Análisis

Combinatorio

Demetrio Ccesa Rayme

Trabajo Practico Nº 5 Análisis Combinatorio

1) Con las letras de la palabra MESA, forme todas las palabras posibles con o sin sentido sin repetir letras, calculando previamente su número.

2) ¿ De cuántas maneras distintas pueden salir alineados al campo de juego, los jugadores titulares de un equipo de fútbol ?. De cuántas maneras distintas pueden hacerlo si el arquero debe ocupar siempre la primera posición ?.

3) Un grupo musical va a grabar un compact que contiene 7 temas ; ¿ De cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ? Si el compact requiere que dos temas en particular no se escuchen en forma consecutiva, ¿ de cuántas maneras puede elegir la secuencia de los temas ?

4) Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de Combinatoria y 2 de Algebra. ¿ De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva ?

6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?.

5) Un señor olvidó la combinación del candado que cierra su maletín y que consiste en cinco ruedas contiguas con los dígitos de 1 a 6 cada rueda. En el peor de los casos, ¿ cuántos intentos tendrá que hacer antes de poder abrirlo ?

7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. ¿ Cuántos números de tres cifras distintas pueden formarse ?. ¿ Cuántos son pares ?. ¿ Cuántos terminan en 32 ?. Cuántos son divisibles por 5 ?.

8) Con 22 consonantes y 5 vocales :a) ¿ Cuántas palabras distintas con o sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras) se pueden formar ? b) ¿ En cuántas de las palabras del ítem a) la letra central es una vocal ?c) ¿ Cuántas de las palabras del ítem a) se forman con 3 consonantes y 2 vocales ?

9) En un curso de 42 estudiantes de Lic. en Sistemas, se desea elegir 3 alumnos para formar una Comisión.

a ) De cuántas maneras se puede elegir si los representantes tienen iguales atribuciones ?.b) ¿ De cuántas maneras se puede elegir si los representante tienen diferentes atribuciones ?.

10) Se tienen 10 puntos a, b, c, . . . . , j ; pertenecientes a un plano , de los cuales no hay 3 alineados.a) ¿ Cuántas rectas determinan esos puntos ?b) ¿ Cuántas de esas rectas pasan por el punto a ?c) ¿ Cuántos triángulos determinan esos puntos ?d) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un vértice en a ?e) ¿ Cuántos de esos triángulos tienen un lado en ab ?

11) Entre 12 hombres y 8 mujeres debe elegirse una delegación de 5 personas. a) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación ? b) ¿ De cuántas maneras se puede formar si dos personas determinadas deben estar siempre la delegación?c) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber 3 hombres y 2 mujeres ?d) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y 1 mujer ?e) ¿ De cuántas maneras se puede formar si en la delegación no pueden estar juntas 2 personas enemistadas ?

f) ¿ De cuántas maneras se puede formar la delegación si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos o ninguno en la delegación ?

12) Todas las personas que asisten a una fiesta se estrechan la mano. Si se estrecharon la mano en 45 oportunidades ; ¿ cuántas personas asistieron a dicha reunión ?.

13) Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con las letras de las palabras : INDEPENDENCIA ; CATAMARCA ; MONOMIO. (usando todas las letras en cada caso)

14) Con los dígitos 2, 3 y 9 : ¿ Cuántos números mayores que 100 se forman ? ¿ Cuántos son pares ?

15) Determine n N si existe, tal que :

5

15

43)

nna

AAAnnnb 12

123

2

1)

CAnnc 3

12 67)

102

3

3

4) 2

23

2 AA

nnd 564) 21

22

2 CCC

nnne

16) Desarrolle las siguientes potencias aplicando Binomio de Newton :

5)3() xa43 )

1()

xxb

17) Hallar si existe :

a) el undécimo término de sin efectuar el desarrollo.

b) el ó los términos centrales de

c) el coeficiente de x32 en

d) el término de grado 7 en

e) el término que contiene a-35 en

152 )2( xx 9)23( yx

15

34 1

xx

732/1 )( xx 25

23 3

aa

18) En el desarrollo ordenado del binomio , los términos T10 y T15son equidistantes de los extremos. Hallar n.

nax )(

PermutacionesSi tres alumnos deben exponer en una clase especial, y desean analizar todas las posibilidades del orden de exposición que tienen . . . .

Es simple advertir que una alternativa es . . . . . Primero expone Pablo (que suele ser muy convincente)

Pablo

luego expone Matías, (que sabe mucho , pero no convence)

Matíasy por último Julio, (que es algo desordenado)

JulioUna alternativa diferente será si Julio toma

el lugar de Matías y éste el de Julio

Pablo MatíasJulio

Otra posibilidad es que Julio tome el lugar de Pablo y éste el de Julio Pablo MatíasJulio

4

1-2-3

1-2

3 4

Ahora si Pablo y Matías cambian sus posiciones,

tenemos otra alternativa

PabloMatíasJulio

Luego es Matías el que toma el primer turno

PabloMatías Julio

Y finalmente, puede haber nuevamente un intercambio entre el

segundo y el tercer expositor PabloMatías Julio

Todo lo expuesto podemos sintetizar en que para tres personas existen tres lugares (ordenes de exposición); así, si queremos saber cuántos son los órdenes

en que pueden exponer estas tres personas podemos buscar . . . . . .

la cantidad de funciones inyectivas posibles, entre el conjunto de personas y los lugares que pueden ocupar

Que se encuentra con la expresión Pn = n!

