Funciones elementalesFunciones elementales

FUNCIÓN LINEAL

Ecuación de la Recta.

) Horizontal Recta ( )(constante ky

) Vertical Recta ( )(constante kx

a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b

y

a

x

) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y

)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax

)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy

=∗

=∗

=+∗

=∗

=++∗

+=∗

1

))(

PENDIENTE DE UNA RECTA

21

21

12

12

x x

y y

x x

y y tg m

−−=

−−== θ

x

y

●

●

B

.A

1x 2x

2y

1y

•

•12 x x −

12 y y −

θ d

(b)

(a) -mpendiente

0cbyax :recta En

==

=++

Distancia entre dos puntos de una Recta (d).

Distancia de un Punto a una Recta.

22 )() 1212 y y x (xd −+−=

22

11

b a

c y b x a d

+

++=

)11 y , (x P ● L

d

Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0

Ángulo entre dos Rectas ( ) .θ θ

1θ 2θ

1L 2L

12 θθθ −=

11 tg m θ=

2θ tg m 2 =

21

12

21

12

m m1

m m

tg tg 1

tg tgtg

+−=

+−=

θθθθθ

x +

)( m m1

m m tg

12

121-

+−=θ

Si las rectas son paralelas:

1 θ2 θ

x +

1L 2L

21

12

21o

1

m m

m m 1

m m 0 tg tg

=∴

=+

−==

=

0

2

θ

θθ

Si las rectas son perpendiculares:

x +

1L 2L

2 θ 1 θ

o90=θ o901 =−= θθθ 2

10 −=∴=+

=+

−=

1m 2m 1m 2m1

:entonces ; existe no

1m 2m1

1m 2m 90 tg

o

Proporcionalidad entre segmentos en una Recta.

•

A

B

P

•

•

),( 11 y x

),( 22 y x

),( y x

P ε al segmento AB y además AP=r PB.

C D

0 r ;r PB

AP >=

Además utilizando la semejanza de triángulos rectángulos entre

ACP y PEB :

E

r x x

x-x

PB

AP

x x

PB

x-x

AP

2

1

21

=−

=

−=

θ

θ

Despejando x :

1r

x xr x 12

++=

De la misma manera con y :

1r

y yr y 12

++=

Si r = 1 , encontramos que las coordenadas de P , corresponden a :

2

x x x 12 +=

2

y y y 12 +=

Por lo tanto: P es punto medio.

;

PROBLEMAS1.Determine el valor de la pendiente de la recta que

contiene a los puntos dados.

i) (2 , 3 ) y ( 4 , 8 ) ii) ( 2 , -4 ) y ( 0 , -8 ).

Resolución.

2 2 -4

) 2 ( -) 0 (4)- ( -) -8

m

,-8) 0 2

y2

(x ; ) ,-4 2 1

y1

(x ii)

2.5 2

5

2-4

3-8m

) 8 , 4 2

y 2

(x ; ) 3 , 2 1

y 1

(x 1

x 2

x1

y 2

ym Pendiente i)

=−==

==

===

==

−

−=

(

(),(),

(),(),

:

2. Halle la ecuación para cada recta . Escribe después

su respuesta en la forma A x+B y+C=0.

i) Pasa por (2,3) con pendiente 4.

ii) Con ordenada al origen 5 y pendiente 0.

iii) Pasa por (2,-3) y (2,5).

Resolución.

(Canónica) 5-y

4

5x

implícita) (Forma 05-y-4x

explícita) (Forma 5-4xy

2)-(x 43-y

x -x ( m y-y

entonces , 4m 3 2, y (x : Pendiente-Punto i)

00

00

1

)

)(),

=+

====

== y

ii) Se conoce la pendiente: m = 0 y b =5 , y la forma de

la recta , entonces : , que es la

ecuación de una recta horizontal.

Se pide expresarla en la forma: .

También se puede usar la forma punto pendiente:

Considerando:

)00 x-(x m y-y =

bx my += 50x y +=

051y0x =+−

5y

implícita) forma ( 051y0x

explícita) forma ( 5x 0y

0)-(x 05)-y (

: entonces , 0m y 5) , 0 y x ( 0 0

==+−

+==

== (),

x +

y + iii)

• ••

••

•

•

••

• ) 5 , 2 ( •

• ) 3- , 2 (

5

3-

0 2

•

•

1

90º

1-

2-

1

2

3

4

2x : es , L recta la de ecuación La

existe notg90ºPendiente

=∴==

L

.

Y = f (x) = a x2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.

Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde

( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice

de la parábola.

:

Corta al eje x en dos puntos

(dos raíces reales y diferentes)

La ecuación del eje de simetría

(recta vertical) , corresponde a :

x

y

• •

∆ Eje de Simetría

x=h

FUNCIÓN CUADRÁTICA

V : (h ,k)

•

V =Vértice

x1 x2

Las raíces son x1 y x2.

parábola

El valor mínimo de la función:

También :

Ymin= k

a > 0 = b2- 4 a c > 0

V

h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).

ii) = b2- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un

punto (dos raíces reales e iguales).

∆

• x

y

X =h

iii) =b2-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.∆

x

y

Existen dos raíces complejas y conjugadas

No existen soluciones reales

ntediscrimina =∆

FUNCIÓN CONSTANTE

Sea la recta de ecuación : .Si se

considera , su gráfica es :

0B y 0CByAx ≠=++

K BC

- y :entonces , 0A ===

x

yy=k

Dominio : Reales

Rango : { k }

L

0 (B)(0)

- mPendiente ===

Recta Horizontal

k

90º

Si en la ecuación se considera :

su gráfica es:

0A y 0CByAx ≠=++

k A C

-x : entonces , 0B ===

x

y x=k : Recta Vertical.

