FUNCIONES Y GRÁFICAS
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FUNCIONES Y GRÁFICAS
CÁLCULO
ÍNDICE
FUNCIONES----------------------------------------------
DEFINICIÓN.-------------------------------------------------------
NOTACIÓN FUNCIONAL.---------------------------------------------
FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL---------------------------------------
TIPOS DE FUNCIONES-------------------------------------
FUNCIONES PARES E IMPARES.---------------------------------------
FUNCIONES MONÓTONAS.-------------------------------------------
FUNCIONES BIUNÍVOCAS. FUNCIONES INVERSAS.-----------------------
FUNCIONES ELEMENTALES.-------------------------------------------
FUNCIONES CONTÍNUAS.--------------------------------------------
FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES INDEPENDIENTES.----------------
FUNCIONES ESPECIALES.---------------------------------------------
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES QUE SE CONSERVAN POR LA INVERSIÓN.
OPERACIONES CON FUNCIONES-----------------------------
SUMAS, DIFERENCIAS, PRODUCTOS, COCIENTES Y POTENCIAS.-----------
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES------------------------------
TRASLACIONES.----------------------------------------------------
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS----------------------------
DEFINICIÓN.-------------------------------------------------------
OTRAS CUATRO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.------------------------
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES------------------------
UNIFORMES.-------------------------------------------------------
MULTIFORMES.-----------------------------------------------------
EXPLÍCITAS.-------------------------------------------------------
IMPLÍCITAS.-------------------------------------------------------
INVERSAS.---------------------------------------------------------
ALGEBRAICAS.------------------------------------------------------
TRASCENDENTES.---------------------------------------------------
CÁLCULO
FUNCIÓN DE UNA FUNCIÓN.------------------------------------------
BIBLIOGRAFÍA--------------------------------------------
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FUNCIONES
Piénsese en una función como una pistola toma sus municiones de un
conjunto llamado dominio y dispara sobre un conjunto como blanco. Cada bala le
pega a un único blanco puntual, pero puede ocurrir que varias balas le peguen al
mismo punto. Podemos, a la vez, establecer la definición con mayor finalidad e
introducir alguna notación.
DEFINICIÓN.
Una función “f” es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto
“x” de una conjunto llamado “dominio” una valor único f(x) de un segundo
conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama “rango” de la función.1
x f(x)
DominioRango
f
Nota: La definición no impone restriccióna los conuntos dominio y rango
El dominio puede consistir en el conjunto de personas de su clase de Cálculo
1PURCELL, Edwin. Cálculo con Geometría Analítica. 4º Edición. 1954. Prentice HallHispanoamericana, S.A.
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y el rango en el conjunto de calificaciones A, B, C, D, F, que se dan, y la regla de
correspondencia, el procedimiento que el maestro usa para asignar las
calificaciones.
De mayor importancia en Cálculo serán aquellos ejemplos, en los que tanto
el dominio como el rango consistía en un conjunto de números reales. La función
“A”, podría tomar un número real “x” y elevarlo al cuadrado para producir el
número real x2. En este caso, tenemos una fórmula que da la regla de
correspondencia, en concreto:
x
Dominio Rango
A(x)=x ²
f
2
1
0
-1
-2
4
1
0
NOTACIÓN FUNCIONAL.
Se usa una sola letra como F(ó g ó f ) para determinar una función
,entonces F(x), que se lee “F de x” o “ F en x”, designa el valor que “F” asigna a
X . Por lo tanto si f x x 3 4 .
f 2 2 4 43
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f 1 1 4 53
f a a 3 4 5
f a h a h a a h ah h 3 3 2 2 34 3 3 4
Ejemplo: Para f x x x 2 2 , encuentre y simplifique: a) f 4 , b) f h4
, c) f h f4 4 , d) f h fh
4 4
Solución:
a) f 4 4 2 4 82
b) f h h h h h h h h4 4 2 4 16 8 8 2 8 62 2 2
c) f h f h h h h4 4 8 6 8 62 2
d) f h f
h
h h
h
h h
hh
4 4 6 66
2
FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
La definición de la función logarítmica que hasta ahora hemos encontrado
en álgebra se basa en exponer las propiedades de los logaritmos se demuestran
entonces a partir de las correspondientes propiedades de los exponentes. Una
de ellas es: a a ax y x y .
