Funcions reals de vµaries variables realsocw.upc.edu/.../1/53578/f_teoria_funcions-3783.pdf ·...

F.1

Funcions reals de varies variablesreals

Fonaments Matematics de l’Enginyeria IIYolanda Vidal, Francesc Pozo, Nuria Pares

Funcions reals de varies variables reals F.2

Recordatori notacions basiques

=⇒ implica 6= diferent

⇐⇒ si i nomes si ⊂ subconjunt, inclos

∀ per a tot ∪ unio

∃ existeix ∩ interseccio

@ no existeix ≈ aproximadament

! unic (∃!) ∼ equivalent

∈ pertany ∝ proporcional

6∈ no pertany

Psumatori

4Pi=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42

Qproducte

4Qi=1

i = 1 · 2 · 3 · 4

Lletres gregues

α alfa κ kappa τ tau

β beta λ lambda φ, ϕ fi

γ gamma µ mu χ khi

δ delta ν nu ψ psi

ε, ε epsilon ξ csi ω omega

ζ zeta π pi

η eta ρ ro

θ theta σ sigma



Introduccio.

Recordatori funcions d’una variable.

Definicio 1. Una funcio d’una variable es unacorrespondencia entre dos conjunts

f : A −→ B

x −→ f(x) = y

tal que la imatge es unica.

B Si B ⊂ R es diu que f es real.

B Si A ⊂ R es diu que f es de variable real.

4

2,5

1,5

20

1

0,5x

106 8

2

Exemple de funció

y

0

-1

2

-2

1

10 0,5-0,5-1

Exemple de no funció

Nosaltres nomes estudiarem f : A ⊂ R −→ R.



B A s’anomena domini de la funcio.

El domini d’una funcio son tots els nombres realsque tenen per imatge un nombre real.

f(x) = 4x2 + 2x Dom(f) = R

f(x) =2x3 + 2

4x− 3Dom(f) = R− {x | 4x− 3 = 0}

f(x) = 2np

g(x) Dom(f) = {x | g(x) ≥ 0}

f(x) = 2n+1p

g(x) Dom(f) = R

f(x) = log(g(x)) Dom(f) = {x | g(x) > 0}

f(x) = sin(g(x)) Dom(f) = Dom(g)

f(x) = eg(x) Dom(f) = R

B f(A) = {y ∈ B | y = f(x), x ∈ A} es la imatgede f .

–20

–15

–10

–5

5

y

–3 –2 –1 1 2 3x



Nota 1. Sovint quan tractem amb funcions d’unavariable s’utilitza la notacio,

y = f(x)↗var. dependent

↖var. independent

i la seva representacio grafica es una corba.

ex. Per representar la funcio f(x) = x2 sovints’utilitza la notacio y = x2. La seva representaciografica sera:

3

2

1

0

3210-1-2-3

7

6

5

4

X

Y



Funcions de dues variables.

Definicio 2. Una funcio real de dues variables realses una correspondencia entre un subconjunt de R2 iun subconjunt de R

f : A ⊂ R2 −→ B ⊂ R(x, y) −→ f(x, y) = z


Exemple funcio f(x, y) = x2 + y2:

-2-2 -1-10

00

z

0,5

1

1,5

2

11 22X

Y

Z



B A s’anomena domini de la funcio.

El domini d’una funcio son els (x, y) ∈ R2 quetenen per imatge un nombre real.

f(x, y) = 4x2 + 2y Dom(f) = R2

f(x, y) =2x3 + y

x + yDom(f) = R2 − {(x, y) | x + y = 0}

f(x, y) = 2np

g(x, y) Dom(f) = {(x, y) | g(x, y) ≥ 0}

f(x, y) = 2n+1p

g(x, y) Dom(f) = R2

f(x, y) = log(g(x, y)) Dom(f) = {(x, y) | g(x, y) > 0}

f(x, y) = sin(g(x, y)) Dom(f) = Dom(g)

f(x, y) = eg(x,y) Dom(f) = R2

B f(A) = {z ∈ B | z = f(x, y), (x, y) ∈ A} es laimatge de f .

Exercici Proposat 1. Determina el domini iimatge de la funcio f(x, y) = x2 + y2.



Nota 2. Sovint quan tractem amb funcions de duesvariables s’utilitza la notacio,

z = f(x, y)↗var. dependent

↖↖var. independents

i la seva representacio grafica es una superfıcie.

ex. Per representar la funcio f(x, y) = x2 + y2

sovint s’utilitza la notacio z = x2 + y2. La sevarepresentacio grafica sera:

-2-2 -1-10

00

z

0,5

1

1,5

2

11 22X

Y

Z



Corbes de nivell.

Usualment no es facil dibuixar la grafica d’una funcio de

dues variables. Una manera de coneixer millor la

superfıcie es tallar-la amb plans del tipus z = C.

Definicio 3. S’anomena corba de nivell de la funcio f

en z = C al conjunt dels punts del pla XY que verifiquen

l’equacio

f(x, y) = C

ex. Determinem la corba de nivell de la funcio

f(x, y) = x2 + y2 en z = 3.

La corba de nivell de x2 + y2 en z = 3 sera la corba

donada per l’equacio x2 + y2 = 3. Es a dir una

circumferencia de radi√

3.

La representacio grafica corrobora el resultat obtingut i

mostra moltes altres corbes de nivell:

-2

-2-1

-1

0

00

1

1

1

2

z2

3

2

4

XY

pla z=3

Nota 3. Dibuixant les diferents corbes de nivell en el pla

XY obtenim un pla topografic de la superfıcie z = f(x, y).



ex. Trobem les corbes de nivell en C = −1, 0, 1 de lafuncio f(x, y) = x2 − y2.

. Si C = 0 la corba ve donada per

x2 − y2 = 0 =⇒ y = ±x.

. Si C = 1 la corba es x2 − y2 = 1 =⇒ y = ±√x2 − 1.

. Si C = −1 la corba es x2 − y2 = −1 =⇒ y = ±√x2 + 1.

