Calculo IFunciones

Lineal, Cuadratica, Exponencial

Eduardo Saavedra A.

October 12, 2006

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1. Investigaciones cardiovasculares han mostrado que a un nivel de colesterol superior a 210,cada aumento del 1% por encima de este nivel aumenta el riesgo en un 2%. Se encontro que paraun grupo de edad particular el riesgo coronario en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160 y a unnivel de 231 el riesgo es de 0.192.

(a) Encuentre una ecuacion lineal que exprese el riesgo R en terminos del nivel de colesterol C.(b) Cual es el riesgo para un nivel de colesterol de 260?

a)Para comenzar, como nos dicen que es una ”Ecuacion lineal”, debemos buscar una funcionde la forma y = m · x + n, como tenemos de incognitas a m y n primero obtendremos la pendiente”m”, la cual se define:

m =y2 − y1

x2 − x1

Identificando los pares coordenados, en el eje ”y” tenemos el Riesgo (R),y en el eje ”x” el nivelde colesterol(C):

- El riesgo en un nivel de 210 de colesterol es de 0.160- Y a un nivel de 231 el riesgo es de 0.192

Por lo tanto:P1 : (x1, y1);P2 : (x2, y2)P1 : (231, 0.192);P2 : (210, 0.160)

Entonces m =0.160− 0.192

210− 231⇒ m = 0.0015

Con ”m” en la funcion R(C) = m ·C + n tenemos R(C) = 0.0015 ·C + n, Debemos sacar ”n”,lo cual es facil si tenemos los puntos dados anteriormente, sustituyendo el punto P1 en la ecuacionincluyendo a ”m”:

0.192 = 0.0015 · 231 + n; Despejando ”n” obtenemos: n = −0.16.

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Finalmente la ecuacion resultante es: R(C) = 0.0015 · C − 0.16

b) Teniendo la ecuacion si nos preguntan por el riesgo dandonos el nivel colesterol, simplementesustituimos en la ecuacion lineal R(C) = 0.0015 · C − 0.16

El riesgo para un colesterol de 260 es de: R = 0.0015 · 260− 0.16 ⇒ R = 0.23619

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2. El departamento de salud estima que el numero de personas que consumen cocaına ha idoaumentando en una proporcion lineal. El numero estimado de drogadictos en 1980 fue de 950000y en 1985 fue de 1025000.

(a) Determine la funcion lineal que relacione la cantidad de drogadictos en terminos del tiempomedido en anos (t = 0 para 1980)(b) Interprete el significado de la pendiente(c) Si el numero de drogadictos sigue creciendo, Cuando llegara a 1250000 ?

a)Al igual que en el ejercicio anterior:

Definimos los puntos coordenados como Pi : (t, D), es decir los puntos estan con respecto altiempo eje ”x” y respecto a la cantidad de drogadictos en el eje ”y”.P1 : (1980, 950000);P2 : (1985, 1025000)

Pero por el enunciado nos dicen que 1980 es t=0, por ende 1985 es t=5, ası...

P1:(0, 950000); P2:(5, 1025000).

Siendo una representacion de ecuacion lineal, tenemos: D = t ·m + n

Donde a ”m” la obtenemos: m =1025000− 950000

5− 0⇒ m = 15000

Luego para ”n” sustituimos en la ecuacion incluyendo a m el punto P1:D = t · 15000 + n ⇒ 950000 = 0 · 15000 + n ⇒ n = 950000

Finalmente la ecuacion queda de la forma D = t · 15000 + 950000

b) La pendiente indica la cantidad de de drogadictos que se agregan por cada ano, es decirdrogradictos/ano

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c) Para que llegue a 1250000 debemos sustituir en la ecuacion la cantidad de drogradictos paraobtener el tiempo t:

1250000 = t · 15000 + 950000 ⇒ t = 20

Es decir que para el ano 2000 se prevee que la cantidad de drogadictos aumente a 1250000.

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3. La tasa de crecimiento de los peces depende de la temperatura del agua en la cual habitan.Para los peces de un cierto lugar, la tasa de crecimiento G (en porcentaje por dia) esta dada porla funcion:

G(T ) = −0.0346(T − 23)2 − 0.0723(T − 23) + 3.77

(a) Encuentre la temperatura del agua que genera la maxima tasa de crecimiento.(b) Cuando la temperatura del agua es de 15C Cual es la tasa de crecimiento?(c) A que temperatura los peces dejan de crecer?

a)Primero debemos desarrollar la ecuacion de tal manera que quede ”expandida”, esto lo hare-mos para identificar mas f´cilmente los coeficientes (a,b y c) de la ecuacion cuadratica. Haciendoel desarrollo correspondiente, llegamos a:

G(T ) = −0.0346t2 + 1.5193t− 12.8705

Bien como sabemos que la forma de la ecuacion cuadr´tica es una parabola, abierta haciaarriba o abajo dependiendo del signo del coeficiente ”a”, deducimos que esta abierta hacia abajo(concavidad hacia abajo) es decir posee un maximo, este maximo es posible calcularlo mediante laecuacion del vertice:

V ertice :(− b

2a, c− b2

4a

), Como nos interesa lo que ocurre en el eje ”x” simplemente usamos

el vertice para la coordenada ”x” (Temperatura):

− b

2a⇒ − 1.5193

2 · (−0.0346)= 21.96

La maxima tasa de crecimiento ocurre a una temperatura de 21.96 C

b)Si la temperatura es de 15C entonces la tasa de crecimiento es:

G(15) = −0.0346 · 152 + 1.5193 · 15− 12.8705 = 2.134

c) Los peces deberıan dejar de crecer cuando la tasa de crecimiento es 0, entonces en la ecuacion

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podemos hacer lo siguiente:

0 = −0.0346t2 + 1.5193t− 12.8705; Lo cual debemos resolver por la formula de la ecuacion desegundo grado, ello nos otroga 2 temperaturas, estas son: T1 = 11.46 y T2 = 32.45

Es decir que los peces dejan de crecer cuando estan a 11.46 C o a 32.45 C

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4. Se ha descubierto que los niveles de contaminacion en los primeros 6 meses de 2001 havariado de acuerdo a la funcion y = −x2 + 6x donde x representa el mes esperado.