1-2

3 4

4

1-2-3

La función factorial n! se define:de N0 N

)()1()1(

1)1(

1)0(

)(

hfhhf

f

f

nf

es decir: n! es igual al producto de los n primeros números naturales

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) . . . . . . 3 2 1

Así, para hallar la cantidad de posibilidades de colocar tres elementos (alumnos) en tres ubicaciones diferentes (orden de exposición) resolvemos . . .

P3 = 3 ! = 3 2 1 = 6

1 2 3 4 5 6

Pablo Pablo Julio Julio Matías Matías

Matías Julio Pablo Matías Julio Pablo

Julio Matías Matías Pablo Pablo Julio

Los ordenamientos posibles son

1-2

3 4

4

1-2-3

1) Calculamos previamente el número de palabras con o sin sentido que se forman con las letras de la palabra MESA, sin repetir letras

Se trata de ordenar cuatro elementos (letras) en cuatro

posiciones diferentes

P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24

MESA EMSA SMEA AMES

MEAS EMAS SMAE AMSE

MAES ESMA SEMA AEMS

MASE ESAM SEAM AESM

MSEA EAMS SAME ASEM

MSAE EASM SAEM ASME2) Si son jugadores de un equipo de fútbol son once jugadores para once posiciones

P11 = 11! = 11 10 9 . . . . . . . 3 2 1 = 39.916.800si el arquero ocupa siempre

la primera posición

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

se pueden cambiar los lugares del 2 al 11 (entre 10 jugadores)

P10 = 10 ! = 10 9 8 . . . . . . . 3 2 1 = 3.628.800

1A

3) Se deben ordenar 7 temas para un compact

P7 = 7 ! = 7 6 5 . . . . . . . 3 2 1 = 5.040

si dos temas no se deben escuchar en forma consecutiva . . .

vamos a buscar el número de situaciones en que aparecen dos temas en particular (por ejemplo el 2 y el 3) juntos

Un ordenamiento será : 1 2 3 4 5 6 7 si 2 y 3 deben estar juntos

otro ordenamiento puede ser . . . 1 2 34 5 6 7

observando convenientemente advertimos que estamos ordenando 6 temas en 6 lugares (el 2 y 3 consideramos un solo tema) P6 = 6 ! = 720

Y debemos considerar también cuando 1 3 24 5 6 7

Aparece primero el 3 y luego el 2 (los temas aparecen juntos)

nuevamente . . . P6 = 6 ! = 720

entonces dos temas determinados no aparecen juntos en

P7 – 2 P6 = 7 ! – 2 6 ! = 5.040 – 2 720 = 3.600

el total de ordenamientos posibles es

4) Cada asignatura puede ocupar una posición, las posibilidades son

G A C

P3 = 3 ! = 6

Pero el orden de

los problemas de cada materia también pueden

cambiarse

G

1

2

3

1

3

2

2

1

3

2

3

1

3

1

2

3

2

1

C

A

G C A

A G C

A C G

C A G

C G

1

2

3

4

1

2

4

3

1

3

2

4

1

3

4

2

1

4

2

3

1

4

3

2

2

1

3

4

2

1

4

3

2

3

1

4

2

3

4

1

2

4

1

3

2

4

3

1

3

1

2

4

3

1

4

2

3

2

1

4

3

2

4

1

3

4

1

2

3

4

2

1

4

1

2

3

4

1

3

2

4

2

1

3

4

2

3

1

4

3

1

2

4

3

2

1

A1

2

2

1

entonces la cantidad total de posibles temas es :

P3 ( P3 P4 P2 ) = 3 ! ( 3! 4! 2! ) = 6 6 24 2 = 1.728

5) Supongamos que el maletín tenga una sola rueda de 6 dígitos

Las posibilidades serán que se abra con 1, 2, 3, 4, 5, ó 6

Lo que significa que en el peor de los casos se deberá hacer 6 intentos

Pero si el maletín tuviera 2 ruedas de 6 dígitos

le corresponden 6 dígitos de la segunda rueda

2

1

2

3

4

5

6

habrán entonces 6 nuevas alternativas por cada

dígito de la primera rueda

Las posibilidades con 2 ruedas son 6 x 6 = 36

Pero el maletín tiene 3 ruedas, entonces se agregan 6 alternativas más a cada una de las 36 posibilidades anteriores

Para tres ruedas son 6 x 6 x 6 = 216

Generalizando, podemos plantear que para n ruedas el número de intentos será : 6 n

a cada dígito de la primera rueda

En este caso, con n = 5 65 = 7.776

13456

Permutaciones CircularesSi debo ordenar cuatro amigos en fila sabemos que la cantidad de

alternativas está dada por la permutación de 4 elementos

P4 = 4! = 4 3 2 1 = 24 formas a b c d b c d a

c d a b d a b cEntre las que se encuentran

las siguientes . . .

y son formas diferentes

Pero, si los amigos estuvieran alrededor de un círculo en vez

de estar alineados . . .

dc

b

aa

d

c

bb

a

d

cc

b

a

d

Lo que antes eran 4 configuraciones diferentes,

ahora no se pueden diferenciarEn todos los casos a la izquierda de a está d y

a la derecha b . . .

Las cuatro ordenaciones deben ser consideradas

la misma ordenación

La permutación circular de m elementos se resuelve . . .

m

PP m

c,m )!m(P )m( 11

6) Cuatro amigos se reúnen a jugar al truco. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa ?.

Puede que Ud. esté pensando en la permutación de cuatro elementos . . . .

y esto sería correcto si los amigos juegan al truco en fila india

A B C D

Pero todos sabemos que al truco se juega en pareja y

alrededor de una mesaA

C

donde . . .

es lo mismo que . . .