Dibuixem el mapa topografic de la superfıcie:

2

0

1

-1

21-2 -1

-2

0

X

Y

Exercici Proposat 2. A partir de les corbes de nivell

obtingues dibuixa la superfıcie f(x, y) = x2 − y2.



L’espai Rn.

Fins ara hem treballat amb funcions de duesvariables, es a dir, funcions que el seu domini es un

subconjunt de R2. En general, podem definirfuncions de n variables, es a dir, funcions que el seudomini es un subconjunt de Rn. Per aixo necessitem

coneixer millor l’espai Rn

La geometria euclidea de l’espai Rn.

Definicio 4. Es defineix el conjunt Rn com

Rn := {x := (x1, x2, ..., xn) | xi ∈ R}.

Els elements de Rn es denominen vectors.

Propietat 1. Rn amb les operacions de suma imultiplicacio per un escalar definides com:

i) (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

ii) λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, ..., λxn) ∀λ ∈ R

es un espai vectorial.



Per a dotar l’espai Rn d’una estructura geometricacal introduir els concepte de producte escalar, norma

i distancia.

Definicio 5. Un producte escalar en Rn es unafuncio (que notarem < ·, · >) de Rn × Rn en R que acada parella de vectors x,y els hi associa el numeroreal < x,y >, es a dir,

< ·, · >: Rn × Rn −→ R

x , y −→ < x,y >

i que a mes satisfa les seguents propietats:

• < x,x >> 0 si x 6= 0

• < x,y >=< y,x >

• < λx,y >= λ < x,y > ∀λ ∈ R• < x + y, z >=< x, z > + < y, z >

Exercici Proposat 3. Comproveu que l’expressio

< x,y >:=n∑

i=1

xiyi

defineix un producte escalar en Rn.



Definicio 6. Una norma en Rn es una funcio (quenotarem ‖ · ‖) de Rn en R que a cada vector x l’hiassocia el numero real positiu ‖x‖, es a dir,

‖ · ‖ : Rn −→ R

x −→ ‖x‖


•• ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

• ‖λx‖ = |λ|‖x‖ ∀λ ∈ R• ‖x + y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ (Desigualtat triangular)

Propietat 2. Es pot comprovar que l’expressio

‖x‖ :=√

< x,x >

defineix una norma en Rn.



Definicio 7. Una distancia en Rn es una funcio(que notarem d(·, ·)) de Rn × Rn en R que a cadaparella de vectors x,y els hi associa el numero realpositiu d(x,y), es a dir,

d(·, ·) : Rn × Rn −→ R+

x , y −→ d(x,y)


•• d(x,y) = 0 ⇔ x = y

• d(x,y) = d(y,x)

• d(x,y) 6 d(x, z) + d(z,y) (Desigualtat triangular)

Exercici Proposat 4. Comproveu que l’expressio

d(x,y) := ‖x− y‖

defineix una distancia en Rn.

Definicio 8. Al parell (Rn, d) se’l denomina espaimetric.



Un cop dotat l’espai Rn d’una estructura geometricanomes queda introduir uns conceptes basics (entorns,funcions escalars i funcions vectorials) necessaris per

despres endinsar-nos ja en el calcul de lımits defuncions de varies variables.

Entorns.

Definicio 9. Sigui (Rn, d) un espai metric, aleshoresdonat x ∈ Rn i ε > 0 es defineix la bola oberta decentre x i radi ε com el conjunt,

B(x, ε) := {y ∈ Rn | d(x,y) < ε}

i es defineix la bola tancada de centre x i radi ε comel conjunt,

B(x, ε) := {y ∈ Rn | d(x,y) 6 ε}

Definicio 10. Un subconjunt V ⊂ Rn es un entorndel punt x si existeix un ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ V .

Definicio 11. La famılia de tots els entorns d’unpunt x es denota per εx



Definicio 12. Un punt x ∈ Rn es punt d’acumulaciod’un conjunt A ⊂ Rn si cada entorn del punt x tallaal conjunt A en algun punt diferent de x, es a dir,

si donat V ∈ εx existeix y ∈ V ∩A amb y 6= x.

ex. Donat A = { 1n | n ∈ N} ⊂ R vegem que el 0 ∈ R

es punt d’acumulacio del conjunt A.

Agafem un entorn qualsevol del 0, es a dir V ∈ ε0. Al ser V

un entorn del punt 0 existeix un ε > 0 tal que B(0, ε) ⊂ V . Al

estar treballant en R,

B(0, ε) = (−ε, ε).

Per tal que el 0 sigui punt d’acumulacio de A,

ha d’existir y ∈ (−ε, ε) ∩A amb y 6= 0.

Aixı doncs, si trobem un element de A (per tant del tipus 1n

amb n natural) tal que,

−ε <1

n< ε

ja estarem.

Multiplicant per n l’anterior desigualtat tenim:

−εn < 1 < εn

i aixo ho compliran tots els elements de A tals que n > 1ε.



Funcions escalars.

Definicio 13. Una funcio o camp escalar es unacorrespondencia entre un subconjunt de Rn i unsubconjunt de R

f : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rx −→ f(x)


Observacio 1. Si n = 1 podem representar lagrafica de la funcio en el pla XY obtenint una corba.

Observacio 2. Si n = 2 podem representar la graficade la funcio en l’espai XY Z obtenint una superfıcie.

Observacio 3. Si n > 3 no podem representar lagrafica.

ex. Per a especificar la temperatura T d’una regio del’espai A necessitem una funcio escalar del tipus,

T : A ⊂ R3 −→ R

(x, y, z) −→ T (x, y, z)



Funcions vectorials.

Definicio 14. Una funcio vectorial es unacorrespondencia entre un subconjunt de Rn i unsubconjunt de Rm

F : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rm

x −→ F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x))

tal que la imatge es unica i f1, f2, ..., fm son funcionsescalars.

ex. Suposem tenim un fluid movent-se en l’espai.Per a especificar la seva velocitat es necessita unafuncio vectorial del tipus,

v : R3 × R+ ⊂ R4 −→ R3

(x, y, z, t) −→ v(x, y, z, t)

on v(x, y, z, t) representa el vector velocitat del fluiden el punt (x, y, z) en el temps t.



