Funciones lineales y cuadráticas - Actividades - · PDF filelineal es una...

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    Uno de los principales objetivos de la investigacin terica es encontrar el punto de vista desde el cual un

    tema aparece en su forma ms simple.Josiah Willard Gibbs

    Funciones lineales y cuadrticas

    SESIN

    212

  • 13

    Qu vas a aprender? Al terminar esta sesin sers capaz de:a) Reconocer una funcin lineal.b) Resolver problemas que requieran del uso de funciones lineales.c) Reconocer una funcin cuadrtica. d) Obtener las regiones de crecimiento y decrecimiento de una funcin cuadrtica.e) Resolver problemas que requieran del uso de funciones cuadrticas.

    El zoolgico

    El zoolgico de Chapultepec, ubicado en la ciudad de Mxico, cuenta con un terreno libre de 180 m de largo y 162 m de ancho. Las autoridades quieren ampliar el espacio destinado a los animales y desean construir jaulas de base cuadrada en las cuatro esquinas del terreno; adems, un quinto espacio, similar a los anteriores, en la parte central.

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    Determina:

    a) El rea que ocuparn los animales en trminos de la longitud de un lado, suponiendo que las jaulas son cuadradas.

    b) El rea que ocuparn los visitantes.c) Las dimensiones de las jaulas, suponiendo que el rea ocupada por los animales es igual al rea

    ocupada por los visitantes. d) Cunta gente recargada sobre los lmites podr ver simultneamente a los animales si se supone

    que por cada metro lineal caben dos personas en promedio.

    Solucin:Para conocer la solucin haz clic en el siguiente icono de video:

    En muchas situaciones de inters, las variables dependiente e independiente se relacionan de forma lineal o proporcional. Por ejemplo, en un crculo, el permetro, P, es proporcional al ra-dio, r; esto significa que existe una constante; en este caso, el nmero 2 , que permite escribir

    =P r r( ) 2 .

    Un segundo ejemplo es el costo de produccin de x unidades de un producto dado; en este caso, el costo depende linealmente del nmero de unidades en la forma = +C x C C x( ) f 0 , donde C f y C0 son constantes que representan los costos fijos y los costos unitarios, respectivamente.

    En general, funciones como las anteriores reciben el nombre de funciones lineales.

    Una funcin lineal es una expresin de la forma

    = +f x mx b( ) La grfica corresponde a una recta con pendiente m y ordenada al origen b.

    Una funcin cuadrtica es una funcin del tipo

    = + +f x ax bx c( ) 2

    Su grfica es una parbola que abre hacia abajo si a 0.

    El punto ms alto o ms bajo se llama vrtice de la parbola. En general, la solucin de la ecuacin cuadrtica

    + + =ax bx c 02 est dada por la frmula general

    = x b b aca

    42

    2

    Funcin lineal

  • 15

    Funcin linealUna funcin lineal es una relacin de la forma = +f x mx b( ) donde m y b son constantes reales. El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales . La imagen depende del coeficiente m. Si =m 0, la imagen es el conjunto b{ }, si m 0, entonces la imagen es el conjunto de los nmeros reales .

    La grfica de una funcin de este tipo es una lnea recta con pendiente m y ordenada al origen b. En el caso =m 0, la funcin es constante y su grfica es una lnea horizontal. En gene-ral, para construir la grfica de estas funciones basta conocer dos puntos x y( , )1 1 y x y( , )2 2 que estn sobre ella. En efecto, la pendiente de la recta que une los puntos es:

    =m

    y yx x

    2 1

    2 1

    Para obtener la ordenada al origen observa que el punto x y( , )1 1 satisface la ecuacin = +y mx b1 1 ; es decir = b y mx1 1 , de donde obtenemos:

    = + = + = +

    f x mx b mx y mxm x x y

    ( )( )

    1 1

    1 1

    sta es una forma alternativa de escribir una funcin lineal y se aplica cuando se conocen la

    pendiente y un punto por donde pasa la recta. En la figura se muestra la grfica de una funcin lineal y sus caractersticas.

    Grfica de una funcin lineal. Sobre la recta se tienen los puntos x y( , )0 0 y x y( , )1 1 . Observa que a0 est sobre el eje vertical mientras

    que a1 se identifica con la pendiente de la recta.

    Por otro lado, el significado del coeficiente m est ligado al crecimiento o decrecimiento de la funcin. En efecto, si aumentamos el valor de la variable independiente x puede ocurrir que la funcin aumente su valor, se mantenga igual o decrezca.

    Crecimiento y decrecimiento de funciones linealesUna funcin lineal crece si >m 0,decrece si

  • 16

    En el primer caso, la pendiente de la recta es positiva, en el segundo es cero y en el tercero es negativa.

    Tenemos entonces el siguiente resultado. Por ejemplo, el permetro de un crculo =P r2 es una funcin creciente del radio r; obviamente, si aumenta el radio se incrementa el permetro; ms an, si el radio aumenta en una unidad, entonces el permetro lo hace 2 unidades. Considera como un segundo ejemplo el caso de un artculo cuyo valor despus de t aos est dado por = +C t t( ) 10 000 120 000. En este caso, el artculo cuesta inicialmente $120 000, despus de un ao su valor baja a $110 000; si esperamos otro ao ms, el valor se reduce a $100 000. Es claro que el artculo se deprecia linealmente $10 000 por ao.

