Teoría de Funciones en Espacios Métricos y Normados.

Teoría de Conjuntos

Teoría de Funciones

Fundamentos del Cálculo Matemático.

AlgebraAritmética Cálculo

Variables Límites

Funciones.

Función (Aplicación, Transformación):

Muchas situaciones de la vida diaria nos dan idea de lo que entendemos por función. Al entrar en un supermercado, observamos un día determinado que a cada producto le corresponde un único precio. El concepto de función se lo puede analizar tomando en cuenta dos aspectos: La función como expresión analítica y como correspondencia.

El término función fue usado por primera vez, en 1637 por el matemático francés René Descartes.

DEFINICION:

Dados los conjuntos A y B, no vacíos, una relación f de A en B se dice.Función o aplicación de A en B si y sólo si, para todo X A, existe un único Y B tal que (X, Y) f

DEFINICION:

Dados los conjuntos A y B, no vacíos, una relación f de A en B se dice.Función o aplicación de A en B si y sólo si, para todo X A, existe un único Y B tal que (X, Y) f

f : A B ES UNA FUNCION ( x A ! y B / (x, y) f)

Función.

Si A R y B R, f: A B, diremos que f es una función real.

NOTACION DE FUNCIONES :

Si los elementos de A está en correspondencia mediante f con los elementos de B, se notará

f : A B

x y = f (x) , Se dice la regla de correspondencia, donde y es la Imagen por f de x A .

f

A B

Diagrama de una función.

Ejemplos de funciones reales.1. Funciones Polinomicas.

2. Funciones Trigonométricas.

3. Funciones Exponenciales.

4. Funciones Logarítmicas

Etc.

Grafo de una función real.

)(/))(,( 2 fDomxRxfx

Ejemplosa ) b )

y

x

d )

x

y

c )

x

y

y

x

Grafo de una función real(-x,y) (x,y)

y

x

o

Grafo de una función y de una relación

Funciones Biyectivas

Sea f una función de A en B,

f : A B

se dirá que f es Biyectiva si y solo si f es inyectiva y f es sobreyectiva a la ves.

Función Inyectiva

Sea F una función real de A en B donde A y B son subconjunto de los reales se dirá que f es inyectiva si y solo si por cada elemento del dominio que sea distinto le corresponde una imagen distinta del recorrido, simbólicamente es:

)()(,,, 212121 xfxfxxconAxx

Función Sobreyectiva

Se dice que f es sobreyectiva si y solo si cumple con:

yxftqAxBy )(,,,

Función Inversa

Sea f una función de A en B, siendo f una función biyectiva entonces se dice que f admite su inversa denotada como f -1(x) que tendrá por dominio a B y recorrido a A.

f : A B

f -1 : B A

Ejemplo

255)(

255

55

1

55

1)(

1

yyf

yx

xy

xxf

)(xf

)(1 yf

Función CompuestaSean f y g dos funciones reales definidas de A en B y B en C respectivamente y sea h una función real de A en C llamaremos a la función h como la compuesta de f con g y se define de la siguiente como: h(x)= g(f(x)) o h(x)= (g º f)(x)

CA

CBAfgh

gf

Funciones Pares e Impares

Sea f una función definida de A en B, se dirá que f es una función par si y solo si cumple que:

f(-x)=f(x).

Y se dirá que f es una función impar si y solo si cumple que:

f(-x)= -f(x)

ObservaciónToda función par es simétrica al eje y, toda función impar es simétrica al origen.

Funciones en Espacios Métricos

Métrica: Sean A un conjunto arbitrario, d una función. Se dirá que d es una métrica o distancia ssi

yxssiyxdiv

zydyxdzxdiii

xydyxdii

yxdi

Azyx

tqRAxAd

....0),()

).,(),(),()

).,(),()

.0),()

.,,

:.....:

Ejemplos de métricas en Rn

niyxMaxYXd

yxYXd

yxYXd

yyyYxxxX

RYXSean

ii

n

iii

n

iii

nn

n

,..,1/),()..3

),()..2

),()..1

),...,,();,...,,(

,...

1

2

2

11

2121

Espacio Métrico

Se llamará espacio métrico a todo conjunto X en el que se pueda definir una métrica o distancia d. Se lo indicará con

(X,d)

Discos en espacios métricos

Sea (X,d) un espacio métrico, x elemento de X, r un número real positivo. Llamaremos disco (esfera) de centro x y radio r, al conjunto

ryxdXyxS r ),(/)(

Sea x = (0,0), y r =2. El disco de centro (0,0) y radio 2, tiene una forma geométrica que depende directamente de la métrica utilizada.

Ejemplos de discos en R2

Espacios NormadosNorma: Sea V un espacio vectorial real, N una

función de V en R. Se dirá que N es una Norma si

oxssixNiv

yNxNyxNiii

xNxNii

xNi

Vyx

tqRVN

....0)()

).()()()

).().()

.0)()

.,

:.....:

Ejemplos de Normas Rn

nixMaxX

xX

xX

xxxXRXSea

i

n

ii

n

ii

nn

,..,1/)..3

)..2

)..1

);,...,,(;......