Si los exponentes x y y son enteros positivos y a es cualquier número real,
la expresión se concluye de la definición de un exponente entero positivo, así
como la inducción matemática. Si los exponentes son enteros positivos, negativos
o ceros y a 0 , entonces será válida si un exponente cero y un entero negativo
sea definida por: a 0 1 , a an n 1, n 0 .
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Si los exponentes son números racionales y a 0 , entonces la ecuación es
válida cuando am
n está definida por: a am
n nm
.
TIPOS DE FUNCIONES
FUNCIONES PARES E IMPARES.
Con frecuencia se puede predecir la simetría de la gráfica de una función
mediante inspección de la fórmula. Si f x f x ; entonces la gráfica en
simetría en el eje de las y, dicha función se llama: Función Par.
Si f x f x , la gráfica en simetría con respecto al origen, llamamos a
esta Función Impar. Una función que de F(x) como suma de potencias impares de
x es impar. Por lo tanto, g x x x 3 2
g x x x x x x x g x 3 3 32 2 2
Ejemplo: Es f xx x
x x
3
4 2
3
3 4 es par, impar o ninguna de las dos.
Solución:
f xx x
x x
x x
x xf x
3
4 2
3
4 2
3
3 4
3
3 4
Es una función impar.
FUNCIONES MONÓTONAS.
Si la condición x < y implica f(x) < f(y), entonces se dice que la función f es
estrictamente creciente. Si en la última desigualdad se sustituye el < por el ,
entonces trataremos con una función creciente en el sentido más amplio, esto
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significaría una función decreciente.
Ejemplo:
Similarmente si la condición x < x’ implica f(x) < f(x’), o bien, f(x) ,
entonces se dice que la función es estrictamente decreciente en el sentido más
amplio respectivamente:
a) La función x3 es estrictamente creciente. la función x2 es decreciente
en la media recta x 0 y creciente en la media recta x 0 , en todo el
eje de las x.
b) La función sen(x) es secuencialmente monótona: esto es creciente en el
intervalo 2 2
x decreciente en el intervalo 2
3
2 x , etc.
Nota: Las funciones cos(x), tan(x); tienen una propiedad similar,
observamos que las funciones trigonométricas mencionadas tienen una
importante función de periocidad. Una función f(x) se llama periódica si existe
un número “c”, tal función f x f x c es válida para todo valor x, la función
seno tiene un período 2 , la función tangente tiene un período .
Observación: En general una función f(x) se llamará seccionalmente
monótona en el intervalo a x b , si el intervalo a x b puede dividirse por
medio de un sistema finito de puntos.
a a a a a a a bn n0 1 2 0 ......... , donde y
Por ejemplo, la función definida por las condiciones: f(x)=0 para 0<x<1,
f 11
2 , f(x)=x-1 para 1<x<2, es seccionalmente monótona en el intervalo
0 x 2 .
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FUNCIONES BIUNÍVOCAS. FUNCIONES INVERSAS.
Si la función f es estrictamente creciente, entonces la ecuación y = f(x)
determina x como una función de y, esto es, esta ecuación puede resolverse con
respecto a x (tratada como incógnita). En efecto, como a distintas x
corresponden distintas y, de modo que para toda y que pertenezca al conjunto de
valores de la función f, le corresponde una y solo una x. Tal que f(x)=x,y es una
función de y.
y f x x g y y
Ejemplo: La función y x 2 3tiene una función inversa, ya que al despejar
x de esta ecuación obtenemos xy
3
2.
FUNCIONES ELEMENTALES.
