos x El coseno de x (cos x) es la abscisa de un punto de la circunferencia
de radio 1 centrada en el origen que forma un angulo x con el eje horizontal.
y = cos(x)
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-2
-1
1
2
x
y
Figura 1.10: Funcion coseno
La funcion esta definida para todos los x, su perıodo es T = 2π, su grafica tiene la forma.
La grafica de la funcion y = cos x se obtiene de la grafica y = sen x desplazando la ultima en
el segmento π
2 a la izquierda a lo largo del eje 0x.
3. Funcion tangente y = tg x = sen x
cos x
y = tg(x)
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.11: Funcion tangente
La funcion esta definida en todos los puntos, excepto los puntos x = (2k + 1) π2
(k =
0,±1,±2,...). Es periodica con perıodo T = π.
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1.3. FUNCIONES ELEMENTALES 15
4. Funcion cotangente y = cotg x = sen x
cos x La funcion esta definida en todos los puntos, excepto
los puntos x = kπ (k = 0,±1,±2,...). La funcion es periodica, T = π.
5. Funcion secante y = sec x = 1
cos x
6. Funcion cosecante y = cosec x = 1sen x
Se deja como ejercicio para el lector el estudio del
dominio, imagen, periodicidad, etc. de las dos ultimas funciones
Propiedades
1. sen2 x + cos2 x = 1
2. Dom(sen x) = Dom(cos x) = R. Im(sen x) = I m(cos x) = [−
1, 1]
3. Dom(tg x) = R−π
2 + kπ : k ∈ Z
, Im(tg x) = R.
4. Las funciones seno y coseno tienen periodo 2π y la tangente periodo π
5. El coseno es par y el seno y la tangente son impares:
sen(−x) = − sen(x) cos(−x) = cos(x) tg(−x) = − tg(x)
6. sen(π
−x) = sen(x) cos(π
−x) =
−cos(x)
tg(π − x) = − tg(x)
1 + tg2(x) = sec2(x) 1 + cotg2(x) = cosec2(x)
7. Formulas para la suma y diferencia de dos angulos
sen(x + y) = sen(α)cos(β ) + cos(x) sen(β )
sen(x − β ) = sen(x) cos(β ) − cos(x) sen(y)
cos(x + y) = cos(x)cos(y) − sen(x)sen(y)cos(x − y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)
tg(x + y) = tg x + tg y
1 − tg x tg y
8. Formulas para los angulos dobles
sen(2x) = 2 sen(x) cos(x) ; cos(2x) = cos2(x) − sen2(x)
cos(2x) = 2 cos2(x)
−1 cos(2x) = 1
−2sen2(x), por tanto se cumple la siguiente relacion:
9. sen2 x = 1 − cos2x
2 cos2 x =
1 + cos 2x
2
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16 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
1.3.8. Funciones hiperbolicas
1. Seno hiperbolico
senh x = ex − e−x
2
Campo de definicion:(−∞, +∞).Campo de valores:(−∞, +∞).
La funcion senh x es impar, puesto que senh (−x) = senh (x), no acotada y creciente.
2. Coseno hiperbolico
cosh x = ex + e−x
2Campo de definicion:[1, +∞).
Campo de valores:(
−∞, +
∞).
La funcion cosh x es par, y no acotada su valor mınimo adquiere cuando x = 0.
y = senh(x)
-2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y = cosh(x)
-2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Figura 1.12: Funciones seno hiperbolico y coseno hiperbolico
3. Tangente hiperbolico
th x = senh x
cosh x =
ex − e−x
ex + e−x
Campo de definicion:(−∞, +∞).
Campo de valores:(−1, 1)
La funcion y = th x es impar, acotada (|th x| < 1) y creciente.
Se verifican las siguientes relaciones:
a ) cosh2 x − senh2 x = 1
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1.4. OPERACIONES CON FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 17
y = th(x)
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
x
y
Figura 1.13: Funciones tangente hiperbolica
b) senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x) senh(y)
c ) cosh(x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y)
1.4. Operaciones con funciones y funciones inversas
Podemos realizar las siguientes operaciones combinando funciones:
1. Sumas: (f + g)(x) = f (x) + g(x).
2. Productos: (f g)(x) = f (x)g(x)
3. Traslaciones horizontales: f (x + c), y verticales: f (x) + c, donde c ∈ R.
4. Dilataciones horizontales: f (cx), y verticales: cf (x), c ∈ R.
5. Composicion:se define g compuesto con f como (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Para que la composicion
este definida es necesario que Img(g) ∩ Dom(f ) = ∅. El dominio de f ◦ g es {x ∈ Dom(g) :
g(x) ∈ Dom(f )}. Es importante notar que la composicion no es conmutativa, es decir, que por
regla general f ◦ g = g ◦ f .
1.4.1. Funcion Inversa
de una cierta f dada es (si es que existe) otra funcion, llamada f −1, que deshace lo que hace f,
es decir:
(f ◦ f −1)(x) = x = (f −1 ◦ f )(x)
cuando las composiciones tienen sentido. Un ejemplo es ln x frente a ex
:
ln(ex) = x = elnx
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18 CAP ITULO 1. FUNCIONES ELEMENTALES
Para que exista la inversa de una funcion f es necesario que esta sea inyectiva, como en el ejemplo
anterior . La funcion inversa de una f inyectiva cumple:
Dom(f −1) = I mg(f ) e Im g(f −1) = Dom(f )
Ademas, grafica de f −1 es la curva simetrica de la de f respecto a la recta y = x, que es la bisectriz
del primer y el tercer cuadrante. Pero si f no es inyectiva podemos definir una inversa de la funcion
considerando como dominio de f solamente un trozo donde sı lo sea. Ası f (x) = x2 es inyectiva en
[0, 1), y su inversa allı es √
x .
1.4.2. Inversas para las funciones trigonometricas
Podemos definir ası inversas para las funciones seno, coseno y tangente si reducimos su dominio.
1. Para sen x tomamos [−π/2, π/2], donde es inyectiva, y a su inversa la llamamos arcoseno, que
denotamos por arc sen x;
Dom(arc sen x) = [−1, 1], Img(arc sen x) = [−π/2, π/2]
Figura 1.14: Funcion arcoseno
2. Para cos x tomamos el intervalo [0, π] ya que en el es inyectiva. Su inversa, el arcocoseno ,
que denotamos por arc cos x,
Dom(arc cos x) = [−
1, 1], Img(arc cos x) = [0, π]
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1.4. OPERACIONES CON FUNCIONES Y FUNCIONES INVERSAS 19
Figura 1.15: Funcion arcocoseno
3. La tangente tiene inversa, la arcotangente, cuando nos restringimos a (−π/2, π/2). Se denotapor arc tg x, y para ella:
Dom(arc tg x) = R, Img(arc tg x) = (−π/2, π/2)
.
Figura 1.16: Funcion arcotangente
Ası definidas, el arcoseno y el arcotangente son funciones impares; el arcocoseno no es par ni
impar.