D

A

A y C siguen siendo compañeros

B a la izquierda y D a la derecha de A

Se trata entonces de la permutación circular de 4

elementos

que se resuelve . . .

c,P4 612314 )!(

VARIACION ó ARREGLOSi queremos formar números de dos cifras con los dígitos 1, 2 y 3

Resulta que debemos tomar dos de los elementos (dígitos) y

formar un número de dos cifras

Por ejemplo, si tomamos los dígitos 1 y 2 formamos el 12

El mismo 12, con las cifras invertidas forma otro número de dos cifras 21

también 13 y 31 . . . . . . . finalmente 23 y 32

Esta operación viene dada por la expresión:)!nm(

!mAV m

nn,m

donde m = 3 y n = 2 61

6

23

332

)!(

!A

observe que con solo cambiar el orden de los dígitos, se considera un caso diferente; aunque no se haya cambiado alguno

de los dígitos

3 : cantidad total de elementos que disponemos

2 : cantidad de elementos que tomamos para formar cada arreglo

Se lee “arreglo de m elementos tomados de a n”

7

8-9-10

8 a

9

7

10

8 b

7) Si disponemos de los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5 para formar números de tres cifras

i) debemos resolver

!

!

)!(

!A

2

2345

35

55

3

Si los números de tres cifras buscados deben ser pares, la última cifra debe ser un número par parcifra

2cifra

1

Asignamos el lugar de la cifra par al 2

2cifra 2

cifra 1y quedan 2 lugares para cuatro dígitos posibles

12!2

!234

)!24(

!442

A

pero en vez del 2, el último dígito pudo ser el 4

4cifra 2

cifra 1

ii) Los números pares son: 241222 42 A

iii) Si los números deben terminar en 3223cifra

32

23

13

331

!

!

)!(

!A

iv) Si debe ser múltiplo de 5, debe terminar en 5

5cifra 2

cifra 1

122

234

24

442

!

!

)!(

!A

60

8 a) Con 22 consonantes y 5 vocales se pueden formar palabras con ó sin sentido de cinco letras (sin que se repitan letras)

Por ejemplo la palabra

L U C H A Si se cambia el orden de sus letras resulta otra

palabra distintaLUC H A

sin haber cambiado ninguna de sus letras (elementos)Debe aplicarse

VARIACIÓN O ARREGLO

Dispongo de 22 c + 5 v para formar las palabras, 27 elementos en total

m

nA

A =27

Para formar palabras de 5 letras (elementos)

5

)!(

!

527

27

)!nm(

!m

Esto se puede resolver directamente con calculadora ó simplificando previamente

!

!

22

27

!

!

22

2223242526279.687.600 palabras

8 b

8 b) Si deseo saber en cuántas palabras de 5 letras (que no se repiten) formadas por 22 consonantes y 5 vocales, la letra central es una vocal

Podemos pensar que la palabra será:

Si el lugar central debe ocupar una vocal (por

ejemplo la A)

A

Quedan 4 lugares para completar con 22 consonantes y 4 vocales (porque una vocal ya fue ubicada en el centro)

La operación que resuelve esto es:

A =26

4

)!(

!

426

26

!

!

22

26

!

!

22

2223242526 358.800 palabras

Pero, el lugar central puede ser ocupado por cinco vocales distintas

Entonces a 26

4A Lo multiplicamos por 5 porque la letra central puede ser

AEIOU

)!(

!A

426

2655 26

4

5 x 358.800 = 1.794.000 palabras

COMBINACIONSi tenemos una situación donde nos interesa saber las

alternativas posibles cuando es necesario que cambie un elemento al menos (no nos interesa el orden en que se

presenten los elementos)

Tenemos una combinación, que se resuelve con la expresión )!nm(!n

!mC m

n

Si tenemos Jamón, queso y lechuga y queremos saber cuántos tipos de sandwich podemos preparar usando dos de los alimentos mencionados

un sandwich hecho de jamón y queso será lo mismo que uno hecho de queso y jamón

Una vez elegidos dos alimentos cualesquiera, es necesario cambiar uno de ellos al menos para cambiar el sabor del sandwich

Este es un caso de combinación, que se resuelve:

)!(!

!C

232

332

!!

!

12

233

11-12

10 13

11 a

12 c

10

13

11 b-c

11 d-e 12 a-b

12 d 12 e

12 f

9) De 42 estudiantes; debo tomar 3; pero no hay diferencia de posiciones ni de “cargos” entre los tres, en la comisión son todos “iguales”

Es un caso de combinación)!(!

!C

3423

42423

!

!

39123

394041422014

11.480 formas

Que tienen iguales atribuciones significa

que todos pueden cumplir el mismo rolPero . . .

Juan prepara las diapositivas

María dá la charla de introducción

Pablo expone

Será diferente si . . .

María prepara las diapositivas

Pablo dá la charla de introducción

Juan expone;

Se aprecia que: aunque los elementos seleccionados (Juan, Pablo y María) sean los mismos, los equipos 1 y 2 serán diferentes, por el rol que desempeñan sus

integrantes. Ahora nos interesa el orden de los elementos

esto se resuelve con variación ó

arreglo

!

!

!

!

)!(

!A

39

39404142

39

42

342

42423

= 68.880 formas

Arreglo Combinación

10) Si tenemos 10 puntos en un plano de los cuales no hay 3 alineados

Sabemos que dos puntos cualesquiera determinan una recta

)!(!

!

2102

10

!!

!

