Funciones racionales · PDF file Una función racional es una función que se...

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  • Funciones racionales

  • Una función racional es una función que se

    puede expresar de la forma

    )(

    )( )(

    xg

    xf xp 

    donde f(x) y g(x) son funciones

    polinómicas.

    La función racional

    Ejemplos:

  • • En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.

    Dominio de una función racional

  • Dominio de una función racional

    Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

    . 14

    2 )( de dominio el Determinar )1

     

    x xf

    014 x

    Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales excepto x = ¼.

    , 4

    1 cuando x

        ,,- 4141 

  • Dominio de una función racional

    . 4

    5 )( de dominio el Determinar )2

    2  

    x

    x xf

  • 1

    5 )( )4

    2 

     

    x

    x xf

    Dominio de una función racional

  • Interceptos • Interceptos en x

    o para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero. [f(x)=0]

    o la cantidad de interceptos en x depende del grado del numerador.

    o 0 ≤ # interceptos en x ≤ grado del numerador

  • Interceptos

    • Intercepto en y

    oOcurre en el valor de la función cuando x = 0. Se puede encontrar evaluando la función en cero. [f(0)]

    oSi x = 0 está en el dominio de f(x), entonces existe un sólo intercepto en y.

    oSi x = 0 NO está en el dominio de f(x), NO existe el intercepto en y.

  • Interceptos

    • Hallar los interceptos de cada función.

    2

    1 )()1(

     

    x xf

    (a) intercepto – y: b) intercepto - x

  • Hallar los interceptos de cada función.

    (a) intercepto – y: b) intercepto - x

    x

    x xf

     

    3

    2 )( )2

  • Interceptos • Hallar los interceptos de cada función.

    (a) intercepto – y: b) intercepto - x

  • Soluciones de funciones racionales

    Un par ordenado (a,b) es una solución de una

    función f(x) si f(a)=b. Dicho de otra forma, si al

    evaluar f en x=a el resultado es b.

    Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5

    12 )(

     

    x

    x xf

    1 11

    11

    11

    112

    5)6(

    1)6(2 )6( 

     

     f

    (6, 1) SI es una solución de la función.

  • Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de

    Soluciones de funciones racionales

  • Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una

    solución de

    x

    x xf

     

    3

    25 )(

    Soluciones de funciones racionales

  • Consideremos la función racional: 2

    1 )(

     

    x xf

    Hasta ahora sabemos que:

    •El dominio de f(x) es D:

    •NO tiene intercepto en x.

    •El intercepto en y es y = - ½.

     2

    No podemos trazar la gráfica correctamente con

    un sólo punto.

    Gráficas de funciones racionales

  • Aunque x=2 NO pertenece al

    dominio podemos observar lo

    que ocurre con valores que

    están muy cerca de x=2 (un

    poco mayor o un poco menor).

    2

    1 )(

     

    x xf

    Gráficas de funciones racionales

    Se observa que:

    • Cuando 𝑥 → 2−, 𝑓 𝑥 → −∞ • Cuando 𝑥 → 2+, 𝑓 𝑥 → ∞

  • • Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas.

    • La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes desconectadas.

    • x=2 se llama una asíntota vertical

  • Veamos que ocurre con

    los valores de la

    gráfica a medida que x

    se hace muy grande o

    muy pequeño.

    (Comportamiento en

    los extremos)

    2

    1 )(

     

    x xf

    , Cuando x 0y

    , Cuando x 0y

  • A medida que los valores

    de x se hacen más

    negativos, los valores de

    la función (y) se acercan

    más y más a cero.

    A medida que los

    valores de x se hacen

    más positivos, los

    valores de la función (y)

    se acercan más y más a

    cero.

    2

    1 )(

     

    x xf

    , Cuando x 0y

    , Cuando x 0y

  • En este caso, la

    línea y=0 se llama

    una asíntota

    horizontal, porque

    los valores de la

    función se quedan

    bien cerca de esta

    línea a medida que

    x aumenta o

    disminuye

    grandemente.

    2

    1 )(

     

    x xf

  • Hallar las asíntotas de

    funciones racionales

    Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0.

    Asíntotas Verticales

  • Hallar la ecuación de cada

    asíntota vertical si existe.

      x

    x xf

    22

    52 .1

     

    Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 2 + 2x = 0  x = -1

    La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.

  • Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:

    1. El grado del numerador es menor que el

    grado del denominador. En este caso, la

    asíntota es la recta horizontal y = 0.

    16

    1 )(

    153

    3 )(.

    2 

     

     

    x

    x xg

    x xfEj El eje de x (y=0) es la

    asíntota horizontal de

    las gráficas de f(x) y

    g(x)

  • Asíntotas horizontales 2. El grado del numerador es igual al grado del

    denominador. En este caso, la asíntota es la recta

    horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente

    principal del numerador y b es el del

    denominador.

    2

    2

    16

    14 )(

    153

    19 )(.

    x

    x xg

    x

    x xfEj

     

     

    La asíntota horizontal

    de la gráfica de

    f(x) es

    g(x) es

  • Asíntotas horizontales

    3. Cuando el grado del numerador es mayor

    que el grado del denominador la función NO

    tiene asíntota horizontal.

    1

    16 )(

    153

    745 )(.

    2

    3

     

     

    x

    x xg

    x

    xx xfEj Las gráficas de f(x) y

    g(x) NO tienen

    asíntota horizontal

  • Gráficas de funciones racionales

    Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:

    •Determinar si existen asíntotas verticales.

    •Determinar si existe el asíntota horizontal.

    •Determinar si existen interceptos.

    •Determinar comportamiento alrededor de las

    asíntotas. Tal vez se necesiten unos puntos

    adicionales.

    •Unir puntos con curvas suaves que se quedan

    alrededor de las asíntotas.

  •   x

    x xf

    22

    52 .1

     

    El grado del numerador y del denominador es 1.

    La asíntota horizontal de la f(x) es la recta

    2

    5 

    n

    n

    b

    a

    2 5y

    Hallar la ecuación de la asíntota horizontal si existe.

  • Trazar la gráfica de:

    Intercepto - y:

    Intercepto - x

    Asíntota vertical:

    Ya determinamos que la recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.

    Asíntota horizontal:

      x

    x xf

    22

    52

     

    Ya determinamos que la asíntota horizontal es la recta 2

    5y

  • Gráficas de funciones racionales

    Los interceptos

    quedan en un

    mismo pedazo

    de la gráfica.

    Podemos unir

    los dos puntos

    con una curva

    suave que se

    acerca a las

    asíntotas.

      x

    x xf

    22

    52

     

  • Gráficas de funciones racionales Evaluamos la función

    en algunos otros puntos

    para identificar la otra

    parte de la gráfica.

      x

    x xf

    22

    52

     

       2f

  • Gráficas de funciones racionales

  • Trazar la gráfica de:

    Debemos simplicar la función primero.

      9

    12102 2

    2

     

    x

    xx xf

  • FIN