Funciones inversa expo log tri princ

Funciones

Rosa Margarita López

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICORecinto de Ponce

Departamento de Estudios Graduados

Funciones IIFuncionesInversas

FuncionesExponenciales Funciones

Logarítmicas

FuncionesTrigonométrica

Inversas

Funciones Inversas

3

4

• Definir la inversa de una función.• Verificar si dos funciones son inversas.• Trazar la gráfica de la inversa de una

función.• Dada la tabla de valores de una función,

encontrar los valores de la inversa.• Encontrar la inversa de una función

algebraicamente.

Objetivos

5

Def. Una función f se dice que es uno a uno si, para cualquiera números x1 y x2, x1 x2 , en el dominio de f, tenemos que

f (x1) f (x2).

Ejemplos:

Determina si las funciones son 1-1.

La función es uno a uno.

2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)}La función no es uno a uno .

1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}

6

Teorema:

Prueba de la línea Horizontal.

Si alguna línea horizontal interseca la gráfica de una función f en más de un punto, entonces f no es una función 1-1.

7

500

100

f x( )

2015 x

10 0 10 20

500

Ej. Use la gráfica para determinar si la función es 1-1.

8

Def. Sea una función uno a uno. Decimos que es es la función inversa de si y para todo en el dominio de y todo en el dominio .

)(xf( )g x

)(xf ( )f g x x ( )g f x xx

Denotamos la inversa de por .

)(xfx ( )g x

)(xf 1( )f x

Nota: 1a. ( )f f x x

1b. ( )f f x x

9

Dominio de f Alcance de f

1 de Alcance f1 de Dominio f

f 1

f

1

1

de Dominio de Alcance

de Alcance de Dominio

ff

ff

10

¿Cuándo una función tiene una función inversa?

• Considere la siguiente función:

• Halla su función inversa:

x 3 2 -2 4 7 5 10

2 3 4 -1 6 8 -3 xf 1

x 2 3 4 -1 6 8 -33 2 -2 4 7 5 10 xf

11

Teorema:

La gráfica de una función f y la gráfica de su inversa son simétricas con respecto a la línea identidad y = x.

f 1

12

2 0 2 4 6

2

2

4

6 f

f 1

y = x

(2, 0)

(0, 2)

13

Ej. Verificar si las funciones son inversas.

3 ,3 )1 1 xxfxxf

xff 1 3xf 33 x

33x x xff 1 31 xf 33 x x

14

3

2g ,23 )2 1-

x

xxxg

xgg 1

3

2xg 2

3

23

x

22 x x

xgg 1 231 xg

3

223

x

x

15

Ej. Construir la tabla de la función inversa.

x -6 -4 -2 0 2 4 6

-10 -8 -4 1 3 7 10

x -10 -8 -4 1 3 7 10

xf 1

xf

6 4 2 0 2 4 6

16

3

5

xy

3

5

yx

53 xxy

53 xxy

x

xy

53

x

xxf

53)(1

Ej. Halla la inversa de f xx

x( ) ,=-

¹5

3La función es 1-1.

3 .

17

inversas.son 3

5)(y

53)( si Verifica

xxg

x

xxf

3

5))((

xfxgf

35

53

53

x

x3

3

35

53

53

x

x

x

x

18

3

3

35

53

53

x

x

x

x 5

3515

xx

x

5

5

x

xgxfg

53))((

353

5

xx x

x

xx

3

535

xx

x

353

5

x

x

5

5

19

Ej. Encuentra la función inversa de:

3

5

1. 3 6

2. 1

3. ( ) 2, 2

4. ( ) 10

y x

y x

f x x x

g x x

Función Logarítmica

Objetivos

• Reconocer y analizar las funciones logarítmicas

• Estudiar sus gráficas.• Aplicar dichas funciones a la solución de

problemas.

Tabla de contenido

Definición de logaritmo Logaritmo natural Funición inversa

exponencial

Escribir ecuaciones logarítmicas como

ecuaciones

Determinar logaritmos comunes

y naturales

Función inversa logaritmo

Evaluar logaritmos

Logaritmo común

Dominio y alcance de la

función logaritmo

Gráficas de funciones logarítmicas con base

mayor que 1

Ecuaciones logarítmicas

Problemas de Aplicación

Gráficas de funciones logarítmicas con base

menor que 1

Selecciona el tema que trabajarás

Leyes de los logaritmos

LogaritmosEl logaritmo de x con base b está definido por:

Ej.

43

07

-2

1/ 3

15

log 81 4; 3 81

log 1 0; 7 1

1log 9 2; 81

3

log 5 1; 5 5

Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones exponenciales y viceversa

• La ecuación exponencial es de la forma donde

bas

e

exp

on

ent

e

arg

um

ento

o

resu

ltad

o

Presiona aquí para continuar

Si observas la base 2 en la forma exponencial se escribe un poco más abajo del logaritmo, el resultado se escribe al lado del logaritmo y el exponente fuera. Es muy distinto a la forma

exponencial.

