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Funciones y ecuaciones racionales

12A Funciones y expresiones racionales

Laboratorio Hacer un modelo de variación inversa

12-1 Variación inversa

12-2 Funciones racionales

12-3 Cómo simplificar expresiones racionales

Laboratorio Representar gráficamente funciones racionales

12B Operaciones con expresiones y ecuaciones racionales

12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales

12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales

Laboratorio Hacer un modelo: dividir polinomios

12-6 Cómo dividir polinomios

12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales

Extensión Razones trigonométricas

DiseñoLas razones y las expresiones racionales se pueden usar para explorar la perspectiva en las obras de arte y las dimensiones en el diseño de envases. Intenta usarlas en ambos casos.

CLAVE: MA7 ChProj

846 Capítulo 12

VocabularioElige el término de la izquierda que corresponde a cada definición de la derecha.

1. trinomio cuadrado perfecto

2. máximo común divisor

3. monomio

4. polinomio

5. recíprocos

A. máximo divisor compartido por dos o más términos

B. un número, una variable o un producto de números y variables con exponentes de números cabales

C. dos números cuyo producto es 1

D. un polinomio con tres términos

E. la suma o diferencia de monomios

F. trinomio que es el resultado de elevar un binomio al cuadrado

Simplificar fraccionesSimplifica.

6. 12_4

7. 100_36

8. 240_18

9. 121_66

Sumar y restar fraccionesSuma o resta.

10. 1_3

+ 1_2

11. 7_8

- 1_6

12. 3_4

+ 2_3

+ 1_2

13. 5_9

+ 1_12

- 1_3

Factorizar el MCD de polinomiosFactoriza cada polinomio.

14. x2 + 2x 15. x2 + x 16. 2 x2 + x 17. x2 - x

18. 3 x2 + 2x 19. 4 x2 - 4 20. 3 x2 - 6x 21. x3 - x2

Propiedades de los exponentesSimplifica cada expresión.

22. 4x · 3x2 23. -5 · 2jk 24. -2a3 · 3 a4 25. 3ab · 4 a2b

26. 2x · 3y · xy 27. a2b · 3a b 3 28. 3rs · 3r s 3 29. 5 m2n2 · 4m n 2

Simplificar expresiones polinomialesSimplifica cada expresión.

30. 4x - 2y - 8y 31. 2r - 4s + 3s - 8r

32. ab2 - ab + 4ab2 + 2 a2b + a2b2 33. 3g (g - 4) + g 2 + g

Funciones y ecuaciones racionales 847

848 Capítulo 12

Antes, • identificaste, escribiste y

representaste gráficamente ecuaciones de variación directa.

• identificaste y representaste gráficamente funciones cuadráticas, exponenciales y de raíz cuadrada.

• usaste la factorización para resolver ecuaciones cuadráticas.

• simplificaste expresiones radicales y resolviste ecuaciones radicales.

Estudiarás • cómo identificar, escribir y

representar gráficamente ecuaciones de variación inversa.

• cómo representar gráficamente funciones racionales y simplificar expresiones racionales.

• cómo resolver ecuaciones racionales.

Puedes usar las destrezas aprendidas en este capítulo • para continuar aumentando

tus conocimientos sobre la representación gráfica y la transformación de varios tipos de funciones.

• para resolver problemas en los que se incluye una variación inversa en clases como física y química.

• para calcular los costos cuando trabajas con un presupuesto fijo.

Vocabulario/Key Vocabularyasíntota asymptote

ecuación racional rational equation

expresión racional rational expression

función discontinua discontinuous function

función racional rational function

valores excluidos excluded values

variación inversa inverse variation

Conexiones de vocabulario

Considera lo siguiente para familiarizarte con algunos de los términos de vocabulario del capítulo. Puedes consultar el capítulo, el glosario o un diccionario si lo deseas.

1. ¿Qué otras palabras significan lo mismo que continuo? El prefijo dis- por lo general significa “no”. Describe cómo podría ser la gráfica de una función discontinua.

2. ¿Qué significa que alguien o algo esté incluido en un grupo? ¿Y excluido? ¿Qué crees que significa que algunos valores son valores excluidos para una función en particular?

3. Una variación directa es una relación entre dos variables, x e y, que se puede escribir en la forma y = kx, donde k es una constante distinta de cero. El inverso de un número x es 1__

x . Usa esta información para escribir la forma de una variación inversa.

4. En el Capítulo 1 aprendiste que una expresión algebraica es una expresión que contiene una o más variables, números u operaciones. También aprendiste que un número racional es un número que se puede escribir en forma de fracción. Combina estos términos para definir expresión racional. Da un ejemplo.

Funciones y ecuaciones racionales 849

Inténtalo

1. Crea un calendario que usarás para estudiar para tu examen final.

Estrategia de estudio: Prepárate para tu examen finalLas matemáticas son una materia acumulativa; por lo tanto, tu examen final probablemente cubrirá todos los temas que aprendiste desde el comienzo del curso. La preparación es esencial para que tengas éxito en tu examen final. Puede ser útil hacer un calendario de estudio como el siguiente.

1 semana antes del examen final :1 semana antes del examen final :• Hacer el examen de práctica y• Hacer el examen de práctica y

comprobarlo. Por cada problema en el quecomprobarlo. Por cada problema en el que falle, buscar 2 ó 3 similares y resolverlos.falle, buscar 2 ó 3 similares y resolverlos.

• Trabajar con un compañero de la clase paraTrabajar con un compañero de la clase para hacernos preguntas sobre las fórmulas, loshacernos preguntas sobre las fórmulas, los postulados y los teoremas de mi lista.postulados y los teoremas de mi lista.

2 semanas antes del examen finalsemanas antes del examen final ::• Mirar los exámenes anteriores y las tareas• Mirar los exámenes anteriores y las tareas

para determinar las áreas en las que debopara determinar las áreas en las que debo concentrarme; volver a resolver los problemasconcentrarme; volver a resolver los problemas incorrectos o incompletos.incorrectos o incompletos.

• Hacer una lista de todas las fórmulas, postulados• Hacer una lista de todas las fórmulas, postulados y teoremas que debo saber para el examen final.y teoremas que debo saber para el examen final.

• Crear un examen de práctica usando problemas delCrear un examen de práctica usando problemas del libro similares a los problemas de cada examen.libro similares a los problemas de cada examen.

1 día antes del examen final :d ía antes del examen final :• Asegurarme de que tengo lápices,Asegurarme de que tengo lápices,

calculadora (¡revisar las pilas!), regla,calculadora (¡revisar las pilas!), regla, compás y transportador.compás y transportador.

850 Capítulo 12 Funciones y ecuaciones racionales

Hacer un modelo: variación inversaLa relación entre el ancho y la longitud de un rectángulo con un área constante es una variación inversa. En esta actividad, estudiarás esta relación haciendo modelos de rectángulos con fichas cuadradas o papel cuadriculado.

Para usar con la Lección 12-1

12-1

Actividad

Usa 12 fichas cuadradas para formar un rectángulo con un área de 12 unidades cuadradas o dibuja el rectángulo en un papel cuadriculado. Usa un ancho de 1 unidad y una longitud de 12 unidades.

Tu rectángulo debería ser como el que se muestra.

Usando las mismas 12 fichas cuadradas, continúa formando rectángulos, cambiando el ancho y la longitud, hasta que hayas formado todos los rectángulos posibles que tengan un área de 12 unidades cuadradas. Copia y completa la tabla a medida que formas cada rectángulo.

Ancho (x) Longitud (y) Área ( xy)

1 12 12

12

12

12

12

12

Marca los pares ordenados de la tabla en una gráfica. Dibuja una curva suave que una los puntos.

Inténtalo

1. Observa la tabla y la gráfica anteriores. ¿Qué sucede con la longitud cuando aumenta el ancho? ¿Por qué?

2. Este tipo de relación se llama variación inversa. ¿Por qué crees que se llama así?

3. Para cada punto, ¿a qué equivale x y? Completa la ecuación x y = . Resuelve esta ecuación para hallar y.

4. Forma todos los rectángulos que tengan un área de 24 unidades cuadradas. Anota sus anchos y longitudes en una tabla. Representa gráficamente tus resultados. Escribe una ecuación que relacione el ancho x con la longitud y.

5. Haz una conjetura Usando las ecuaciones que escribiste en 3 y 4, ¿cómo crees que puede ser la ecuación de cualquier variación inversa cuando se resuelve para hallar y?

12-1 Variación inversa 851

12-1 Variación inversa

Una relación que se puede escribir en la forma y = k__

x , donde k es una constante distinta de cero y x ≠ 0, es una variación inversa. La constante k es la constante de variación. La variación inversa implica que una cantidad aumenta mientras que la otra cantidad disminuye (lo inverso u opuesto de aumentar).

Multiplicar ambos lados de y = k__x por x da como resultado xy = k. Por lo tanto, para

cualquier variación inversa, el producto de x e y es una constante distinta de cero.

CON PALABRAS CON NÚMEROS EN ÁLGEBRA

y varía inversamente con x.

y es inversamente proporcional a x.

y = 3_x

xy = 3

y = k_x

xy = k(k ≠ 0)

Variaciones inversas

Existen dos métodos para determinar si una relación entre datos es una variación inversa. Puedes escribir una regla de función del tipo y = k__

x o puedes comprobar si xy es constante para cada par ordenado.

1E J E M P L O Identificar una variación inversa

Indica si cada relación es una variación inversa. Explica.

A x y

1 20

2 10

4 5

B x y

2 6

3 9

6 18

Método 1 Escribe una regla de función.

y = 20_x

Se puede escribir en la forma y = k__

x .

La relación es una variación inversa.

Método 2 Halla xy para cada par ordenado.

1(20) = 20, 2 (10) = 20, 4 (5) = 20El producto xy es constante; por lo tanto, la relación es una variación inversa.

Método 1 Escribe una regla de función.

y = 3x No se puede escribir en la forma y = k__

x .

La relación no es una variación inversa.

Método 2 Halla xy para cada par ordenado.

2(6) = 12, 3 (9) = 27, 6 (18) = 108El producto xy no es constante; por lo tanto, la relación no es una variación inversa.

Una variación directa es una ecuación que se puede escribir en la forma y = kx, donde k es una constante distinta de cero.

¿Para qué sirve?La variación inversa se puede usar para hallar la frecuencia a la que vibra una cuerda de guitarra. (Ver Ejemplo 3)

ObjetivoIdentificar, escribir y representar gráficamente variaciones inversas

Vocabulariovariación inversa



C 5xy = -215xy_

5= -21_

5 Halla xy. Como xy se multiplica por 5, divide ambos lados

entre 5 para cancelar la multiplicación.Simplifica. xy = -21_

5xy es igual a la constante -21____

5 ; por lo tanto, la relación es una variación inversa.


1a. x y

-12 24

1 -2

8 -16

1b. x y

3 3

9 1

18 0.5

1c. 2x + y = 10

Una variación inversa también se puede identificar mediante su gráfica. A la derecha se muestran algunas gráficas de variación inversa. Observa que cada gráfica tiene dos partes que no se conectan.

Observa también que ninguna de las gráficas contiene (0, 0). Esto es porque (0, 0) nunca puede ser la solución de una ecuación de variación inversa.

2E J E M P L O Representar gráficamente una variación inversa

Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 2 cuando x = 4.

Paso 1 Halla k.

k = xy Escribe la regla para la constante de variación.

Sustituye x por 4 e y por 2.

Escribe la regla para la variación inversa.

Sustituye k por 8.

= 4(2)

= 8

Paso 2 Usa el valor de k para escribir una ecuación de variación inversa.

y = k_x

y = 8_x

Paso 3 Usa la ecuación para hacer una tabla de valores.

x -4 -2 -1 0 1 2 4

y -2 -4 -8 indef. 8 4 2

Paso 4 Marca los puntos y conéctalos con curvas suaves.

2. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 1__

2 cuando x = 10.

Como k es una constante distinta de cero, xy ≠ 0. Por lo tanto, ni x ni ypueden ser iguales a 0 y no hay puntos de solución en los ejes x o y.


3E J E M P L O Aplicación a la música

La variación inversa xy = 2400 relaciona la frecuencia de vibración y en hertzios (Hz) con la longitud x en centímetros de una cuerda de guitarra. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar la frecuencia de vibración cuando la longitud de la cuerda es 100 centímetros.

Paso 1 Resuelve la función para hallar y de manera de poder representarla

xy = 2400

y = 2400_x Divide ambos lados entre x.

La longitud nunca es negativa y x ≠ 0.

Como x y xy son positivos, y también es positivo.

Paso 2 Decide cuáles son un dominio y un rango razonables.

x > 0

y > 0

Paso 3 Usa valores del dominio para generar pares ordenados razonables.

x 20 40 60 120

y 120 60 40 20

Paso 4 Marca los puntos. Conéctalos con una curva suave.

Paso 5 Halla el valor de y donde x = 100. Cuando la longitud de la cuerda es 100 cm, la frecuencia de vibración es aproximadamente 24 Hz.

3. La variación inversa xy = 100 representa la relación entre la presión x en atmósferas (atm) y el volumen y en mm 3 de un determinado gas. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar el volumen del gas cuando la presión es 40 unidades atmosféricas.

El hecho de que xy = k sea el mismo para todos los pares ordenados en cualquier variación inversa puede ayudarte a hallar los valores que faltan en la relación.

Si (x1, y1) y (x2, y2) son soluciones de una variación inversa, entonces x1 y1 = x2 y2.

Regla del producto para la variación inversa

4E J E M P L O Usar la regla del producto

Sea x1 = 3, y1 = 2 e y2 = 6. Sea y inversamente proporcional a x. Halla x2 .

x1 y1 = x2 y2 Escribe la regla del producto para la variación inversa.

Sustituye x1 por 3, y1 por 2 e y2 por 6.

Simplifica.

Halla x2 dividiendo ambos lados entre 6.

Simplifica.

(3)(2) = x2(6)

6 = 6 x2

6_6

= 6x2_

6

1 = x2

Recuerda que a veces el dominio y el rango están limitados en situaciones del mundo real.


4. Sea x1 = 2, y1 = -6 e x2 = -4. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y2 .

5E J E M P L O Aplicación a la física

La ley de Boyle afirma que la presión de una cantidad de gas x varía inversamente con el volumen del gas y. El volumen de aire en el interior de una bomba para bicicletas es 5.2pulg33 y la presión es 15.5 psi. Suponiendo que no se pierde aire, ¿cuál es la presión del aire en el interior de la bomba después de que se empuja la manivela hacia adentro y el aire se comprime a un volumen de 2.6 pulg 3 ?

x1 y1 = x2 y2 Usa la regla del producto para la variación inversa.

Sustituye x1 por 5.2, y1 por 15.5 y x2 por 2.6.

Simplifica.

Halla y2 dividiendo ambos lados entre 2.6.

Simplifica.

(5.2)(15.5) = (2.6)y2

80.6 = 2.6 y2

80.6_2.6

= 2.6y2_2.6

31 = y2

La presión después de empujar la manivela hacia adentro es 31 psi.

5. En una palanca en equilibrio, el peso varía inversamente con la distancia desde el fulcro hasta el peso. En el diagrama se muestra una palanca en equilibrio. ¿Cuánto pesa la niña?

Fulcro

4.3 pies 3.2 pies

60 lb

RAZONAR Y COMENTAR 1. Menciona dos formas en que puedes identificar una variación inversa.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe un ejemplo de las partes de la variación inversa dada.

En el Ejemplo 5,x1 e y1 representan el volumen y la presión antes de empujar la manivela hacia adentro yx2 e y2 representan el volumen y la presión después de empujar la manivela hacia adentro.


EjerciciosEjercicios

PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Describe la gráfica de una variación inversa.

VER E JEMPLO 1pág. 851


2. x y

1 8

4 2

2 4

3. x y

1_6

1

1_3

2

2 12

4. x + y = 8 5. 4xy = 3


6. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 2 cuando x = 2.

7. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 6 cuando x = -1.


8. Viajes La variación inversa xy = 30 relaciona la velocidad constante x en mi/h con el tiempo y en horas que se tarda en viajar 30 millas. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar cuántas horas se tardaría viajando a 4 mi/h.


9. Sea x1 = 3, y1 = 12 y x2 = 9. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y2 .

10. Sea x1 = 1, y1 = 4 e y2 = 16. Sea y inversamente proporcional a x. Halla x2 .

VER E JEMPLO 5 pág. 854

11. Mecánica La velocidad de rotación de un engranaje varía inversamente con la cantidad de dientes del engranaje. Un engranaje con 12 dientes tiene una velocidad de rotación de 60 rpm. ¿Cuántos dientes hay en un engranaje que tiene una velocidad de rotación de 45 rpm?

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para los Ver Ejercicios Ejemplo

12–15 1 16–17 2 18 3 19–20 4 21 5

Práctica independiente Indica si cada relación es una variación inversa. Explica.

12. x y

3 -3

-5 5

7 -7

13. x y

2 5

0.5 20

8 1.25

14. x = 13_y 15. y = 5x

16. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = -2 cuando x = 5.

17. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = -6 cuando x = - 1__3 .

18. Ingeniería La variación inversa xy = 12 relaciona la corriente x en amperios con la resistencia y en ohmios de un circuito conectado a una batería de 12 voltios. Determina un dominio y un rango razonables y luego representa gráficamente esta variación inversa. Usa la gráfica para estimar la resistencia de un circuito cuando la corriente es 5 amperios.

19. Sea x1 = -3, y1 = -4 e y2 = 6. Sea y inversamente proporcional a x. Halla x2 .

20. Sea x1 = 7, y1 = 9 y x2 = 6. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y2 .

12-1CLAVE: MA7 12-1

CLAVE MA7 PARENT

*(Disponible sólo en inglés)

Práctica de destrezas, pág. S26Práctica de aplicación, pág. S39

Práctica adicional


Originalmente, las raquetas para nieve estaban hechas de marcos de madera encordados con intestinos de animales. Las raquetas modernas se hacen con marcos de acero y pueden tener extensiones para aumentar la tracción.

Deportes de invierno

21. Economía doméstica La longitud de la tela que June puede comprar varía inversamente con el precio por yarda de la tela. June puede comprar exactamente 5 yardas de una tela que cuesta $10.50 por yarda. ¿Cuántas yardas de tela que cuesta $4.25 por yarda puede comprar June? (Supongamos que June sólo puede comprar yardas enteras).

22. Deportes de invierno Cuando una persona camina con raquetas para nieve, la presión sobre la parte superior de la nieve en psi varía inversamente con el área de la parte inferior de la raqueta en pulgadas cuadradas. La constante de variación es el peso en libras de la persona que usa las raquetas.

a. Helen pesa 120 libras. ¿Aproximadamente cuánta presión ejerce sobre la parte superior de la nieve si usa raquetas que cubren 360 pulg2?

b. Max pesa 207 libras. Si ejerce 0.4 psi de presión sobre la parte superior de la nieve, ¿cuál es el área de la parte inferior de sus raquetas en pulgadas cuadradas?

Determina si cada ecuación representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos. Halla la constante de variación cuando exista.

23. y = 8x 24. y = 14_x 25. y = 1_

3 x - 2 26. y = 1_

5 x

27. y = 4 3_x 28. y =x_2

+ 7 29. y = 15_x 30. y = 5x

31. Varios pasos Un equipo de atletismo compite en una carrera de 10 km. La distancia se divide en partes iguales entre los miembros del equipo. Representa con una ecuación la distancia d que recorrerá cada corredor si hay n corredores. ¿Esto representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos?

Determina si cada conjunto de datos representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos.

32. x 2 4 8

y 5 10 20

33. x 6 12 15

y 6 8 9

34. x 1 2 3

y 12 6 4

35. Varios pasos Tu club da una beca de $2000 a un estudiante cada año y cada miembro contribuye con una cantidad equivalente de dinero. Tu contribución y depende de la cantidad de miembros x. Representa esta situación con una ecuación de variación inversa y luego represéntala gráficamente. ¿Cuáles serían un dominio y un rango razonables?

36. Estimación Estima el valor de y si y es inversamente proporcional a x, x = 4 y la constante de variación es 6π.

37. Razonamiento crítico ¿Por qué el punto (0, 0) nunca será una solución de una variación inversa?

38. Escríbelo Explica cómo escribir una ecuación de variación inversa del tipo y = k__

x cuando se conocen los valores de x e y.

39. Escríbelo Haz una lista de todos los términos matemáticos que conoces que contengan la palabra inverso. ¿En qué se parecen estos términos? ¿En qué se parece la variación inversa aestos términos?

40. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 876. La cantidad total de días de trabajo que se tarda en construir el armazón de una casa varía inversamente con la cantidad de personas que trabajan en el equipo. Sea x la cantidad de personas del equipo y sea y la cantidad de días de trabajo.

a. Halla la constante de variación cuando y = 75 y x = 2.

b. Escribe la regla para la ecuación de variación inversa.

c. Representa gráficamente la ecuación de esta variación inversa.


41. ¿Qué ecuación representa mejor la gráfica?

y = -1_4

x y = -4_x

y =1_4

x y =4_x

42. Determina la constante de variación si y varía inversamente con x e y = 2 cuando x = 7.

2_7

7_2

3.5 14

43. ¿Cuál de las siguientes relaciones NO representa una variación inversa?

x 2 4 5

y 10 5 4

x 2 4 5

y 8 16 20

y = 17.5_x 11_

2= xy

44. Respuesta gráfica En una feria, la cantidad de boletos para juegos que Brad puede comprar es inversamente proporcional al precio de los boletos. Puede comprar 12 boletos que cuestan $2.50 cada uno. ¿Cuántos boletos puede comprar si cada uno cuesta $3.00?

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 45. La definición de variación inversa dice que k es una constante distinta de cero.

¿Qué función representaría y = k__x si k = 0?

46. Mecánica Una parte del sistema de freno de un automóvil usa una palanca para multiplicar la fuerza aplicada al pedal de freno. La fuerza en el extremo de una palanca varía inversamente con la distancia desde el fulcro. El punto P es el extremo de la palanca. Se aplica una fuerza de 2 lb al pedal de freno. ¿Cuál es la fuerza que se crea en el punto P?

47. Comunicación La potencia de una señal de radio varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde el transmisor. Una señal tiene una potencia de 2000 vatios cuando está a 4 kilómetros del transmisor. ¿Cuál es la potencia de una señal a 6 kilómetros del transmisor?

REPASO EN ESPIRALHalla el dominio y el rango para cada relación. Indica si la relación es una función. (Lección 4-2)

48. ⎧ ⎨

⎩ (-2, -4) , (-2, -2) , (-2, 0) , (-2, 2)

⎫ ⎬

⎭ 49.

⎧ ⎨

⎩ (-4, 5) , (-2, 3) , (0, 1) , (2, 3) , (4, 5)

⎫ ⎬

⎭

Resuelve completando el cuadrado. (Lección 9-8)

50. x 2 + 12x = 45 51. d 2 - 6d - 7 = 0 52. 2y 2 + 6y = - 5_2

53. Un rectángulo tiene una longitud de 6 cm y un ancho de 2 cm. Halla la longitud de la diagonal y escríbela como una expresión radical simplificada. (Lección 11-6)

6 pulg

3 pies

Pedal del freno

Fulcro

P


12-2 Funciones racionales

Una función racional es una función cuya regla es un cociente de polinomios en el que el denominador tiene un grado de al menos 1. Es decir, debe haber una variable en el denominador. Las variaciones inversas que estudiaste en la lección anterior son un tipo especial de función racional.

Funciones racionales: y = 2_x , y = 3_4 - 2x

, y = 1_x 2

Funciones no racionales: y = x_4

, y = 3x

Para cualquier función que incluya a x e y, un valor excluido es cualquier valor de x que haga que el valor y de la función sea indefinido. Para una función racional, un valor excluido es cualquier valor que hace que el denominador sea igual a 0.

1E J E M P L O Identificar valores excluidos

Identifica el valor excluido para cada función racional.

A y = 8_xx = 0 Haz que el denominador sea igual a 0.

El valor excluido es 0.

B y = 3_x + 3

x + 3 = 0 Haz que el denominador sea igual a 0.

Halla x. x = -3El valor excluido es -3.


1a. y = 10_x 1b. y = 4_

x - 1 1c. y = - 5_

x + 4

La mayoría de las funciones racionales son funciones discontinuas, lo que significa que sus gráficas contienen uno o más saltos, discontinuidades u hoyos. Esto ocurre en un valor excluido.

Un lugar en el que la gráfica de una función racional es discontinua es en una asíntota. Una asíntota es una línea a la que una gráfica se acerca a medida que el valor absoluto de una variable aumenta. En la gráfica que se muestra, tanto el eje x como el eje y son asíntotas. Las gráficas de las funciones racionales se acercan más y más pero nunca tocan las asíntotas.

¿Quién lo usa?Los gemólogos pueden usar funciones racionales para maximizar la luz reflejada. (Ver Ejemplo 4)

ObjetivosIdentificar valores excluidos de funciones racionales

Representar gráficamente funciones racionales

Vocabulariofunción racionalvalor excluidofunción discontinuaasíntota

12-2 Funciones racionales 859

Para las funciones racionales, las asíntotas verticales ocurrirán en los valores excluidos.

Observa la gráfica de y = 1__x . El denominador es 0

cuando x = 0; por lo tanto, 0 es un valor excluido. Esto significa que hay una asíntota vertical en x = 0.Observa la asíntota horizontal en y = 0.

Observa la gráfica de y = 1____x - 3

+ 2. Observa que la gráfica de la función madre y = 1__

x ha sido trasladada 3 unidades hacia la derecha y que hay una asíntota vertical en x = 3. La gráfica también se trasladó 2 unidades hacia arriba y hay una asíntota horizontal en y = 2.

Estas traslaciones llevan a las siguientes fórmulas para identificar asíntotas en funciones racionales.

CON PALABRAS EJEMPLOS

Una función racional del tipo

y = a_x - b

+ c

tiene una asíntota vertical en el valor excluido, o x = b,y una asíntota horizontal en y = c.

y = 2_x

= 2_x - 0

+ 0

Asíntota vertical: x = 0

Asíntota horizontal: y = 0

y = 1_x + 2

+ 4

= 1_x - (-2)

+ 4

Asíntota vertical: x = -2

Asíntota horizontal: y = 4

Identificar asíntotas

2E J E M P L O Identificar asíntotas

Identifica las asíntotas.

A y = 1_x - 6

Paso 1 Escribe en la forma y = 1_x - b

+ c .

y = 1_x - 6

+ 0

Paso 2 Identifica las asíntotas.vertical: x = 6

Halla el valor excluido. Haz que el denominador sea igual a 0.

Suma 10 a ambos lados.

Halla x. 10__3

es un valor excluido.

horizontal: y = 0

B y = 2_3x - 10

- 7

Paso 1 Identifica la asíntota vertical.

3x - 10 = 0

−−−−− +10 −−− +10 3x = 10

x = 10_3

Las líneas verticales se escriben en la forma x = b y las líneas horizontales se escriben en la forma y = c.


Paso 2 Identifica la asíntota horizontal.c = -7 -7 se puede escribir como + (-7)

y = cy = -7

asíntota vertical: x = 10__3 ; asíntota horizontal: y = -7


2a. y = 2_x - 5

2b. y = 1_4x + 16

+ 5 2c. y = 3_x + 77

- 15

Para representar gráficamente una función racional del tipo y = a____x - b

+ c cuando

a = 1, puedes representar gráficamente las asíntotas y luego trasladar la función madre y = 1__

x . Sin embargo, si a ≠ 1, la gráfica no es una traslación de la función madre. En este caso, puedes usar las asíntotas y una tabla de valores.

3E J E M P L O Representar gráficamente funciones racionales usando asíntotas

Representa gráficamente cada función.

A y = 2_x + 1

Como el numerador no es 1, usa las asíntotas y una tabla de valores.Paso 1 Identifica las asíntotas vertical y horizontal.

vertical: x = -1 Usa x = b. x + 1 = x - (-1), entonces b = -1.

Usa y = c. c = 0horizontal : y = 0

Paso 2 Representa gráficamente las asíntotas usando líneas discontinuas.

Paso 3 Haz una tabla de valores. Elige valores de x en ambos lados de la asíntota vertical.

x -3 -2 - 3__2

- 1__2 0 1

y -1 -2 -4 4 2 1

Paso 4 Marca los puntos y conéctalos con curvas suaves. Las curvas se acercan mucho a las asíntotas pero no las tocan.

B y = 1_

x - 2 - 4

Como el numerador es 1, usa las asíntotas y traslada y = 1__x .

Paso 1 Identifica las asíntotas vertical y horizontal.

vertical: x = 2 Usa x = b. b = 2

Usa y = c. c = -4horizontal: y = -4

Paso 2 Representa gráficamente las asíntotas usando líneas discontinuas.

Paso 3 Dibuja curvas suaves para mostrar la traslación.


3a. y = 1_x + 7

+ 3 3b. y = 2_x - 3

+ 2

Poco profundo

Ideal

Demasiado profundo


4E J E M P L O Aplicación a la gemología

Algunos diamantes se cortan usando razones que fueron calculadas por el matemático Marcel Tolkowsky en 1919. La cantidad de luz que se refleja hacia arriba a través de la parte superior de un diamante (resplandor) se puede maximizar usando la razón entre el ancho y la profundidad del diamante. Un gemólogo tiene un diamante con un ancho de 90 milímetros. Si x representa la profundidad del diamante, entonces y = 90__

x representa la razón de resplandor y.

a. Describe los valores razonables del rango y del dominio.Tanto la profundidad del diamante como la razón de resplandor serán no negativas, por lo tanto, los valores no negativos son razonables para el dominio y el rango.

b. Representa gráficamente la función.

Paso 1 Identifica las asíntotas vertical y horizontal.

vertical: x = 0 Usa x = b. b = 0

Usa y = c. c = 0horizontal: y = 0

Paso 2 Representa gráficamente las asíntotas usando líneas discontinuas. Las asíntotas serán los ejes x e y.

Paso 3 Como el dominio se limita a valores no negativos, elige valores de xsólo en el lado derecho de la asíntota vertical.

Profundidad del diamante (mm)

2 10 20 45

Razón de resplandor 45 9 4.5 2

Paso 4 Marca los puntos Resplandor de un corte

de diamante

0 10 20 30 40

10

20

30

40

Profundidad (mm)

Raz

ón

de

resp

lan

do

r

y conéctalos con curvas suaves.

4. Una bibliotecaria tiene un presupuesto de $500 para comprar copias de un programa de software. Recibirá 10 copias gratis cuando abra una cuenta en la tienda del proveedor. La cantidad de copias y del programa que puede comprar está dada por y = 500___

x + 10, donde x es el precio por copia.

a. Describe los valores razonables del dominio y del rango.



En la tabla se muestran algunas de las propiedades de las cuatro familias de funciones que has estudiado y sus gráficas.

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN CUADRÁTICA

y = mx + b

• Función madre: y = x

• m es la pendiente. Rota la gráfica alrededor de (0, b).

• b es la intersección con el eje y. Traslada la gráfica de y = x verticalmente.

y = ax2 + bx + c

• Función madre: y = x2

• a determina el ancho de la parábola y la dirección hacia la que se abre.

• c traslada la gráfica de y = ax2 verticalmente.

• El eje de simetría es la línea vertical x = - b___

2a.

FUNCIÓN DE RAÍZ CUADRADA FUNCIÓN RACIONAL

y = √ x - a + b

• Función madre: y = √ x

• a traslada la gráfica de y = √ xhorizontalmente.

• b traslada la gráfica de y = √ xverticalmente.

y = 1_x - b

+ c

• Función madre: y = 1__x

• b traslada la gráfica y = 1__x

horizontalmente.

• c traslada la gráfica de y = 1__x

verticalmente.

Familias de funciones

RAZONAR Y COMENTAR 1. ¿Hay valores excluidos en y = 1____

x - 5 ? Explica.

2. Indica cómo hallar las asíntotas vertical y horizontal de y = 1____x + 9

- 5.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, halla las asíntotas para la función racional dada.



PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Un valor de x que hace que una función sea indefinida es

un(a) ? . (asíntota o valor excluido)



2. y = 4_x 3. y = 2_x + 3

4. y = - 2_x 5. y = 16_x - 4



6. y = 1_x - 3

7. y = 4_3x + 15

8. y = 2_3x - 5

+ 2 9. y = 1_x + 9

- 10



10. y = 2_x + 6

11. y = 1_x - 2

- 6 12. y = 1_x + 2 13. y = 1_x - 3

- 2


14. Servicios de comida y bebida Una proveedora de servicios de comida y bebida tiene un presupuesto de $100 para frutas. El corte y la entrega de cada libra de fruta cuesta $5. Si x representa el costo por libra de fruta, entonces y = 100_____

x + 5 representa

la cantidad de libras y que puede comprar.

a. Describe los valores razonables de dominio y de rango.




15–18 1 19–22 2 23–26 3 27 4

Práctica independiente Identifica el valor excluido para cada función racional.

15. y = 7_x 16. y = 1_x - 4

17. y = - 15_x 18. y = 12_

x - 5


19. y = 9_x - 4

20. y = 2_x + 4

21. y = 7_4x - 12

+ 4 22. y = 7_3x + 5

- 9


23. y = 5_x - 5

24. y = 1_x + 5

- 6 25. y = 1_x + 4

26. y = 1_x - 4

+ 2

27. Negocios Un mayorista compra repuestos de automóviles. Tiene $200 para gastar. Recibe 5 repuestos gratis con el pedido. La cantidad de repuestos y que puede comprar, si el precio promedio de los repuestos es x dólares, es y = 200___

x + 5.

a. Describe los valores razonables del dominio y del rango.


Halla el valor excluido para cada función racional.

28. y = 4_x 29. y = 1_x - 7

30. y = 2_x + 4

31. y = 3_2x + 1

Representa gráficamente cada función racional. Muestra las asíntotas.

32. y = 1_x - 2

33. y = 2_x + 3 34. y = 3_x + 1

+ 2 35. y = 1_x - 4

- 1

36. Varios pasos La función y = 60__x 2 relaciona la luminiscencia en lúmenes y de un foco de 60

vatios visto desde una distancia de x pies. Representa gráficamente la función. Usa la gráfica para hallar la luminiscencia de un foco de 60 vatios visto desde una distancia de 6 pies.

12-2CLAVE: MA7 12-2

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional

Identifica las asíntotas de cada función racional.

37. y = 7_x + 1

38. y = 1_x - 5 39. y = 12_x - 2

+ 5 40. y = 18_x + 3

- 9

Relaciona cada gráfica con una de las siguientes funciones.

A. y = 1_x + 1

+ 2 B. y = 1_x + 2

- 1 C. y = 1_x - 2

+ 1

41. 42. 43.

44. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Al hallar la asíntota horizontal de y = 1____x + 2

- 3,

el estudiante A dijo que la asíntota está en y = -3 y el estudiante B dijo que está en y = -2. ¿Quién se equivoca? Explica el error.

45. Finanzas El tiempo en meses y que llevará cancelar una cuenta de $1200, cuando se pagan x dólares cada mes y la tarifa de financiación es $15 por mes, es y = 1200_____

x - 15 . Describe los valores

razonables del dominio y del rango y representa gráficamente la función.

46. En la tabla se muestra cuánto tiempo tardan grupos con distintas cantidades de paisajistas en completar un proyecto.

a. Representa gráficamente los datos.

b. Representa los datos con una función racional.

c. ¿Cuántas horas tardarían 12 paisajistas en completar el proyecto?

Representa gráficamente cada función. Compara su gráfica con la gráfica de y = 1__x .

47. y = 1_x - 6

48. y = 1_x + 7

49. y = 1_x + 4 50. y = 1_x - 2

- 9

Halla el dominio que hace que el rango sea positivo.

51. y = 10_x - 2

52. y = 10_x + 2

53. y = 5_5x + 1

54. y = 4_3x - 7

55. Razonamiento crítico ¿En qué cuadrantes hallarías la gráfica de y = a__x cuando a es

positivo? ¿Y cuando a es negativo?


56. Este problema te ayudará a resolver la Preparación de varios pasos para el examen de la página 876.

Para construir una casa para beneficencia se necesita un total de 250 días de trabajo. Por ejemplo, si 2 trabajadores construyen la casa, tardan 125 días de construcción. Si trabajan 10 obreros, tardan 25 días.

a. Escribe una función que represente la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de trabajadores.

b. ¿Cuál es el dominio de esta función?

c. Traza una gráfica de la función.

57. Escríbelo Representa gráficamente cada par de funciones en una calculadora de gráficas. Luego haz una conjetura sobre la relación entre las gráficas de las funciones racionales

y = k__x e y = -k___

x .

a. y = 1_x ; y = -1_x b. y = 3_x ; y = -3_

x c. y = 5_x ; y = -5_x

58. ¿Qué función se representa gráficamente?

y =2_

x + 3- 4 y =

2_x - 3

+ 4

y =2_

x + 4- 3 y =

2_x - 4

+ 3

59. ¿Qué función racional tiene una gráfica con la asíntota horizontal y = -1?

y =-1_x y =

1_x + 1

y =1_

x - 1y =

1_x - 1

60. Respuesta breve Escribe una función racional cuya gráfica tenga la misma forma que la gráfica de f(x) = 1__

x , pero que esté trasladada 2 unidades a la izquierda y 3 unidades hacia abajo. Representa gráficamente la función.

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 61. Representa gráficamente la ecuación y = 1_____

x 2 + 1 .

a. ¿Esta ecuación representa una función racional? Explica.

b. ¿Cuál es el dominio de la función?

c. ¿Cuál es el rango de la función?

d. ¿La gráfica es discontinua?

62. Calculadora de gráficas ¿Las gráficas de f (x) = (x - 3)(x - 1)__________

(x - 3) y g(x) = x - 1

son idénticas? Explica. (Pista: ¿Hay valores excluidos?).

63. Razonamiento crítico Escribe la ecuación de la función racional que tiene una asíntota horizontal en y = 3 y una asíntota vertical en x = -2 y que contiene el punto (1, 4) .

REPASO EN ESPIRALResuelve cada ecuación representando gráficamente la función relacionada. (Lección 9-5)

64. 4 - x 2 = 0 65. 3x 2 = x 2 + 2x + 12 66. -x 2 = -6x + 9

67. En las primeras cinco etapas de un diseño fractal, un segmento de recta tiene las siguientes longitudes en centímetros: 240, 120, 60, 30, 15. Usa este patrón y tus conocimientos sobre sucesiones geométricas para determinar la longitud del segmento en la décima etapa. (Lección 11-1)

Determina si cada función representa una variación inversa. Explica. (Lección 12-1)

68. x + y = 12 69. x 30 60 90 120

y 10 20 30 40

70. xy = -4



12-3 Cómo simplificar expresiones racionales

Si el cuerpo de un animal es pequeño y su área total es grande, la tasa de pérdida de calor será alta. Los colibríes mantienen un metabolismo alto para compensar la pérdida de calor corporal que se produce porque la razón del área total al volumen es alta. Las fórmulas para las razones de área total a volumen son expresiones racionales.

Una expresión racional es una expresión algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios. El valor de la expresión polinomial en el denominador no puede ser cero porque la división entre cero es indefinida. Esto significa que las expresiones racionales pueden tener valores excluidos.

1E J E M P L O Identificar valores excluidos

Halla los valores excluidos de cada expresión racional.

A 5_8r8r = 0 Haz que el denominador sea igual a 0.

Halla el valor de r dividiendo ambos lados entre 8.

Haz que el denominador sea igual a 0.

Factoriza.

Usa la propiedad del producto cero.

Halla d.

Haz que el denominador sea igual a 0.

Factoriza.


Resuelve cada ecuación para hallar x.

r = 0_8

= 0

El valor excluido es 0.

B 9d + 1_d 2 - 2d

d 2 - 2d = 0

d (d - 2) = 0

d = 0 ó d - 2 = 0

d = 2Los valores excluidos son 0 y 2.

C x + 4__

x 2 + 5x + 6

x 2 + 5x + 6 = 0

(x + 3)(x + 2) = 0

x + 3 = 0 ó x + 2 = 0

x = -3 ó x = -2

Los valores excluidos son –3 y –2.


1a. 12_t + 5

1b. 3b_b 2 + 5b

1c. 3k 2__k 2 + 7k + 12

ObjetivosSimplificar expresiones racionales

Identificar valores excluidos de expresiones racionales

Vocabularioexpresión racional

¿Para qué sirve?Las formas y los tamaños de las plantas y los animales se determinan en parte mediante la razón entre el área total y el volumen.

Si deseas repasar la propiedad del producto cero, consulta la Lección 9-6.

Si deseas repasar la factorización de trinomios, consulta el Capítulo 8.