82

89105

45

ac cf ch ce

bi df dj eh

Pero la recta ac es la misma que ca

la recta bi es la misma que ib

Es necesario que un elemento (punto) sea diferente para que se trate de una recta diferente

La cantidad de elementos que disponemospara formar rectas son 10 puntos

son necesarios 2 puntos para unirlos (sin importar el orden ) y así formar la recta

entonces . . .

por ejemplo

y así sucesivamente . . .

10

2C

11 b-c 11 d-e

10 b) Para saber cuántas de las 45 rectas pasan por el punto a, pensemos que disponemos de 10 puntos

b, c; d; . . . h; i; j En principio tengo 10 elementos para 2 lugares –recta- sin importar el orden

Si uno de los lugares ocupa el punto aaMe quedan ahora 9 elementos

para el lugar que resta

!

!

)!(!

!

81

89

191

911 c) tres puntos no alineados pueden formar un triángulo

Podemos distinguir entre otros, el

triángulo acf;

el triángulo cfi

; etc.

Entonces corresponderá tomar los 10 puntos de tres en tres

recordando que cfi

= fci

= icf

etc.

!

!

)!(!

!

76

78910

3103

103

2

5

120 triángulos

9

1C 9 rectas

10

3C

11 d-e

d) Para saber cuántos triángulos tienen vértice en a :

En principio tengo 10 elementos (puntos) para 3 lugares (vértices del triángulo)

Si el elemento a debe estar siempre ocupando un lugar

a

porque es un vértice de cualquiera de los triángulos que busco

Me quedan 9 elementos (puntos) para ubicar en las dos posiciones restantes que son 2 (vértices)

!!

!

)!(!

!

72

789

292

94

36 triángulos tienen vértice en a

e) Si los triángulos deben tener un lado (ab) común, significa que de los 10 puntos

dos puntos ya están ubicados

a b Me quedan entonces 8 elementos (puntos) para ocupar

un lugar (vértice)

!

!

)!(!

!

71

78

181

88 triángulos

9

2C

8

1C

11 a) Si hay 12 hombres y 8 mujeres para formar la delegación (tengo en total 20 personas) y debemos elegir 5 personas (sin distribuir cargos ni considerar el orden)

Las cantidad de delegaciones posibles estará dada por la combinación . . .

C

de 20 personas (total de elementos)

tomadas de a 5 (cantidad de miembros de cada delegación posible)

)!(!

!

5205

20

!!

!

155

20

!

!

1512345

1516171819203

15.504 maneras distintas

12 b) Si dos personas deben estar siempre en la misma delegación

de los 5 lugares que dispongo

dos ya están ocupados

supongamos . . .

persona aapersona b

b

La operación es la misma . . .

C

pero del total de 20 personas descuento 2 que ya están ubicadas porque deben estar siempre juntas

y me quedan 3 lugares para las 18 personas restantes

183

)!(!

!

3183

18

!

!

15123

151617183

816 formas si dos personas deben estar juntas

205

12 c 12 d 12 e 12 f

11 c) Si en la delegación deben haber tres hombres y dos mujeres

Primero busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con los 12 hombres disponibles tomados de a 3

123C

)!(!

!

3123

12

!

!

9123

91011122

220 delegaciones de tres hombres

Y busco la cantidad de delegaciones que se pueden formar con las 8

mujeres disponibles tomadas de a 2

82C

)!(!

!

282

8

!

!

612

6784

= 28 delegaciones de dos mujeres

Para hallar el total de delegaciones posibles de tres hombres y dos mujeres, planteamos los siguiente . . . .

para cada delegación de 3 hombres hay 28 delegaciones posibles de 2 mujeres

como tengo 220 delegaciones posibles de 3 hombres . . .

las delegaciones de al menos tres hombres y dos mujeres son . . .

8

2123 CC 220 28 = 6.160 formas de componer

la delegación solicitada

12 d 12 e 12 f

11 d) si en la delegación deben haber por lo menos 3 hombres y una mujer, analizamos las siguientes alternativas . . .

De los cinco lugares disponiblesh h

Tres están ocupados por hombresh

y quedan dos lugares para mujeres

m m

la cantidad de delegaciones posibles con esta configuración ya hemos visto en el

punto anterior8

2123 CC 220 28 = 6.160

Pero también puede suceder que . . . h h h m

De los cinco lugares disponibles

cuarto están ocupados por hombres

y solo uno por mujer

h

lo que resulta . . . 8

1124 CC

)!(!

!

)!(!

!

181

8

4124

12

!

!

!

!

71

78

81234

891011125

495 8 = 3.960No hay otra alternativa que

verifique la condición, porque si hay cinco hombres, no hay

mujeres; y si hay tres o mas mujeres, queda lugar para dos

hombres o menos

El resultado es la suma de las dos posibilidades analizadas

8

2123 CC

81

124 CC 10.120 formas

12 e 12 f

11 e) si dos personas enemistadas no deben estar juntas en la delegación

Supongamos que los enemistados son a y b

La cantidad de delegaciones en las que a y b están juntos son . .

a b

183C

)!(!

!

3183

18

!

!

15123

151617183

816

Conociendo la cantidad total de delegaciones que se pueden formar (de 12a)

y la cantidad de delegaciones en las que dos personas están juntas

Las delegaciones en las que esas dos personas no están juntas, será . . .

183

205 CC 15.504 – 816 = 14.688 formas

Otra manera de calcular lo mismo es mediante la operación

184

184

185 CCC 8.568 + 3.060 + 3.060 = 14.688 formas

justifique Ud. el procedimiento . . .

