FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS DERIVADAS

1. DEFINICION:

Conjunto de funciones definidas de la siguiente manera:

seno hiperbólico: Sen h(x) = (1/2) (ex - e-x)coseno hiperbólico: Cos h (x) = (1/2) (ex + e-x)tangente hiperbólica: Tan h(x) = sen h(x) / cos h(x)cotangente hiperbólica: Cot h(x) = 1 / tan h(x)secante hiperbólica: Sec h(x) = 1 / cos h(x)cosecante hiperbólica: Cosec h(x) = 1 / sen h(x)

Se llaman funciones hiperbólicas, porque de alguna manera tienen propiedades similares a las funciones trigonométricas y se relacionan con la hipérbola en la forma en la que las funciones circulares (funciones trigonométricas) se relacionan con el círculo. La siguiente es una lista de algunas relaciones fundamentales entre las funciones hiperbólicas:

Sen h(-x) = -sen h(x)cos h(-x) = +cos h(x)cos2 h(x) – sen2h(x) = 1sec 2 h(x) + tan2 h(x)= 1cot 2 h(x) – cosec2 h(x)= 1

Considerando las definiciones de cada una de las funciones hiperbólicas, se puede mencionar algunas propiedades tales como:

Sen h(x) = 0 , x = 0; cos h(x) = 1 , x = 0

Son funciones impares, [f(-x) = - f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen, las funciones:

F(x) = sen h(x); f(x) = tg h(x); f(x) = cotg h(x); f(x) = cosc h(x)

Son funciones pares, [f(-x) = f(x)] y por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y, las funciones:

F(x) = cos h(x); f(x) = sec h(x)

De las definiciones se seno hiperbólico y coseno hiperbólico los valores de estas funciones están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera, de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones trigonométricas están relacionadas a las coordenadas de los puntos de una circunferencia.

2. IDENTIDADES HIPERBOLICAS

Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones trigonométricas. Por ejemplo.

Cosh² x - senh²x = 1

Esta y otras identidades, son las que a continuación se presenta, dejando al lector la verificación de las mismas.

Cos ² h(x) - sen² h(x) = 1

sec² h(x) + tg² h(x) = 1

cotg² h(x) - cosc² h(x) = 1

sen h(x ± y) = sen h(x).cos h(y) ± cos h(x).sen h(y)

cos h(x ± y) = cos h(x).cos h(y) ± sen h(x).sen h(y)

sen h(2x) = 2 sen h(x).cos h(x)

cos h(2x) = cos² h(x) + sen² h(x)

sen h(a) + sen h(b) = 2 sen h

cos h(a) + cos h(b) = 2 cos h

2sen² h(x) = cos h(x) - 1

2cos² h(x) = cos h(x) + 1

(sen h(x) + cos h(x))n = sen h(nx) + cos h(nx)

3. INVERSAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

DOMINIOS Y RANGOS

SENO HIPERBÓLICO INVERSO

DOMINIO : Reales

RANGO : Reales

COSENO HIPERBÓLICO INVERSO

DOMINIO : ( 1, oo)

RANGO : Reales

TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( -1, 1)

RANGO : Reales

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO: ( -oo, -1) ( 1, oo)

RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO: (O, 1)

RANGO : Reales

COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

4. RELACION CON LA FUNCION EXPONENCIAL

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

y

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

5. DERIVADA DE LAS FUNCIONES

Si f(x) = sen h(x), entonces, f'(x) = cos h(x)

Si f(x) = cos h(x), entonces, f'(x) = sen h(x)

Si f (x) = tg h(x), entonces, f'(x) sec ² h(x)

Si f(x) = cotg h(x), entonces, f' (x) = - cosc² h(x)

Si f(x) = sec h(x), entonces, f'(x) = - sec h(x). tg h(x)

Si f(x) = cos h(x), entonces, f'(x) = - cosc h(x). cotg h(x)

6. BIBLIOGRAFIA http://html.rincondelvago.com/funciones-hiperbolicas_1.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica#Relaciones http://www.mitecnologico.com/Main/FuncionesHiperbolicasYSusDerivadas http://www.todomonografias.com/matematica/funciones-hiperbolicas/ http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/derhiperbolicas.htm http://personales.ya.com/casanchi/mat/hiperbolica01.pdf http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/tab-hip.pdf http://www2.topografia.upm.es/asignaturas/matematicas/primero/

Apuntes/Integrales/index4.htm

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARIA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS FISICAS Y FORMALES

INGENIERÍA INDUSTRIAL

CÁLCULO INTEGRAL

TEMA:

FUNCIONES HIPERBOLICAS Y SUS DERIVADAS

PROFESOR:

WALTHER PALZA DELGADO

ALUMNO:

PACCARA CCALLO JHONATAN

SECCION

C

AREQUIPA – PERU