No es una función.

L

existe No90º Tg

existe No (0)(A)

-mPendiente

=

=== Dominio : { k }

Rango : Reales

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

+x

+y

<=>+

=0 x si , (x) - 0x si , 0 0x si , (x)

x

2(x) x : También =

[ [ , 0 : Rango Reales : Dominio

∞+

x y =

Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)

• (0 ,0)

FUNCIÓN EXPONENCIAL

+x

+y

y = ax

] [ , 0 : Rango Reales : Dominio

1 a y 0 a

∞+

≠>

y = ax

1 a 0 << 1 a >

+x

+y

••(0 ,1) (0 ,1)

Las Gráficas no cortan al eje x

Decreciente Creciente

FUNCIÓN LOGARITMO

+x +x

+y +y

• (1,0)

b > 1

(1,0)•

0< b <1

1 b y o b ; 0 x

xlogy b

≠>>=

∞+<<∞∞+<<

y - : Rango x 0 : Dominio

Creciente

Decreciente

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

+x

+y

•

0 x ; x y ≥=

(0,0)

[ [[ [ , 0 : Rango

, 0 : Dominio ∞+∞+

Creciente

FUNCIÓN RECÍPROCA

+x

+y

{ }{ } 0 -R : Rango

0 -R :Dominio x1

y =

El nombre de la gráfica es hipérbola equilátera.

No corta al eje x e y.

Simetría con respecto al origen : Función impar

(0,0)• Decreciente.

Decreciente.

1086420-2-4-6-8-10

6

4

2

0

-2

-4

-6

1086420-2-4-6-8-10

6

4

2

0

-2

-4

-6

1086420-2-4-6-8-10

6

4

2

0

-2

-4

-6

1086420-2-4-6-8-10

6

4

2

0

-2

-4

-6

FUNCIÓN : Y=(2/X) .

D0MINIO : R - {0}.

RANGO: R - {0}.

NO CORTA AL EJE X e Y.

SIMETRÍA RESPECTO

AL ORIGEN : FUNCIÓN IMPAR.

SIEMPRE DECRECIENTE.

+X

+Y

HIPÉRBOLA EQUILÁTERA

I

III

I y III : CUADRANTES

X=0 : Asíntota Vertical.

Y=0 : Asíntota Horizontal.

FUNCIÓN IDENTIDAD

Dominio: Reales.

Rango : Reales.

Simetría con respecto al origen (Función Impar).

Bisectriz de los cuadrantes

l y lll .

Función Creciente. y=x

Siempre pasa por el punto ( 0,0)

l

lll l y lll :Cuadrantes

Ejemplo

Dominio:[-8,8]

Rango :[-8,8]

FUNCIÓN CÚBICA

Dominio : Reales.

Rango: Reales.

Función Creciente.

Simetría con respecto

al origen (función impar).

Pasa por (0,0).

y=x3

Ejemplo

Dominio:[-3,3]

Rango : [-27,27]

I

III

I y III: Cuadrantes

FUNCIONES RACIONALES

Es una función de la forma : donde P y Q

son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero. El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero.

Ejemplos :

Q(X)P(X)

R(x) =

1 xx

h) 65x x

3x g)

3)(x1) (x 1) (x

f)

4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x

e) 9) (x 1)(x

4-d)

1 xx 3x

c) 4 x

x b)

5x 4 2x

a)

4

2

22

23

22

3

24

2

2

++−++−

+−+

−−

−+−

Ejemplo. Graficar .

Operaciones: Función racional propia

1 xx

) (x f y 2 −

==

Igualando el denominador a cero:

x2 -1 = 0 , entonces:

x = 1 y x = -1.

Dominio: R - { -1 , 1 }

Rango: Reales.

Función Decreciente.

Asíntota vertical :

x =-1 y x= 1.

Asíntota horizontal: y = 0.

Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).

Decreciente

Decreciente

Ejemplo

Decre

cien

te

y=0

x=-1

x=1

Decre

cien

te

Ejemplo. Graficar .

Al dividir obtenemos :

1-x2x

y =

{ }{ }

e.Decrecient Función

. 2 -R : Rango

. 1 -R : Dominio

vertical. asíntota : 1x

y horizontal asíntota : 2y

donde , 1-x

22

1-x

2xf(x) y

=

=

+===

Decreciente

Decrecientex=1

y=2

Ejemplo. Graficar: .

Operaciones: Es una función racional impropia.

1xx

f(x)y 2

+==

{ }] [

><><

>∞+<>∞<

>∞+∞<

>∞+−<>∞<

=

=

++=

+==

0 , 1- 1- , 2- de eDecrecient

, 0 2- , - de Creciente

). ,0 (0 origen el por Pasa

y. eje al respecto con ni origen al

respecto con simetría hay No

. , 0 4- , - :Rango

1- -Reales ó

. , 1 1- , - :Dominio

1. -x :vertical Asíntota

. 1-xy : oblicua Asíntota

1)(x

11)-(x

1x

2x f(x)y

y=

x-1

x=-1

Decre

cien

te

Crecie

nte

Crecie

nte