1.3 Lımits de funcions.L’objectiu es coneixer el comportament de la funcio en un

entorn d’un cert punt sense importar el que fa la funcio en el

propi punt.

Lımits en funcions d’una variable.

Considerem per exemple la funcio f(x) =(x2−x+4)(5−x)

6

6

4

0

5

3

1

20 3-1 41

x

2

5

Si prenem punts propers a 2 per l’esquerra i per la dreta i

mirem les imatges:

x f(x)

1.99 2.995

1.999 2.9995

1.9999 2.99995

1.99999 2.999995

x f(x)

2.01 3.005

2.001 3.0005

2.0001 3.00005

2.00001 3.000005

Per tant, quan x → 2, f(x) → 3 i es denota per

limx→2

f(x) = 3



Considerem ara en canvi el punt x = 1 i la funcio

f(x) =

8><>:

−1 , x < 1

1 , x ≥ 1

1

0

0,5

4

-0,5

-1

0 2

x

1-1 3-2

Si prenem punts propers a 1 per l’esquerra i per la dreta i

mirem les imatges dels punts tenim que:

x f(x)

0.99 −1

0.999 −1

0.9999 −1

0.99999 −1

0.999999 −1

x f(x)

1.01 1

1.001 1

1.0001 1

1.00001 1

1.000001 1

En aquest cas en prendre x → 1, les imatges no tendeixen a un

unic valor, i per tant no existeix el lımit.



Definicio 15 (Lımit d’una funcio en punt). Si f : A ⊂ R→ Res una funcio real i a ∈ A, es diu que la funcio f te lımit

L ∈ R en el punt a, si ∀ε > 0 arbitrari, ∃δ > 0 de tal manera

que ∀x ∈ A, tal que 0 < |x− a| < δ, aleshores es compleix

|f(x)− L| < ε.

Es fa servir la notacio seguent:

limx→a

f(x) = L.

Donat ε > 0 ∃δ > 0

L-ε

L+ε

L

a

-1

0

1

2

3

4

-1 1 2 3 4

L-ε

L+ε

L

a-δ a+δ

a

-1

0

1

2

3

4

-1 1 2 3 4

si |x− a| < δ → |f(x)− L| < ε

L-ε

L+ε

L

a-δ a+δ

a

-1

0

1

2

3

4

-1 1 2 3 4



Lımits de funcions vectorials.Definicio 16 (Lımit d’una funcio vectorial en punt). Si

F : A ⊂ Rn → Rm es una funcio real i a es punt d’acumulacio

de A, es diu que la funcio F te lımit L ∈ Rm en el punt a,

si ∀ε > 0 arbitrari, ∃δ > 0 de tal manera que ∀x ∈ A, tal que

x ∈ B(a, δ), aleshores es compleix F(x) ∈ B(L, ε).

Es fa servir la notacio seguent:

limx→a

F(x) = L.

Exercici Proposat 5. Dibuixa la funcio z=x2 + y2 i

representa graficament que ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si

x ∈ B(a, δ), aleshores F(x) ∈ B(L, ε) prenent a = (1, 2) i

comprovant que L = 5.

Quan fem el lımit d’una funcio d’una variable considerem les

dues uniques direccions possibles per acostar-nos al punt. Si

ara considerem per exemple dues variables tenim infinites

maneres per acostar-nos a un punt:

Si el valor al que es tendeix no es el mateix per tots els camins

aleshores el lımit no existeix.



ex. Vegem visualment que la funcio

f(x, y) = 1 +3

1 + x2 + y2te lımit en el punt (0,0).

-4-2

y

02

4-2

-10x1

20

1

2z

3

4

ex. Vegem visualment que la funciof(x, y) =

xy

x2 + y2NO te lımit en el punt (0,0).

-4-2

y

02

4-2

-10t=x1

2

-0,4

-0,2

0z

0,2

0,4



ex. Comprovem analıticament que lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2

no existeix.

•• Si ens aproximem al punt (0, 0) sobre l’eix de lesX vol dir que y = 0 per tant tenim,

limx→0

x 0x2 + 02

= 0

• Si ens aproximem al punt (0, 0) sobre l’eix de lesY vol dir que x = 0 per tant tenim,

limy→0

0y

02 + y2= 0

• Si ens aproximem al punt (0, 0) al llarg de larecta y = x tenim,

limx→0

x2

2x2=

126= 0

Com que el valor no es el mateix per tots els caminspodem assegurar que el lımit no existeix.



Eines practiques pel calcul de lımits.

•• Canvi a coordenades polars. Al resoldrelımits que tendeixin a l’origen amb funcions dedues variables una bona opcio es fer el canvi acoordenades polars.

(x,y)

q

r

r cos(q)

r si

n(q)

Ens permet passar un lımit de dues variables(x, y) en un lımit d’una variable r.

Si el lımit NO depen de l’angle θ aquest existeix,altrament el lımit no existeix.

Observacio 4. Si es vol resoldre un lımit queno tendeixi a l’origen sempre es pot fer unatranslacio i despres fer el canvi a polars.



ex. Anem a resoldre lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2.

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2= lim

r→0

6 r2(cos2 θ − sin2 θ)6 r2

Per tant aquest lımit NO existeix al dependre del’angle θ.


3xy2

x2 + y2.

lim(x,y)→(0,0)

3xy2

x2 + y2= lim

r→0

3r 63 cos θ sin2 θ

6 r2= 0


(x− 1)(x + 1)(x− 1)2 + (y − 2)2

.

lim(x,y)→(1,2)

(x− 1)(x + 1)(x− 1)2 + (y − 2)2

= lim(ex,ey)→(0,0)

x(x + 2)x2 + y2

=

limr→0

r 62 cos2 θ + 2 6 r cos θ

r 62

Aquest lımit NO existeix ja que depenent de l’angletendeix cap a mes o menys infinit.



•• Infinitessims equivalents.

• Criteri de compressio.

Exercici No Presencialitat 1. 1). Troba ladefinicio formal d’infinitessims equivalents, comes poden utilitzar en el calcul de lımits i donaalmenys quatre exemples d’infinitessims.