Una función de la forma ax b , donde a y b son constantes, se le llama
función lineal. La gráfica geométrica de la función lineal es una recta
recíprocamente, cualquier recta, excepto las paralelas al eje y, son gráficas de
cierta función lineal.
La función ax b es creciente (para a>0) o decreciente (para a<0), sea a=0,
entonces la función tiene una valor constante b, por lo que nuestra función una
inversa xy b
a
, cuando a 0 .
Otra función en consideración a su simplicidad es la clase de funciones de
segundo grado ax bx c2 .
Los polinomios representan una clase más general de funciones esto es,
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funciones de la forma a x a x a x an nn
nn0 1
11
..... .
Otra generalización consiste en las funciones racionales, esto es, funciones
de la forma
p x
q x donde p(x) y q(x) son polinomios.
Nota: Los polinomios se definen para todos los valores de x. Las funciones
racionales se definen para toda x, excepto valores para los cuales el
denominador se anula, esto es, excepto las raíces de la ecuación Q(x)=0.
La función inversa a la potencia xn es la raíz xn . Si n es impar, entonces
esta función se define para toda x, y si n es par se define sólo para x 0 .
Las raíces son potencias de la forma x n1 . Con mayor generalidad
consideramos potencias x9 con un exponente real arbitrario para x>0. Esta
función es creciente si x>0 y decreciente si a<0 (para a=0 es constante).
Al proyectar la gráfica de una función en el eje obtenemos el conjunto de
argumentos de la función. Proyectándola en el eje y, obtenemos el conjunto de
valores de la función.
FUNCIONES CONTÍNUAS.
Se dice que una función f es contínua en un punto s, si satisface la
condición:
1.
f af x
x a
lim
Según la definición del símbolo lim f(x), esto significa que la ecuación
lim x an implica que el lim f x f an .
Por consiguiente, si una función es contínua es un punto a, entonces:
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2.
f af x
x af a
f x
x a
lim o
lim
0 0
Si en la ecuación 1. reemplazamos el límite por un límite lateral,
obtendremos la definición de continuidad lateral. A saber, si una función f es
contínua por un lado derechos (o contínua por el lado izquierdo) en un punto a, si:
f af x
x af a
f x
x a
lim o
lim
0 0
Una función contínua para todo valor del argumento se llama simplemente
Función Contínua. En particular, una función contínua definida en el intervalo
a x b , es una función en todo punto interior del intervalo, continúa por el
lado derecho en a y por el lado izquierdo en b.
FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES
INDEPENDIENTES.
Definimos una función f como un conjunto no vacío de pares ordenados
tales que dos pares distintos no tienen igual la primera componente. El conjunto
de primeras componentes de los pares ordenados es dominio d de la función y el
conjunto de la segundas componentes de los pares ordenados es el rango R de la
función. Si x y f, , llamaremos y la correspondiente de x bajo f y
representaremos este correspondiente por f(x). Entonces escribimos:
F y f x x d y R (x, y) , ,
F y x (x, y) 1
D ,1 y D 0, para la cual G x x 1 . Así para
a d, G x 1 a y llamamos G(a) al valor de G(x) en a.
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FUNCIONES ESPECIALES.
Entre las funciones que con frecuencia usaremos como ejemplo, hay dos
muy especiales: la Función Valor absoluto y la Función Máximo Entero .
Se definen como: xx x
x x
si
si
0
0 y x Al mayor entero igual o menor que x .
Así, 31 31 31, . . , en tanto que 3 1 4 31 3, , y . La primera es una
función par, dado que x x . ¿Es par, impar o ninguna de las dos?. En las
figuras se necesitan dos gráficas de estas funciones:
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES QUE SE CONSERVAN
POR LA INVERSIÓN.
Muchas de las propiedades que posee una función f se transmiten a la
inversa q.
Figura:
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Muestra la relación entre sus gráficas. Puede obtenerse una a partir de la
otra, mediante una simple simetría respecto a la recta x y , debido a que un
punto (a,b) está en la gráfica de f si y sólo si el punto (a,b) está sobre la gráfica
g.