Entonces si tenemos 24 = 16 en forma exponencial al escribirla en forma logarítmica es así: log2 16 = 4

b

c = aForma logarítmica

logb a = c

EjemplosEj. Resuelve cada ecuación

2log 5x 52 32x

27log 3 x3 27x

33 3 x1 3x1

3x

m na a m n

Escribir ecuaciones logarítmicas como exponenciales y viceversa

Intenta lo siguiente: Selecciona la respuesta

correcta .

1. La forma exponencial del log10 10 = 1 es:

a. 1010 = 1 b. 110 = 10 c. 101 = 10

2. La forma logarítmica de 33 = 27 es:

a. log3 27 = 3 b. log27 3 = 3 c. log3 3 = 27

Notación: Logaritmo Común

Logaritmo Natural10log log

ln loge

x x

x x

Leyes de Logaritmos1. log log log

2. log log log

3. log log

4. log 1 0

5. log 1

b b b

b b b

nb b

b

b

mn m n

mm n

n

m n m

b

Conociendo las propiedades

podrás evaluar los logaritmos


EjemploUtilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión:

7 1/ 25 5 5 5log 25 log log logx y z

7

525

logx y

z

5 5 51

2 7 log log log2

x y z

Evaluar logaritmos

• Para evaluar un logaritmo observa el siguiente ejemplo:

log4 16 = x

• Puedes hacerte la siguiente pregunta: ¿ 4 elevado a qué potencia es 16?

• En este momento puedes cambiarlo a forma exponencial, así:

4x = 16

4x = 42

x = 2

El 16 lo represento en forma exponencial

Al ser las bases iguales los exponentes también son iguales

Entonces: log4 16 = 2


Evaluar logaritmos

Evalúa los siguientes logaritmos.

a. log3 81 =

b. log5 125 =

c. log4 256 =

d. log2 32 =

Es tu turmo

Presiona para verificar tus respuestas

Evaluar logaritmos

Soluciones

a. log3 81 = 4

b. log5 125 = 3

c. log4 256 = 4

d. log2 32 = 5

Logaritmo Común ( denominados también como logaritmos de Brigg)• La función logarítmica con base 10 se conoce

como función logaritmo común.• La misma se evalúa con la tecla de

en la calculadora. Para usar esta tecla, debes cambiar la base.

Fórmula de Cambio de base:

loga x = log10 x

log10 a

log

Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos )

• Si x es un número real positivo, entonces el logaritmo natural de x se denota por:

loge x o ln x

( la segunda notación es la más común)• Una función dada por f(x) = a + ln bx es

llamada función logaritmo natural. • Ejemplo: Resuelve 2 11

103

xe


Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos )

• Ejemplo: Resuelve 2 1110

3xe

2 1 30xe 2 1 ln(30)x Aplicar ln en ambos

lados

ln(30) 11.2

2x

Determinar logaritmos comunes y naturales

• Intenta tu lo siguiente:

Halla el logartimo

común de:

a. log2 10 =

b. log3 10 =

c. log6 216 =

d. log5 12 =

e. ln 52400

f. ln 2.35

g. ln x = 2.386

Verifica tu respuesta

Determinar logaritmos comunes y naturales

Soluciones:

a.log2 10 ≈ 3.32

b.log3 10 ≈ 2.10

c. log6 216 = 3

d.log5 12 ≈ 1.54

e. ln 52400 ≈ 10.87

f. ln 2.35 ≈ 0.85

g. ln x = 2.386

Verifica tu respuesta

ln x = 2.386e2.386 = x10.87

Dominio y alcance de la función logaritmo

• El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de los números reales.


Función Logarítmica

( ) log 0, 1bf x x b b

La función logarítmica de x con base b está definida por:

Propiedades:

1. Dominio: ( 0, )

2. Rango: ( - , )

3. Intercepto en x: (1, 0)

4. Continua en (0, )

5. Creciente en (0, ) si b > 1

6. Decresiente en (0, ) si b < 1

Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que loga 1 = 0

y = loga x ( a > 1)

Dominio ( 0, ∞ )

Recorrido ℝPuntos ( 1, 0) y ( a, 1)CrecienteContinua

Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que loga 1 = 0

Cuando 0 < a < 1, entonces

Dominio ( 0, ∞ )

Recorrido ℝPuntos ( 1, 0) y ( a, 1)DecrecienteContinua


Gráficas de Funciones Logarítmicas

Ej.3( ) logf x x

(1,0)

3xy

3logy x

1

3

x

y

1/ 3logy x

1/ 3( ) logf x x

x x

yy

(1,0)

(0, 1) (0, 1)

Función inversa exponencial

• Las funciones exponenciales también son inyectivas y tiene su inversa. Si y = bx ( a0 = 1) entonces la función inversa de ésta debería intercambiar la x y y de modo que x = by . Definiremos la inversa de la fórmula como:

y = logb x


Función inversa exponencialEjemplo: y = 2x

x = 2y y = log2 x

Pasos:1. Intercambiar las variables,

o sea la y la cambias por la x en la función y la x por la y .

2. Escribir la función en forma logarítmica.

Función inversa logarítmica

• La inversa de la función logarítmica es la función exponencial.