2). Troba la definicio formal del criteri decompressio per a la resolucio de lımits ambfuncions de varies variables i posa dos exemples.

• Criteri de fitacio.

Definicio 17. Donada una funcio vectorialG(x) es diu que esta fitada en A si,

‖G(x)‖ 6 C ∀x ∈ A.

El criteri de fitacio diu que si G(x) esta fitadaen un entorn de a i lim

x→aF(x) = 0 aleshores,

limx→a

F(x)G(x) = 0.



Propietats dels lımits de funcions vectorials.

Proposicio 1. Sigui la funcio vectorial,

F : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rm

x −→ F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x))

i sigui a un punt d’acumulacio de A. Aleshores,

limx→a

F(x) = L := (l1, l2, ..., lm) ⇔ limx→a

fi(x) = li ∀i = 1, ..., m.

Dem:

⇒ Sabem que limx→a

F(x) = L, es a dir sabem que:

∀ε > 0 ∃δ > 0 t.q. si x ∈ B(a, δ) ⇒ F(x) ∈ B(L, ε).

Volem veure que limx→a

fi(x) = li ∀i = 1, ..., m, es a dir

que:

∀ε > 0 ∃δ > 0 t.q. si |xi−ai| < δ ⇒ |fi(x)−li| < ε ∀i.

Donat ε > 0 sabem que

∃δ > 0 t.q. si x ∈ B(a, δ) ⇒ F(x) ∈ B(L, ε). Per

altra banda tenim que:

|xi − ai| 6 ‖x− a‖ < δ

|fi(x)− li| 6 ‖F(x)− L‖ < ε

que demostra el que volıem.

Exercici Proposat 6. Demostra l’altre implicacio.



Proposicio 2 (Algebra de lımits). Siguin F i Gdues funcions vectorials de A ⊂ Rn en Rm i sigui a

un punt d’acumulacio de A. Suposem que

limx→a

F(x) = L1 limx→a

G(x) = L2

Aleshores es te:

i) limx→a

F(x) + G(x) = L1 + L2.

ii) limx→a

λF(x) = λL1 ∀λ ∈ R.

iii) limx→a

< F(x),G(x) >=< L1,L2 > .

iv) limx→a

‖F(x)‖ = ‖L1‖.



1.4 Continuıtat funcions varies variables.

Definicio 18. Una funcio vectorialF : A ⊂ Rn → Rm es contınua en un punt a ∈ A si:

i) F(a) esta definit.

ii) limx→a

F(x) existeix.

iii) limx→a

F(x) = F(a).

Una funcio que no es contınua en a es diu que te unadiscontinuıtat en aquell punt.

Definicio 19. Es diu que F : A ⊂ Rn → Rm escontınua en A si ho es en tot punt a ∈ A.

Definicio 20. El major subconjunt B ⊂ A en el qualF es contınua s’anomena camp de continuıtat de lafuncio F i es denota F ∈ C0(B).

Proposicio 3 (Algebra de funcions contınues).Siguin F,G : A ⊂ Rn → Rm funcions contınues ena ∈ A. Aleshores,

i) αF + βG es contınua en a ∀α, β ∈ R.

ii) F ·G es contınua en a.

iii) Si m = 1 i G(a) 6= 0 la funcioF(x)G(x)

es contınuaen a.



1.5 Diferenciabilitat funcions varies variables.Recordatori amb funcions d’una variable.

La derivada d’una funcio donada f(x) en un punt x0 es el

pendent de la recta tangent.

x0–0.5

0.5

1

1.5

–1 1 2 3

Com que la recta tangent passa pel punt (x0, f(x0)), es

de la forma

y = m(x− x0) + f(x0)

Si coneguessim un altre punt (x1, y1) sobre la recta

tangent:

y1 = m(x1 − x0) + f(x0)

m =y1 − f(x0)

x1 − x0

Dx

Dy

y1

x1

f(x0)

x0–0.5

0.5

1

1.5

–1 1 2 3



El problema es que no coneixem la recta tangent i per

tant no coneixem (x1, y1).

ALTERNATIVA:

I Podem considerar un punt proper, x0 + h, i calcular

la recta secant que passa per aquests dos punts.

Com que la recta secant ha de passar pel punt

(x0, f(x0)), es de la forma

y = mh(x− x0) + f(x0)

Imposem que passi per

(x0 + h, f(x0 + h))

f(x0+h) = mh(x0+h−x0)+f(x0)

x0+hx0

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–1 1 2 3 4

I El pendent d’aquesta recta secant es

mh =f(x0 + h)− f(x0)

h



I Si fem cada cop la h mes petita, la recta secantaproxima millor la recta tangent, i per tant, elpendent de la recta secant aproxima millor elpendent de la recta tangent.

x0+hx0–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

I En el lımit, es a dir, quan h → 0, trobarem elpendent de la recta tangent a la funcio en elpunt x0. Es a dir, si y = mx + n es la rectatangent a f(x) en el punt , aleshores

m = limh→0

mh = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)h



Definicio 21. Es diu que la funcio f : A ⊂ R→ Res derivable en a si existeix el lımit

limh→0

f(a + h)− f(a)h

.

Aquest lımit s’anomena derivada de f en el punt a, i

es representa per f ′(a), o Df(a), o bedf

dx(a).

Definicio equivalent:

Definicio 22. Es diu que la funcio f es derivable ena si existeix el lımit

limx→a

f(x)− f(a)x− a

.

Aquesta definicio es equivalent a l’anterior siconsidereu el canvi de variable

h = x− a



Definicio 23. S’anomena derivada lateral per la dreta

de la funcio f en a el lımit

f ′+(a) = limh→0+

f(a + h)− f(a)

h.

Definicio 24. S’anomena derivada lateral per

l’esquerra de la funcio f en a el lımit

f ′−(a) = limh→0−

f(a + h)− f(a)

h.

Propietat 3. Una funcio f es derivable en a si i nomes

si existeixen les dues derivades laterals i coincideixen.

