Llamamos funciones racionales a las funciones cuya formula es una expresión racional:

EJEMPLO: 3/x es una expresión racional, porque el numerador P(x)= 3 es un polinomio y el denominador G(X)=x también es un polinomio no nulo

El dominio en una función racional es el conjunto de todos los valores de la variable que no anulan al denominador

EJEMPLO: Consideremos la función j(x)= x2 – 1 x3 + 3x2 – x – 3

Para indicar su dominio, factorizamos el denominador: x3 + 3x2 – x – 3= (x+3)(x-1)(x+1)

Raíces del denominador: x1= 3 x2= -1 x3= 1 Dom j: {3;1}

Al trabajar con funciones racionales nos resultara conveniente simplificar sus formulas, es decir, sus expresiones racionales. Es posible simplificarlas cuando existen factores comunes al numerador y al denominador; de lo contrario, la expresión racional es irreducibleConsideremos la función j(x) de la diapositiva anterior. Una vez factorizados su

numerador y su denominador, podemos expresar su formula así: j(x)= (x-1)(x+1) (x+3)(x-1)(x+1)

Simplificando los factores comunes: j(x)= (x-1)(x+1) = 1 (x 1; x -1) (x+3)(x-1)(x+1) x+3

Las dos expresiones anteriores son equivalentes. Es mas sencillo trabajar con la irreducible, pero sin perder de vista que el dominio de la función es el que quedo determinado a partir de la expresión original

La intersección del grafico de una función f(x) con el eje y se produce cuando la variable x se anula. Esto es posible únicamente si x=0 pertenece al dominio de f(x); en caso contrario, no hay intersección

EJEMPLO: Consideremos la funcion f(x)= x2

x2-1Nos preguntamos: ¿ x = 0 pertenece al dominio de f?... Si; entonces, calculamos f(0) = )= 02 = 0 La 02-1interseccion del grafico de f con el eje y es el punto (0;0)

Las intersecciones del grafico de una función racional f(x) con el eje x se producen para los valores de x que anulan la función, es decir, para aquellos que anulan al numerador y que pertenecen al dominio de f. esos valores de x, si existen, son los ceros de f(x).

EJEMPLO: Hallemos los ceros de la función f(x)= x+1 x -1Para hallar los ceros, resolvemos la ecuación: x+1=0 x= -1Como x = -1 pertenece al dominio de f, el conjunto de ceros de f(x) es:Cª={-1}

-1

A medida que x toma valores cada vez mas próximos a 0 por la derecha, los valores de f(x) son cada vez mayores:

Si x tiende a 0+ f(x) tiende a + infinito

F(x)= 1 x

A medida que x toma valores cada vez mas proximos a 0 por la izquierda, los valores de f(x) son cada vez menores:

Si x tiende a 0- f(x) tiende a - infinito

F(x)= 1 x

Si el denominador de la formula de una función racional no tiene ceros, esa función no tiene asíntotas verticales. En cambio, si a es cero del denominador y no anula al nominador, la recta de ecuación x = a es una asíntota vertical

A medida que x toma valores cada vez mayores, los valores de f(x) están cada vez mas próximos a 0

Si x tiende a + infinito f(x) tiende a 0

Amedida que x toma valores cada vez menores, los valores de f(x) están cada vez mas próximos a 0

Si x tiende a + infinito f(x) tiende a 0

Ejemplo analizado 1: Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1) a) Dominio: La función no esta definida para

x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1} b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-

f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes: Eje X: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0 Eje Y: f(0)=0 -> y=0

e) Asíntotas:Verticales: x=-1, x=1

MATEMÁTICA 1- Santillana www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html

descartes.cnice.mec.es/materiales...funcion/2bcnst_14_8.htm