Una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes excepto 1. Recuerda que para simplificar fracciones puedes cancelar los factores comunes que aparecen en el numerador y en el denominador. Puedes hacer lo mismo para simplificar expresiones racionales.

2E J E M P L O Simplificar expresiones racionales

Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos.

A 3t 3_12t3t 2_

3 · 4tFactoriza 12.

Cancela los factores comunes. Observa que si t = 0, la expresión es indefinida.

Simplifica. El valor excluido es 0.

Factoriza el numerador.

Cancela los factores comunes. Observa que si x = 3, la expresión es indefinida.

Simplifica. El valor excluido es 3.

El numerador y el denominador no tienen factores comunes. El valor excluido es –5.

1 3 t 32_ 1 3 · 4 t1

t 2_4

; t ≠ 0

B 3x 2 - 9x_x - 3

3x(x - 3)_x - 3

3x(x - 3)1_

x - 3 1

3x; x ≠ 3

C c_c + 5

c_c + 5

; c ≠ -5


2a. 5m 2_15m

2b. 6p 3 + 12p_

p 2 + 2 2c. 3n_

n - 2

De ahora en adelante, en este capítulo puedes suponer que los valores de las variables que hacen que el denominador sea igual a 0 son valores excluidos. No necesitas incluir valores excluidos en tus respuestas a menos que se pida.

3E J E M P L O Simplificar expresiones racionales con trinomios

Simplifica cada expresión racional, si es posible.

A k + 1__

k 2 - 4k - 5 B

y 2- 16__

y 2 - 8y + 16

k + 1__(k + 1)(k - 5)

Factoriza el numerador

y el denominadorcuando sea posible.

Cancela los factores comunes.

Simplifica.

(y + 4)(y - 4)__(y - 4)(y - 4)

k + 1 1__(k + 1)1(k - 5)

(y + 4)(y - 4)1

__

(y - 4)(y - 4)1

1_k - 5

y + 4_y - 4

Asegúrate de usar el denominador original al hallar valores excluidos. Los valores excluidos pueden no “verse” en el denominador simplificado.

12-3 Cómo simplificar expresiones racionales 867



3a. r + 2__r 2 + 7r + 10

3b. b 2 - 25__b 2 + 10b + 25

Recuerda del Capítulo 8 que los binomios opuestos pueden ayudarte a factorizar polinomios. Reconocer binomios opuestos también puede ayudarte a simplificar expresiones racionales.

Considera x - 3____3 - x

. El numerador y el denominador son binomios opuestos. Por lo tanto, x - 3_3 - x

= x - 3_-x + 3

= x - 3 1__ -1(x - 3)1

= 1_-1

= -1.

4E J E M P L O Simplificar expresiones racionales usando binomios opuestos


A 2x - 10_25 - x 2

B 2 - 2m__2m 2 + 2m - 4

2(x - 5)__(5 - x)(5 + x)

Factoriza.

Identifica los binomios opuestos.

Vuelve a escribir un binomio opuesto.


Simplifica.

2(1 - m)__

2(m + 2)(m - 1)2(x - 5)__

(5 - x)(5 + x)

2(1 - m)__2(m + 2)(m - 1)

2(x - 5)__-1(x - 5)(5 + x)

2(1 - m)___2(m + 2)(-1)(1 - m)

2(x - 5)__-1(x - 5)(5 + x)

21(1 - m)1___21(m + 2)(-1)(1 - m)1

- 2_5 + x

- 1_m + 2


4a. 3x - 12_16 - x 2

4b. 6 - 2x__2x 2 - 4x - 6

4c. 3x - 33_x 2 - 121

tude

Cuando no sé si puedo cancelar parte de una expresión, sustituyo un número en la expresión original y la simplifico. Luego simplifico la expresión original cancelando el término en cuestión. Compruebo viendo si los resultados son los mismos.

Por ejemplo, usaré x = 2 para ver si puedo cancelar 4x en 4x_____4x - 7

.

Sustituyo x = 2. Cancelo 4x.

4x_4x - 7

41x1_ 41x1 - 7

4(2)_4(2) - 7

1_1 - 7

8_8 - 7

= 8_1

= 8 1_-6

4x no se puede cancelar porque 8 ≠ 1___-6

.

Simplificar expresiones racionales

Tanika Brown,Escuela Superior Washington


5E J E M P L O Aplicación a la biología

Las plantas del desierto deben conservar el agua. El agua se evapora de la superficie de una planta. El volumen determina cuánta agua hay en una planta. Por lo tanto, cuanto mayor sea la razón del área total al volumen, menor será la probabilidad de que una planta sobreviva en el desierto. Un cactus barril de oro es una planta del desierto cuya forma es casi esférica.

a. ¿Cuál es la razón del área total al volumen de un cactus barril de oro esférico? (Pista: Para una esfera, A = 4π r 2 y V = 4__

3 π r 3 ).

4π r 2_4__3 π r 3

Escribe la razón del área total al volumen.


Usa las propiedades de los exponentes.

Multiplica por el recíproco de 4__3 .


Simplifica.

4π 1r 2_

4__3 π 1r 3

4r 2 1_4__3 r 31

4_r · 3_

4

4 1_r · 3_

41

3_r

b. ¿Qué cactus barril de oro tiene mayores posibilidades de sobrevivir en el desierto: uno con un radio de 4 pulgadas o uno con un radio de 7 pulgadas? Explica.

3_r = 3_

4 3_r = 3_

7 Escribe la razón del área total al volumen

dos veces. Sustituye r por 4 y 7.

Compara las razones. 3_4

> 3_7

El cactus barril de oro de 7 pulgadas de radio tiene mayores posibilidades de sobrevivir. Su razón del área total al volumen es menor que la de un cactus de 4 pulgadas de radio.

5. ¿Qué cactus barril de oro tiene menos posibilidades de sobrevivir en el desierto: uno con un radio de 6 pulgadas o uno con un radio de 3 pulgadas? Explica.

RAZONAR Y COMENTAR 1. Escribe una expresión racional que tenga un valor excluido que no se

pueda identificar cuando la expresión está en su forma simplificada.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe y simplifica una de las expresiones racionales dadas usando

el método más apropiado. x - 3________x 2 - 6x + 9

, 5x 4___x 2 , 4 - x____

x - 4 , 4x 2 - 4x_______8x

Cuando hay dos fracciones con el mismo numerador, el valor de la fracción con el denominador mayor es menor que el valor de la otra fracción.

9 > 3

2_9

< 2_3



PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario ¿Qué es verdadero sobre el numerador y el denominador

de las expresiones racionales?



2. 5_m 3. x + 2_

x 2 - 8x 4.

p 2__p 2 - 2p - 15



5. 4a 2_8a

6. 2d 2 + 12d_d + 6

7. 2_y + 3

8. 10_5 - y

9. 2h_2h + 4

10. 3(x + 4)_

6x



11. b + 4__b 2 + 5b + 4

12. s 2 - 4_s 2 + 4s + 4

13. c 2 + 5c + 6__(c + 3)(c - 4)

14. (x - 2)(x + 1)__

x 2 + 4x + 3 15.

j 2 - 25__j 2 + 2j - 15

16. p + 1__

p 2 - 4p - 5


17. 2n - 16_64 - n 2

18. 8 - 4x__2x 2 - 12x + 16

19. 10 - 5r__r 2 - 4r - 12

20. 2x - 14_49 - x 2

21. 5q - 50_100 - q 2

22. 36 - 12a__a 2 + 2a - 15


23. Construcción El lado de un techo triangular tendrá la misma altura h y base b2 que el lado de un techo trapezoidal.

a. ¿Cuál es la razón del área del techo triangular al área del techo trapezoidal?

(Pista: Para un triángulo, A = 1__2

b2h.

Para un trapecio, A = b1 + b2______

2h).

b. Compara la razón de la parte a con lo que será la razón si b1 se duplica para el techo trapezoidal y b2

se duplica para ambos techos.

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASHalla los valores excluidos de cada expresión racional.

24. c_c 2 + c

25. 2_-3x

26. 4__x 2 - 3x - 10

27. n 2 - 1__2n 2 - 7n - 4


28. 4d 3 + 4 d 2_

d + 1 29. 3m 2_

m - 4 30.

10y 4_

2y 31. 2t 2_

16t

12-3CLAVE: MA7 12-3

CLAVE: MA7 Parent



Como resultado de una política nacional de protección y reintroducción, la población de águilas calvas en los 48 estados contiguos creció de 417 parejas reproductoras en 1963 a más de 6400 parejas reproductoras en 2000. Fuente: Serviciode pesca y vida silvestre de Estados Unidos


24–27 1 28–31 2 32–37 3 38–40 4 41 5

Práctica independiente Simplifica cada expresión racional, si es posible.

32.q - 6__

q 2 - 9q + 18 33. z 2 - 2z + 1__

z 2 - 1 34. t - 3_

t 2 - 5t + 6

35.p 2 - 6p - 7__p 2 - 4p - 5

36. x 2 - 1__x 2 + 4x + 3

37. 2x - 4__x 2 - 6x + 8

38. 20 - 4x_x 2 - 25

39. 3 - 3b__3b 2 + 18b - 21

40. 3v - 36_144 - v 2

41. Geometría Al elegir tamaños de paquetes, una empresa quiere un paquete que use la menor cantidad de material y contenga el mayor volumen de producto.

a. ¿Cuál es la razón del área total al volumen para un prisma rectangular?(Pista: Para un prisma rectangular, A = 2la + 2lh + 2ah y V = lah).

b. ¿Qué caja debería elegir la empresa? Explica.

42. Biología En la tabla se da información sobre dos poblaciones de animales que se liberaron a su hábitat natural. Supongamos que se liberan en el área 16 predadores y 20 presas más. Escribe y simplifica una expresión racional para mostrar la razón entre predadores y presas.


43. p 2 + 12p + 36__

12p + 72 44. 3n 3 + 33 n 2 + 15n__

3n 3 + 15n 45. a_

2a + a

46. j - 5_

j 2 - 25 47. 6w 2 + 11w - 7__

6w - 3 48. n 2 - n - 56__

n 2 - 16n + 64

49. (x + 1)2__x 2 + 2x + 1

50. 5_(x + 5)2

51. 25 - x 2__x 2- 3x - 10

Predador Presa

Poblaciónoriginal

x x

Población5 años después

4x 5x

Cantidad de trabajadores (x)

Días de trabajo__Trabajadores

Días de construcción (y)

2 250_2 - 1

250

3 250_3 - 1

6

11 25

Biología


Práctica adicional


Se necesitan 250 días de trabajo para construir una casa. La cantidad de días de construcción está determinada por la cantidad de trabajadores del equipo. El equipo incluye a un encargado que supervisa a los trabajadores y comprueba que no haya problemas pero no construye.

a. En la tabla se muestra la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de trabajadores. Copia y completa la tabla.

b. Usa la tabla para escribir una función que represente la cantidad de días de construcción.

c. Identifica los valores excluidos de la función.

l


53. Geometría Sea l la longitud de una arista de un cubo.

a. Escribe la razón del área total al volumen de un cubo en forma simplificada. (Pista: Para un cubo, A = 6 s 2 ).

b. ¿Cuál es la razón del área total al volumen del cubo cuando l = 2?

c. ¿Cuál es la razón del área total al volumen del cubo cuando l = 6?

54. Escríbelo Explica cómo hallar valores excluidos para una expresión racional.

55. Razonamiento crítico Da un ejemplo de una expresión racional que tenga a x en el numerador y en el denominador, pero que no se pueda simplificar.

56. ¿Qué expresión es indefinida para x = 4 y x = -1?x - 1_x + 4

x - 4_x + 4

x__x 2 + 3x - 4

x__x 2 - 3x - 4

57. ¿Qué expresión es la razón del área de un triángulo al área de un rectángulo que tiene la misma base y altura?

1_2

bh_2

(bh)2_

2 2

58. Respuesta gráfica ¿Cuál es el valor excluido para x - 4__x 2 - 8x + 16

?

DESAFÍO Y EXTENSIÓNIndica si cada enunciado es verdadero algunas veces, siempre o nunca. Explica.

59. Una expresión radical tiene un valor excluido.

60. Una expresión racional tiene una raíz cuadrada en el numerador.

61. La gráfica de una función racional tiene al menos una asíntota.

Simplifica cada expresión racional.

62. 9v - 6 v 2__4v 2 - 4v - 3

63. 2a 2 - 7a + 3__2a 2 + 9a - 5

64. 0.25y - 0.10__0.25y 2 - 0.04

Identifica los valores excluidos de cada expresión racional.

65. 1__4 x 2 - 7x + 49__

1__4 x 2 - 49

66. -80x + 40 x 2 + 40__-30 - 30 x 2 + 60x

67. 6x + 12_12x + 6 x 2

REPASO EN ESPIRAL 68. El área de un rectángulo mide 24 pies cuadrados. Cada dimensión se multiplica por un

factor de escala y el área del nuevo rectángulo mide 864 pies cuadrados. ¿Cuál es el factor de escala? (Lección 2-7)

Usa intersecciones para representar gráficamente la línea descrita por cada ecuación. (Lección 5-2)

69. 5x - 3y = -15 70. y = 8x - 8 71. 1_2

x + y = 2

Para cada una de las siguientes expresiones, y varía inversamente con x. (Lección 12-1)

72. x1 = 2, y1 = 4 y x2 = 1. Halla y2 . 73. x1 = 2, y1 = -1 y y2 = 1_3

. Halla x2 .

Representar gráficamente funciones racionalesPuedes usar una calculadora de gráficas para representar gráficamente funciones racionales y para comparar gráficas de funciones racionales antes y después de simplificarlas.

Actividad

Simplifica y = x - 1_________x 2 - 5x + 4

y da los valores excluidos. Luego representa gráficamente la

función original y la función simplificada y compara las gráficas.

1 Simplifica la función y halla los valores excluidos.x - 1__

x 2 - 5x + 4= x - 1__

(x - 1)(x - 4)= 1_

x - 4 ; valores excluidos: 4, 1

2 Escribe y = x - 1________x 2 - 5x + 4

e y = 1____x - 4 en tu calculadora como se muestra

y oprime .

3 Para comparar las gráficas, oprime . En la parte superior de la pantalla puedes ver en qué gráfica está el cursor. Para alternar entre gráficas, oprime y .

4 Las gráficas parecen ser las mismas, pero comprueba los valores

excluidos, 4 y 1. Mientras estás en Y1, oprime 4 . Observa que no

hay valor de y en x = 4. La función es indefinida.

5 Oprime para cambiar a Y2 y oprime 4 . Esta función también es indefinida en x = 4. Las gráficas son las mismas en este valor excluido.

6 Regresa a Y1 y oprime 1 . Esta función es indefinida en x = 1. Sin embargo, ésta no es una asíntota vertical. En cambio, esta gráfica tiene un “hoyo” en x = 1.

7 Cambia a Y2 y oprime 1 . Esta función está definida en x = 1. Por lo tanto las dos gráficas son las mismas excepto en x = 1.

Inténtalo

1. ¿Por qué x = 1 es un valor excluido para una función pero no para la otra?

2. Las funciones y = x - 1________x 2 - 5x + 4

e y = 1____x - 4 ¿son realmente equivalentes para todos los valores

de x? Explica.

3. Haz una conjetura Completa cada enunciado.a. Si un valor de x es excluido de una función y de su forma simplificada, aparece en la gráfica como un(a) −−−−− ? . b. Si un valor de x es excluido de una función pero no de su forma simplificada, aparece en la gráfica como un(a) −−−−− ? .

12-3


12- 3 Laboratorio de tecnología 873

CLAVE: MA7 Lab12


Inténtalo

Identifica el cuerpo que muestra cada plantilla.

1. 2. 3.

Ejemplo 1

Identifica el cuerpo que muestra esta plantilla.

Todas las caras son polígonos; por lo tanto, esto es un prisma o una pirámide. Busca un par de polígonos congruentes. Hay dos triángulos rectángulos congruentes. El cuerpo es un prisma.

Un prisma se identifica por la forma de sus bases, por lo tanto, este es un prisma triangular.

Para identificar el cuerpo que muestra una plantilla, recuerda estas propiedades de los cuerpos.

Prismas Pirámides Cilindro Cono

• Un prisma tiene dos bases paralelas y congruentes que son polígonos. Las otras caras son rectángulos o paralelogramos.

• La base de una pirámide es un polígono. Las otras caras son triángulos.

• Un cilindro tiene dos círculos congruentes como bases.

• Un cono tiene un círculo como base.

Ver Banco de destrezas, página S65

geometría

Representar cuerpos geométricos

Una plantilla es un patrón plano que se puede plegar para construir un cuerpo geométrico. La plantilla muestra todas las caras y superficies del cuerpo.

Ejemplo 2

Dibuja un plano de cimentación para este cuerpo geométrico.

Usa cuadrados para mostrar una vista superior del cuerpo.

Escribe un número en cada cuadrado para mostrar la altura en ese punto.

Inténtalo

Dibuja un plano de cimentación para cada cuerpo geométrico.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

Identifica el cuerpo que muestra cada plantilla.

4. 5. 6.

Un plano de cimentación es un dibujo que representa un cuerpo hecho con cubos. Los cuadrados del plano de cimentación son una vista superior del cuerpo. El número en cada cuadrado muestra la altura del cuerpo en ese punto. El plano de cimentación que se muestra es un conjunto de instrucciones para construir el cuerpo que está al lado.

Conexión entre el álgebra y la geometría 875

Funciones y expresiones racionalesDías de construcciónRobert forma parte de un equipo de voluntarios que construyen casas para familias de bajos ingresos. En la tabla se muestra cuántos días de construcción tardan en completar una casa varios equipos con distintas cantidades de trabajadores.

1. Trabajando a la misma velocidad, ¿cuántos días de construcción tarda un equipo de 40 trabajadores en construir la casa?

2. Expresa la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de trabajadores del equipo. Define las variables. ¿Qué tipo de relación se forma en la situación?

3. Explica cómo la cantidad de trabajadores del equipo afecta la cantidad de días de construcción.

4. ¿Aproximadamente cuántos días de construcción tarda un equipo de 32 trabajadores en terminar una casa?

5. Si un equipo puede terminar una casa en 12.5 días, ¿cuántos trabajadores hay en el equipo?

6. ¿Cuáles son un dominio y un rango razonables de la función?

7. Supongamos que hay dos encargados que no realizan trabajo de construcción pero que se cuentan como parte del equipo. Expresa la cantidad de días de construcción en función de la cantidad de integrantes del equipo. ¿Cuáles son las asíntotas de esta función? Explica.Representa gráficamente la función.


Cantidad de trabajadores

Días de construcción

Días detrabajo

2 100 200

4 50 200

8 25 200

10 20 200

20 10 200

SECCIÓN 12A

¿Listo para seguir? 877

Prueba de las Lecciones 12-1 a 12-3

12-1 Variación inversaIndica si cada relación representa una variación inversa. Explica.

1. x -5 -4 -3

y 10 -8 6

2. x 18 9 6

y 2 4 6

3. y = 3_x 4. y + x = 3_4

5. x y = -2 6. y = x_5

7. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 3 cuando x = 2.


9. La cantidad de calculadoras que la maestra Hopkins puede comprar para el salón de clases varía inversamente con el costo de cada calculadora. Puede comprar 24 calculadoras que cuestan $60 cada una. ¿Cuántas calculadoras puede comprar si cuestan $80 cada una?

12-2 Funciones racionalesIdentifica el valor excluido y las asíntotas vertical y horizontal para cada función racional. Luego representa gráficamente cada función.

10. y = 12_x 11. y = 6_

x + 2 12. y = 4_

x - 1 13. y = 2_

x + 1 - 3

14. Jeff construye maquetas de trenes. Tiene $75 para gastar en paquetes de elementos para el paisaje en miniatura. Recibe 6 paquetes gratis con cada pedido. La cantidad de paquetes y que Jeff puede comprar se da en y = 75__

x + 6, donde x representa el costo de cada paquete en dólares. Describe los valores razonables del dominio y del rango y representa gráficamente la función.

12-3 Cómo simplificar expresiones racionalesHalla los valores excluidos de cada expresión racional.

15. 15_n 16.

p_p - 8

17. x + 2__x 2 + 6x + 8

18. t - 1_t 2 + t


19. 3x 2_6x 3

20. 2n_n 2 - 3n

21. s + 1__s 2 - 4s - 5

22. 12 - 3x__x 2 - 8x + 16

23. Supongamos que un cono y un cilindro tienen el mismo radio y que la altura inclinada ldel cono es la misma que la altura h del cilindro. Halla la razón del área total del cono al área total del cilindro.