Exemple funcio no derivable en el 0

10

6

-2

8

4

x

2-2 1

0

2

-1 0

Dues tangents en un mateix punt

tangent per la dreta

tangent per l'esquerra



Derivades direccionals en funcions vectorials.

Definicio 25. Sigui F : A ⊂ Rn → Rm, i a ∈ A. Esdefineix la derivada direccional de F en el punt a ien la direccio u (amb u ∈ Rn, ‖u‖ = 1) com

DuF(a) := limh→0

F(a + hu)− F(a)h

.

-2-1

01

2

x

-2

-1

0

1

2

y0

2

4

6

8

z

au

Especial interes tenen les derivades direccionals enles direccions donades pels eixos. Es a dir, en les

direccions donades pels vectors del tipus

ei = (0, ...0, 1︸︷︷︸i

, 0, ...0)



Definicio 26. Les derivades direccionals en lesdireccions donades pels vectors de la base canonica{ei} s’anomenen derivades parcials i se les denotaper

DeiF(a) := DiF(a) :=∂F∂xi

(a).

Utilitzant la definicio de derivada direccional trobemque les derivades parcials venen donades per

DeiF(a)= limh→0

F(a + hei)− F(a)

h=

= limh→0

F(a1, ..., ai + h, ..., an)− F(a1, ..., ai, ..., an)

h

Aixo indica que per a calcular la derivada parciali-essima considerem la derivada respecte la variable

xi i considerem la resta de variables com a constants.

ex. Donada f(x, y) = 5x− x2y2 + 3xy3 tenim

∂f

∂x= 5− 2xy2 + 3y3

∂f

∂y= −2x2y + 9xy2



Exercici Proposat 7. Calcula les derivades parcialsde la funcio f(x, y) = xex2y + xcos(xy) + ln(y) idespres avalua-les en el punt a = (1, 1/2).

Derivades parcials d’ordre superior.Analogament a les funcions d’una variable, es possible

trobar derivades parcials d’ordre dos, tres i superior

suposant que tals derivades existeixin. Per exemple,

donada una funcio de dues variables f(x, y) hi ha quatre

derivades parcials d’ordre dos

∂

∂x

„∂f

∂x

«=

∂2f

∂x2

∂

∂y

„∂f

∂y

«=

∂2f

∂y2

∂

∂y

„∂f

∂x

«=

∂2f

∂y∂x

∂

∂x

„∂f

∂y

«=

∂2f

∂x∂y

ex. Donada f(x, y) = 5x− x2y2 + 3xy3 tenim

∂2f

∂x2= −2y2 ∂2f

∂y∂x= −4xy + 9y2

∂2f

∂y2= −2x2 + 18xy

∂2f

∂x∂y= −4xy + 9y2



En l’exemple anterior s’observa que les duesderivades parcials creuades son iguals. Aixo succeeixfrequentment tal i com s’indica en el teorema seguent

que enunciem sense demostracio.

Teorema 1. Si f es una funcio definida en unentorn de a ∈ Rn, on te derivades parcials de segonordre contınues, es compleix

∂2f

∂xj∂xi(a) =

∂2f

∂xi∂xj(a).

Diferencial total. Funcio diferenciable.

En aquesta seccio comencem veient que les derivadesdireccionals (pel cas de funcions de varies variables)no son una extensio satisfactoria de la derivada de

funcions d’una variable.

Proposicio 4 (Funcions d’una variable). Sif : A ⊂ R→ R es derivable en a, aleshores f escontınua en a.

! Pero a l’exemple seguent veurem que una funciode varies variables pot tenir derivades direccionals en

totes les direccions pero no ser contınua.



ex. Sigui la funcio

f(x, y) =

8><>:

xy2

x2 + y4si x 6= 0

0 si x = 0

Vegem que a l’origen existeixen totes les derivades

direccionals.

Donat u (amb u = (u1, u2) ∈ R2, ‖u‖ = 1) tenim,

Duf(0, 0) = limh→0

f((0,0)+hu)−f(0,0)h

= limh→0

(hu1)(h2u22)

h2u21+h4u4

2h

=

= limh→0

6h3u1u22

6h3(u21+h2u4

2)=

8><>:

u22

u1si u1 6= 0

0 si u1 = 0

Aixı hem vist que Duf(0, 0) existeix ∀u ∈ R2, u 6= 0. Pero

ara veurem que f no es contınua a l’origen.

Recordem que per tal que f sigui contınua a l’origen cal que:

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = f(0, 0).

Sabem que f(0, 0) = 0, ara be,

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lim(y2,y)→(0,0)

y4

y4 + y4=

1

26= 0.

Per tant la funcio no es contınua a l’origen.

Les derivades direccionals no son, doncs, una extensio

satisfactoria de la derivada de funcions d’una variable al cas

de varies variables. Anem a donar una generalitzacio de la

derivada que impliqui la continuıtat.



Definicio 27 (Funcio diferenciable). SiguiF : A ⊂ Rn → Rm i un punt a ∈ A. Es diu que F esdiferenciable en a si existeix una aplicacio lineal T

de Rn en Rm tal que

limh→0

‖F(a + h)− F(a)− T (h)‖‖h‖ = 0 (1)

Si l’aplicacio lineal T complint (1) existeix, aleshoreses unica i es denota per DF(a) i a la matriu que ladefineix respecte les bases canoniques de Rn i Rm

l’anomenarem matriu jacobiana de la funcio F en elpunt a i la notarem per F′(a).

Proposicio 5. Direm que F : A ⊂ Rn → Rm esdiferenciable en B ⊂ A quan ho sigui en tot b ∈ B.

