Funciones paramétricas

En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en

la forma o , como en las igualdades

, sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable.

Por ejemplo, consideremos las ecuaciones .

Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto del plano, el conjunto de los cuales determina una relación

La siguiente tabla de valores:

nos permite hacer la representación gráfica de la relación de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones funciones continuas en

un intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramétricas o representación paramétrica de una curva en el plano . La gráfica de las ecuaciones paramétricas está dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parámetro, toma todos sus valores posibles en el dominio .

La relación que determinan las ecuaciones paramétricas, en general no es una función, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relación dada sí es una función.

Por ejemplo, sean .

Obtenemos la siguiente tabla de valores:

La representación gráfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la ecuación de la parábola con el eje como el eje de simetría por lo que sí es una función. Note que la ecuación obtenida involucra únicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parámetro ha sido eliminado.

En algunos casos, en la eliminación del parámetro se utiliza una o más identidades trigonométricas como se muestra a continuación.

Sea la relación con representación paramétrica

.

Se tiene que

Vamos a expresar la relación utilizando únicamente las variables "x" e "y" como sigue:

de donde es la ecuación de una circunferencia con centro en y

radio 2. Luego no representa una función y su representación gráfica es la siguiente:

puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relación con representación paramétrica con

.

En este caso

Para expresar R en términos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuación:

Si entonces

Luego la ecuación para tiene como representación gráfica la siguiente:

Por último verifiquemos que es una ecuación de la relación

determinada por las ecuaciones paramétricas , con

.

Como entonces , y como entonces

Luego , de donde , que es la

ecuación de una elipse con centro en

Su representación gráfica es la siguiente:

Derivada de la función dada paramétricamente

El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una función dada en forma paramétrica.

Teorema

Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde

, las ecuaciones implican que existe una función

derivable tal que , y además

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1. Determine Solución:

Por el teorema anterior se tiene que

Luego:

por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones en los que que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva.

Solución:

Recuerde que la pendiente de la recta tangente está dada por .

Como entonces

La pendiente de la recta tangente es cero cuando , en este caso

cuando ; pero esta igualdad no se cumple para ningún valor real de . Luego, no existe ningún punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero.

3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuaciones

cuando

Solución:

La ecuación de la recta tangente está dada por , donde

.

Se tiene que

Cuando , por lo que

Cuando se obtiene , y al sustituir en se obtiene: .

Luego, la ecuación de la recta tangente es:

Derivadas de orden superior para una función dada en forma paramétrica

Si están dadas en forma paramétrica entonces puede expresarse como sigue:

Ejemplo:

Si entonces y

En general, para obtener la enésima derivada, cuando las ecuaciones están dadas en forma paramétrica, se aplica la siguiente igualdad:

ecuación paramétricaEcuación de la forma x = f(t) y y = g(t) en la que x e y se expresan de manera separada en términos de un parámetro independiente t, y f y g son dos funciones.

Por ejemplo, un círculo con centro en el origen con radio r puede describirse como x2 + y2 = r2. El mismo círculo también se puede expresar utilizando la ecuación paramétrica x = r cos(t) e y = r sen(t)

Parametrización de una circunferencia

Archivo:Circulo Tenemos la circunferencia dada por la ecuación

Entonces segun la grafica podemos deducir fácilmente que:

De esta forma podemos decir que:

y a estas dos ecuaciones les llamamos paramétricas de la circunferencia.

Desparametrización

Partiendo de las paramétricas:

Paso 1: dividimos R en ambas ecuaciones:

Paso 2: Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado

Paso 3: Sumamos las ecuaciones entre ellas

Paso 4: Por la identidad

DiegoTello (II) 08003368 11:18 31 ene 2010 (CST)

Para un circulo de radio con centro en

Mauro 21:19 16 feb 2010 (CST)

Parametrización de una Elipse

Mauro 21:19 16 feb 2010 (CST)

Desparametrización

1) Despejamos para tener las funciones trigonométricas

2) Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado

3) Las sumamos

4) Sustituimos la identidad trigonométrica y obtenemos el resultado

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Ecuación paramétricaSaltar a: navegación, búsqueda

Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa.

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Índice

1 Descripción o 1.1 Ejemplo o 1.2 Ejemplo

2 Curvas notables o 2.1 Circunferencia o 2.2 Elipse o 2.3 Otras curvas

3 Representación paramétrica de una curva 4 Véase también 5 Notas y referencias 6 Enlaces externos

Descripción

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus

parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la

expresión .

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma

como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».

Ejemplo

Sea la ecuación general de una recta, entonces caben la ecuaciones paramétricas: , .1

Ejemplo

Dada la ecuación , una parametrización tendrá la forma

Una parametrización posible sería

Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una

en donde x e y equivaliesen a y sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

Curvas notables

Circunferencia

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que

Una expresión paramétrica es

Elipse

Una elipse con centro en el origen de coordenadas y que se interseque con el eje x en a

y -a, y con el eje y en b y -b, verifica que .

Una expresión paramétrica es .

Otras curvas

Diferentes figuras variando k

La expresión paramétrica de una función permite la construcción de una gran variedad de formas, simplemente variando alguna constante. A continuación se describe la función paramétrica:

Dependiendo del ratio k = a/b pueden obtenerse formas muy diversas.

En esta otra función se puede ver una gran variedad de formas en función de los exponentes j y k, variando los paràmetros a,b,c y d.

A continuación ejemplos para j=3 k=3 y j=3 k=4.

j=3 k=3

j=3 k=3

j=3 k=4

j=3 k=4

j=3 k=4

A continuación se describe otra función donde puede obtenerse una gran diversidad de formas, variando el valor de las constantes: i,j,a,b,c,d,e.

i=1 j=2

Representación paramétrica de una curva

La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma

, donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.

Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial

donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma

.