SECCIÓN 12A


12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales

Las reglas para multiplicar expresiones racionales son las mismas que para multiplicar fracciones. Multiplicas los numeradores y multiplicas los denominadores.

Si a, b, c y d son polinomios distintos de cero, entonces a_b

· c_d

= ac_bd

.

Multiplicar expresiones racionales

1E J E M P L O Multiplicar expresiones racionales

Multiplica. Simplifica tu respuesta.

A a + 3_

2 · 6_

3a + 9

6(a + 3)_2(3a + 9)

Multiplica los numeradores y los denominadores.

Factoriza.


Simplifica.

Multiplica los numeradores y los denominadores.Ordena la expresión para que las variables semejantes estén juntas.

Simplifica.

Cancela los factores comunes. Usa las propiedades de los exponentes.

Simplifica. Recuerda que c0 = 1.

Multiplica. No hay factores comunes; por lo tanto, el producto no se puede simplificar.

6(a + 3)__2 · 3(a + 3)

6 1(a + 3)1_61(a + 3)1

1

B 12b 3c 2_5ac

· 15a 2b_3b 2c

(12)(15)a 2(b 3 · b)c 2__

(5)(3)ab 2(c · c)

180a2b 4c 2_15ab 2c 2

12a1b 2c 0

12ab 2

C 5x 2_2y 3

· 3x_2y 2

15x 3_4y 5

ObjetivoMultiplicar y dividir expresiones racionales

¿Para qué sirve?Puedes multiplicar expresiones racionales para determinar las probabilidades de ganar premios en las ferias. (Ver Ejemplo 5)

Puedes consultar la propiedad del cociente de potencias en la Lección 7-4.

a m_an = am-n

12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales 879


1a. (c - 4)_

5 · 45__

(-4c + 16) 1b.

5y 5z_3x y 2z

· 2x 4y 2_

4xy

2E J E M P L O Multiplicar una expresión racional por un polinomio

Multiplica (x 2 + 8x + 15) 4_____2x + 6

. Simplifica tu respuesta.

x 2 + 8x + 15__1

· 4_2x + 6

Escribe el polinomio sobre 1.

Factoriza el numerador y el denominador.


Multiplica los factores que quedan.

(x + 3)(x + 5)__1

· 4_2(x + 3)

(x + 3)1 (x + 5)42__

21(x + 3)1

2x + 10

2. Multiplica m - 5__________m 2 - 4m - 12

· 3m + 6. Simplifica tu respuesta.

Existen dos métodos para simplificar expresiones racionales. Puedes simplificar primero cancelando los factores comunes y luego multiplicando los factores que quedan. También puedes multiplicar primero y luego simplificar.Con cualquiera de los dos métodos se obtiene la misma respuesta.

3E J E M P L O Multiplicar expresiones racionales que contienen polinomios

Multiplica 4d 3 + 4d_______16f

· 2f_______

7d 2 f + 7f. Simplifica tu respuesta.

Método 1 Simplifica primero. Método 2 Multiplica primero.

4d 3 + 4d_16f

· 2f_

7d 2f + 7f 4d 3 + 4d_

16f·

2f_7d 2 f + 7f

4d(d 2 + 1)__16f

· 2f_

7f (d 2 + 1) Factoriza.

(4d 3 + 4d)2f__16f (7d 2f + 7f )

Multiplica.

4 1d (d 2 + 1)1

__162 f 1

· 21f 1

__7f (d2 + 1)1

Cancela los

factorescomunes.

8d 3f + 8df__

112d 2f 2 + 112 f 2 Distribuye.

Luego multiplica. Luego simplifica.

d_14f

Simplifica. 8df (d 2 + 1)__

112f 2(d 2 + 1) Factoriza.

81d f 1(d 2 + 1)1

__11214 f 21(d 2 + 1)1

Cancela los

factorescomunes.

d_14

f Simplifica.


3a. n - 5_n 2 + 4n

· n 2 + 8n + 16__

n 2 - 3n - 10 3b.

p + 4_p 2 + 2p

· p 2 - 3p - 10__

p 2 + 16

Así como puedes escribir un entero como fracción, puedes escribir cualquier expresión como una expresión racional, escribiéndola con denominador 1.


Las reglas para dividir expresiones racionales son las mismas que para dividir fracciones. Para dividir entre una expression racional, multiplica por su recíproco.

Si a, b, c, y d son polinomios distintos de cero, entonces a_b

÷ c_d

= a_b

· d_c = ad_bc

.

Dividir expresiones racionales

4E J E M P L O Dividir entre expresiones racionales y polinomios

Divide. Simplifica tu respuesta.

A 1_x ÷ x - 2_

2x1_x · 2x_

x - 2 Escribe como una multiplicación

por el recíproco.



Simplifica.

Escribe como una multiplicación por el recíproco.

Factoriza.

Vuelve a escribir un binomio opuesto.


Multiplica.

Escribe el binomio sobre 1.

Escribe como una multiplicación por el recíproco.


Factoriza. Cancela los factores comunes.

Simplifica.

1(2x)_x(x - 2)

2 x1_x1(x - 2)

2_x - 2

B x 2 - 2x_

x ÷ 2 - x__x 2 + 2x + 1

x 2 - 2x_x ·

x 2 + 2x + 1__2 - x

x(x - 2)_x ·

(x + 1)(x + 1)__2 - x

x(x - 2)_x ·

(x + 1)(x + 1)__-1(x - 2)

x1(x - 2)1_

x1·

(x + 1)(x + 1)__-1(x - 2)1

-(x + 1)2

C 3a 2b_b

÷ (3a 2 + 6a)

3a 2b_b

÷ 3a 2 + 6a_

13a 2b_

b· 1_

3a2 + 6a3a 2b__

b(3a 2 + 6a) 3 1a21

b1__b1⎡ ⎣ 31a1(a + 2) ⎤ ⎦

a_(a + 2)


4a. 3_x 2

÷ x 3_(x - 5)

4b. 18v w 2_6v

÷ 3v 2x 4_2w 4x

4c. x 2 - x_

x + 2 ÷ (x 2 + 2x - 3)


5E J E M P L O Aplicación a la probabilidad

Marty participa en un juego en una feria. Debe sacar dos objetos de una bolsa sin mirar. La bolsa tiene objetos rojos y azules, pero hay tres objetos rojos más que objetos azules.

a. Escribe y simplifica una expresión que represente la probabilidad de que Marty saque dos objetos azules sin devolver a la bolsa el primer objeto.Sea x = la cantidad de objetos azules.

Azul + Rojo = Total Escribe expresiones para la cantidad de objetos de cada color y para la cantidad total de objetos.x + x + 3 = 2x + 3

La probabilidad de elegir un objeto azul y luego otro azul es el producto de las probabilidades de los sucesos individuales.

1ra elección: objetos totales

1ra elección: objetos azules 2da elección: objetos azules

2da elección: objetos totales

= x_(2x + 3)

· x - 1_2(x + 1)

= x(x - 1)__

2(2x + 3)(x + 1)

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Marty elija dos objetos azules si hay 10 objetos azules en la bolsa antes de elegir el primero?

Usa la probabilidad de elegir dos objetos azules. Como x representa la cantidad de objetos azules, sustituye x por 10.

P (azul, azul) = 10(10 - 1)__

2(2 · 10 + 3)(10 + 1) Sustituye.

= 10(9)_

2(23)(11) = 90_

506 ≈ 0.18

Usa el orden de las operaciones para simplificar.

La probabilidad de elegir dos objetos azules si hay 10 objetos azules en la bolsa antes de elegir el primero es aproximadamente 0.18.

5. ¿Y si...? Hay 50 objetos azules en la bolsa antes de que Marty elija el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que Marty elija dos objetos azules?

RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cómo dividir entre un polinomio.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, describe cómo realizar la operación con expresiones racionales.

Si deseas repasar los temas de probabilidad, consulta el Capítulo 10.



PRÁCTICA GUIADAVER E JEMPLO 1

pág. 878


1.4h j 2_10j 3

· 3h 3k_h 3k 3

2. 4y_x 5

· 2y z 2_9x 2

3. x - 2_x + 3

· 4x + 12_6

4. ab_c · 2a 2_

3c 5. 7c 4d_

10c· 5a_

21c 3d 6.

12p 2q_5p

· 15p 4q 3_

12q


7. 12_4y + 8

(y 2 - 4) 8. x + 2_6x 2

(5x + 10) 9. 3m_6m + 18

(m 2 - 7m - 30)

10.4p_

8p + 16 (p 2 - 5p - 14) 11. a 2_

a (a 2 + 10a + 25) 12. -c_4c + 4

(c 2 - c - 2)


13. a 2 + 6ab_

b· 5 + 3a__

3a 2b + 5ab 14. x

2 + 5x + 4__x - 4

· x 2 - 2x - 8__

x 2 + 6x + 8

15.j - 1_

j 2 - 4j + 3 ·

j 2 - 5j + 6_2j - 4

16. p 3 + 4pq_

p · 6q 3 - 8_

2q

17. r 2 + 15r + 14__r 2 - 16

· 2r + 8_r + 1

18. y - 8_y 2 - 1

· y + 2_

y 2 - 49



19. 3a 4b_2a 2c 3

÷ 12a 2c_8c 4

20. 2m 3 + 2m_m 2 - 2m

÷ 4m 2 + 4_m - 1

21. x 2 + 4x - 5__3x - 3

÷ (x 2 - 25)


22. Probabilidad En un juego, Rachel saca dos fichas de una bolsa sin mirar y sin devolver la primera ficha a la bolsa. La bolsa tiene dos colores de fichas: negras y blancas. Hay 10 fichas blancas más que fichas negras.

a. Escribe y simplifica una expresión que represente la probabilidad de que Rachel saque una ficha negra y luego una ficha blanca.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachel saque una ficha negra y luego una blanca si hay 5 fichas negras en la bolsa antes de elegir la primera ficha?



23–25 1 26–28 2 29–31 3 32–34 4 35 5

Práctica independiente Multiplica. Simplifica tu respuesta.

23. p 6q 2_

7r 3 ·

-3p2_

r 24. 3r 2t_6st 3

· 2r 2s 3t 2_8r 4s 2

25. 10_y + 5

· y + 2_

3

26. 3_2a + 6

(a 2 + 4a + 3) 27. 4m 2 - 8m__m 2 + 6m - 16

(m 2 + 7m - 8)

28. x__2x 2 - 12x + 18

( 2x 2 - 4x - 6) 29. 6n 2 + 18n__n 2 + 9n + 8

· n 2 - 1_

2n + 6

30. 3a 2b__5a 3 + 10 a 2b

· 2a + 4b__6a 3b + 6 a 2b 2

31. t 2 - 100_5t + 50

· 5_t - 10


32. 6j 2k 5_

5j÷

4j 3k 3_

3j 33. a - 4_

a 2 ÷ (8a - 2 a 2) 34. x 2 - 9__

x 2 + 6x + 9 ÷ 4x 2 - 12x_

16x

12-4CLAVE: MA7 12-4

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional


35. Entretenimiento El tablero de un juego de feria está completamente cubierto de pequeños globos. El juego consiste en lanzar dados al tablero y hacer estallar los globos.

a. Escribe y simplifica una expresión que describa la probabilidad de que los siguientes dos globos en estallar sean rojo y azul. (Pista: Escribe las probabilidades como razones de las áreas de rectángulos).

b. ¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes dos globos en estallar sean rojo y luego azul si x = 3?

36. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// ¿Qué opción es incorrecta? Explica el error.

37. Razonamiento crítico ¿Cuál de las siguientes expresiones NO es equivalente a las otras tres? Explica por qué.

a. 4x 2_x 2 - 3x

· 2x - 6_8y 2

c. 10x 4y_5x y 2

÷ 2 x 2y

b. 6x y 2_

x 2 ÷

3y 4_2x 2

d. 4x_x y 2 + 2 y 2

· x 2 - 4_

4x - 8

Multiplica o divide. Simplifica tu respuesta.

38. 5p 3_p 2q

· 2q 3_p 2

39. 6m 2 - 18m__12m 3 + 12 m 2

÷ m 2 - 9__m 2 + 4m + 3

40. 2x 2_4x - 8

· x 2 - 5x + 6__

x 5 41. x

2 - 9_4x

÷ (4x 2 - 36)

42. 33m - 3 m 2__-2m - 4

÷ 6m - 66_m 2 - 4m

43. 12w 4x 7_3w 3

· w-1x -7_

4

44. Escríbelo Explica cómo dividir 1__m ÷ 3___

4m.


El tamaño de una imagen proyectada en una pantalla depende de la distancia entre el objeto y la lente, el aumento de la lente y la distancia entre la imagen y la lente. El aumento de una lente es A = I__

O=

y__x , donde I es la altura de la imagen, O es la altura del objeto, x es

la distancia entre el objeto y la lente e y es la distancia entre la imagen y la lente.

a. Si un objeto de 16 cm de altura está ubicado a 15 cm de la lente, forma una imagen a 60 cm de la lente. ¿Cuál es la altura de la imagen?

b. Marie mueve el mismo objeto a una distancia de 20 cm de la lente. Si la imagen tiene el mismo tamaño que en la parte a, ¿cuál es la distancia entre la imagen y la lente?

c. ¿Cuál es el aumento de la lente?


46. ¿Qué expresión es equivalente at + 4_

9·

t + 4_3

?

(t + 4) 2_27

t 2 + 16_27

1_3

1_27

47. Identifica el producto - 20 b 2_a2

· 3ab_15b

.

-a_

4b2-4b 2 -

4b 2_a -

b 2_4a

48. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a 2x_x + 5

?

x - 2_8x

· 4__x2 + 3x - 10

x - 2_4

÷ x2 + 3x - 10__8x

x2 - 3x - 10__8x

· 4_x - 2

x2 - 3x - 10__4

÷ x - 2_8x

49. Respuesta breve Simplifica x 2 - 10x + 24__3x 2 - 12x

÷ (x 2 - 3x - 18). Muestra tu trabajo.

DESAFÍO Y EXTENSIÓNSimplifica.

50. x - 3_3x - 6

· 3x + 12_x + 1

· 2x - 4__x 2 + x - 12

51. x 2 - 1_

x + 2÷ 3x + 3_

x + 2÷ (x - 1)

Una fracción compleja es una fracción que contiene una o más fracciones en el numerador o en el denominador. Simplifica cada fracción compleja.

(Pista: Usa la regla

a__b_c__d

= a_b

÷ c_d

).

52. c + 5_c 2 - 4__

c 2 + 6c + 5__c + 2

53. x 2y_x z 3_x 2y_x 2z

54. x

2_2

· x_3_

x_6

55. a + 1__a 2 + 6a + 5__

2a + 2_a + 5

REPASO EN ESPIRAL 56. La madre de Jillian le dijo que precalentara el horno al menos a 325° F. Cuando Jillian

fue a la cocina, el horno ya estaba a 200° F. Escribe y resuelve una desigualdad para determinar cuántos grados Jillian debe aumentar la temperatura. (Lección 3-2)

57. Pierce tiene $30 para gastar en una salida nocturna. Ya gastó $12 en la cena y $9 en una entrada de cine. Gastará algo de dinero d en refrigerios para el cine. Escribe y resuelve una desigualdad que muestre todos los valores de d que Pierce puede gastar en refrigerios. (Lección 3-2)

Simplifica cada radical. Luego suma o resta, si es posible. (Lección 11-7)

58. √ 18 - √ 8 59. √ 3t + 5 √ 3t + √ 12t 60. √ 20 - √ 80 + √ 3

Identifica el valor excluido y las asíntotas para cada función racional. (Lección 12-2)

61. y = 4_x - 3

62. y = 1_2x + 4

63. y = - 1_x + 3

64. y = - 2_x + 5

65. y = 12_4x

66. y = - 1_3x - 2

Cómo sumar y restar expresiones racionales 885

12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales

Las reglas para sumar expresiones racionales son las mismas que para sumar fracciones. Si los denominadores son los mismos, sumas los numeradores y mantienes el denominador común.

3_8

+ 2_8

= 3 + 2_8

= 5_8

Si a, b y c representan polinomios y c ≠ 0, entonces a_c + b_

c =a + b_

c .

Sumar expresiones racionales con denominadores semejantes

1E J E M P L O Sumar expresiones racionales con denominadores semejantes

Suma. Simplifica tu respuesta.

A 3b_b 2

+ 5b_b 2

3b + 5b_b 2

= 8b1_b 21

Combina los términos semejantes del numerador. Cancela los factores comunes.

= 8_b

Simplifica.

B x 2 - 8x_x - 4

+ 2x + 8_x - 4

x 2 - 8x + 2x + 8__x - 4

= x 2 - 6x + 8__

x - 4

Combina los términos semejantes del numerador.

= (x - 2)(x - 4)1__

x - 4 1


= (x - 2) Simplifica.

C 2m + 4_m 2 - 9

+ 2_m 2 - 9

2m + 4 + 2__m 2 - 9

= 2m + 6_m 2 - 9

Combina los términos semejantes

del numerador.

= 2(m + 3)1__(m - 3)(m + 3)1

Factoriza. Cancela los

factores comunes.

= 2_m - 3

Simplifica.


1a. n_2n

+ 3n_2n

1b. 3y 2_y + 1

+ 3y_

y + 1

¿Quién lo usa?Quienes andan en kayak pueden usar expresiones racionales para calcular el tiempo de viaje para distintas excursiones por el río. (Ver Ejemplo 5)

ObjetivosSumar y restar expresiones racionales con denominadores semejantes

Sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos


Para restar expresiones racionales con denominadores semejantes, recuerda sumar el opuesto de cada término en el segundo numerador.

2E J E M P L O Restar expresiones racionales con denominadores semejantes

Resta. Simplifica tu respuesta.

3m - 6__m 2 + m - 6

- -m + 2__m 2 + m - 6

3m - 6 - (-m + 2)__m 2 + m - 6

= 3m - 6 + m - 2__m 2 + m - 6

Resta los numeradores.

= 4m - 8__m 2 + m - 6

Combina los términos semejantes.

= 4(m - 2)1__(m + 3)(m - 2)1


= 4_m + 3

Simplifica.


2a. 5a + 2_a 2 - 4

- 2a - 4_a 2 - 4

2b. 2b + 14__b 2 + 3b - 4

- -2b + 2__b 2 + 3b - 4

Al igual que las fracciones, las expresiones racionales deben tener un denominador común antes de sumarlas o restarlas. Si no tienen un denominador común, puedes usar el mínimo común múltiplo, o mcm, de los denominadores para hallar uno.

Para hallar el mcm, escribe la factorización prima de ambas expresiones. Usa cada factor la mayor cantidad de veces que aparezca en cualquiera de las expresiones.

6 x 2 = 2 · 3 · x · x 5x + 15 = 5(x + 3)

8x = 2 · 2 · 2 · · x x 2 - 9 = (x + 3) (x - 3)

mcm = 2 · 2 · 2 · 3 · x · x = 24 x 2 mcm = 5(x + 3)(x - 3)

3E J E M P L O Identificar el mínimo común múltiplo

Halla el mcm de las expresiones dadas.

A 24 a 3 , 4a 24 a 3 = 2 · 2 · 2 · 3 · a · a · a

Escribe la factorización prima de cada expresión. Usa cada factor de ambas expresiones la mayor cantidad de veces que aparezca en cualquiera de las expresiones.

4a = 2 · 2 · amcm = 2 · 2 · 2 · 3 · a · a · a = 24 a 3

B 2 d 2 + 10d + 12, d 2 + 7d + 12

2d 2 + 10d + 12 = 2 (d 2 + 5d + 6) Factoriza cada expresión.

= 2(d + 3)(d + 2) Usa cada factor de ambas expresiones la mayor cantidad de veces que aparezca en cualquiera de las expresiones.

d 2 + 7d + 12 = (d + 3) (d + 4)

mcm = 2(d + 3)(d + 2)(d + 4)

Halla el mcm de las expresiones dadas.

3a. 5 f 2h, 15f h 2 3b. x 2 - 4x - 12, (x - 6)(x + 5)

Asegúrate de sumar los opuestos de todos los términos del numerador de la segunda expresión cuando restas expresiones racionales.

12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales 887

El mcm de los denominadores de fracciones o de expresiones racionales también se llama mínimo común denominador, o mcd. Se usa el mismo método para sumar o restar expresiones racionales.