Ejemplo: ln x = yln y = xex = y


• Para resolver las ecuaciones logarítmicas debes repasar las propiedades logarítmicas ya estudiadas. Observa el ejercicio a continuación.

• Resuelve la ecuación: log4 64 = -x + 3



• log4 64 = -x + 3

Solución:

log4 64 = -x + 3

4-x + 3 = 64

4-x + 3 = 43

-x + 3 = 3

3-3 = x

0 = x

Cambiar a forma exponencial

Expresar el 64 como exponente

Despejas para x.



• Otro ejemplo:

log x + log (x + 3) = 2 log (x + 1)

log [ x ( x + 3) ] = log (x + 1)2

x ( x + 3) = (x + 1)2

x2 + 3x = x2 + 2x + 1

x = 1

Se aplicaron las reglas de producto y la de potencia de los logaritmos.

Problemas de Aplicación de Funciones logarítmicas

Ejercicio 1: Crecimiento de una colonia de hormigas

Ejercicio 2: Rapidez al caminar

Ejercicio 3: La presión arterial de un niño

Selecciona en el menú de la izquierda que ejercicio

quieres trabajar.

Ejercicio 1

• Una colonia de hormigas se triplica cada semana. Si actualmente hay unas 8,000 hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que hallan 100,000?


http://www.juliohernandez.com.mx/wp-content/uploads/2008/10/colonia-hormigas.jpg

Ejercicio 1

• Si definimos y como el número de hormigas en la colonia cada t semanas entonces

y = 8,000 (3)t

Debemos calcular t con y = 100,000. Al sustituir este número en la fórmula obtenemos que

100,000 = 8,000 (3)t


Ejercicio 1

• Solución:

y = 8,000 (3)t

100,000 = 8,000 (3)t

8,000 8,000

12.5 = 3t

t = log3 12.5


Problemas de Aplicación de Funciones Logarítmicas

• Solución:

t = log3 12.5

Necesitamos hacer un cambio de base:

t ≈ 2.30Así que se tomará más de 2 semanas, aproximadamente dos y un tercio de semanas, para que hallan 100,000.

Ejercicio 2

• En una investigación realizada por los sicólogos Boinstein y Bornstein se llegó a la conclusión de que la función

R(P) = .37lnP + .05

da la rapidez del caminar de las personas, en pies, en una comunidad de población P, dada en miles. La población en Seattle, Washington es 531,000. ¿Con qué rapidez caminan sus habitantes?

Solución

Ejercicio 2

• Solución:

R(P) = .37lnP + .05

R(531,000) = .37ln (531,00) + .05

= .37 (13.18) +.05

= 4.88 + .05

= 4.93 ft/sec

Ejercicio 3La presión sistólica normal de un niño es aproximada a la funcióndonde p(x) es la medida en milímetros del mercurio, x es el peso en libras, y m y b son constantes. Dado que m = 19.4 y b = 18, determina la presión sistólina de un niño que pesa 92 lb.

= 105.72lb

( ) (ln )p x m x b

Muy bien, felicitaciones.

Inténtalo nuevamente.

Funciones Trigonométricas Inversas

Objetivos• Representar las funciones trigonométricas inversas. • Hallar el periodo de las funciones trigonométricas

inversas• Construir la función inversa de la funciones:

y = sen x. y = cos x. y = tan x

• Conocer el dominio y recorrido de las funciones:

y = arc sen x y = arc cos x y = arc tan x

ArcoSeno

• En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así que:

y es igual al seno de x, la función inversa: lo que significa que: lo que significa que

Si sin 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es

decir, arc sin 0.5 = 30°.

ArcosenoLa función f(x)=sin x, definida en el intervalo cerrado [-π /2, π /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por

f -1(x)=arc sin xestará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.

Arco Coseno• La función f(x)=cos x, definida en el intervalo

cerrado [0, ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por f -1(x)=arc cos x

estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.

Arco Coseno

Arc Tangente

• En la función tangente, esta tiene un periodo de π y completa un ciclo en el intervalo

( −/2 , /2 ). Cuando y = tan x está restringida a − /2 ≤ x ≤ /2 tenemos una función uno a uno cuyo rango consta de todos los números Reales.

Gráfica de Arctan

Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente

utilizando la calculadoraLocaliza en la calculadora las teclas de sin, cos y tan.

sincos

tan

Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente

utilizando la calculadoraSobre estas teclas están sin-1 , cos-1 y tan-1 .

sin-1cos-1

tan-1

Calculadora

• Sin-1 no quiere decir

• Cos-1 no quiere decir

• Al igual que con la tangente

• Sino que sin-1 es el arcsin

• Y el cos-1 es el arcocoseno.

• Lo mismo sucede con la tangente

Ejercicios de Práctica

• Encuentra el valor. 1. Tan -1 ( − 1) =2. Sin-1 ( cos /2 ) =3. Arcsin ( - 1 ) =4. Arccos (− ½ ) =5. Cos ( arcsin 0 ) =6. Sin ( arcsin 1 ) =

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