Proposicio 6. Sigui F : A ⊂ Rn → Rm diferenciableen a ∈ A. Aleshores existeixen totes les derivadesdireccionals de F en a i a mes per a tot u (ambu ∈ Rn, ‖u‖ = 1) es te

DF(a)(u) = DuF(a)

Exercici No Presencialitat 2. Demostra aquestaultima proposicio. (Ajuda: Utilitza la definicio de funcio

diferenciable i pren h = tu.)



ex (Exemple matriu jacobiana). Prenem la funcioF(x, y) = (x, x2 + y2 + 1, x3 + y2 + y + 2) que ensdiuen que es diferencibale en (x0, y0) ∈ R2. Aleshoresper a trobar la seva matriu jacobiana al (x0, y0)nomes cal calcular:

DF(x0, y0)(e1) = De1F(x0, y0) =∂F

∂x(x0, y0) =

= (1, 2x, 3x2)|(x0,y0) = (1, 2x0, 3x20)

DF(x0, y0)(e2) = De2F(x0, y0) =∂F

∂y(x0, y0) =

= (0, 2y, 2y + 1)|(x0,y0) = (0, 2y0, 2y0 + 1)

ja que la matriu jacobiana sera doncs,

DF(x0, y0)(e1) DF(x0, y0)(e2)

↘ ↙

F′(x0, y0) =

1 0

2x0 2y0

3x20 2y0 + 1

.



Proposicio 7. Si F : A ⊂ Rn → Rm es diferenciableen a ∈ A, aleshores F es contınua en a.

! Diferenciable ⇒ Contınua

! Existencia derivades direccionals 6⇒ Contınua

! Existencia derivades direccionals 6⇒ Diferenciable

! Existencia derivades parcials 6⇒ Diferenciable

Vegem un exemple d’una funcio amb derivadesparcials pero que no es diferenciable.



ex (Funcio no diferenciable amb derivades parcials).Sigui la funcio

f(x, y) =

1 si x > 0 i y > 0

0 altrament

Veurem que les derivades parcials a l’origenexisteixen pero que f no es diferenciable en aquestpunt.

De1f(0, 0) =∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(0 + he1)− f(0)h

= 0

De2f(0, 0) =∂f

∂y(0, 0) = lim

h→0

f(0 + he2)− f(0)h

= 0

Ara be,

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) =

sobre la recta y=x

en el 1r quadrant

= 1

Pero f(0, 0) = 0. Aixı, doncs, f no es contınua al’origen i per tant no es diferenciable.



Proposicio 8 (Condicio suficient dediferenciabilitat). Si F : A ⊂ Rn → Rm es tal que lesseves derivades parcials son funcions contınues en unentorn del punt a aleshores F es diferenciable enaquest punt, a.

Vegem un exemple d’aplicacio.

ex. Vegem que f(x, y) = x2y + xy3 es diferenciableper a tot (x, y) ∈ R2.

Calculem les derivades parcials,

∂f

∂x(x, y) = 2xy + y3 ∂f

∂y(x, y) = x2 + 3xy2

Les derivades parcials son funcions polinomiques enx, y i per tant funcions contınues. Aixı, com lesderivades parcials son contınues en (x, y) aleshores f

es diferenciable en (x, y).

! Derivades parcials contınues ⇒ Diferenciable

! Derivades parcials no contınues 6⇒ No Diferenc.



Proposicio 9. Sigui la funcio vectorial

F : A ⊂ Rn −→ B ⊂ Rm

x −→ F(x) = (f1(x), f2(x), ..., fm(x))

i a ∈ A. Aleshores, F es diferenciable en a si i nomes si cada

fi(x) es diferenciable en a. A mes, la matriu jacobiana F′(a)

es una matriu que la seva fila i-essima es la matriu jacobiana

f ′i(a), es a dir,

F′(a) =

0BBB@

f ′1(a)

..

.

f ′m(a)

1CCCA =

0BBB@

D1f1(x, y, z) · · · Dnf1(x, y, z)

..

....

D1fm(x, y, z) · · · Dnfm(x, y, z)

1CCCA .

ex. Sigui la funcio vectorial

F : A ⊂ R3 −→ B ⊂ R2

(x, y, z) −→ F(x, y, z) = (sin(xy + z), exp(x + y))

i volem estudiar la seva diferenciabilitat en el punt (0, 0, 0).

Per la proposicio anterior sabem que F es diferenciable en

(0, 0, 0) si i nomes si ho son les seves dues components,

f1(x, y, z) = sin(xy + z), f2(x, y, z) = exp(x + y).

La funcio f1(x, y, z) es diferenciable en tot punt (x, y, z) ja

que les seves derivades parcials,

D1f1(x, y, z) = y cos(xy + z)

D2f1(x, y, z) = x cos(xy + z)

D3f1(x, y, z) = cos(xy + z),

existeixen per a cada (x, y, z) i son contınues (condicio

suficient de diferenciabilitat).



cont ex. La funcio f2(x, y, z) es diferenciable en tot punt

(x, y, z) ja que les seves derivades parcials,

D1f2(x, y, z) = exp(x + y)

D2f2(x, y, z) = exp(x + y)

D3f2(x, y, z) = 0,

existeixen per a cada (x, y, z) i son contınues (condicio

suficient de diferenciabilitat).

Aixı, la matriu jacobiana F′(a) sera,

F′(x, y, z) =

0@ f ′1(x, y, z)

f ′2(x, y, z)

1A =

=

0@ y cos(xy + z) x cos(xy + z) cos(xy + z)

exp(x + y) exp(x + y) 0

1A .

Particularitzant en el punt (0, 0, 0) tenim:

F′(0, 0, 0) =

0@ 0 0 1

1 1 0

1A .

Definicio 28. Sigui f : A ⊂ Rn −→ R i sigui a ∈ A un punt

en el que existeixin les derivades parcials. Es denomina

gradient de f en el punt a, i es designa per ∇f(a), al vector

∇f(a) = (D1f(a), ..., Dnf(a)).



Proposicio 10. Sigui F : A ⊂ Rn −→ Rm diferenciable

en a ∈ A i sigui u = (u1, ..., un) (amb u ∈ Rn, ‖u‖ = 1),

aleshores es te:

DuF(a) =

nXi=1

uiDiF(a) = F′(a)(u)

A mes, si m = 1 (es a dir la funcio es f : A ⊂ Rn −→ R)

es te Duf(a) =< ∇f(a),u >.