Sumar o restar expresiones racionales

Paso 1 Identifica el mcd.

Paso 2 Multiplica cada expresión por una forma apropiada de 1 para que cada término tenga el mcd como denominador.

Paso 3 Escribe cada expresión usando el mcd..

Paso 4 Suma o resta los numeradores, combinando los términos semejantes según sea necesario.

Paso 5 Factoriza.

Paso 6 Simplifica según sea necesario.

4E J E M P L O Sumar y restar con denominadores distintos

Suma o resta. Simplifica tu respuesta.

A 3x_6x 2

+ 2x_4x

6 x 2 = 2 · 3 · x · x

Paso 1 4x = 2 · 2 · x Identifica el mcd.

LCD = 2 · 2 · 3 · x · x = 12 x 2

Paso 2 3x_ 6x 2

( 2_2 ) + 2x_

4x ( 3x_3x ) Multiplica cada expresión por una

forma apropiada de 1.

Paso 3 6x_12x 2

+ 6x 2_12x 2

Escribe cada expresión usando el mcd.

Paso 4 6x + 6 x 2_

12x 2 Suma los numeradores

Paso 5 6 1x 1(1 + x)__

6 1 · 2 x2 1

Factoriza y cancela los factores comunes.

Paso 6 1 + x_2x

Simplifica.

B 1_m - 3

- 5_3 - m

Paso 1 Los denominadores son binomios opuestos.El mcd puede ser m - 3 ó 3 - m. Identifica el mcd.

Paso 2 1_m - 3

- 5_3 - m ( -1_

-1 ) Multiplica la segunda expresión por -1___-1

para obtener un mcd de m - 3.

Paso 3 1_m - 3

- -5_m - 3

Escribe cada expresión usando el mcd.

Paso 4 1 - (-5)_

m - 3 Resta los numeradores.

Pasos 5, 6 6_m - 3

No es necesario factorizar, por lo tanto,

sólo simplifica.


4a. 4_3d

- 2d_2d 3

4b. a 2 + 4a__a 2 + 2a - 8

+ 8_a - 2

Las expresiones como m - 3 y 3 - m son binomios opuestos.

3 - m = -1(m - 3) y

m - 3 = -1(3 - m)


5E J E M P L O Aplicación al tiempo libre

Katy quiere calcular cuánto tiempo tardará en recorrer en kayak 1 milla río arriba y regresar al punto de partida. La velocidad promedio de remo de Katy es 4 veces la velocidad de la corriente del río.

a. Escribe y simplifica una expresión para el tiempo que Katy tardará en el recorrido de ida y vuelta en función de la velocidad de la corriente del río.

Paso 1 Escribe expresiones para las distancias y velocidades del problema. La distancia en ambas direcciones es 1 milla.Sea x la velocidad de la corriente y sea 4x la velocidad de remo de Katy.La velocidad de Katy contra la corriente es 4x - x ó 3x.La velocidad de Katy a favor de la corriente es 4x + x ó 5x.

Paso 2 Usa una tabla para escribir expresiones para el tiempo.

DirecciónDistancia

(mi)Velocidad

(mi/h)Tiempo (h) = distancia________

velocidad

Río arriba (contra la corriente)

1 3x 1_3x

Río abajo (a favor de la corriente)

1 5x 1_5x

Paso 3 Escribe y simplifica una expresión para el tiempo total.

tiempo total = tiempo río arriba + tiempo río abajo

tiempo total = 1_3x

+ 1_5x

Sustituye los valores conocidos.

= 1_3x

( 5_5 ) + 1_

5x ( 3_

3 ) Multiplica cada fracción por una forma apropiada de 1.

= 5_15x

+ 3_15x

Escribe cada expresión usando el mcd, 15x.

= 8_15x

Suma los numeradores.

b. Si la velocidad del río es 2 millas por hora, ¿cuánto tiempo le llevará a Katy el recorrido de ida y vuelta en kayak?

8_15(2)

= 4_15

Sustituye x por 2. Simplifica.

Katy tardará 4__15

de hora, o 16 minutos, en el recorrido ida y vuelta en kayak.

5. ¿Y si...? La velocidad de remo promedio de Katy aumenta a 5 veces la velocidad de la corriente. ¿Cuánto tiempo tardará Katy ahora en el recorrido ida y vuelta en kayak?

RAZONAR Y COMENTAR 1. Explica cómo hallar el mínimo común denominador de expresiones racionales.

2. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, compara y contrasta operaciones con fracciones y expresiones racionales.

Para escribir expresiones para el tiempo en función de la distancia y la velocidad, resuelve d = vt para t.

t = d_v




pág. 885


1.y_

3y 2 +

5y_3y 2

2. 4m + 30_m + 5

+ m 2 + 8m + 5__

m + 5 3. x_

x 2 - 16 + 4_

x 2 - 16



4. 7_2x 3

- 3_2x 3

5. 7a - 2__a 2 + 3a + 2

- 5a - 6__a 2 + 3a + 2

6. 3x 2 + 1_2x + 2

- 2x 2 - 2x_2x + 2


Halla el mcm de las expresiones que se dan.

7. 3xy 2 , 6 x 3yz 8. x 2 + 9x + 20, (x + 5)(x - 4) 9. y 2 - 16, (y + 9)(y - 4)



10. 3_c - 4_3c

11. x 2 + x__x 2 + 3x + 2

+ 3_x + 2

12. 2x_x - 5

+ x_5 - x


13. Viajes La familia Escobar hizo un viaje en automóvil. Recorrieron 100 millas por caminos rurales y 240 millas por carretera. Condujeron 50% más rápido en la carretera que en los caminos rurales. Sea v su velocidad en los caminos rurales en millas por hora.

a. Escribe y simplifica una expresión que represente la cantidad de horas que tardó la familia Escobar en completar su viaje en función de v. (Pista: 50% más rápido significa 150% de la velocidad original).

b. Halla el tiempo total de viaje si viajaron al límite de velocidad que se indica en el cartel.



14–16 1 17–19 2 20–25 3 26–31 4 32 5

Práctica independiente Suma. Simplifica tu respuesta.

14. 4y_y 3

+ 4y_y 3

15. a 2 - 3_

a + 3 + 2a_

a + 3 16. 4x - 13__

x 2 - 5x + 6 + 1__

x 2 - 5x + 6


17. m 2_m - 6

- 6m_m - 6

18. c + 3_4c 2 - 25

- -c + 8_4c 2 - 25

19. -2a 2 - 9a_a - 2

- -5a 2 - 4a + 2__a - 2

Halla el mcm de las expresiones que se dan.

20. 4j k 4m, 25jm 21. 12a 2 + 4a, 27a + 9 22. p 2 - 3p, pq r 2

23. 5x y 2z, 10 y 3 24. 5x 2 , 7x - 14 25. y 2 + 7y + 10, y 2 + 9y + 20


26. 2x_5x

+ 10x_3x 2

27. y 2 - y__

y 2 - 4y + 3 -

2y - 2_3y - 9

28. -3t_t - 4

- 2t + 4_4 - t

29. z_3z2

+ 4_7z

30. 5x_2x - 6

+ x + 2_3 - x

31. 3m_4m - 8

- m2__m2 - 4m + 4

12-5CLAVE: MA7 12-5

CLAVE: MA7 Parent



Práctica adicional

El primer ferrocarril transcontinental se terminó en Utah el 10 de mayo de 1869. La ocasión se conmemoró con un clavo de oro que conectaba las vías este y oeste.

Viajes


32. Estado físico Ira camina una milla desde su casa hasta el centro de esparcimiento. Después de jugar al básquetbol, vuelve a su casa caminando a un 85% de su velocidad normal de caminata. Sea c la velocidad normal de caminata de Ira.

a. Escribe una expresión para representar el tiempo de caminata de ida y de vuelta de Ira.

b. Si la velocidad normal de Ira es 3 millas por hora, ¿cuánto tiempo tardó en completar la caminata?

33. Trenes Un tren viaja 500 millas a través de la región central de Estados Unidos: 50 millas a través de ciudades y 450 millas a través del campo. Al pasar por las ciudades, disminuye la velocidad a un quinto de la velocidad a la que viaja en terreno abierto. Sea vla velocidad en terreno abierto en millas por hora.

a. Escribe y simplifica una expresión que represente la cantidad de horas que tarda el tren en viajar 500 millas en función de v.

b. Halla el tiempo total de viaje si la velocidad del tren en terreno abierto es 50 millas por hora.

c. Razonamiento crítico Si supieras el tiempo que tardó el tren en hacer el viaje de ida y vuelta, ¿cómo podrías hallar su velocidad promedio?


34. 10_5 + y

+ 2y_

5 + y 35. 7_

49 - c 2 - c_

49 - c 2 36. 6a_

a - 12 + 4_

12 - a

37. b_2b 3

+ 3_3b 2

38. r 2 + 2r_r + 3

- 2r + 9_r + 3

39. x 2 - 2x_3x - 15

- 8x - 25_3x - 15

40. 2y_

8y 2 + 9_

4y 3 41. 2_

x + 2 + 6_

x + 4 42.

2y_3y - 9

- y + 1_y2 - 9

43. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Se pidió a dos estudiantes que hallaran los valores excluidos de la expresión

p_________p 2 - p - 12

- 4_________p 2 - p - 12

. El estudiante A identificó el valor

excluido como p = -3. El estudiante B identificó los valores excluidos como p = -3y p = 4. ¿Quién se equivoca? ¿Cuál es el error?

44. Varios pasos En la feria de primavera hay un blanco cuadrado de velcro como el que se muestra. Un jugador lanza una pelota, que se pegará al blanco en un lugar aleatorio. Si la pelota se pega en un lugar dentro del cuadrado pequeño o del círculo, el jugador gana un premio. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador gane un premio, suponiendo que la pelota se pega en algún lugar del blanco? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.

45. Razonamiento crítico Escribe dos expresiones cuya suma sea x____

x + 1 .


Jonathan estudia la luz en la clase de ciencias. Descubre que una lupa se puede usar para proyectar imágenes al revés sobre un trozo de papel. La ecuación 1__

f= 1__

x + 1__y

relaciona la longitud focal de la lente f, la distancia entre el objeto y la lente x y la distancia entre la imagen y la lente y. La longitud focal de la lente de Jonathan es 12 cm.

a. Jonathan quiere escribir y, la distancia entre la imagen y la lente, en función de x,la distancia entre el objeto y la lente. Para comenzar, volvió a escribir la ecuación como 1__

y = 1__12

- 1__x . Explica cómo hizo esto.

b. Explica cómo simplificó Jonathan la ecuación de la parte a en 1__y = x - 12_____

12x.


47. Razonamiento crítico Identifica tres denominadores comunes que se pueden usar

para sumar 3___2x 2 a 3__

4x.

48. Escríbelo Explica cómo hallar el mínimo común denominador de dos expresiones racionales cuando los denominadores son binomios opuestos.

49. ¿Cuál es el mcd de 6_3p + 3

y 4_p + 1

?

p + 1 12 3p + 1 3p + 3

50. Simplifica 4_2x

- 1_x .

1_x

3_x

5_x

3_2x

51. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a 2x_x - 2

?

x_x + 2

+x_

x - 2

x2 + 4x_x2 - 4

+x_

x + 2

2x_x2 - 4

+4_

x - 2 x_

x + 2+

x2 + 6x_x2 - 4

52. Respuesta desarrollada Andrea recorrió en bicicleta 3 millas hasta la oficina de correos y 5 millas hasta la biblioteca. La velocidad hasta la biblioteca fue tres veces mayor que la velocidad hasta la oficina de correos v.

a. Escribe una expresión que represente el tiempo total en horas que Andrea recorrió en bicicleta. Explica qué significa cada parte de tu expresión en la situación.

b. Simplifica la expresión.

c. ¿Cuánto tiempo tardó Andrea en recorrer las 8 millas si su velocidad hasta la oficina de correos fue 3 millas por hora?

DESAFÍO Y EXTENSIÓNSuma o resta y simplifica. Halla los valores excluidos.

53. 3_x + y -

2x + y_x 2 - y 2

54. 3_2m

+ 4_m 2

+ 2_5m

55. a_xy + b_xz + c_yz

56. Simplifica la fracción compleja

1__x - 1__

y_x___

xy - 1__x

. (Pista: Simplifica el numerador y el denominador

de la fracción compleja primero).

REPASO EN ESPIRALTraza una gráfica para cada situación. (Lección 4-1)

57. Al principio cae poca nieve, luego cae mucha nieve a una tasa constante.

58. La nieve se derrite rápidamente durante la tarde, luego deja de derretirse a la noche.

59. Cae mucha nieve, se limpia con una pala y luego cae poca nieve.

Factoriza para resolver cada ecuación cuadrática. (Lección 9-6)

60. d 2 - 4d - 12 = 0 61. 2g 2 - 9g = -4 62. 9x 2 + 6x + 1 = 0

Simplifica cada expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos. (Lección 12-3)

63. 2t 2 - 8_t 2 - 4

64. n 2 + 5n__n 2 + 3n - 10

65. 4 - x_x 2 - 16


Hacer un modelo: dividir polinomiosAlgunas divisiones polinomiales se pueden representar con fichas de álgebra. Si un polinomio se puede representar con un rectángulo, entonces sus factores se representan con la longitud y el ancho del rectángulo. Si un factor es un divisor, entonces el otro factor es un cociente.


12-6

Inténtalo

Usa fichas de álgebra para hallar cada cociente.

1. (x 2 + 5x + 4) ÷ (x + 1) 2. (x 2 + 7x + 10) ÷ (x + 5) 3. (x 2 + 4x - 5) ÷ (x - 1)

4. (2x 2 + 5x + 2) ÷ (x + 2) 5. (x 2 - 6x + 8) ÷ (x - 2) 6. (2x 2 - x - 3) ÷ (x + 1)

7. Describe qué sucede cuando intentas hacer un modelo de (x 2 - 4x + 3) ÷ (x + 1) .

CLAVE

= 1

= -1= x == -x x2

Actividad 1

Usa fichas de álgebra para hallar el cociente de (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) .

Haz un modelo de x2 + 5x + 6.

Intenta formar un rectángulo con una longitud de x + 2.

Ubica la ficha x2 en el ángulo superior izquierdo. Luego ubica dos fichas de unidades en una fila en el ángulo inferior derecho.

Intenta usar todas las fichas que quedan para completar un rectángulo.

Si puedes completar un rectángulo, entonces el ancho del rectángulo es el cociente.

El rectángulo tiene una longitud x + 2 y un ancho x + 3. Por lo tanto, (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 2) = x + 3.

Puedes comprobar (x + 3)(x + 2) tu respuesta x 2 + 2x + 3x + 6 Usa el método FOIL. multiplicando. x 2 + 5x + 6 ✓

12-6 Cómo dividir polinomios 893

12-6 Cómo dividir polinomios

La potencia eléctrica (en vatios) que produce un panel solar es directamente proporcional al área total del panel solar. La división de polinomios se puede usar para comparar la producción de energía mediante paneles solares de distintos tamaños.

Para dividir un polinomio entre un monomio, primero puedes escribir la división como una expresión racional. Luego divide cada término del polinomio entre el monomio.

1E J E M P L O Dividir un polinomio entre un monomio

Divide (6x3 + 8 x2 - 4x) ÷ 2x.

6x3 + 8x2 - 4x__2x

Escribe como una expresión racional.

Divide cada término del polinomio entre el monomio 2x.


Simplifica.

6x3_2x

+ 8x2_2x

- 4x_2x

6 3 x32_21 x1

+ 84 x21_21 x1

- 42 x1_

21 x1

3x2 + 4x - 2

Divide.

1a. (8p3 - 4 p2 + 12p) ÷ (-4p2) 1b. (6x3 + 2x - 15) ÷ 6x

La división de un polinomio entre un binomio es similar a la división de números cabales.

CON PALABRAS CON NÚMEROS POLINOMIOS

Paso 1 Factoriza el numerador y/o el denominador si es posible.

168_3

= 56 · 3_3

r 2 + 3r + 2__

r + 2=

(r + 2)(r + 1)__(r + 2)

Paso 2 Cancela los factores comunes.

56 · 3_3

(r + 2) (r + 1)__

(r + 2)

Paso 3 Simplifica. 56 r + 1

Dividir polinomios

ObjetivoDividir un polinomio entre un monomio o un binomio

¿Para qué sirve?La división de polinomios se puede usar para comparar la energía producida por paneles solares. (Ver Ejercicio 50)


2E J E M P L O Dividir un polinomio entre un binomio

Divide.

A c2 + 4c - 5__

c - 1(c + 5)(c - 1)__

c - 1Factoriza el numerador.


Simplifica.

Factoriza el numerador.

Factoriza un binomio opuesto.


Simplifica.

(c + 5)(c - 1)1__

(c - 1)1

c + 5

B 3x2 - 10x - 8__4 - x

(3x + 2)(x - 4)__4 - x

(3x + 2)(x - 4)__-1(x - 4)

(3x + 2)(x - 4)1__

-1(x - 4) 1

-3x - 2

Divide.

2a. 10 + 7k + k2__

k + 2 2b. b

2 - 49_b + 7

2c. s2 + 12s + 36__s + 6

Recuerda cómo usaste la división larga para dividir números 1523� 345

−−− -23 115

−−−− -115 0

cabales como se muestra a la derecha. También puedes usar la división larga para dividir polinomios. A continuación se muestra un ejemplo.

Divisor Cociente

Dividendo

Usar la división larga para dividir un polinomio entre un binomio

Paso 1 Escribe el binomio y el polinomio en forma de división larga.

Paso 2 Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Este es el primer término del cociente.

Paso 3 Multiplica el primer término del cociente por el divisor binomial y ubica el producto debajo del dividendo, alineando los términos semejantes.

Paso 4 Resta el producto al dividendo.

Paso 5 Baja el siguiente término del dividendo.

Paso 6 Repite los Pasos 2-5 según sea necesario hasta que obtengas 0 ó hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del binomio.

Coloca cada término del numerador sobre el denominador sólo cuando el denominador es un monomio. Si el denominador es un polinomio, intenta factorizar primero.


3E J E M P L O División larga de polinomios

Divide usando la división larga.

A (x2 + 2 + 3x) ÷ (x + 2)

Paso 1 x + 2 � x2 + 3x + 2 Escribe en forma de división larga con

expresiones en forma estándar.

Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente.

Multiplica el primer término del cocientepor el divisor binomial. Ubica el producto debajo del dividendo, alineando términos semejantes.

Resta el producto del dividendo.

Baja el siguiente término del dividendo.

Repite los Pasos del 2 al 5 según sea necesario.

El residuo es 0.

xPaso 2 x + 2 � x2 + 3x + 2

xPaso 3 x + 2 � x2 + 3x + 2 x2 + 2x

xPaso 4 x + 2 � x2 + 3x + 2

-(−−−−− x2 + 2x) 0 + x

xPaso 5 x + 2 � x2 + 3x + 2

-(−−−−− x2 + 2x) x + 2

x + 1Paso 6 x + 2 � x2 + 3x + 2

-(−−−−− x2 + 2x) x + 2

−−−−−−

- (x + 2) 0

Comprueba Multiplica la respuesta y el divisor. (x + 2)(x + 1)x2 + x + 2x + 2x2 + 3x + 2 ✓

B x2 + 4x + 3__

x + 1

x + 1 � x2 + 4x + 3 Escribe en forma de división larga.

x2 ÷ x = x

Multiplica x · (x + 1). Resta.

Baja el 3. 3x ÷ x = 3

Multiplica 3(x + 1). Resta.

El residuo es 0.

x + 3x + 1 � x2 + 4x + 3 -(−−−− x2 + x) 3x + 3 -(−−−− 3x + 3 ) 0

Comprueba Multiplica la respuesta y el divisor. (x + 1)(x + 3)x2 + 3x + 1x + 3x2 + 4x + 3 ✓


3a. (2y2 - 5y - 3) ÷ (y - 3) 3b. (a2 - 8a + 12) ÷ (a - 6)

Puedes comprobar tu respuesta simplificada multiplicándola por el divisor. Cuando el residuo es 0, deberías obtener el numerador.


A veces el divisor no es un factor del dividendo, entonces el residuo no es 0 y se puede escribir como una expresión racional.

4E J E M P L O División larga con un residuo

Divide (2x2 + 3x - 6) ÷ (x - 2) .

x - 2 � 2x2 + 3x - 6 Escribe en forma de división larga.