Las propiedades de monotonía y continuidad que posee f se transmiten a la
función inversa g, como se afirma en el teorema siguiente:
Teorema: Sea f estrictamente creciente y contínua en un intervalo a b, .
Sean c=f(a) y d=(b) y sea g la inversa de f. Esto es, para cada uno y en c d, , sea
g(y) aquel x de a b, , tal que y=f(x). Entonces:
a) g es estrictamente creciente en c d, .
b) g es contínua en c d, .
OPERACIONES CON FUNCIONES
Las funciones no son números. Pero sí como dos números a y b pueden ser
sumados para producir una nueva función que se describirán en esta sección.
SUMAS, DIFERENCIAS, PRODUCTOS, COCIENTES Y
POTENCIAS.
Considere las funciones f y g, las cuales son: f xx
3
2 y g x x .
Podemos formar una nueva función f+g que asigne a x el valor x
x
3
2;
es decir:
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f g x f x g xx
x
3
2
Dominio g
Dominiode f+g
Dominio f
Las funciones f-g, f*g y f/g se introducen en una forma por completo
similar. Suponiendo que f y g tienen sus dominios naturales, tenemos:
FÓRMULA DOMINIO
f g x f x g xx
x
3
2 0,
f g x f x g xx
x
3
2 0,
f g x f x g xx
x* * * 3
2 0,
f
gx
f x
g x
x
x
3
2
0,
Hemos excluido a 0 del dominio de f/g para evitar la división entre 0.
También se puede elevar una potencia. Por fn entendemos la función que asigna a
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x el valor f xn. Por lo tanto se describe así:
f f xx x x2 2
2 22
2
6 9
4
g x g x x x3 3 3 32
Ejemplo:
Sea f x x 14 y g x x 9 2 , con los dominios respectivos 1, y
3 3, . Encuentre las fórmulas de f+g, f-g, f.g, f/6 y f5 e indique sus respectivos
dominios.
Solución:
FÓRMULA DOMINIO
f g x f x g x x x 1 94 2 1 3,
f g x f x g x x x 1 94 2 1 3,
f g x f x g x x x. . 1 94 2 1 3,
f
gx
f x
g x
x
x
1
9
4
2
1 3,
f x f x x x5 5 45 5
41 1 1,
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COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
En un párrafo anterior le pedimos que considerase a una función como una
pistola. Ahora pensemos que en la función f como una máquina, ella acepta a x
como insumo, trabaja cuando se produce f(x) como resultado. Si trabajamos con
dos funciones f y g con sus respectivas x para producir sea: f(x) y g(x), entonces
para producir g(f(x)), decimos que hemos hecho una composición de g con f. La
función que resultó se llama Composición de g con f, y se designa mediante el
símbolo g ó f. Por los tanto:
g f x g f x
Si recordamos en el anterior ejemplo que f x
x
3
2 y g x x , aquí
podemos componer estas funciones de dos maneras:
g f x g f x gx x
3
2
3
2
g f x g f x f xx
3
2
Existe una cosa que se nota de manera inmediata, que la comparación de
estas funciones no es “continuas”
Ejemplo:
Sea f x
x
x
6
92 y g x x 3 . Primero, encuentre (f°g)(12); después
halle (f°g)(x), y dé su dominio:
Solución:
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f g f g f f 12 12 36 636
27
4
3
f g x f g x f xx
x
x
x
x
x
3
6 3
3 9
6 3
3 9
2 3
32
El dominio de f°g es 0 3 3, , . Recuérdese que designa la operación
de unión de conjuntos.
TRASLACIONES.
La observación de cómo se constituye una función a partir de otras más
simples puede ser una gran ayuda en la elaboración de gráficas. ¿Cómo están las
gráficas de: y f x , y f x 3 , y f x 2 y y f x 3 2 ;
relacionadas entre sí?. Considérese f x x como ejemplo. Las cuatros
gráficas se presentan a continuación.
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Al estudiar trigonometría, debemos estar bien familiarizados con las
definiciones de las funciones trigonométricas basadas en ángulos y triángulos
rectángulos.
