Rumbo a la Universidad TRIGONOMETRÍA

SEMANA Nº 01 – II SEMESTRE

TEMA: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS

COMPUESTOS Y MÚLTIPLES

PROFESOR: Juan Gutiérrez Céspedes

INTRODUCCIÓN

La utilidad de estas identidades radica en que con ellas se

puede calcular razones trigonométricas de arcos o ángulos

desconocidos a partir de arcos o ángulos cuyas razones

trigonométricas sean conocidas.

A) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS.

I. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y RESTA DE DOS ÁNGULOS.

. os os .Sen Sen C C Sen

os os . os .C C C Sen Sen

1 .

Tg TgTg

Tg Tg

. 1Ctg CtgCtg

Ctg Ctg

II. IDENTIDADES AUXILIARES.

2 2( ). ( )Sen x y Sen x y Sen x Sen y

2 2os( ). os( ) osC x y C x y C x Sen y

( )

os . os

Sen x yTgx Tgy

C x C y

( )

os . os

Sen x yTgx Tgy

C x C y

( )

.

Sen x yCtgx Ctgy

Senx Seny

( )

.

Sen y xCtgx Ctgy

Senx Seny

( ) . . ( )Tg x y Tgx Tgy TgxTgyTg x y

( ) . . ( )Tg x y Tgx Tgy TgxTgyTg x y

III. PROPIEDADES

Si 2

zyx , entonces:

a) . . . 1TgxTgy TgyTgz TgxTgz

b) . .Ctgx Ctgy Ctgz CtgxCtgy Ctgz

c) 2 2 2 1 2 . .Sen x Sen y Sen z Senx Seny Senz

d) 2 2 2os os os 2 2 . .C x C y C z Senx Seny Senz

IV. PROPIEDADES

Si zyx , se cumple:

a) . .Tgx Tgy Tgz TgxTgyTgz

b) . . . 1CtgxCtgy Ctgy Ctgz CtgxCtgz

c) 2 2 2 2 . .Sen x Sen y Sen z Senx Seny Senz

d) 2 2 2os os os 1 2 os . os . osC x C y C z C x C y C z

B) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES.

I. F.T. DEL ÁNGULO DOBLE.

2 2 . osSen Sen C

2 2

2

2

os

os 2 1 2

2 os 1

C Sen

C Sen

C

2

22

1

TgSen

Tg

2

2

12

1

TgCos

Tg

2

22

1

TgTg

Tg

2 12

2

CtgCtg

Ctg

21 Tg

2Tg

21 Tg

2

II. F.T. DEL ÁNGULO TRIPLE.

33 3 4Sen Sen Sen

3os3 4 os 3 osC C C

3

2

33

1 3

Tg TgTg

Tg

3

2

33

1 3

Ctg CtgCtg

Ctg

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Identidades Auxiliares.

3 4 . (60 ). (60 )Sen Sen Sen Sen

os3 4 os . os(60 ). os(60 )C C C C

3 . (60 ). (60 )Tg Tg Tg Tg

32 os 2 1

SenC

Sen

os32 os 2 1

os

CC

C

2 sc2Ctg Tg C

2 2Ctg Tg Ctg

4 4 3 os 4os

4

CSen C

6 6 5 3 os 4os

8

CSen C

III. F.T. DEL ÁNGULO MITAD.

1 os

2 2

CSen

1 osos

2 2

CC

1 os

2 1 os

CTg

C

1 os

2 1 os

CCtg

C

El signo se elige de acuerdo al signo que tenga la

Función trigonométrica en el cuadrante en el cual se

ubica 2 .

sc2

Tg C Ctg

sc2

Ctg C Ctg

EJERCICIOS

1. Simplificar

32

2

Tg xM Tg x Tgx

Cos x.

a) 2Tg x b) 3Tg x c)Ctgx d) 2 3Tg x e) Tgx

2. Calcular:

3 3 65º 80º 80º. 65º

1 65º 3 80º. 65º 3 80º

Ctg Ctg Ctg CtgN

Ctg Ctg Ctg Ctg

a) 1.5 b)2 c) 2.5 d)1 e) 0

3. Sabiendo que M . Además:

145º 65º 175º 85º

70º 40º 170º 80º

Sen Cos Sen CosM

Cos Sen Sen Cos

Hallar el mínimo valor entero que toma M

a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 5

4. Si se cumple que:

3 2 5Senx Cosx

Además 0,2

x . Calcular:

M Cscx Senx

a) 3/5 b) 2/5 c) 1/6 d) 3/4 e) 5/6

5. Sabiendo que:

2Sen x y Sen y z

Sen x zCosxCosy CosyCosz

Calcule:

M CosxCosz

a) 1 b) 0 c) 1/2 d) 1/4 e) 1/3

6. En la figura ABCD es un cuadrado,

,2

EFBE BF FC , EAF . Calcule Csc

A

B C

D

E F

a) 185

13 b)

226

13 c)

181

13

d) 185

4 e)

223

13

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7. Si: 2

SecxCosx Senx

m

Calcular: 4Sen x

a) 1

m

m b)

2

2 1m

m

c)

1

2 1m

d)

2

2 1

m

m e)

2

2 1

m

m

8. Si:

8 8

42

Cos SenA BCos

Cos,

2 1

4

k

Calcular: A B

a) 0 b) 0.5 c) -1 d) -0.5 e) 1

9. Si: 2 3

Sec Csc. Calcular:

3 2 2 2

2 . 2

Csc SecE

Sec Csc

a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Si 4 5

xCos n . Calcular:

2

5

xM Sen

a) 2n b)

2 1n c) 2 1n d)

22n e) 22 1n

11. Si:

4 4

6 6

Sen x Cos x a

Sen x Cos x b, ,

2x

Calcular 2Sen x en términos de a y b

a) 22

5

a b b) 2

25

a b c) 2

2

a b

d) 23

2

a b e) 35

3

a b

12. Reducir:

1; ,

4 21

Senx CosxR x

Senx

a) 22

xSen b) 2

2

xCos c) 2

2

xSen

d) 22

xCos e)

2

xTg

13. Si: 2 16180º 270º ,

25Cos

Calcular: 2 2

Csc Sec

a) 3 3

2 b)

5 10

3 c)

7

2 d) 18

5

e) 4 10

3

14. Determinar el intervalo de E , si.

222 2

x xE CosxCtg CosxCos Ctgx

a) 11,

2 b) 1

,12

c) 1 1

, 02 2

d) 1,0 e) 0,1

15. Si se verifica:

1 .Secy SeczSecx

Sec z Sec y

Además 3

, , ,2

x y z . Hallar 2

xCtg en

términos de z e y .

a) .2 2

y zCtg Tg b) .

2 2

y zTg Tg c) .TgyTgz

d) .TgyTgz e) .2 2

y zCtg Tg

16. Obtener " 4 "Sen en términos de " "n , si se

cumple:

24 1 2 4Csc nCos Cos Ctg Ctg

a)

2

4

n b)

2

4

n c)

2 2

4

n n d)

2

4

2n n e)

4

2n

17. Hallar " "n para que la siguiente expresión sea una

identidad:

3 2Sen xCtgx Cosx Cos nx

a) 3 b) 8 c) 5 d) 7 e) 4

18. Si: 3 2 2 2 2, 02

Sen x Cos x x .

Calcular 3Tg x

a) -7/43 b) -9/46 c) 3/24 d) 7/43 e) 9/46

19. Calcular el valor de:

4 4

22º. 82º. 38º

12º 12º

Sen Sen SenM

Cos Sen

a) 1/8 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/32 e) 1/16

20. Simplificar:

4 33

1 2 2

Senx xM Ctg

Cosx

a) Ctgx b) 2

xCtg c) 2Ctgx

d) 2

xTg e) 2

2

xTg

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HOJA DE CLAVES

Semana 07

Ciclo Regular Enero- Marzo 2009

Área: TRIGONOMETRÍA

Profesor: Mgtr. Graciela del Pilar Burgos Namuche.

Pregunta Clave Tiempo (Min.)

Dificultad

01 D 3 M

02 D 3 M

03 A 3 M

04 E 3 M

05 C 2 F

06 D 2 F

07 B 3 M

08 B 2 F

09 C 3 M

10 E 2 F

11 A 3 M

12 A 2 F

13 E 3 M

14 C 4 D

15 A 4 D

16 E 3 M

17 A 2 F

18 B 2 F

19 C 2 F

20 B 3 M