2x2 ÷ x = 2x

Multiplica 2x(x - 2). Resta.

Baja -6. 7x ÷ x = 7

Multiplica 7(x - 2). Resta.

El residuo es 8.

Escribe el residuo como una expresión racional usando el divisor como denominador.

Escribe el cociente con el residuo.

2x + 7

x - 2 � 2x2 + 3x - 6

−−−−−−−− -(2x2 - 4x)

7x - 6 −−−−−−−

-(7x - 14)

8

8_x - 2

2x + 7 + 8_x - 2

Divide.

4a. (3m2 + 4m - 2) ÷ (m + 3) 4b. (y2 + 3y + 2) ÷ (y - 3)

A veces debes escribir un marcador de posición para un término usando un coeficiente cero. Esto se ve mejor si escribes los polinomios en forma estándar.

5E J E M P L O Dividir polinomios que tienen un coeficiente cero

Divide (3x - 4 x3 - 15) ÷ (2x + 3) .

(-4x3 + 3x - 15) ÷ (2x + 3) Escribe los polinomios en forma estándar.

Escribe en forma de división larga. Usa 0x2 como marcador de posición para el término x 2 .

-4x3 ÷ 2x = -2x 2

Multiplica -2x2 (2x + 3). Resta.

Baja 3x. 6 x 2 ÷ 2x = 3x

Multiplica 3x (2x + 3). Resta.

Baja -15. -6x ÷ 2x = -3

Multiplica -3(2x + 3). Resta.

El residuo es -6.

2x + 3 � -4x3 + 0 x2 + 3x - 15

-2x 2 + 3x - 32x + 3 � -4x3 + 0 x2 + 3x - 15

−−−−−−−−−− -(-4x3 - 6 x2)

6 x2 + 3x

−−−−−−−− -(6x2 + 9x)

-6x - 15

−−−−−−−−

-(-6x - 9)

-6

(3x - 4 x3 - 15) ÷ (2x + 3) = -2x2 + 3x - 3 + -6_2x + 3

.

Divide.

5a. (1 - 4 x2 + x3) ÷ (x - 2)

5b. (4p - 1 + 2 p3) ÷ (p + 1)

En el Capítulo 7 estudiaste que un polinomio en una variable se escribe en forma estándar cuando los grados de los términos van de mayor a menor.



pág. 893

Divide.

1. (4x2 - x) ÷ 2x 2. (16a4 - 4 a3) ÷ 4a 3. (21b2 - 14b + 24) ÷ 3b

4. (18r2 - 12r + 6) ÷ -6r 5. (6x3 + 12 x2 + 9x) ÷ 3 x2 6. (5m4 + 15 m2 - 10) ÷ 5 m3


7. 2x2 - x - 3__x + 1

8. a2 - a - 12__

a - 4 9.

6y2 + 11y - 10__3y - 2

10. t2 - 6t + 8_

t - 4 11. x

2 + 16x + 15__x + 15

12. p2 - p - 20__

p + 4



13. (c2 + 7c + 12) ÷ (c + 4) 14. (3s2 - 12s - 15) ÷ (s - 5)

15. x2 + 5x - 14__

x + 7 16. x2 + 4x - 12__

x - 2


17. (a2 + 4a + 3) ÷ (a + 2) 18. (2r2 + 11r + 5) ÷ (r - 3)

19. (n2 + 8n + 15) ÷ (n + 4) 20. (2t2 - t + 4) ÷ (t - 1)

21. (8n2 - 6n - 7) ÷ (2n + 1) 22. (b2 - b + 1) ÷ (b + 2)


23. (3x - 2 x3 - 10) ÷ (3 + x) 24. (3p3 - 2 p2 - 4) ÷ (p - 2) 25. (m2 + 2) ÷ (m - 1) 26. (3x2 + 4 x3 - 5) ÷ (5 + x)

27. (4k3 - 2k - 8) ÷ (k + 1) 28. (j3 + 6j + 2) ÷ (j + 4)

PRÁCTICA Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMASDivide.

29. (9t3 + 12 t2 - 6t) ÷ 3 t2 30. (5n3 - 10n + 15) ÷ -5n 31. (-16p4 + 4 p3 + 8) ÷ 4 p3

32. 4r2 - 9r + 2__r - 2

33. 8t2 + 2t - 3__2t - 1

34.3g2 + 7g - 6__

g + 3

12-6 EjerciciosEjerciciosCLAVE: MA7 12-6

CLAVE: MA7 Parent

RAZONAR Y COMENTAR 1. Al dividir un polinomio entre un binomio, ¿qué significa cuando el residuo es 0?

2. Supongamos que la respuesta final a un problema de división de polinomios es x - 5 + 3____

x + 2 . Halla un valor excluido. Justifica tu respuesta.

3. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, muestra un ejemplo.



La NASA está investigando aviones de alimentación solar sin tripulación. En el futuro, estos aviones podrían permanecer en el aire indefinidamente.

Energía solar


29–31 1 32–34 2 35–38 3 39–41 4 42–44 5

Práctica independiente Divide usando la división larga.

35. (x2 - 5x + 6) ÷ (x - 2) 36. (2m2 + 8m + 8) ÷ (m + 2)

37. (6a2 + 7a - 3) ÷ (2a + 3) 38. (3x2 - 10x - 8) ÷ (x - 4)

39. (3x2 - 2x + 6) ÷ (x - 2) 40. (2m2 + 5m + 8) ÷ (m + 1)

41. (6x2 - x - 3) ÷ (2x - 1) 42. (2m3 - 4m - 30) ÷ (2m - 10)

43. (6t3 + 21t + 9) ÷ (3t + 9) 44. (p4 - 7 p2 + p + 1) ÷ (p - 3)

45. Varios pasos Halla el valor de n, para que x - 4 sea un factor de x2 + x + n.

Geometría El área de cada uno de tres rectángulos es 2 x2 - 3x - 2 c m 2 . A continuación se dan los distintos anchos de los rectángulos. Halla cada longitud correspondiente.

46. x - 2 47. x + 1 48. 2x + 1

49. Calculadora de gráficas Usa la tabla de valores de f (x) = (x2 + 3x + 4)__

x - 5

para responder.

a. Describe qué les sucede a los valores de ya medida que x aumenta de 2 a 4.

b. Describe qué les sucede a los valores de ya medida que x aumenta de 6 a 8.

c. Explica por qué no hay un valor en la columna ycuando x es 5.

50. Estimación Estima el valor de x2 + 10x + 25__

x2 - 25 ÷ x

4 - 4 x3 - 45 x2__x2 - 14x + 45

para x = 2.88.

51. Energía solar Cuanto mayor es el área de un panel solar, mayor es la cantidad de vatios de energía que se produce. El área de dos paneles solares A y B, en metros cuadrados, se puede representar con A = m2 + 3m + 2 y B = 2m + 2. Divide los polinomios para hallar una expresión que represente la razón del área de A al área de B.

52. /////ANÁLISIS DE ERRORES///// Dos estudiantes intentaron dividir 4x2 - 6x + 12__-2x

.¿Qué opción es incorrecta? Explica el error.

Práctica de destrezas,

pág. S27Práctica de aplicación,

pág. S39

Práctica adicional


Jonathan continúa estudiando las lentes y usa la ecuación 1__y = x - 12_____

12x.

a. Jonathan quiere escribir y, la distancia entre la imagen y la lente, en función de x, la distancia entre el objeto y la lente. ¿Cuál es la ecuación para hallar y?

b. Usa una calculadora de gráficas para crear una tabla de valores para la función y(x).¿Para qué valor de x la función es indefinida?


54. Escríbelo Al dividir un polinomio entre un binomio, ¿qué significa cuando hay un residuo?

55. Razonamiento crítico Divide 2x + 3 � 2x2 + 7x + 6 . Halla un valor para cada expresión sustituyendo x por 10 en el problema original. Repite la división. Compara los resultados de cada división.

56. Escríbelo ¿Es 3x + 2 un factor de 3 x2 + 14x + 8? Explica.

57. ¿Qué expresión tiene un valor excluido de - 1_2

?

4x2 - 2x - 2__4x - 2

4x2 - 2x - 2__2x - 4

4x2 - 2x - 2__4x + 2

4x2 - 2x - 2__2x + 4

58. Halla (x2 - 1) ÷ (x + 2) .

x - 2 + -5_x + 2

x - 2 + 3_x + 2

x + 2 + -5_x - 2

x + 2 + 3_x - 2

59. ¿Qué expresión es un factor de x2 - 4x - 5?

x - 1 x + 1 x - 4 x + 5

60. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a (x3 + 2 x2 + 3x + 1) ÷ (x - 1) ?

x2 + 3x + 6 + 7_x - 1

x2 + 3x + 6 + -5_x - 1

x2 + x + 2 + -1_x - 1

x2 + x + 2 + 3_x - 1

DESAFÍO Y EXTENSIÓNDivide. Simplifica tu respuesta.

61. (6x3y - x2 + 4x y 2) ÷ (2x2y) 62. (x3 - 1) ÷ (x - 1)

63. (x3 + 2 x2 - x - 2) ÷ (x2 - 1) 64. (x3 + 8) ÷ (x + 2)

65. Geometría La base de un triángulo es 2x + 4 m y el área es 2 x2 + 5x + 2 m 2 . ¿Cuánto más larga es la base que la altura?

66. Geometría La fórmula para hallar el volumen de un cilindro es V = BH, donde Bes el área de la base del cilindro y H es la altura.

a. Halla la altura del cilindro si V = π ( x3 + 4 x2 + 5x + 2) y B = π ( x2 + 2x + 1) .

b. Halla una expresión para el radio de la base.

REPASO EN ESPIRAL 67. Halla la probabilidad de que un punto dentro de los límites del

rectángulo más grande esté en la región sombreada. Expresa tu respuesta como una expresión radical simplificada. (Lección 11-8)

Multiplica. Escribe cada producto en su mínima expresión. (Lección 11-8)

68. 3√ 3 · √ 6 69. √ 5 (6 - √ 10) 70. ( √ 3 + 2)(√ 3 + 5)

Multiplica. Simplifica tu respuesta. (Lección 12-4)

71. x2 + 4x + 3 · 8_2(x + 3)

72.9x y 2_2x3

· 8y_

3x4 73. 2k2 + 4 k3

_k + 1

· k2 + 3k + 2__

2k2


12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales

Una ecuación racional es una ecuación que contiene una o más expresiones racionales. Si una ecuación racional es una proporción, se puede resolver usando la propiedad de productos cruzados.

1E J E M P L O Resolver ecuaciones racionales usando productos cruzados

Resuelve 3_t - 3

= 2_t . Comprueba tu respuesta.

3_t - 3

= 2_t

Usa productos cruzados.

Distribuye 2 en el lado derecho.

Resta 2t de ambos lados.

Comprueba

3_t - 3

= 2_t

3_-6 - 3

2_-6

3_-9

2_-6

- 1_3

- 1_3

✓

3t = (t - 3)(2)

3t = 2t - 6

t = -6

Resuelve. Comprueba tu respuesta.

1a. 1_n = 3_n + 4

1b. 4_h + 1

= 2_h

1c. 21_x - 7

= 3_x

Algunas ecuaciones racionales contienen sumas o diferencias de expresiones racionales. Para resolverlas, debes hallar el mcd de todas las expresiones racionales de la ecuación.

2E J E M P L O Resolver ecuaciones racionales usando el mcd

Resuelve 1_c + 3_2c

= 2_c + 1

.

Paso 1 Halla el mcd.

2c(c + 1) Incluye cada factor de los denominadores.

Paso 2 Multiplica ambos lados por el mcd.

2c(c + 1)(1_c + 3_

2c) = 2c(c + 1)( 2_c + 1)

2c(c + 1)(1_c ) + 2c(c + 1)( 3_

2c ) = 2c(c + 1)( 2_c + 1) Distribuye en el

lado izquierdo.

ObjetivosResolver ecuaciones racionales

Identificar soluciones extrañas

Vocabularioecuación racional

¿Quién lo usa?Las ecuaciones racionales se pueden usar para calcular cuánto tiempo tardan dos o más personas que trabajan juntas en completar una tarea. (Ver Ejemplo 3)

Armin7 horas

Greg5 horas

12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales 901

Paso 3 Simplifica y resuelve.

2c1(c + 1)( 1_c1 ) + 2c1(c + 1)( 3_

2c1 ) = 2c(c + 1)1( 2_c + 1 1 ) Cancela los factores

comunes.

2(c + 1) + (c + 1) 3 = (2c) 2 Simplifica.

Distribuye y multiplica.


Resta 4c de ambos lados.

Resta 5 de ambos lados.

2c + 2 + 3c + 3 = 4c5c + 5 = 4c

c + 5 = 0 c = -5

Comprueba Verifica que tu solución no sea extraña. 1_c + 3_2c

= 2_c + 1

1_-5

+ 3_2(-5)

2_-5 + 1

2_-10

+ 3_-10

2_-4

- 5_10

- 1_2

- 1_2

- 1_2

✓

Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta.

2a. 2_a + 1

+ 1_a + 1

= 4_a 2b. 6_j + 2

- 10_j

= 4_2j

2c. 8_t + 3

= 1_t

+ 1

3E J E M P L O Aplicación a la resolución de problemas

RESOLUCIÓN

DE PROBLEMAS

Greg puede limpiar una casa en 5 horas. Armin tarda 7 horas en limpiar la misma casa. ¿Cuánto tiempo les llevará limpiar la casa si trabajan juntos?

1 Comprende el problema

La respuesta será la cantidad de horas hque necesitan Greg y Armin para limpiar la casa.

Haz una lista de la información importante:• Greg limpia la casa en 5 horas, por lo tanto, limpia 1__

5 de la casa por hora.

• Armin limpia la casa en 7 horas; por lo tanto, limpia 1__7 de la casa por hora.

2 Haz un plan

La parte de la casa que limpia Greg más la parte de la casa que limpia Armin equivalen al trabajo completo. La velocidad de Greg multiplicada por la cantidad de horas trabajadas más la velocidad de Armin multiplicada por la cantidad de horas trabajadas dará el tiempo completo para limpiar la casa. Sea h la cantidad de horas trabajadas.

(Velocidad de Greg) h + (Velocidad de Armin) h = trabajo completo

1_5

h + 1_7

h = 1


3 Resuelve

35(1_5

h + 1_7

h) = 35(1) Multiplica ambos lados por el mcd, 35.

Distribuye 35 en el lado izquierdo.


Divide entre 12 en ambos lados.

7h + 5h = 35 12h = 35

h = 35_12

= 2 11_12

Trabajando juntos, Greg y Armin pueden limpiar la casa en 2 11__12

horas, ó 2 horas 55 minutos.

4 Repasa

Greg limpia 1__5 de la casa por hora y Armin limpia 1__

7 de la casa por hora.

Por lo tanto, en 2 11__12

horas, Greg limpia 35__12

· 1__5

= 7__12

de la casa y Armin limpia 35__

12 · 1__

7 = 5__

12 de la casa. Juntos, limpian 7__

12 + 5__

12 = 1 casa.

3. Cindy corta el césped de un jardín en 50 minutos. Sara tarda 40 minutos en cortar el mismo césped. ¿Cuánto tiempo tardarán en cortar el césped si trabajan juntas?

Cuando multiplicas cada lado de una ecuación por el mcd, puedes obtener una solución extraña. Recuerda del Capítulo 11 que una solución extraña es una solución de una ecuación resultante que no es una solución de la ecuación original.

4E J E M P L O Soluciones extrañas

Resuelve x - 9_x 2 - 9

=-3_

x - 3 . Identifica las soluciones extrañas.

Paso 1 Resuelve.

(x - 9)(x - 3) = -3(x 2 - 9) Usa productos cruzados.

Multiplica el lado izquierdo. Distribuye -3 en el lado derecho.

Suma 3 x 2 a ambos lados.

Resta 27 de ambos lados.

Factoriza la expresión cuadrática.


Halla x.

x 2 - 12x + 27 = -3x 2 + 27

4x 2 - 12x + 27 = 27

4x 2 - 12x = 0

4x(x - 3) = 0

4x = 0 ó x - 3 = 0

x = 0 ó x = 3

Paso 2 Halla soluciones extrañas.

x - 9_x 2 - 9

= -3_x - 3

x - 9_x 2 - 9

= -3_x - 3

0 - 9_02 - 9

-3_0 - 3

3 - 9_32 - 9

-3_3 - 3

Como -6___0

y -3___0

son indefinidos, 3 no es una solución.-9_

-9-3_-3

-6_0

-3_0

1 1 ✓

La única solución es 0, por lo tanto, 3 es una solución extraña.

Resuelve. Identifica las soluciones extrañas.

4a. 3_x - 7

= x - 2_x - 7

4b. x + 1_x - 2

= 4_x - 3

4c. 9_x 2 + 2x

= 6_x 2

Las soluciones extrañas se pueden introducir elevando ambos lados de una ecuación al cuadrado o multiplicando ambos lados de una ecuación por una expresión variable.


PRÁCTICA GUIADA 1. Vocabulario Un(a) ? contiene una o más expresiones racionales. (solución

extraña o ecuación racional)

Resuelve. Comprueba tu respuesta.


2. 3_x + 4

= 2_x 3. 5_s - 6

= 4_s 4. 20_p + 100

= -10_2p

5. 4_j

= 1_j + 2

6. 3_x - 4

= 9_x - 2

7. 6_2x - 1

= 3


8. 6_x - 5_x = 1_

3 9. a_

9 + 1_

3 = 2_

5 10. 3_

x + 1 = 2_x + 3_x

11. 8_d

= 1_d + 2

- 3_d

12. 3_s - 6

= 4_s + 1_2s

13. 7_r + 2_

r - 1 = -1_

2r

14. 3_a - 4

= a_a - 2

15. r_2

- 2_r = 5_6

16. 6_n = 7_n 2

- 1

17. 4_x + 1

= x - 2 18. 5_a 2

= -4_a + 1 19. 1_p = -3_

p 2 + 2


20. Pintura Summer puede pintar una habitación en 3 horas. Louise puede pintar la misma habitación en 5 horas. ¿Cuántas horas tardarán en pintar la habitación si trabajan juntas?

21. Tecnología La vieja aspiradora robótica de Lawrence puede limpiar su apartamento en 1 1__

2 hora. Su nueva aspiradora robótica puede limpiar el apartamento en 45 minutos.

¿Cuánto tiempo tardarán ambas aspiradoras juntas en limpiar el apartamento?



22. 3_c - 4

= c - 1_c - 4

23. w + 3_w 2 - 1

- 2w_w - 1

= 1 24. 3x - 7_x - 5

+ x_2

= 8_x - 5

RAZONAR Y COMENTAR 1. ¿Por qué es importante comprobar tus respuestas a las ecuaciones racionales?

2. ¿Para qué valores de x las expresiones racionales en la ecuación x____

x - 3= 2____

x + 3 son indefinidas?

3. Explica por qué algunas ecuaciones racionales, como x____x - 4 = 4____

x - 4 , no tienen soluciones.

4. ORGANÍZATE Copia y completa el organizador gráfico. En cada recuadro, escribe la solución y comprueba.

12-7 EjerciciosEjerciciosCLAVE: MA7 12-7

CLAVE: MA7 Parent





25–28 1 29–36 2 37 3 38–41 4

Práctica independiente Resuelve. Comprueba tu respuesta.

25. 8_x - 2

= 2_x + 1

26. 12_3n - 1

= 3_n 27. x_x + 4

= x_x - 1

28. 9_x + 5

= 4_x

29. 6_s - 2_s = 5 30. 1_2x

+ 1_4x

= 7_8x

31. 7_c - 2_c = 4_c - 1

32. 9_m - 3_2m

= 15_m

33. 3_x 2

= 2_x 34. r_3

- 3 = - 6_r 35. 6_x 2

= 1_2

+ 1_2x

36. 8_3x 2

= 2_x - 1_3

37. Mel puede alfombrar un piso en 10 horas. Sandy puede alfombrar el mismo piso en 15 horas. ¿Cuántas horas les llevará alfombrar el piso si trabajan juntos?


38. 5x_x - 3

= 8 + 15_x - 3

39. 3t_t - 3

= t + 4_t - 3

40. 2_x = x + 1_x 2 - 1

41. 1_x = x - 4_x 2 - 16

42. Varios pasos Clancy ha registrado su estadística de tiros libres. Usa sus datos para escribir la razón de la cantidad de tiros libres que Clancy ha anotado a la cantidad de intentos.

a. ¿Qué porcentaje ha anotado?

b. Escribe y resuelve una ecuación para hallar cuántos tiros libres t seguidos tendría que anotar Clancy para mejorar su porcentaje de tiros libres a 90%. (Pista: Clancy debe anotar t tiros libres más en t intentos más).