Dem:

DuF(a) = DF(a)(u) = DF(a)(

nXi=1

uiei)

=

nXi=1

uiDF(a)(ei) =

nXi=1

uiDiF(a) = F′(a)(u)

Si m = 1, es a dir la funcio es f : A ⊂ Rn −→ R,

Duf(a) =

nXi=1

uiDif(a) =

= (D1f(a), ..., Dnf(a)) ·

0BBB@

u1

...

un

1CCCA =< ∇f(a),u > .



ex. Anem a trobar la derivada direccional de

f(x, y, z) = x2 − y2 + xyz2 − zx

en el punt (1,2,3) segons la direccio donada pelvector (1,-1,0).

La funcio f es diferenciable en R3 ja que es unpolinomi. Per tant, la derivada direccional de f enun punt a ∈ R3 sera,

Duf(a) =< ∇f(a),u > .

Tenim:

∇f(a) = (2x + yz2 − z, 2y + xz2, 2xyz − x).

Un vector unitari en la direccio del (1,−1, 0) esu = 1√

2(1,−1, 0), aixı doncs, la derivada direccional

demanada sera

< ∇f(1, 2, 3), (1√2,− 1√

2, 0) >= 2

√2.



Proposicio 11 (Propietat del gradient de direcciooptima). Sigui f : A ⊂ Rn −→ R diferenciable ena ∈ A. Si ∇f(a) 6= 0 aleshores,

i) La derivada direccional Duf(a) sera maximaquan u te la direccio del gradient (∇f(a)) iaquest valor maxim sera ‖∇f(a)‖.

ii) La derivada direccional Duf(a) sera mınimaquan u te la direccio i sentit contrari al gradient(−∇f(a)) i aquest valor mınim sera −‖∇f(a)‖.

Dem: Si u es un vector unitari qualsevol, aleshores

Duf(a) =< ∇f(a),u >= ‖∇f(a)‖ ‖u‖︸︷︷︸1

cos(θ).

Observant l’anterior igualtat veiem que cos(θ)prendra el seu valor maxim quan θ = 0, es a dir,quan u te la mateixa direccio i sentit que ∇f(a).A mes, aquest valor maxim sera,

Duf(a) = ‖∇f(a)‖.



ex. Interpretacio de la propietat del gradient dedireccio optima.

0,20,1

0 y-0,1

-0,2

-40

-0,1

-20

0 0,1 -0,2

0

0,2 0,3x

20

40

y

0,1

0,2

0

-0,2

-0,1

0-0,1 0,2 0,3

x

0,1



ex. La temperatura, en graus Celsius, sobre lasuperfıcie d’una placa metalica ve donada per

T (x, y) = 20− 4x2 − y2

on x i y es medeixen en centımetres. Des del punt(2,−3), en quina direccio creix la temperatura mesrapidament? A quin ritme es produeix aquest canvi?

Sabem que la direccio de maxim creixement de lafuncio es la direccio donada pel gradient de la funcio,aixı doncs, calculem

∇T (x, y) = (−8x,−2y).

Concretament en el punt (2,−3) la direccio demaxim creixement es:

∇T (2,−3) = (−16, 6).

El ritme al qual es produeix aquest canvi, es a dir, elpendent de la recta tangent en aquesta direccio es:

‖∇T (2,−3)‖ =√

162 + 62 =√

292 per centımetre.



cont ex. En aquesta figura veiem les corbes de nivellde la funcio temperatura i la direccio de mes rapidcreixement de la temperatura en (2,−3).

y

2

-2

3

1

x-1

0

1-1-3

-3

2-2 30



Proposicio 12 (La regla de la cadena per a funcionsd’una variable real). Si tenim f i g, tals que

g ◦ f : A ⊂ Rf

−→ B ⊂ Rg

−→ R

a 7−→ f(a) 7−→ g(f(a))

on f es derivable en a i g en f(a), aleshores lafuncio (g ◦ f) es derivable en a i compleix

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a)

ex. Sigui f(x) = sin(x) i g(x) = x2. Les dues sonfuncions derivables a tot R. Les seves derivades son,

f ′(x) = cos x, g′(x) = 2x.

Aleshores, la funcio (g ◦ f) = (sin(x))2 es derivableen tot R i compleix

(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a) = 2 sin(a) cos(a)



Proposicio 13 (La regla de la cadena). Si tenim Fi G, tals que

G ◦ F : A ⊂ Rn

F

−→ B ⊂ Rm

G

−→ Rk

a 7−→ F(a) 7−→ G(F(a))

on F es diferenciable en a i G en F(a), aleshores lafuncio (G ◦ F) es diferenciable en a i compleix

(G ◦ F)′(a) = G′(F(a)) · F′(a)

ex. Siguin les funcions f(x, y) = (x2 + 1, y2) ig(x, y) = (x + y, x, y2). Anem a calcular (g ◦ f)′ en elpunt (1, 1).

Primer comprovem que f es diferenciable ja que lesseves derivades parcials son funcions contınues(condicio suficient de diferenciabilitat). Enparticular es diferenciable en el punt (1, 1).

Analogament es dedueix que g es diferenciable a totR2. En particular es diferenciable en el puntf(1, 1) = (2, 1).



Les matrius jacobianes respectives son,

f ′(x, y) =

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

=

2x 0

0 2y

g′(x, y) =

1 1

1 0

0 2y

per tant

(g ◦ f)′(1, 1) =

1 1

1 0

0 2y

f(1,1)

2x 0

0 2y

(1,1)

=

=

1 1

1 0

0 2

2 0

0 2

=

2 2

2 0

0 4

.



Pla tangent

L’objectiu d’aquesta seccio es determinar l’equaciodel pla tangent a una superfıcie en un punt donat.

Anem a fer el raonament pensant en el cas en quef : R2 → R.

Una equacio d’un pla es pot construir a partir d’unpunt del pla i un vector normal al pla.

Un punt del pla tangent es el punt de tangencia(a, b, f(a, b)).

Per a trobar un vector normal, trobarem dos vectorsque estiguin al pla i farem el producte vectorial

d’aquests dos vectors per obtenir un vector ortogonala ells (i per tant ortogonal al pla).



Recordeu que les derivades parcials de f ens donavenels pendents de dues rectes tangents en les direccions

dels eixos.