12 f

11 f) Si un hombre y una mujer (esposos) deben estar los dos ó ninguno . . .

Tenemos dos alternativas: la primera es que estén juntos

Así de 20 personas (12 H y 8 M) quedan 18 posibles (porque 2 ya están ubicados) para 3 lugares de los 5 iniciales

183C

)!(!

!

3183

18

!

!

15123

151617183

816La otra alternativa es que

no estén ninguno de los dos

En esa situación tenemos 18 personas para cubrir los cinco lugares, porque no están ninguno de los dos

185C

)!(!

!

5185

18

!

!

1312345

1314151617188.568

3 4 3

El resultado está dado por la suma de las cantidades de ambas posibilidades

185

183 CC 816 + 8.568 = 9.384 formas

12) Todas las personas se estrechan la mano una vez

Supongamos que sean tres personas: A , B y C

A B A C B C

se produjeron tres saludos observe Ud. Que para tener un “saludo diferente”, necesitamos que se salude al menos una persona diferente

Entonces se trata de una combinación . . .CPero como no sabemos de cuántas personas,

consideramos esa cantidad igual a m

y como el saludo se establece entre dos personas, a las m personas las tomamos de 2 en 2

m

En total fueron 45 saludos

45

resolvemos . . .45

22

)!m(!

!m45

22

21

)!m(!

)!m()m(m

2451 )m(m 902mm 0902

mm

buscamos m aplicando la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado

2

mC2

0902mm

12

901411 2

21)()(

m

2

3601121m

2

3611

2

191

2

20

2

191 10

2

18

2

191 - 9

m1 = 10 m2 = - 9

Por ser – 9 un número negativo, adoptamos como solución única m = 10

Verificamos . . .

102C

)!(!

!

2102

10

!!

!

82

89105

45

Permutaciones con repeticiónSi tenemos solo dos símbolos ( 0 y 1 )

Podremos emitir las señales 0 1 1 0 si los símbolos no pueden repetirse

La cantidad de señales posibles se calcula mediante 2122 P si no debemos repetir símbolos . .

Pero si podemos repetir símbolos; con dos ceros y dos

unos 0 0 1 1 0 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1

El conjunto de símbolos será { 0, 0, 1, 1 }

y las señales posibles . . .

La cantidad de señales posibles cuando hay símbolos

repetidos se calcula conPermutaciones con repetición

224

,P

Permutación de cuatro elementos, con dos

elementos que se repiten dos veces cada uno

Con dos elementos que se repiten dos veces cada uno

( 0 y 1 )

!!

!

22

4

!!

!

22

2342

para emitir señales de 2 símbolos diferentes

1 0 1 01 1 0 0

6

Generalizando

...,,mP !!....!!

!m

Sabe Ud. que el procesador de una computadora trabaja básicamente con elementos biestables llamados bit; y que 8 bit conforman 1 byte; . . . y 1.000 byte son 1 Kb, etc.

Si 1 byte tiene 8 bit, significa que puede almacenar 8 símbolos (que pueden ser ceros ó unos) ese byte con sus 8

símbolos emitirá señales como . .

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 1

1 0 1 0 0 1 0 0

etc. etc. . .

Supongamos un byte en el que hay 5 ceros y 3 unos

¿ Cuántas señales diferentes podrá emitir ese byte ?

En este caso, el conjunto de elementos es { 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 }

conjunto de 8 elementos,

de los cuales uno se repite 5 veces;

y el otro se repite 3 veces

358

,P

!!

!

35

8

1235

5678

!

!

358

,P 56Señales diferentes se pueden emitir

desde 1 byte con 5 ceros y 3 unos

y la operación que resuelve . . .

13 i) La palabra I N D E P E N D E N C I A tiene 13 letras

De las cuales I se repite 2 veces

N se repite 3 veces

D se repite 2 veces

E se repite 3 veces

Las demás letras de la palabra, no se repiten, aparecen solo una vez

13P 23, 2, 3,

!!!!

!

3232

13

1231212312

12345678910111213 43.243.200 palabras

i i ) La palabra C A T A M A R C A tiene 9 letras De las cuales

C se repite 2 veces A se repite 4 veces

9P2 4,

!!

!

42

9

!

!

412

456789 7.560 palabras4

i i i ) La palabra M O N O M I O tiene 7 letras De las cuales

M se repite 2 veces O se repite 3 veces

7P2 3,

!!

!

32

7

!

!

312

34567 420 palabras

3

Arreglo con RepeticiónDado un conjunto de dos elementos {a, b} puedo formar cadenas

de tres elementosdonde al menos un elemento se repite

a a a a a b a b aa b b b a a b b a b a bb b b

Se trata de un Arreglo de 2 elementos,

tomados de tres en tres, con repetición

2A3 r,

823

Dado un conjunto de tres elementos {a, b, c} también puedo formar cadenas de dos elementosincluyendo aquellas donde los elementos se repiten

a a a b b bb a c a c c b ca c

Se trata de un Arreglo de 3 elementos,

tomados de dos en dos, con repetición3

A2 r,932

c b

Generalizando, Arreglo de m elementos tomados de n en n,

con repetición; se calcula con . . .

mAn r,

nm

Ahora podemos volver sobre el problema del total de información que se almacena en 1 byte . . .

un bit entrega señales bi-estables con los elementos son { 0, 1 }

Pero, en 1 byte hay 8 bit, es decir que las cadenas que se forman en un byte están conformadas por 8 señales, que pueden ser ceros ó unos

Para calcular cuántas señales diferentes puedo almacenar en 1 byte, debo plantear un Arreglo

2A8 r,

25628

de dos elementos

tomados de ocho en ocho

con repetición

señales diferentes

14) Con los dígitos 2, 3 y 9 se puede formar números

De los cuales serán mayores que 100 solo aquellos números que tengan tres cifras

33 r,A 2733

Son pares los números terminados en cifra par

en este caso, la única cifra par es el 2

2quedan entonces dos lugares, pero los elementos de que disponemos para esos dos lugares siguen siendo 3

recuerde que hay repetición de elementos; y los resolvemos con . . .