43. Viajes Un tren de pasajeros viaja 20 mi/h más rápido que un tren de carga. El tren de pasajeros tardó 2 horas menos que el tren de carga en recorrer 240 millas. El tren de carga tardó t horas. Copia y completa la tabla. Luego halla la velocidad del tren de carga.

Distancia Velocidad Tiempo

Tren de pasajeros

240 240____t - 2

Tren de carga 240 t

44. El tubo A llena un tanque de almacenamiento con determinado producto químico en 12 horas. El tubo B llena el tanque en 18 horas. ¿Cuánto tiempo tardarían ambos tubos en llenar el tanque?

Tiros libres de Clancy

Intentos Anotados

45 39

CLO

SE T

O H

OM

E ©

199

7 Jo

hn M

cPhe

rson

. Rei

mpr

eso

con

perm

iso

de U

NIV

ERSA

L PR

ESS

SYN

DICA

TE. T

odos

los

dere

chos

rese

rvad

os.


Práctica adicional


Blanca instala una lente con una longitud focal f de 15 cm y coloca una vela a 24 cm de la lente. Sabe que 1__

f= 1__

x + 1__y , donde x es la distancia entre el objeto y la lente e y es la

distancia entre la imagen y la lente.

a. Escribe la ecuación usando los valores que se dan.

b. Para los valores de f y x que se dieron, ¿a qué distancia de la lente aparecerá la imagen?

c. ¿En qué se verá afectada la distancia entre la imagen y la lente si Blanca usa una lente con una longitud focal de 18 cm?


46. Razonamiento crítico ¿Puedes multiplicar en forma cruzada para resolver todas las ecuaciones racionales? Si es así, explica. Si no, ¿cómo identificas cuáles pueden resolverse usando productos cruzados?

47. Escríbelo Resuelve 1__x + 3__

x = 3____x - 1

. Explica cada paso y por qué elegiste el método que usaste.

48. ¿Qué valor es una solución extraña de x_x + 4

- 4_x - 4

= x 2 + 16_x 2 - 16

?

-16 -4 4 16

49. ¿Qué opción es una solución de x + 2_x - 3

- 1_x = 3_

x 2 - 3x?

-1 0 1 3

50. ¿Cuáles son las soluciones de 5_x 2

= 1_3

+ 2_3x

?

-3 y 5 -3 y 2 2 y 3 3 y -5

DESAFÍO Y EXTENSIÓN 51. A continuación se muestra una solución de una ecuación racional. Usa una propiedad

algebraica para justificar cada paso.

Resuelve 3_x = 6_x + 4

.

Enunciados Razones

a. 3(x + 4) = 6x

b. 3x + 12 = 6x

c. 12 = 3x

d. 4 = x

52. ¿Para qué valor de a la ecuación x + 4____x - a = 7____

x - a no tiene solución?

53. Luke, Eddie y Ryan pueden hacer un trabajo en 1 hora y 20 minutos si trabajan juntos. Trabajando solo, Ryan tarda 1 hora más que Luke en hacer el trabajo y Luke hace el trabajo el doble de rápido que Eddie. ¿Cuánto tiempo tarda cada uno en hacer el trabajo si trabaja solo?

REPASO EN ESPIRALIdentifica qué líneas son paralelas y qué líneas son perpendiculares. (Lección 5-8)

54. y = 1_3

x; y = 3x + 1; y = 3x - 1 55. y = -2x; y = 2x - 2; y = 1_2

x + 4

56. y = -x - 3; y = x - 2; y = x + 3 57. y = - 2_3

x + 2; y = 3_2

x + 3; y = - 3_2

x - 1

Resuelve cada ecuación. Comprueba tu respuesta. (Lección 11-9)

58. 2√ x = 24 59. √ x + 15 = √ 4x 60. √ 2 - x = x

Representa gráficamente cada función racional. (Lección 12-2)

61. y = 4_x 62. y = 2_x + 1

63. y = - 1_x + 3

Imagen Objeto

x

y

f

I

O

Operaciones con expresiones y ecuaciones racionalesUn mundo al revés Jamal está estudiando las lentes y sus imágenes para un proyecto de ciencias. En un libro de ciencias descubre que una lupa se puede usar para proyectar imágenes al revés en una pantalla. La ecuación 1__

f= 1__

x + 1__y relaciona

la longitud focal de la lente f,la distancia entre el objeto y lalente x, y la distancia entre la imagen y la lente y. La longitud focal de la lente de Jamal es 10 cm.

1. Resuelve la ecuación dada para hallar y usando el valor dado de f.

2. Jamal experimenta con un vela, la lente y una pantalla. Suponiendo que la longitud focal permanece constante, usa una tabla para los valores de x 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 y 16 cm. ¿Para qué valores de x son positivos los valores de y?

3. Representa gráficamente la función y(x). Rotula los ejes.

El aumento de las imágenes es la razón de la altura de la imagen a la altura del objeto. Esto también equivale a la razón de la distancia entre la imagen y la lente y la distancia entre el objeto y la lente: A = I__

O=

y__x. I es la altura de la imagen, O es

la altura del objeto, y es la distancia entre la imagen y la lente y x es la distancia entre el objeto y la lente.

4. Si la altura de una vela es 15 cm y la imagen que se proyecta de esa vela mide 37.5 cm, ¿cuál es el aumento de la lente?

5. Cuando Jamal aleja la vela de la lente (aumenta x), y la distancia entre la lente y la pantalla disminuye (y disminuye), ¿el aumento A permanece constante, se hace mayor o menor?


SECCIÓN 12B

¿Listo para seguir? 907

Prueba de las Lecciones 12-4 a 12-7

12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionalesMultiplica. Simplifica tu respuesta.

1. n + 3_n - 5

· (n 2 - 5n) 2. 8_2x + 6

· (x 2 + 6x + 9)

3. 5a 2 b 3_a b 5

· 2a 4 b c 5_20c

4. 6x y 2_

2x 2 y 6 ·

6x 4 y 4_

9x 3

5. 3h 3 - 6h_10g 2

· 4g_

g h 2 - 2g 6. m 2 + m - 2__

m 2 - 2m - 8 · m

2 - 8m + 16__3m - 3


7. 2_n 3

÷ n - 6_n 5

8. 2x 2 + 8x + 6__x ÷ 2x 2 + 2x_

x 3 - x 2 9. 8b 3 c_

b 2 c÷ (4b 2 + 4b)

12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionalesSuma o resta. Simplifica tu respuesta.

10. 15_2p

- 13_2p

11. 3m 2_4m 5

+ 5m 2_4m 5

12. x 2 + 8x_x - 2

- 3x + 14_x - 2

13. 2t_4t 2

+ 2_t

14. m 2 - m - 2__m 2 + 6m + 5

- 2_m + 5

15. 4x_x - 2

+ 3x_2 - x

16. Julianne compite en un biatlón que consiste en una etapa de 25 millas corriendo y una etapa de 45 millas en bicicleta. Julianne tiene un promedio de 3 veces la velocidad en bicicleta con respecto a su velocidad corriendo. Sea v la velocidad de Julianne corriendo. Escribe y simplifica una expresión, en función de v, que represente el tiempo que tarda Julianne en completar ambas etapas de la carrera. Luego determina cuánto tiempo tardará Julianne en completar la carrera si corre a un promedio de 10 mi/h.

12-6 Cómo dividir polinomiosDivide.

17. (6d 2 + 4d) ÷ 2d 18. (15x 4 + 3 x 3 - x) ÷ (-3x 2 ) 19. (2x 2 - 7x - 4) ÷ (2x + 1)


20. (a 2 + 3a - 10) ÷ (a - 2) 21. (4y 2 - 9) ÷ (2y - 3) 22. (2x 2 + 5x - 8) ÷ (x + 2)

12-7 Cómo resolver ecuaciones racionalesResuelve. Identifica las soluciones extrañas.

23. 3_x = 4_x - 1

24. 1_x = 2_x 2

25. 2_t

+ 4_3t

= 4_t + 2

26. 4_n 2

= 7_n + 2 27. d + 2_d + 8

= -6_d + 8

28. x - 6_x 2 - 6

= -4_x - 4

29. Dustin tarda 2 horas en quitar la nieve de la entrada de su casa y de la acera con una pala. Su hermana tarda 3 horas en quitar la nieve de la misma área. ¿Cuánto tiempo tardarán en quitar la nieve si trabajan juntos?

SECCIÓN 12B

EXTENSIÓNEXTENSIÓN Razones trigonométricas

Una razón trigonométrica es una razón de las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Tres razones trigonométricas básicas son seno, coseno ytangente, cuyas abreviaturas son sen, cos y tan, respectivamente.

sen A =cateto opuesto a ∠A__

hipotenusa= a_

c

cos A =cateto adyacente a ∠A___

hipotenusa= b_

c

tan A =cateto opuesto a ∠A__ lado adyacente a ∠A

= a_b

Razones trigonométricas

1E J E M P L O Hallar el valor de una razón trigonométrica

Halla cada razón trigonométrica a la milésima más cercana.

A sen Asen A =

opuesto__hipotenusa

= 3_5

= 0.600

B cos Acos A =

adyacente__hipotenusa

= 4_5

= 0.800

C tan Atan A =

opuesto_adyacente

= 3_4

≈ 0.750

1. Usa la figura anterior para hallar sen B, cos B y tan B.

2E J E M P L O Aplicación a la aviación

Un avión despega con un ángulo de ascenso de 9°. ¿Cuál es la altitud del avión cuando ha recorrido una distancia horizontal de 184,800 pies? Redondea tu respuesta al pie más cercano.

Dibuja un diagrama para representar el problema.

tan A = opuesto_

adyacente

tan 9° = h_184,800

184,800(tan 9°) = h Multiplica ambos lados por 184,800.

29,269.4 ≈ h Simplifica el lado izquierdo con una calculadora.

La altitud del avión es aproximadamente 29,269 pies.

ObjetivosHallar las tres razones trigonométricas básicas de un triángulo rectángulo

Usar razones trigonométricas para hallar longitudes que faltan

Vocabulariorazones trigonométricassenocosenotangente

Para hallar razones trigonométricas en una calculadora de gráficas, oprime , o

y luego escribe el valor del grado. Asegúrate de que tu calculadora esté en grados.


Usa el diagrama para los Ejercicios 1 y 2.

1. Halla sen A, cos A y tan A a la milésima más cercana.

2. Halla sen B, cos B y tan B a la milésima más cercana.

Halla el valor de x. Redondea las respuestas a la décima más cercana.

3. 4. 5.

6. Bajo el mar Si un submarino recorre 3 millas mientras sube a la superficie a un ángulo de 9°, ¿a qué profundidad estaba el submarino cuando comenzó a subir? Redondea tu respuesta a la décima de milla más cercana.

7. Construcción Una rampa para sillas de ruedas formará un ángulo de 4.5° con el suelo. El piso en la parte superior de la rampa está 20 pulgadas sobre el nivel del suelo.

a. Dibuja un diagrama que ilustre la situación.

b. ¿Qué longitud debería tener la rampa? Redondea tu respuesta a la décima de pulgada más cercana.

c. ¿A qué distancia del piso debería comenzar la rampa? Redondea tu respuesta a la décima de pulgada más cercana.

8. Navegación La parte superior de un faro está 40 metros sobre el nivel del mar. El ángulo de elevación desde un barco hasta la parte superior del faro es 20°. ¿A qué distancia está el barco de la base del faro? Redondea tu respuesta a la décima de metro más cercana.

9. Escríbelo ¿Qué debe ser cierto sobre los catetos de un triángulo rectángulo para que un ángulo tenga una tangente de 1? ¿Cuál es la medida de ese ángulo?

Extensión 909

EXTENSIÓNEjerciciosEjercicios

2. Construcción Una escalera de 14 pies está apoyada contra un edificio. La escalera forma un ángulo de 70° con el suelo. ¿A qué distancia del edificio está la base de la escalera? Redondea tu respuesta a la décima de pie más cercana.


asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858

ecuación racional . . . . . . . . . . . 900

expresión racional . . . . . . . . . . 866

función discontinua . . . . . . . . 858

función racional . . . . . . . . . . . . 858

valor excluido . . . . . . . . . . . . . . 858

variación inversa . . . . . . . . . . . 851

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un(a) −−−−−− ? es una expresión algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios.

2. Una función cuya regla es un cociente de polinomios en el que el denominador tiene un grado de al menos 1 es un(a) −−−−−− ? .

3. Un(a) −−−−−− ? es una ecuación que contiene una o más expresiones racionales.

4. Un(a) −−−−−− ? es una relación que se puede escribir en la forma y = k_x , donde k es una constante distinta de cero.

5. Una función es un(a) −−−−−− ? si su gráfica contiene uno o más saltos, discontinuidades u hoyos.

Indica si cada relación representa una variación inversa. Explica.

6. x y

4 -3

-12 1

6 -2

7. x y

2 4

6 8

10 12


9. Escribe y representa gráficamente la variación

inversa en la que y = 1_2

cuando x = 2.

10. Sea x1 = 5, y1 = -6, y x2 = 2. Sea y inversamente proporcional a x. Halla y2 .

11. La cantidad de vehículos de flota que una ciudad puede comprar varía inversamente con el precio de cada automóvil. Si la ciudad puede comprar 3 automóviles que valen $22,000 cada uno, ¿cuál debe ser el precio de un automóvil para que la ciudad compre 5?

■ Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = 2 cuando x = 3.

y = k_x Usa la forma y = k__x .

2 = k_3

Sustituye los valores conocidos.

6 = k Multiplica por 3 para hallar el valor de k.

y = 6_x Sustituye k por 6 en y = k__x .

x -6 -3 -2 -1 0 1 2 3 6

y -1 -2 -3 -6 ind. 6 3 2 1

Haz una tabla de valoresy marca los puntos.

12-1 Variación inversa (págs. 851–857)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Vocabulario

Guía de estudio: Repaso 911

Identifica los valores excluidos y las asíntotas vertical y horizontal para cada función racional.

12. y = 1_x + 4

13. y = 1_x + 1

+ 3

14. y = -5_2x + 6

- 4 15. y = 2_4x - 7

+ 5


16. y = 3_x 17. y = 4_x + 5

18. y = 1_x + 4

- 2 19. y = 1_x - 6

+ 2

20. Un rectángulo tiene un área de 24 c m 2 . Si x

representa el ancho, entonces y = 24__x representa

la longitud y. Describe los valores razonables del dominio y del rango y representa gráficamente la función.

■ Representa gráficamente la función y = 1_x + 1

+ 3.

Como el numerador es 1, usa las asíntotas y

traslada y = 1_x .

Halla las asíntotas. x = -1 b = -1 y = 3 c = 3

Representa gráficamente las asíntotas. Dibuja curvas suaves para mostrar la traslación.

12-2 Funciones racionales (págs. 858–865)



21. 3_5p

22. -2_r - 7

23. t_t 2 - t

24. -4__x 2 - 4x - 5

25. x - 1_x 2 - 25

26. x + 4__x 2 - 11x + 28


27. 7r 2_21r 3

28. 3k 2_6k 3 - 9 k 2

29. x + 6__x 2 + 4x - 12

30. 2x - 6_9 - x 2

31. 3x + 15__x 2 + 4x - 5

32. x2 + 9x + 18__x 2 + x - 30

33. ¿Cuál es la razón del área del cuadrado al área del círculo?

Simplifica la expresión racional, si es posible. Identifica los valores excluidos.

■

x - 1__x 2 + 2x - 3

x - 1__(x + 3)(x - 1)

Factoriza el denominador.

x - 1 1__(x + 3)(x - 1)1


1_(x + 3)

Simplifica.

Identifica los valores excluidos.

x 2 + 2x - 3 = 0 Para hallar los valores excluidos, haz que el denominador sea igual a 0.

(x + 3)(x - 1) = 0 Factoriza.

x + 3 = 0 ó x - 1 = 0 Usa la propiedad del producto cero.

x = -3 ó x = 1 Resuelve cada ecuación para hallar x.

Los valores excluidos son -3 y 1.

12-3 Cómo simplificar expresiones racionales (págs. 866–872)




34. 2b_3b - 6

· (b 2 - b - 2) 35. 4x_3x + 9

· (x 2 - 9)

36. 5a b 2_2ab

· 3a 2b 2_a 2b

37. 3c_2d

· -4c 2d_8d 2

38. b + 2_2b 2 + 12b

· b 2 + 2b - 24__

b 2 - 16

39. n 2 - n - 12__n 2 + 2n - 24

· n 2 + 3n + 2__n 2 - 4n - 21


40. 3b + b 2_b + 3 b 2

÷ b 2 - 9_

3b + 1 41. 7_y ÷ 21_

y 3

42. 16 n 3 ÷ 4m 2n_3mn

43. x 2 + 2x - 3__

4x÷ x

2 - 4_x

44. Una bolsa contiene canicas rojas y azules. Tiene 8 canicas rojas más que azules. Verónica mete la mano en la bolsa y elige una canica al azar. Deja la canica a un lado y luego elige otra. ¿Cuál es la probabilidad de que elija dos canicas rojas?

■ Multiplica. Simplifica tu respuesta.

5x 3 - 10x_4x

· 6x 2__7x 4 - 14 x 2

5x( x 2 - 2)_

4x· 6x 2__

7x 2(x 2 - 2)Factoriza.

5x 1 (x 2 - 2)1

__42x 1

· 63x 2 1__

7x 2 1 (x 2 - 2)1

Cancela losfactores comunes.

15_14

Simplifica.

■ Divide. Simplifica tu respuesta.

32x 2y 2_

7z÷

2xy 2_28xz 3

32x 2y 2_

7z · 28x z 3_

2x y 2

Multiplica por el recíproco.

32 16 x 2 y 21

_71 z 1

· 284 x 1 z 32_21 x 1 y 21


64 x 2z 2 Simplifica.

12-4 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales (págs. 878–884)


Halla el mcd de las expresiones que se dan.

45. 5a 2b, 10a b 2 46. 2 x 2 - 6x, 5x - 15


47. b 2_

2b+ 8_

2b 48. 3x 2 - 4_

x 2 - 2 + 2x_

x 2 - 2

49. 8p__

p 2 - 4p + 2 - 2__

p 2 - 4p + 2

50. 3b + 4_7 - b

- 5 - 2b_7 - b

51. n - 5_n 2 - 1

- n + 5_n 2 - 1

52. 3_5m

+ m + 2_10m 2

53. h 2 + 2h_h - 5

- 3h - 1_5 - h

54. Una tropa de exploradores camina 10 millas hasta la cima de una montaña. Como el viaje de regreso es cuesta abajo, la tropa puede caminar 3 veces más rápido en el descenso. Sea v la velocidad de la tropa hasta la cima de la montaña. Escribe y simplifica una expresión para el tiempo de caminata del viaje de ida y vuelta en función de v.


■

7x_3xy - x 2 - 3x_

3xy

7x - ( x 2 - 3x)__

3xyResta los numeradores.

7x - x 2 + 3x__3xy

Distribuye.

10x - x 2_3xy

Simplifica.

■

3w_w - 5 + 4__

w 2 - 2w - 15

3w_w - 5

+ 4__(w - 5)(w + 3)

Factoriza para hallar el mcd.

3w (w + 3)__

(w - 5)(w + 3)+ 4__

(w - 5)(w + 3)

3w 2 + 9w__

(w - 5)(w + 3) + 4__

(w - 5)(w + 3)

Escribe cada expresiónusandoel mcd.

3w 2 + 9w + 4__(w - 5)(w + 3)

Suma y simplifica.