(a) Determine el mes en que el nivel de contaminacion fue maximo.(b) Segun la informacion dada En que mes no hubo contaminacion?(c) Grafique la situacion planteada.

a)Al igual que en el ejercicio anterior el vertice es, en, ”x”: − b

2a:

donde b = 6 y a = −1: − 62(−1)

= 3

Entonces el mes en que el nivel de contaminacion fue el maximo es el 3

b)Para saber en que mes no hubo contaminacion hacemos y=0; entonces: 0 = −x2 + 6x, Fac-torizando: 0 = x(x− 6)

Bien, los resultados de esa factorizacion es x1 = 0 y x2 = 6

Por ende en el mes 6 y 0 no habıan ındices de contaminacion

c) Graficar: Para graficar busquemos los vertices de la ecuacion:(− b

2a, c− b2

4a

)= (3, 9)

Luego busquemos las intersecciones con el eje x(y=0): 0 = −x2 + 6x ⇒ x1 = 0 y x2 = 6

Y ahora para el eje y(x=0): y = −02 +6 ·0 = 0 Con estos 3 puntos podemos graficar de maneraoptima:

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28. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por lafuncion

f(t) =250

1 + e−2t

la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t.

(a) Si el tiempo es medido en semanas, cuantas han sido contagiados en tres semanas?(b) Cual es la cantidad de contagiados en tres meses?(c) En que tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas

a) Si el tiempo esta medido en semanas, simplemente hacemos t=3 y la ecuacion deberıa en-tregarnos la cantidad de contagios, entonces:

f(3) =250

1 + e−2∗3 =250

1 + e−6⇒ f(3) ≈ 249

b)Asumimos que el t esta medido en semanas, los 3 meses tranformados a semanas (naturales)serian 4 semanas * 3 meses= 12 semanas, es decir debemos evaluar f(t) en 12:

f(12) =250

1 + e−2∗12=

2501 + e−24

⇒ f(12) ≈ 250

c)ahora por otro lado nos preguntan el tiempo en que se contagian 30 personas, logicamente siqueremos obtener el tiempo ella es nuestra incognita!, por ende f(t)=30:

⇒ 30 =250

1 + e−2t

⇒ 30 · (1 + e−2t) = 250

⇒ 30 + 30 · e−2t = 250

⇒ e−2t =22030

// ln(x)

⇒ ln e−2t = ln22030

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⇒ −2t = ln22030

⇒ t = ln

([22030

]− 12

)t = −0.9962

Tiempo negativo? Algo anda mal con el enunciado del ejercicio, de todas maneras ese serıa elresultado final.

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50. La concentracion de un medicamento en un organo al instante t ( en segundos ) esta dadapor

x(t) = 0.08 + 0.12e−0.02t

donde x(t) son gramos/centımetros cubicos (gr/cm3)

(a) Cual es la concentracion pasado 1 minuto?(b) Cuanto tiempo tardara en alcanzar 0.18 gr/cm3 de medicamento en el organo?

a) Debemos fijarnos bien que nos preguntan por la concentracion pasado 1 minuto, siendo quet esta en SEGUNDOS. Por intuicion simplemente sabemos que un minuto equivale a 60 segundos,es asi como:

x(60) = 0.08 + 0.12e−0.02∗60 ⇒ x(60) ≈ 0.116

La concentracion despues de 1 minuto es de 0.116 (gr/cm3)

b) Ahora debemos imponer la cantidad de medicamento en el organo, esto serıa que la funciones igual a 0.18, entonces:

0.18 = 0.08 + 0.12e−0.02t

0.18 = 0.08 + 0.12e−0.02t

0.10 = 0.12e−0.02t

0.83 = e−0.02t// ln(x)ln 0.83 = ln e−0.02t

−0.19 = −0.02t

t ≈ 9.5

El tiempo transcurrido para que se encuentren 0.18 (gr/cm3) de medicamento en un organo esde 9.5 segundos

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43. Una cierta sustancia radiactiva decrece segun la formula

q(t) = q0e−0.0063t

donde q0 es la cantidad inicial de sustancia y t el tiempo en dıas. Determine despues de cuantotiempo la cantidad de sustancia sera la mitad de la inicial.

Nos proponen obtener cuando la cantidad es la mitad de la cantidad inicial, si sabemos que lacantidad inicial es q0, entonces la mitad de la cantidad inicial es q0/2.

Con este importante dato vamos a la ecuacion: q(t) = q0e−0.0063t, y q(t) debe ser igual a q0/2.

q0

22 = q0e

−0.0063t

12

= e−0.0063t// ln(x)

ln12

= ln e−0.0063t

ln12

= −0.0063t

ln

([12

]− 10.0063

)= t

t ≈ 110

Entonces despues de 110 dias la cantidad de sustancia es la mitad que la inicial.

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