1

2

2

11

21

Discos en espacios normados

Sea (V) un espacio normado, x elemento de V, r un número real positivo. Llamaremos disco (esfera) de centro x y radio r, al conjunto

ryxVyxS r /)(

Relación entre espacios métricos y normados

A partir de un espacio normado siempre se puede construir un espacio métrico, es decir, a partir de una norma siempre se puede definir una métrica. Mediante la siguiente expresión:

yxyxd ),(

Conjuntos abiertos

Sea X un espacio métrico (o normado) A subconjunto de X. Se dirá que A es abierto si y solo si para todo x elemento de A, existe un r >0, tal que el disco de centro x y radio r está totalmente contenido en A.

AxStqrAxssiabiertoA r )(__0,___

Puntos de acumulaciónSea X un espacio métrico (o normado), A subconjunto de X, x elemento de X. Se dirá que x es punto de acumulación de A si y solo si, para todo disco de centro x existe por lo menos un y elemento de A (distinto de x).

Al conjunto de todos los puntos de acumulación de A, se lo indica con A’ y se llama el derivado de A.

}){()(_0 xAxSr r .'...ssiAx

Adherencia de un conjunto; Conjuntos cerrados

Al conjunto 'AA Se le denomina adherencia

o clausura del conjunto A, y se lo indica con

'AAA

Un conjunto se dice Cerrado, ssi es igual a su clausura.

AA

Relación entre conjuntos abiertos y cerrados

Teorema: En un espacio métrico (normado) X,

XA i) A es abierto ssi CA es cerrado

ii) A es cerrado ssi CA es abierto.

Observación: La propiedad de ser conjunto abierto o cerrado no son mutuamente excluyentes, es decir, si un conjunto no es abierto no quiere decir que sea cerrado o viceversa. Además, existen conjuntos que al mismo tiempo son abiertos y cerrados )....( X

Sucesiones en espacios métricos o normados

Sea X un espacio métrico (normado) llamaremos sucesión en X a toda función de dominio N y codominio X, y se le denota con {xn}.

Diremos que la sucesión {xn} es convergente a x ssi.

;__..0

;),(__..0

00

00

xxnntqNn

xxdnntqNn

n

n

xxnn

Limite de una funciónEn la segunda mitad del siglo XVII, Isaac Newton y GottfriedLeibnitz sentaron las bases de esa gran invención matemáticaque es el cálculo infinitesimal. Se coronó así un enorme trabajo preparatorio en el que tomaron parte, a través de los siglos, muchos y muy destacados matemáticos, y cuyos inicios se remontan a los métodos de los antiguos griegos para el cálculo de áreas y volúmenes. Hoy podemos afirmar, sin dudarlo, queel concepto de límite constituye la herramienta fundamental del cálculo. Sin embargo, no fue sino hasta principos del siglo XIX que Augustin-Louis Cauchy dió una sólida base matemática a la noción de límite.

Limite de una Función

YXf :

Pxfxx

)(lim0

Sea f una función definida de un espacio Métrico X sobre un espacio métrico Y.

Si , decimos que el límite de f(x) es P cuando x tiende a xo, ssi.

Para todo Disco de centro P existe un disco de centro xo, cuya imagen esta contenido en el disco de centro P

'0 Xx

)())((,),(),( 00 PSxSftqxSPS

Limite de una Función Real

Pxfxx

)(lim0

Sea f una función Real definida en un intervalo abierto I si , decimos que el límite de f(x) es P cuando x tiende a xo, ssi.

Para todo valor que se acerque infinitamente a xo, la imagen de ese valor se acercará infinitamente a P

Ix 0

Pxf

xxIxtq

)(

,.,0,0 0

Limite de una función

Ejemplo de limiteDemostrar que: 6)39(lim

5

x

x

Propiedades de los limitesSean f(x) y g(x) dos funciones, para las que existe limite en un punto o en el infinito

Formas IndeterminadasExisten casos en los cuales el limite nos conduce a una forma indeterminada (expresión que puede asumir diferentes valores).

Ejemplo

La cual no esta definida para x=1, pero podemos analizar el comportamiento de f cuando x tiende a 1.

Ejemplo (2)

Ejemplo (3)

Ejemplo (4)

Ejemplo (5)

Ejemplos prácticos de Límites

La población N de una ciudad pequeña en t años a partir de ahora se predice que será

Encuentre la población a largo plazo.

22

000.10000.20

tN

Ejemplos prácticos de Límites

Para una relación particular de huesped-parásito, fue determinado que cuando la densidad de húespedes (número de húespedes por unidad de área) es x, entonces el número de parásitos en un período es y, donde

Si la densidad de húspedes fuera aumentando sin cota, ¿a qué valor se aproximaría y?

x

xy

4510

900

Observación.

El paso al límite de una función no es un proceso cuantitativo, es un salto cualitativo

k

k

kdxx

kA )ln(1

)(1

k

k

kdx

xkV 1

11)(

12

)2ln(1

)1(

...7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

1

1

nS

S

n

n

(Desarrollo del Polinomio de Taylor)

).(;02

...5

1

4

1

3

1

2

112

...5

1

5

2

4

1

3

1

3

2

2

112

...7

2

3

1

5

2

2

1

3

2122

SSS

S

S

S

...7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11 S

Ejercicios•Bosquejar los discos en R3

•Puntos de acumulación; conjuntos abiertos y cerrados

•Ejercicios de funciones inversas

•Ejercicios funciones pares e impares

•Ejercicios de límites