UNIVERSIDAD INTERAMERICANA

PARA EL DESARROLLO.

PROFESOR: LIC. JOSÉ ANTONIO FERRAS CUEVAS.

ASIGNATURA: MATEMATICAS.

TEMA: FUNCIONES Y SUS GRAFICAS.

CUATRIMESTRE: PRIMERO.

ESTUDIANTE: JUAN DIEGO BETANZOS VALENCIA.

FECHA: 01 DE DICIEMBRE DE 2014.

INDICE.

REFERENCIA. PAGINA.

INTRODUCCIÓN. 3

FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. 4

CONCEPTO DE FUNCION. 4

TIPOS DE FUNCIONES. 5

FUNCION LINEAL. 5

EJERCICIOS. 7

FUNCION CUADRATICA. 9

EJERCICIOS. 10

FUNCION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR. 14

EJERCICIOS. 15

FUNCION EXPONENCIAL. 19

EJERCICIOS. 21

FUNCION LOGARITMICA. 23

EJERCICIOS. 24

FUNCION RADICAL. 27

EJERCICIOS. 28

CONCLUCION. 30

FUENTES CONSULTADAS. 31

INTRODUCCION.

Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función. El término

función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René

Descartes para designar una potencia x n de la variable x. En 1694 el matemático

alemán G. W. Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una

curva, como su pendiente. La noción de función que más se utiliza en la actualidad

fue dada en el año 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet

(1805-1859).

Las funciones permiten describir el mundo real en términos matemáticos, como

por ejemplo, las variaciones de la temperatura, el movimiento de los planetas, las

ondas cerebrales, los ciclos comerciales, el ritmo cardíaco, el crecimiento

poblacional, etc. En esta sección se tratarán las funciones más usuales en la

modelización de fenómenos en aplicaciones en las distintas ciencias y en la vida

diaria, y sus características generales, tanto analíticas como gráficas.

Específicamente se revisarán las funciones polinomiales y racionales, las

funciones exponenciales y logarítmicas, y las funciones periódicas.

En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están

relacionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo: el área

de un círculo depende del radio del mismo, la temperatura de ebullición del agua

depende de la altura del lugar, la distancia recorrida por un objeto al caer

libremente depende del tiempo que transcurre en cada instante. Esto nos conduce

al concepto matemático de función. A continuación desglasaremos las principales

funciones como lo son: lineal, cuadrática, polinomicas de grado superior,

exponenciales, logarítmicas y continuamente con sus graficas respectivamente.

También se explicaran en que consiste cada una de ellas explicando paso a paso

para referir mejor el tema.

FUNCIONES Y SUS GRAFICAS.

CONCEPTO DE FUNCION:

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro

conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del

dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman

el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal

manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda.

La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la

forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.

Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla

de valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como

veremos luego, mediante una gráfica.

Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o

notación de la función f en x.

TIPOS DE FUNCIONES.

FUNCION LINEAL.

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m

representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación

gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones

polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica

es una recta ascendente.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos

en las coordenadas.

Ejemplo:

Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1

Solución:

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan

valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1

Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica

correspondiente.

EJERCICIOS:

A) 𝑦 = −𝑥 + 3

B) 𝑦 = −𝑥

3+ 4

C) 𝑦 =8𝑥−9

5

D) 𝑦 = 3

E) 𝑦 = 2𝑥 − 3

FUNCION CUADRATICA.

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es

diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una

parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una

parábola se determina por la fórmula:

(−b

2a, f (

−b

2a))

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

EJERCICIOS:

A) 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10

B) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

C) 𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 − 2

D) 𝑦 = 𝑥2 − 4

E) 𝑦 = −2𝑥2 − 𝑥 + 6

F) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 2

FUNCION POLINOMIAL DE GRADO SUPERIOR.

Definición: La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 , donde an es diferente

de cero, se conoce como una función polinómica de n ésimo grado. Los

números

an, an-1, ..., a1,a0 se llaman los coeficientes de la función.

Nota: Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero,

una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un

polinomio de segundo grado. La función P(x) = 0 se considera como un polinomio

pero no se le asigna ningún grado.

Definición: Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0.

Ejemplo: Considera la función f(x) = x2 - 4 ilustrada gráficamente:

Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o

soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0 y f(2) = (2)2 - 4 = 0.

Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1)

donde x = -3 y x = 1 son las soluciones o raíces.

EJERCICIOS:

A) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥

B) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 9𝑥 − 9

C) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 8𝑥

D) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 1

E) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 4𝑥

F) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 3𝑥3 − 4𝑥2

G) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4

H) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 16𝑥2

FUNCION EXPONENCIAL.

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax,

siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función

exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función

logarítmica, por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

Propiedades de las funciones exponenciales.

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes

propiedades generales:

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = a0 = 1.

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = a1 = a.

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la

aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x?) = ax+x? = ax ax? = f (x) f (x?).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al

minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El

número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al

que tiende la expresión:

(1 + 1/n)n

cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base

elegida para los logaritmos naturales o neperianos (ver t34).

La función ex presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su

interés en las descripciones físicas y matemáticas. Una de ellas es que coincide

con su propia derivada.

EJERCICIOS:

A) 𝑦 = 2𝑥

B) 𝑦 = 3𝑥

C) 𝑦 = (1/2)𝑥

D) 𝑦 = (1/3)𝑥

FUNCION LOGARITMICA.

Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos

y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales.

Entre otros fines, se usa ampliamente para «comprimir» la escala de medida de

magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual

o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica:

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) ==

logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:

loga x = b ab = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas

(exponenciales).

Propiedades de la función logarítmica.

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de

su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el

cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+ ).

Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica

corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales,

luego el recorrido de esta función es R.

En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en

cualquier base.

La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y

decreciente para a < 1.

EJERCICIOS:

A) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2𝑥

B) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥

C) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

2

𝑥

D) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔1

3

𝑥

FUNCIONES RACIONALES.

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan

el denominador.

Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de

ecuación:

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones.

EJERCICIOS:

A) 𝑦 =𝑥−3

𝑥−4

B) 𝑦 =2𝑥+3

𝑥+2

C) 𝑦 =3𝑥+7

𝑥+2

D) 𝑦 =𝑥−4

𝑥−5

CONCLUCION

A través de este trabajo pudimos informarnos de cada una de las partes de un

grafico y de los distintos tipos de funciones que existen y de sus cualidades, como

por ejemplo sus formas como es el caso de las parábolas, ya sean abiertas,

cerradas, crecientes y decrecientes además pudimos mejorar nuestro

conocimiento matemático. En cuanto al trabajo nos dimos cuenta que los gráficos

eran muy distintos por sus funciones como es el caso lineal cuadrático, logarítmico

y exponencial. Como pudimos ver, en el caso de las funciones exponenciales y

logarítmicas tenemos que saber resolver dichas reglas de cada una para porder

graficar cada función que se presente.

FUENTE CONSULTADA

FUNCION LINIEAL Y SU GRAFICA:

..\Desktop\Funciones y tipos de funciones - Monografias.com.html

FUNCION CUADRATICA Y SU GRAFICA:

..\Desktop\Funciones y tipos de funciones - Monografias.com.html

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPERIOR Y SUS GRAFICAS:

..\Desktop\FUNCIONES POLINOMICAS.html

FUNCIONES EXPONENCIALES Y SUS GRAFICAS:

..\Desktop\hiru.com - Función exponencial.html

FUNCIONES LOGARITMICAS Y SUS GRAFICAS:

..\Desktop\hiru.com - Función logarítmica.html

FUNCIONES RADICALES Y SUS GRAFICAS:

http://www.vitutor.com/fun/2/c_10.html