32 r,A 932

2

efectivamente, esos números son . . .

2 2

2 2 2

2 2 2 3 2 9

3 2 3 3 3 9

2 2 29 2 9 3 9 9

5

15

43)

nna

]!5)1[(!5

)!1(5

)!4(!4

!3

n

n

n

n

desarrollamos las expresiones factoriales hasta que queden en condiciones de poder simplificarse

)!(!

)!(

)!()()(!

)!(

645

15

6544

13

n

n

nnn

nn Haciendo pasajes de divisores como factores y viceversa

)!(!

)!(

)!()()(!

)!(

645

65

1544

13

n

n

nnn

nn simplificando los factores que son idénticos en el numerador

y el denominador

!)()(! 4

1

544

3

nn

n se simplifica 4! ; se resuelve el producto de los binomios

12054

32

)( nnn

nhaciendo pasajes de términos

)( 2093 2 nnn finalmente 032092 nnn

ó bien 020122 nn

15)

16 b 16 c-d 16 e

Resolvemos ahora 020122 nn

como ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0

con la fórmula a

acbbx

2

42

21

si a = 1 b = -12 y c = 20

a

acbbx

2

42

21

12

20141212 2)()(

2

8014412

2

812

2

6412 2

201 x 10

2

42 x 2

310 21 xx

son soluciones de la ecuación

020122 nn

adoptamos como solución de

5

15

43

nnn = 10

porque n = 2 es una solución absurda, ya que no es posible hallar

5

125

4

23

16 b 16 c-d 16 e

Verificamos la solución n = 10

5

15

43

nn

5

1105

4

103

)!(!

!

)!(!

!

595

95

4104

103

!!

!

!!

!

45

95

564

9103

!!

!

!

!!

!!

!

!

!!

45

95

9

45

564

9103

9

45

56

103

Multiplicamos ambos miembros por !

!!

9

45

y simplificamos

55

queda verificado el resultado

16 b 16 c-d 16 e

AAAnnnb 12

123

2

1)

]!)[(

)!(

]!)[(

)!(

)!(

!

21

1

21

1

32

1

n

n

n

n

n

n

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(

!n

3

1

3

1

32

1

Multiplicamos por 2 ambos miembros

finalmente

16 c-d 16 e

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(

!n

3

12

3

12

3

Ahora multiplicamos ambos miembros por (n – 3 )!

)!n(

)!n()!n(

)!n(

)!n()!n(

)!n(

)!n(!n

3

312

3

312

3

3

simplificamos y obtenemos

)!n()!n(!n 1212 que se puede

escribir)!n()!n()!n(n 12121

Dividimos ambos miembros por (n - 1)!

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(

)!n(n

1

12

1

12

1

1

y simplificamos

22 n 4n

Verificamos la solución n = 4

16 c-d 16 e

AAA nnn 12

123

2

1 AAA 142

142

43

2

1

)!(

!

)!(

!

)!(

!

23

3

23

3

34

4

2

1

23232

1234

66

queda verificado el resultado

CAnnc 3

12 67)

)!(!

!

]!)[(

)!(

336

21

17

n

n

n

n

desarrollamos las factoriales y resolvemos según convenga )!(

)!(

)!(

)!(

3123

16

3

17

n

nn

n

n

hacemos pasajes factores como divisores y viceversa )!(

)!(

)!(

)!(

3123

36

1

17

n

nn

n

ny simplificamos

entonces n7 luego n = 7

102

3

3

4) 2

23

2 AA

nnd 1022

2

2

3

23

3

3

4

]!)[(

)!(

]!)[(

)!(

n

n

n

n

resolvemos 102

2

3

1

3

3

4

!

)!(

)!(

)!(

n

n

n

n desarrollamos convenientemente las factoriales y simplificamos

1012

2

3

1

123

3

4

!

!))((

)!(

)!)()((

n

nnn

n

nnn

16 e

te queda la tarea de verificar el resultado

Quedamos con 10122

323

3

4 ))(())(( nnnn

Sacamos factor común 1012

33

3

42

)()()( nnn

Resolvemos el corchete

Y finalmente 030132 nnEn la ecuación de 2º grado

a = -1 b = 13 c = -30

102

3

2

3

3

12

3

42

nnn )( 10

2

5

62

nn )(

efectuamos el producto del 1er miembro 10

2

10

6

2

2

5

6

2

nnn

1056

13

6

2

nn

Para resolver la ecuación de 2º grado previamente multiplicamos

todo por (6)

106566

136

6

6 2

nn simplificamos

)(

)()(

12

30141313 2

21

x

2

49133

2

7131

x

102

7132

x

Las soluciones posibles son

n = 3 n = 1016 e

Verificamos para n = 3 102

3

3

4 22

32 AA nn

102

3

3

4 232

332 AA 10

2

3

3

4 52

62 AA

1025

5

2

3

26

6

3

4

)!(

!

)!(

!10

3

5

2

3

4

56

3

4

!

!

!

!

103

345

2

3

4

456

3

4

!

!

!