-2

2-1

-4

0

1

4

0

z

y

8

0x

1-1

-22

-2

2-1

-4

0

1

4

0

z

y

8

0x

1-1

-22

-2

2-1

-4

0

1

4

0

z

y

8

0x

1-1

-22

La recta tangent en la direccio de l’eix X te perpendent ∂f

∂x (a, b). Aixı doncs, un vector tangent aaquesta corba es (1, 0, ∂f

∂x (a, b)).

Analogament, la recta tangent en la direccio de l’eixY te per pendent ∂f

∂y (a, b). Aixı doncs, un vector

tangent a aquesta corba es (0, 1, ∂f∂y (a, b)).



Hem trobat dos vectors en el pla tangent:

(1, 0,∂f

∂x(a, b)) i (0, 1,

∂f

∂y(a, b)).

Un vector normal al pla ve donat pel productevectorial d’aquests vectors:

(1, 0,∂f

∂x(a, b))×(0, 1,

∂f

∂y(a, b)) = (

∂f

∂x(a, b),

∂f

∂y(a, b),−1).

Aixı, doncs, l’equacio del pla tangent es trobaimposant que qualsevol vector del pla

(x− a, y − b, z − f(a, b)) es ortogonal al vectornormal al pla:

∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)− (z − f(a, b)) = 0.

L’equacio del pla tambe es pot reescriure com,

z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b).



ex. Anem a determinar l’equacio del pla tangent a lasuperfıcie f(x, y) = 6− x2 − y2 en el punt (1, 2, 1).

Primer de tot calculem les derivades parcials en elpunt que ens interessa,

∂f

∂x(1, 2) = −2,

∂f

∂y(1, 2) = −4.

Dos vectors tangents a la superfıcie en el punt queens interessa seran (1, 0,−2) i (0, 1,−4). Per tantun vector normal al pla vindra donat pel productevectorial d’aquests dos:

(0, 1,−4)× (1, 0,−2) = (−2,−4,−1).

L’equacio del pla tangent surt imposant que qualsevolvector del pla, (x− 1, y − 2, z − 1), ha de serortogonal al vector normal al pla:

−2(x− 1)− 4(y − 2)− 1(z − 1) = 0.

Aquesta equacio es pot escriure com:

z = 1− 2(x− 1)− 4(y − 2).



Aproximacio lineal.

El pla tangent esta proxim a la superfıcie prop delpunt de tangencia. Valors de z en el pla tangent son

semblants als valors corresponents de z en lasuperfıcie per a punts propers al punt de tangencia.

Per altra banda, la forma simple del pla de tangenciael fa ideal per a aproximar el valor de funcions

complicades.

Definicio 29. Definim l’aproximacio lineal L(x, y)de f(x, y) en el punt (a, b) com la funcio que defineixels valors z en el pla tangent, es a dir,

L(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

︸︷︷︸Equacio pla tangent

.

ex. Anem a estimar l’espessor d’una lamina de metall

utilitzant una aproximacio lineal.

Les plantes de manufactura fan lamines de metall d’una

espessor desitjada introduint el metall a traves d’uns

rotllos. L’espessor resultant de la lamina depen de l’espai

entre els rotllos, de la rapidesa a la qual giren aquests i

de la temperatura del metall.



cont ex. Es sap que pel tipus de metall utilitzat un

espessor de 4mm s’obte amb un espai de 4mm entre els

rotllos, una rapidesa de 10m/s de gir d’aquests i una

temperatura de 900o.

Els experiments mostren que al incrementar la rapidesa

en 0.2m/s l’espessor s’incrementa en 0.06mm i que un

increment de 10o en la temperatura disminueix l’espessor

en 0.04mm.

Anem a utilitzar una aproximacio lineal per a estimar

l’espessor si s’utilitza una velocitat de 10.1m/s i una

temperatura de 880o.

L’espessor de la lamina, g, es una funcio de la rapidesa,

s, i la temperatura, t. Utilitzant les dades que tenim

sabem que:

∂g

∂s' 0.06

0.2= 0.3

∂g

∂t' −0.04

10= −0.0004.

L’aproximacio lineal de la funcio g(s, t) en el punt

(10, 900) es,

g(s, t) ' 4 + 0.3(s− 10)− 0.004(t− 900).

Amb s = 10.1 i t = 880 obtenim l’estimacio de l’espessor,

g(10.1, 880) ' 4 + 0.3(0.1)− 0.004(−20) = 4.11.



Aproximacio quadratica.

Hem vist que podem aproximar una funcio en unpunt pel pla tangent en aquell punt (aproximacio

lineal). Per a trobar una aproximacio millor es unabona idea aproximar la funcio per una aproximacio

quadratica.

-3-2-1

x

0 1 2 342

y

0-2-4

0

1

2

3

4

-3-2-1

x

0 1 2 342

y

0-2-4

0

1

2

3

4

Definicio 30. Definim la matriu hessiana

H =

24

∂2f∂x2

∂2f∂y∂x

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

35, el vector columna x =

24 x

y

35 i el

vector x0 =

24 x0

y0

35.

L’aproximacio quadratica de f(x, y) en el punt (x0, y0)

esta definida per

Q(x, y) = f(x0, y0) +∇f(x0, y0) · (x− x0)

+1

2(x− x0)

T H(x0, y0)(x− x0).



Exercici Proposat 8. Troba l’aproximacio lineal iquadratica de f(x, y) = 2x + ex2−y en el punt (0,0).Compara les aproximacions amb el valor real de lafuncio al punt (0.1,0.1).

Exercici Proposat 9. Troba l’aproximacio lineal iquadratica de f(x, y) = 25− x2 − y2 en el punt (3,1).Compara les aproximacions amb el valor real de lafuncio al punt (3.1,0.9).


Funcions reals de vµaries variables realsocw.upc.edu/.../1/53578/f_teoria_funcions-3783.pdf ·...

Documents

Transcript of Funcions reals de vµaries variables realsocw.upc.edu/.../1/53578/f_teoria_funcions-3783.pdf ·...