12-5 Cómo sumar y restar expresiones racionales (págs. 885–891)


Guía de estudio: Repaso 913


70. -4 = 3_r 71. 6_7

= x_2

72. 6_b

= -5_3 + b

73. 7_3y 2

= -2_y

74. 2_x - 1

= 3x_1 - x

75. 2x_x 2

+ 1_x 2

= 3

76. 2_3

+ 4_x = 6_3x

77. - 1_3x

+ x_4

= - 1_12x

78. 2_3b

+ 4 = 1_3b

79. 4_x - 4

= 8_x 2 - 16

80. 5x - 10_x + 1

= x_2

81. 2x_x + 3

+ x_4

= 3_x + 3

82. 9m_m - 5

= 7 - 3_m - 5

83. x - 4_x 2 - 4

= -2_x - 2


■

3_x + 3 - 4 = 2_

x

x(x + 3)( 3_x + 3

- 4) = x(x + 3)2_x

x(x + 3)( 3_x + 3) - x(x + 3)4 = x(x + 3)2_

x

x(x + 3)1( 3_x + 3 1)- x(x + 3) 4 = x1(x + 3) 2_

x1

3x - 4x(x + 3) = 2 (x + 3) 3x - 4 x 2 - 12x = 2x + 6 0 = 4 x 2 + 11x + 6 0 = (4x + 3)(x + 2)

4x + 3 = 0 ó x + 2 = 0

x =- 3_4

ó x = -2 x ≠ -3 ó 0, por lo tanto, no hay soluciones extrañas.

12-7 Cómo resolver ecuaciones racionales (págs. 900–905)


Divide.

55. (4n 3 - 6 n 2 - 10n) ÷ 2n

56. (-5x 3 + 10x - 25) ÷ (-5x 2)

57. x 2 - 8x - 20__

x - 10 58. 6n 2 - 13n - 5__

2n - 5

59. h 2 - 144_h - 12

60. 9x 2 + 12x + 4__3x + 2

61. m 2 - 2m - 24__

m + 4 62. 3m 2 + m - 4__

m - 1


63. (x 2 + 5x + 6) ÷ (x + 3)

64. (x 2 + x - 30) ÷ (x - 5)

65. (p 2 + 2p - 8) ÷ (p + 4) 66. (2x 2 + 3x - 5) ÷ (x + 2)

67. (2n 2 - 3n + 1) ÷ (n - 5)

68. (3b 3 - 4b + 2) ÷ (b - 2)

69. (2x 2 - 4 x 3 + 3x) ÷ (x + 2)

Divide.

■ (6x 4 - 9x 3 + 3x 2) ÷ 3x

6x 4 - 9 x 3 + 3 x 2__

3x

Escribe como una expresión racional.

6x 4_3x

- 9x 3_3x

+ 3x 2_3x

Divide cada término por separado.

6 2x 43_31x 1

- 93x 32_31x 1

+ 31x 21_31x 1

Cancela los factores

comunes.

2 x 3 - 3 x 2 + x Simplifica.

■ (4x 3 - 2x 2 + 5x - 1) ÷ (x - 2)4x2 + 6x + 17

x - 2 � 4x 3 - 2 x 2 + 5x - 1

−−−−−−−−− - (4x 3 - 8 x 2)

6 x 2 + 5x

−−−−−−−−− - (6x 2 - 12x)

17x - 1

−−−−−−−− - (17x - 34)

33

4 x 2 + 6x + 17 + 33_x - 2

12-6 Cómo dividir polinomios (págs. 893–899)



1. Escribe y representa gráficamente la variación inversa en la que y = -4 cuando x = 2.

2. La cantidad de carteles que el club de español puede comprar varía inversamente con el costo de cada cartel. El club puede comprar 15 carteles que cuestan $2.60 cada uno. ¿Cuántos carteles puede comprar si cuestan $3.25 cada uno?

Identifica los valores excluidos y las asíntotas vertical y horizontal para cada función racional.

3. y = 3_x + 1

4. y = 1_2x - 1

+ 5 5. y = 1_x + 3

- 3


6. 2b_4b 2

7. x 2 - 16__x 2 + 3x - 4

8. b 2 - 2b - 15__

5 - b 9. x

2 + 4x - 5__x 2 - 25


10. -4_x 2 - 9

· (x - 3) 11. 2a 2b 2_5b 3

· 15a 2b_8a 4

12. x 2 - x - 12__x 2 - 16

· x 2 + x - 12__

x 2 + 3x + 2


13. 4x 2y 4_3x y 2

÷ 12xy_

15x 3y 2 14. 3b 2 - 6b_

2b 3 + 3 b 2 ÷ 2b - 4_

8b + 12 15. x

2 + 2x - 15__x 2 - 9

÷ x 2 - 25__x 2 + 3x + 2


16. b 2 + 3_5b

+ 4_5b

17. 5x - 2_x 2 + 2

- 2x_x 2 + 2

18. 2_3x 2

- 5 - 2x_3x2

19. 3m_2m 2

+ 1_2m

20. 3x_2x + 4

- 1_x + 2

21. y 2 + 4_y - 3

+ y 2_3 - y

Divide.

22. (8t 2 - 2t) ÷ 2t 23. 3x 2 + 2x - 8__x + 2

24. k 2 - 2k - 35__

k + 5


25. (2w 2 + 5w - 12) ÷ (w + 4) 26. (x 2 - 4x + 9) ÷ (x + 2) 27. El área de un rectángulo se puede representar mediante A(x) = x 3 - 1. La longitud es x - 1.

a. Halla un polinomio que represente el ancho del rectángulo.

b. Halla el ancho cuando x mide 6 cm.


28. 2_x - 1

= 9_2x - 3

29. 3_n - 1

= n_n + 4

30. 2_n + 2

= n - 4_n 2 - 4

31. Julio puede lavar y encerar el automóvil de la familia en 2 horas. Leo tarda 3 horas en lavar y encerar el mismo automóvil. ¿Cuánto tiempo tardarán en lavar y encerar el automóvil si trabajan juntos?

Práctica para el examen de ingreso a la universidad 915

Para prepararte para los exámenes de matemáticas SAT, comienza a repasar el material varios meses antes de la fecha del examen. Haz exámenes de prueba para saber en qué áreas necesitas concentrarte. No se espera que hayas estudiado todos los temas del examen.

ENFOQUE EN LOS EXÁMENES DE MATEMÁTICAS SATLos temas que se incluyen en cada examen de matemáticas SAT varían muy poco cada vez que se toma el examen. Averigua la distribución general de los puntos del examen según los temas y luego identifica las áreas en las que necesitas concentrarte cuando estudias.

Te recomendamos que tomes el tiempo que te lleva hacer este examen de práctica. Deberías tardar aproximadamente 6 minutos en terminar.

1. ¿Qué conjunto de pares ordenados satisface una variación inversa?

(A) (6, 3) y (8, 4)

(B) (2, -3) y (4, 5)

(C) (4, -2) y (-5, 10)

(D) (2, 6) y (-3, -4)

(E) (4, 1_4) y (-4, 1_

4)

2. Si 3_x + 3

= 7x_x 2 - 9

, ¿cuál es el valor de x?

(A) -12

(B) -3

(C) - 9_4

(D) 9_4

(E) 3

3. ¿Cuál es el valor de h si (x 3 + 2 x 2 - 4x + h) ÷(x + 1) tiene un residuo de 15?

(A) -10

(B) -5

(C) 5

(D) 10

(E) 20

4. ¿La gráfica de qué función se muestra?

(A) f (x) = 2_x + 4

+ 1

(B) f (x) = 4_x + 2

- 1

(C) f (x) = 4_x - 2

+ 1

(D) f (x) = 4_x - 2

- 1

(E) f (x) = 2_x - 4

+ 1

5. ¿Qué función tiene la misma gráfica que

f (x) = x 2 - 4x - 5__x 2 - 3x - 10

excepto en x = 5?

(A) g(x) = x - 1_x - 2

(B) g(x) = x + 1_x + 2

(C) g(x) = x + 1__(x - 5)(x + 2)

(D) g(x) = (x + 5)(x - 1)__

x + 2

(E) g(x) = (x - 5)(x + 1)__

x - 2


Opción múltiple: elige combinaciones de respuestas.Algunas preguntas de opción múltiple en los exámenes requieren que se elija una combinación de respuestas correctas. La respuesta correcta es la opción más completa disponible. Para resolver este tipo de preguntas en el examen, determina si cada enunciado es verdadero o falso. Luego elige la opción que incluye cada enunciado correcto.

¿Cuál de las siguientes opciones tiene un valor excluido de -5?

I. 5_x - 5

III. x 2 - 10_5x + 25

· 5_x - 10

II. 8x 2 + 36x - 20__2(x + 5)

IV. 2(x + 2)__

2x 2 + 12x + 10

sólo I II, III y IV

II y III III y IV

Observa cada enunciado por separado y determina si es verdadero. Puedes llevar unregistro de los enunciados que son verdaderos en una tabla.

Enunciado IEl denominador, x - 5, es igual a 0 cuando x = 5.

El enunciado I no responde a la pregunta, por lo tanto es falso.

Enunciado Verdadero / Falso

I Falso

II Verdadero

III Verdadero

IV Verdadero

Enunciado IIEl denominador, 2 (x + 5) , es igual a 0 cuando x = -5.

El enunciado II responde a la pregunta, por lo tanto es verdadero.

Enunciado IIIEl denominador, (5x + 25)(x + 10) , es igual a 0 cuando x = -5 ó x = -10.

El enunciado III responde a la pregunta, por lo tanto es verdadero.

Enunciado IVEl denominador, 2 x 2 + 12x + 10, se puede factorizar como 2 (x + 5)(x + 1) . Esta expresión es igual a 0 cuando x = -5 ó x = -1.

El enunciado IV responde a la pregunta, por lo tanto es verdadero.

Los enunciados II, III y IV son verdaderos. La opción C es la respuesta correcta porque incluye a todos los enunciados verdaderos.

Las opciones B y D contienen algunos de los enunciados verdaderos, pero la opción C es la respuesta más completa.

Ayuda para examen 917

Evalúa todos los enunciados antes de elegir una respuesta. Haz una tabla para anotar si cada enunciado es verdadero o falso.

Lee cada recuadro y contesta las preguntas que le siguen.

A¿Qué dimensiones representan un rectángulo que tiene un área equivalente a la expresión 2x 2 + 18x + 16?

I. � = x + 8

a = 2 (x + 1)

II. � = 2x + 2

a = x 2 + 3x - 40__

x - 5

III. � = x + 2

a = (2x + 2)(x + 4)__

1 ·

(3x - 1)__( 3x 2 - 11x - 4)

sólo I I y II

sólo III I, II y III

1. ¿Cómo determinas el área de un rectángulo?

2. Daisy descubrió que el área del rectángulo I era equivalente al área dada y eligió la opción A como respuesta. ¿Estás de acuerdo? Explica tu razonamiento.

3. Escribe una expresión simplificada para el ancho del rectángulo II.

4. Explica cada paso para determinar el área del rectángulo III.

5. Si el rectángulo II tiene un área equivalente a la expresión dada, ¿qué opciones puedes eliminar?

B¿Qué expresión es indefinida para x = 3 ó x = -2?

I. 2x + 12 · 4__2(x - 3)(x + 6)

III.(x - 2)__

(x + 2)(x - 1)

II. 9x - 1_x 2 + 3

IV. 14_x 2 - x - 6

I, III y IV III y IV

I y II I y IV

6. ¿Cuándo es indefinida una expresión?

7. Henry determinó que el enunciado I es indefinido cuando x = 3. Decide que es una respuesta incorrecta porque la expresión es definida cuando x = -2. ¿Debería elegir la opción H mediante un proceso de eliminación? Explica tu razonamiento.

8. Haz una tabla para determinar la respuesta correcta.

C¿Qué función racional tiene una gráfica con una asíntota horizontal de y = 4?

I. y = -4_x III. y = 1_

x - 4

II. y = 1_x + 4 IV. y = - 1_x + 4

I y III I y II

sólo II II y IV

9. ¿Dónde ocurre la asíntota horizontal de la función del enunciado I?

10. Usando tu respuesta al Problema 9, ¿qué opción u opciones puedes eliminar? Explica tu razonamiento.

11. Observa las opciones que quedan. ¿Qué enunciado sería mejor comprobar a continuación? Explica tu razonamiento.


EVALUACIÓN ACUMULATIVA, CAPÍTULOS 1-12

Opción múltiple 1. Simplifica la expresión 4 (2d - 1) - 6d.

2d -4d + 3

2d - 4 2d - 1

2. ¿Qué ecuación es el resultado de resolver 3x + 2y = 8 para hallar y?

y = 3_2

x - 4 y = -3x + 8

y = 3x + 4 y = - 3_2

x + 4

3. ¿Qué función se muestra en la gráfica?

y = 3x

y = x_3

y = √ x + 3

y = 1_x + 3

4. El club de teatro necesita recaudar al menos $1400 para un viaje de estudio. La administración de la escuela aportó al club $150. Los miembros del club venden cadenas para llaves a $5 cada una. ¿Qué desigualdad representa la cantidad de cadenas para llaves c que el club de teatro necesita vender para realizar su viaje de estudio?

150 + 5k ≥ 1400

5k - 150 ≥ 1400

5k + 150 ≤ 1400

150 ≤ 5k + 1400

5. ¿Qué expresión NO es equivalente a 3_x - 1

?

3x + 6_x 2 + x - 2

3x + 3_x 2 - 1

3x - 3__x 2 - 2x + 1

3x - 3_x - 1

6. ¿Qué situación describe mejor una correlación negativa?

El nivel de intensidad de un ejercicio y la cantidad de calorías que se queman por minuto

La cantidad de tiempo que un juego electrónico está encendido y la cantidad de energía que queda en las pilas del juego

La altura de un árbol y la cantidad de tinta en un bolígrafo

La temperatura durante el día y la cantidad de personas en un puesto de venta de helados

7. ¿Qué expresión es equivalente a 3m 2n_5m

· 20mn_n 6

?

12m 2_n 4

12m 2 n 3

12m 3_n 3

12m_n

8. Simplifica 3_x + 3_5x

.

1_x

18_5x

9_5x

1_2x

9. ¿Cuál de las siguientes gráficas tiene una pendiente de -3?

10. ¿Cuál es el resultado de (-12x 6 + x) ÷ (-4x 2) ?

3x 3 - 1_4x

3x 5

3x 4 - 1_4x

3x 4 + x

CLAVE: MA7 TestPrep

11. Abe lanza dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas monedas caigan cara?

1_2

1_8

1_4

1_16

12. ¿Qué opción es una solución de n_n + 2

= -8_n ?

-4 2

-2 4

13. ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a

( 2x 5 y 2_

8x )-2

?

16_x 8 y 4

4_x 4 y2

x 8_16y 4

x 5_16

14. ¿Qué situación se puede representar mediante la

función y = 140_x ?

El costo de una excursión de esquí es $140 por cada persona que participa.

El área de un rectángulo con un ancho de 140 metros es directamente proporcional a su longitud.

El costo por persona del alquiler de un barco es $140 dividido entre la cantidad de personas.

La asistencia al concierto de este año fue 140 personas más que al concierto del año pasado.

Respuesta gráfica 15. ¿Cuál es el valor excluido para la expresión

racional x 2 - 4_

3x - 6?

16. ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión geométrica 2000, 1600, 1280, 1024,…?

17. ¿Cuál es la constante de variación si y varía inversamente a x e y = 3 cuando x = 6?

18. ¿Cuál es el valor de 40 - ( 2-3) ?

19. Identifica el valor excluido para y = x - 4_x - 2

.

Respuesta breve

20. El maestro Lui escribió 15 - 5x__x 2 - 9x + 18

en el pizarrón.

a. Explica qué tipo de expresión es.

b. Simplifica la expresión. Muestra tu trabajo.

c. Identifica los valores excluidos.

21. Describe las semejanzas y las diferencias entre la gráfica de f (x) = x 2 + 4 y la gráfica de

g(x) = 1_2

x 2 + 3.

22. ¿Qué dos valores de b permiten factorizar 2x 2 - bx - 20? Explica tu respuesta.

23. Brandee recibe un salario por hora. En el último periodo de pago, ganó $800 por horas regulares y $240 por horas extra. Su tasa de pago por horas extra es 50% más por hora que su tasa de pago regular r.Escribe y simplifica una expresión, en función de r,que represente la cantidad de horas h que trabajó Brandee durante el periodo de pago. Muestra tu trabajo.

Respuesta desarrollada 24. El director Farley tiene $200 para que algunos

maestros asistan a una conferencia sobre tecnología. La empresa que organiza la conferencia permite que 2 maestros asistan gratis.La cantidad de maestros y que pueden ir a la

conferencia está dada por la función y = 200_x + 2,

donde x es el costo por maestro.

a. Describe los valores razonables del dominio y del rango para esta función.

b. Identifica las asíntotas vertical y horizontal.

c. Representa gráficamente la función.

d. Da dos soluciones en números cabales para la ecuación y describe qué significan en el contexto de esta situación.

Evaluación acumulativa, Capítulos 1–12 919

Aprende las reglas para escribir respuestas gráficas. Por ejemplo, ¿puedes escribir la fracción 2__

3

como 0.6666 ó como 0.67? Los distintos exámenes pueden tener reglas diferentes; por lo tanto, presta mucha atención a las instrucciones.

New Bremen

Cincinnati

Nómina de salarios de los Cincinnati Reds

Año Nómina total ($)

2000 44,217,500

2001 48,784,000

2002 45,050,390

2003 59,355,667

2004 46,615,250

2005 61,892,583


O H I O

Cincinnati RedsLos Cincinnati Reds, que al formarse en 1866 se llamaban Cincinnati Red Stockings, fueron el primer equipo de béisbol de la liga nacional. Ahora juegan en un estadio que se llama Great American Ballpark y que se construyó en 2003.

Elige una o más estrategias para resolver cada problema.

1. En la tabla se muestra la nómina total de salarios de los Reds desde 2000 hasta 2005. ¿Qué porcentaje aumentó la nómina desde 2000 hasta 2005?

2. Supongamos que el porcentaje de incremento de la nómina de salarios para los próximos x años es el mismo que de 2004 a 2005. Representa esta situación con una función de crecimiento exponencial.

3. Usando la función que hallaste en el Problema 2, ¿cuál podría ser la nómina total de salarios de los Reds en el año 2010?

4. Supongamos que en un partido de los Cincinnati Reds, las entradas para la zona azul cuestan en promedio $28 y que las entradas para la zona verde cuestan en promedio $20. Supongamos que se vendió el doble de entradas a los aficionados para la zona verde que para la azul y que el total de ventas de entradas para estas dos zonas fue $204,000. Los aficionados compraron 14,197 entradas en otras zonas y secciones. ¿Cuántas personas tenían entradas para el partido?

Estrategiasde resolución de problemas

Dibujar un diagrama Hacer un modeloCalcular y poner a pruebaTrabajar en sentido inversoHallar un patrónHacer una tablaResolver un problema más sencilloUsar el razonamiento lógicoUsar un diagrama de VennHacer una lista organizada

Resolución de problemas en lugares 921

Corona Piñón

14 dientes

16 dientes

19 dientes

21 dientes

23 dientes

39 dientes

53 dientes

Museo de bicicletas de Estados UnidosEl museo de bicicletas de Estados Unidos en New Bremen, Ohio, alberga una de las colecciones de bicicletas y objetos de interés relacionados con las bicicletas más grandes del mundo. La colección representa cada época, incluyendo las bicicletas antiguas del siglo XIX, las clásicas con llantas-globo de las décadas de 1940 y 1950 y las bicicletas con asientos en forma de plátanos y manubrios altos de la década de 1960.

Elige una o más estrategias para resolver cada problema.

1. Alfred Letourner fue uno de los mejores ciclistas de su época. El 17 de mayo de 1941, en una carrera patrocinada por Schwinn, Letourner montó una bicicleta similar a la que se muestra en la fotografía con una razón de cambios de 9 1__

2 a 1. La bicicleta pesaba sólo 20 libras. En esa carrera, Letourner batió los

récords de velocidad al recorrer una milla en 33.05 segundos. A este ritmo, ¿aproximadamente a cuántas millas por hora iba Letourner?

En el diagrama se muestra la relación entre la cantidad de dientes de la corona y la cantidad de dientes del piñón de una bicicleta. Esta relación afecta la velocidad y el esfuerzo al pedalear. Por ejemplo, si la corona tiene 39 dientes y el piñón tiene 17 dientes, la razón de cambios es 39__

17 = 2.294. Este

número representa la cantidad de vueltas de la rueda por cada vuelta completa del pedal.

2. ¿Qué combinación de cambios que se muestra en el diagrama permite la mayor cantidad de rotaciones de las llantas con respecto a las vueltas del pedal? ¿Aproximadamente cuántas vueltas de la rueda por cada vuelta completa del pedal son posibles con esta combinación?

3. Si una bicicleta de montaña tiene llantas de 26 pulgadas de diámetro, ¿qué distancia en pies recorrerá un ciclista por cada vuelta completa del pedal si la corona tiene 39 dientes y el piñón tiene 14 dientes?

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