!2 2

103040

Para n = 10 102

3

3

4 2102

3102 AA 10

2

3

3

4 122

132 AA

10212

12

2

3

213

13

3

4

)!(

!

)!(

!10

10

101112

2

3

11

111213

3

4

!

!

!

!4 6

1011634134 10198208

queda verificado el resultado n = 3

queda verificado el resultado n = 10

simplificamos

16 e

564) 21

22

2 CCC

nnne

5622212

1

222

24

)!(!

!

]!)[(!

)!(

]!)[(!

)!(

n

n

n

n

n

n

resolvemos . . . 562212

1

2

24

)!(!

!

)!(!

)!(

!!

)!(

n

n

n

n

n

n desarrollamos los factoriales

5622

21

12

11

2

124

)!(!

)!()(

)!(!

)!()(

!!

!)()(

n

nnn

n

nnn

n

nnn simplificamos2

562

1

2

1122

)()())((

nnnnnn

y operamos . . . .

562222

22222

2 nnnn

nnn )( 564422 2 nnnn

finalmente tenemos 56452 2 nn que es 05252 2 nn

Resolvemos 05252 2 nn como una ecuación de 2º grado

Donde a = 2 b = 5 c= -52

22

522455 2

21

)(n

4

44154

215 4

4

161 n

4

13

4

262

n

Descartamos n2 como resultado porque el resultado debe ser entero

y verificamos n = 4

564 42

142

242

CCC 56252

4

252

5

262

64

)!(!

!

)!(!

!

)!(!

!

5622

34

32

345

42

4564

!

!

!

!

!3 2

5661060

queda verificado el resultado n = 4

Binomio de NewtonSabemos que el

cuadrado de un binomio( a + b )2 se desarrolla a2 + 2 a b + b2

y el cubo de un binomio ( a + b )3 se desarrolla a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

generalizando ( a + b )n

nnnnnnnnnn ban

nba

n

nba

nba

nba

nba

1122110

1210)(...)(

0 1 2 1n- n

El desarrollo dela potencia de un binomio se compone de una sucesión de sumas

(sumatoria) donde cada término está compuesto por un número combinatorioque multiplica al primer término del binomio elevado a una potenciay multiplica también al segundo término del binomio elevado a otra potencia

donde el numerador de los números combinatorios se mantiene constantemientras el denominador aumenta desde 0 hasta n

el exponente del primer término en cada sumando se forma con la diferencia entre el numerador y denominador del número combinatorio (va de n a 0)

el exponente del segundo término en cada sumando se forma con el denominador del número combinatorio (va de 0 a n)

17 a

17 b

El desarrollo de la potencia de un binomio se escribe

nnnnnnnnnn ban

nba

n

nba

nba

nba

nba

1122110

1210)(...)(

n

k

kknn bak

nba

0

)(

!!

!

)!(!

!

n

n

n

nn

1000

!!

!

)!(!

!

0n

n

nnn

n

n

n1 1

)!(!

)!(

)!(!

!

11

1

111 n

nn

n

nn

!)!(

)!(

)]!([)!(

!

11

1

111 n

nn

nnn

n

n

nn n

)!(!

)!()(

)!(!

!

22

21

222 n

nnn

n

nn

!)!(

)!()(

)]!([)!(

!

22

21

222 n

nnn

nnn

n

n

n

2

2 nn

2

2 nn

Los números combinatorios equidistantes en el desarrollo del binomio de Newton son iguales

17 a 17 b

5)3() xa

n

k

kknn bak

nba

0

)(

donde a = x ; b = -3 ; n = 5

3352251150055 3

3

53

2

53

1

53

0

53 )()()()()( xxxxx

555445 3

5

53

4

5)()( xx

nos conviene resolver los números combinatorios como

cálculo auxiliar

!

!

)!(!

!

51

5

050

5

0

51

!

!

)!(!

!

41

45

151

5

1

55

!

!

)!(!

!

32

345

252

5

2

5

!!

!

)!(!

!

05

5

555

5

5

51

!!

!

)!(!

!

23

345

353

5

3

5

!!

!

)!(!

!

14

45

454

5

4

5

10 10

5

16)

17 b

reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión

5

0

555 35

33k

kk )(xk

)(x)x(

)()()()( 24311815271091035113 23455 xxxxxx

24340527090153 23455 xxxxxx )(

observe que los números combinatorios equidistantes que conforman el desarrollo de la potencia del binomio son iguales

555445335225115005 35

53

4

53

3

53

2

53

1

53

0

5)(x)(x)(x)(x)(x)(x

17 b

43 )1

()x

xb

n

k

kknn bak

nba

0

)(

2243

1143

0043

43 1

2

41

1

41

0

41

x)x(

x)x(

x)x(

xx

4443

1343 1

4

41

3

4

x)x(

x)x(

nos conviene resolver los números combinatorios como

cálculo auxiliar

donde a = x3 ; b = 1/x ; n = 4

!

!

)!(!

!

41

4

040

4

0

41

!

!

)!(!

!

31

34

141

4

1

44

!!

!

)!(!

!

22

234

242

4

2

4

!!

!

)!(!

!

04

4

444

4

4

41

!!

!

)!(!

!

13

34

343

4

3

4

62

12

4

reemplazamos los valores de los números combinatorios hallados en la expresión

4443

3343

2243

1143

0043 1

4

41

3

41

2

41

1

41

0

4

x)x(

x)x(

x)x(

x)x(

x)x(

4

0

434

3 141

k

k

k

xx

kxx )(

4

403

3

313

2

223

1

133

0

043

43 1

11

41

61

41

11

xx

xx

xx

xx

xx

xx

)()()()()(

4

0

3

3

2

69

0

1243 464

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

44812 464 xxxx

8 4

1

1

Término k-ésimo

Si el desarrollo de la potencia de un binomio es

n

k

kknn bak

nba

0

)(

Vemos que en el número combinatorio, para el primer término k = 0; para el segundo término k = 1; para el tercer término k = 2 y así sucesivamente . . .