    En muchos casos no se tiene el modelo lineal explcito, como en los ejemplos anteriores, y es necesario seguir una estrategia de solucin de problemas para construirlo. En el caso de modelos lineales se recomienda aplicar la siguiente estrategia.

    Estrategia para resolver problemas que requieren de funciones lineales

    1. Identificar las variables independiente y dependiente.2. Asignar smbolos a las variables.3. Escribir la funcin lineal de la forma = +f x mx b( ) en trminos de la notacin elegida para las variables.4. Plantear las ecuaciones lineales necesarias para encontrar las cantidades desconocidas m y b a partir de los

    datos del problema.5. Resolver la ecuacin lineal o el sistema de ecuaciones lineales resultante.6. Sustituir las cantidades m y b en la funcin para obtener su regla de correspondencia.

  • 17

    Otro tipo de funciones de gran utilidad, y que siguen en sencillez a las lineales, son las funcio-nes cuadrticas, que se definen como sigue.

    Algunas funciones cuadrticas son, por ejemplo, el rea =A r r( ) 2 de un crculo de radio r

    o la distancia recorrida =x gt12

    2 por un cuerpo en cada libre que parte del reposo al tiempo t.

    En general, la grfica de una funcin cuadrtica es una parbola con eje focal paralelo al eje y.

    El signo del coeficiente a determina hacia dnde se abre la parbola. En efecto, la parbola abre hacia arriba si >a 0 y abre hacia abajo si a 0.

    La curva abre hacia abajo cuando

  • 18

    Ahora, la ecuacin general de una parbola vertical con vrtice en h k( , ) est dada por: = +y a x h k( )2

    Desarrollando esta expresin obtenemos: ( )= + + = + +y a x xh h k ax ahx k ah2 22 2 2 2. Igualando esta expresin con la funcin tenemos que + + = + +ax ahx k ah ax bx c22 2 2 .

    Si se igualan los coeficientes correspondientes resulta: =

    + =ah b

    k ah c2

    2

    De donde:

    =

    = = =

    h ba

    k c ah c ba

    ac ba

    2

    44

    42

    2 2

    En consecuencia, el vrtice de la parbola se encuentra en:

    ( ) =

    h k ba

    ac ba

    ,2

    , 44

    2

    De acuerdo con esta expresin, la imagen de la funcin cuadrtica es:

    =

    I

    ac ba

    a

    ac ba

    a

    , 44

    si 0

    44

    , si 0f

    2

    2

    Este resultado permite establecer el siguiente criterio, que usaremos en los ejercicios.

    Criterio de valores mximos y mnimos de una funcin cuadrtica = + +f x ax bx c( ) 2 Si >a 0, la funcin obtiene su

    valor mnimo en = x ba2 y ese

    valor es = f ac ba

    44min

    2

    .

    Si >a 0, la funcin obtiene su valor mnimo en = x ba2 y ese

    valor es = f ac ba

    44max

    2.

  • 19

    Adems, en la modelacin de problemas que requieren de una funcin cuadrtica se re-comienda aplicar la siguiente estrategia, que es prcticamente la sugerida en las secciones previas:

    Estrategia para resolver problemas que requieren de funciones cuadrticas

    1. Identifica las variables: reconoce la cantidad que se pide determinar.2. Introduce una notacin para la variable: denota la cantidad con x o con cualquier otra letra. Escribe

    claramente lo que representa la variable.3. Expresa todas las cantidades en trminos de la variable: lee cada una de las frases del problema y

    expresa todas las cantidades mediante la variable definida. Para organizar esta informacin resulta til hacer un dibujo, un diagrama o una tabla.

    4. Relaciona las cantidades: identifica la condicin que relaciona dos o ms de las expresiones establecidas en el paso anterior.

    5. Establece una funcin: plantea una funcin que exprese la condicin del problema identificada en el paso 3.6. Resuelve el problema y verifica la respuesta: resuelve el problema, verifica que la solucin satisfaga el

    problema original y expresa la respuesta en forma de un enunciado que responda a la pregunta planteada.

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    EJEMPLO 1El valor de una mquina hace cinco aos era de $200 000 y ahora vale $110 000. Si se supone que la mquina se deprecia linealmente, determina el valor de la misma en trminos del nmero de aos transcurridos, as como el precio de la mquina para el prximo ao. Bosqueja su grfica y determina su dominio implcito.

    Observa con atencin los siguientes ejemplos:

    Ejemplos

    FUNCIN LINEAL

    Solucin:Denotemos con V el valor de la mquina (en miles de pesos) y con x el tiempo transcurrido (en aos) desde hace cinco aos; es decir, =x 0 hace cinco aos. En este caso, V es la variable de-pendiente y x la independiente. Como la depreciacin es fu