Cat
eto O
pues
to
Hipotenusa
Cateto Adyacente
sen Cateto Opuesto
Hipotenusa, cos
Cateto Adyacente
Hipotenusa,
tan Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
Cuando las consideramos en esta forma, aquí los dominios son conjuntos de
números en vez de conjuntos de ángulos.
Sea un círculo unitario ,es decir, el círculo x y2 2 1 , con centro en el
origen y radio 1.
Ejemplo (Figura):
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En forma similar, si t<0, habrá exactamente un punto p(x,y) en el círculo tal
que la longitud de arco AP, medido en el sentido de las manecillas del reloj sobre
C se t . Por lo tanto, asociamos a cualquier número t un punto único P(x,y). Esto
nos permite dar las definiciones claves de las funciones seno y coseno.
DEFINICIÓN.
Si t determina el punto P(x,y) como antes se indicó, entonces sen t=y cos
t=x
OTRAS CUATRO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En cuanto las funciones de seno y coseno, podemos valernos, pero es
importante mencionar para introducir cuatro funciones trigonométricas más:
tangente, cotangente, secante y cosecante.
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tan tt
t
sen
cos, cot
cos
sen t
t
t , sec
cos t
t
1, cos
senc t
t
1
Ejemplo 1:
Demuestre que la tangente es una función impar.
Solución:
tag tt
t
t
ttagt
sen
cos
sen
cos
Ejemplo 2:
Verifique las siguientes identidades:
1 2 2 tang t tsec
1 2 2 cot csct t
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CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES
UNIFORMES.
Son aquellas que a cada valor de x, le corresponde solamente uno de y.
MULTIFORMES.
Son aquellas que a cada valor de x, le corresponde varios de y.
EXPLÍCITAS.
Son aquellas que la y está despejada. Ejemplos: y x 2 3 ; f xx
2 2
3;
f x xx
32 1
22 .
IMPLÍCITAS.
Son aquellas que la y no está despejada. Ejemplos: 3 2 3 0x y ;
3 2 32xy x y x .
INVERSAS.
Dada una función cualquiera y=f(x), para hallar su inversa despejamos la x,
y al final hacemos un cambio; donde está la x ponemos la y, y donde está la y
ponemos la x. Ejemplo: Dada la función y x 2 3 , hallar su inversa:
1. Despejamos la x xy
3
2
2. Cambiamos las letras yx
3
2
ALGEBRAICAS.
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Son aquellas en que las operaciones indican la característica que está
exoresada por una ecuación cuyos miembros son polinomios en x. Ejemplos:
y x x 2 2 1 ; yx
x
2
2 1; 3 2 3 03 2 2x x y y .
TRASCENDENTES.
Son aquellas que en las operaciones que indica la característica, son
funciones trigonométricas, logarítmicas, etc. Ejemplo: y x sen ; y L x 2 ;
y a x 2 1; y a x 2 .
FUNCIÓN DE UNA FUNCIÓN.
Si Z=f(x), y a su vez y=f(Z), entonces y depende de Z, que a su vez
depende de x; por lo tanto y es función de la función x. Ejemplo:
y f Z
Z f xy f f x
.
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BIBLIOGRAFÍA
APOSTOL, Tom. Calculus. 2º Edición. Editorial REUERTE, S.A. Año 1985.Barcelona (España). Volúmen 1, Pp. 813.
E NAVARRO, Problemario de Análisis y Geometría Analítica. Primera Edición.Editorial DISZA. Año 1972. Caracas. Pp. 457.
LEITHOD, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. 5º Edición. Año 1987.Editorial Harla. Volúmen 1, México, Pp. 1084.
PURCELL J., Edwin y Dole Vargerg. Cálculo con Geometría Analítica. 4º Edición.Año 1984. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana.
WARATOWSKI, Kazimierz. Introducción al Cálculo. Primera Edición. EditorialLIMUSA, Año 1970. Pp. 310.