El desarrollo de la potencia n del binomio siempre tiene n + 1 términos

así)()( 11

1

kkn

k bak

nT

Si n (exponente) es par, n + 1 (cantidad de términos) es impar

entonces el desarrollo tendrá un término central

Si n (exponente) es impar, n + 1 (cantidad de términos) es par

entonces el desarrollo tendrá dos términos centrales

18 c-d 18 e18 a-b

17) a) Para hallar el undécimo término sin efectuar el desarrollo de

152 )2( xx

Aplicamos la fórmula )()( 11

1

kkn

k bak

nT

donde a = 2 x2 ; b = - x ; n = 15 y k = 11

11111115211 2

111

15

)()( )( xxT 10522

10

15)()( xx

101010511 12

101510

15xxT )(

)!(!

!

2032

510

15x

!!

!

Tenga presente que (–x)10 = [(-1)10 x10]

2009696 x.

9)23( yx b) Calcular el o los términos centrales de

Si n = 9 el desarrollo tiene 10 términos, entonces hay 2 términos centrales

hacemos 52

19

términos centrales son el 5º y 6º

908172635445362718099

9

9

8

9

7

9

6

9

5

9

4

9

3

9

2

9

1

9

0

9bababababababababababa )(

comprobamos

2

1n

18 c-d 18 e

Hallamos entonces el 5º y el 6º término para9)23( yx

)()( 11

1

kkn

k bak

nT donde a = 3 x b = -2 y

n = 9 y k = 5

)()( )()( 151595 23

15

9

yxT

45 234

9)()( yx

4455 23494

9yx )(

)!(!

!

45 1624354

9yx

!!

! 45888489 yx.ahora a = 3 x b = -2 yn = 9 y k = 6

)()( )()( 161696 23

16

9

yxT

54 235

9)()( yx

5544 23595

9yx )(

)!(!

!

54 328145

9yx

)(

!!

! 54592362 yx.

17 c) El coeficiente de x32 en el desarrollo de15

34 1

xx

Debe hallarse teniendo en cuenta que el término que contenga x32

(si existe) debe ser de la forma

132115 11

15

kk

k xak

T )()(

aplicando la fórmula del término k-ésimo )()( ))(()()( 1311154 11

15

kkk

k xxk

T

Resolvemos en el término k-ésimo solamente los factores que contienen x

331164 11

15

kkk

k xxk

T )()()( 331464 11

15

kkk xx

k)()(

133464 11

15

kkk xx

k)()(

133464 11

15

kkkx

k)(

Llegamos a una expresión que contiene una potencia de x, en función de k ; como nosotros queremos saber cuál es el término (k) que contiene x32 ;

igualamos el exponente de x a 32 y despejamos k

32767 k k73267 5k

18 d 18 e

17 c) Para verificar hallamos el 5º término del desarrollo de

15

34 1

xx

15315151545 1

15

15

)()()( )( xxT 434114 1

4154

15)()()(

)!(!

!

xx

1244

114

15

xx

!!

! 323651 x.

732/1 )( xx 18 d) Para hallar el término de grado 7 en

Usamos el mismo procedimiento que

en el ejercicio anterior

131721

1

7

kk

k xxk

T )()( / 332

8

1

7

k

k

xxk

entonces, trabajando con los exponentes

72

5133

2433

2

8

kk

kk

k733

2

8

k

k

62

5k 5

12

5

26

k

El problema NO TIENE SOLUCION porque k debe ser un número natural 18 e

17 e) Para hallar el término que contiene a-35 en

25

23 3

aa

1

21253 3

1

25

kk

ka

)a(k

T

y estudiamos en particular los factores

que contienen a

)k(

k)k(

aa

12

1263 3

planteamos . . .

)k(

)k()k(

a

a12

37813

)k()k()k( aa 2237813

)kk()k( a 2237813

3522378 aa )kk(

35580 k

80355 k 235

115

k

La potencia del denominador pasa al numerador con signo cambiado

operamos los exponentes del factor a (producto de potencias de igual base)

igualamos el factor a elevado a la potencia que buscamos ( -35 )

igualamos los exponentes y despejamos k

El término que contiene a-35

es el 23º

Recuerde que k debe ser un número natural menor ó igual que el exponente del binomio

23 < 25 B.C.

18) Si los términos T10 y T15 son equidistantes de los extremos en el desarrollo de (x + a)n

El desarrollo tiene n + 1 términos

T10

hallar n es mucho mas simple de lo que parece

y si T10 y T15 son equidistantes de los extremos

Antes que T10 hay

T9 T8 T2 T1 + + + + + +. . .

9 términos después de T15

. . . +T15

también deben haber 9 términos

T24 T23 T17 T16 + + + +. . .+

podíamos haber planteado: si T10 y T15 son equidistantes de los extremos

10 – 1 = 9 9 términos a la izquierda de T10

15 + 9 = 24 el último término es T24

el desarrollo de cualquier binomio tiene n + 1 términos

n + 1 = 24

entonces . . . n = 23

y para finalizar . . .

te presento alguien que en algún momento puede darte una ayuda importante . . .

Serás lo que debas ser,

sino serás nada. Gral. José de San Martín