Introduccin a la Mecnica CunticaEdgar Santiago Reyes Reyes10 de julio de 20151ndice1. Herramientas Matemticas 31.1. Espacio de Hilbert y funciones de onda . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.1. El vector de espacio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. El espacio de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Funciones de cuadrado integrables: Funciones de onda . . 421. Herramientas Matemticas1.1. Espacio de Hilbert y funciones de onda1.1.1. El vector de espacio linealUnvectordeespaciolineal consistededosconjuntosdeelementosydosreglas algebraicas:un conjunto de vectores,,, ... y un conjunto de escalaresa,b,c,...,una regla para adicin vectorial y una regla para la multiplicacin escalar(a) Regla de AdicinSi ysonelementosdeunvectordeunespacio, susuma+ estambin un vector del mismo espacioconmutatividad + = + Asocitividad( + ) + = + ( + )La existencia de un cero o un vector neutral0La existencia de una simtrico o un vector inverso(b) Regla de MultiplicacinEl producto de una escalar con un vector da otro vector. En general, si y son dos vectores del espacio, cualquier combinacin a +b es tambinun vector del espacio.distribucin con respecto a la adicin:a( + ) = a + a (a + b)= a + b (1.1)Asociativa con respecto a multiplicacin de escalares:a(b) = (ab) (1.2)Para cada elemento existe un escalar unitarioIy un escalar zero "0"I= I= Y 0= 0 = 0 (1.3)31.1.2. El espacio de HilbertUnespaciodeHilbert Hconsisteenunconjuntodevectores , , , . . .yunconjuntodeescalares a, b, c . . . dondecadaunosatisfacelas siguientespropiedades:1. Hes un espacio lineal:2. Htienedenidounproductoescalarqueesestrictamenteposi-tivo: El producto escalar se denota como (, ), donde (, ) = nmerocomplejo. Ademas se tiene que (, )= mientras que (, )= . Elproducto escalar satisface las siguientes propiedades:El producto escalar decon es igual a un nmero complejo con-jugado del producto escalar de con:(, ) = (, )(1.4)Elproductodeconeslinearconrespectoalsegundofactoris= a1 + b2:(, a1 + b2) = a(, 1) + b(, 2), (1.5)y antilineal con respecto al primer factor si == a1 + b2:(a1 + b2, ) = a(1, ) + b(2, ), (1.6)El producto escalar con el vector con el mismo es un nmero realpositivo:(, ) = 2 0 (1.7)donde la igualdad se mantiene solo cuando= 03. H es separable4. H es completa1.1.3. Funciones de cuadrado integrables: Funciones de ondaEnelcasodeunafuncinespacial,unelementovectorestdadoporunafuncin complejay producto escalarpor integrales. Que es, el producto escalarde dos funciones(x) y(x) est dado por:(, ) =

(x)(x)dx. (1.8)Si estaintegral diverge, el productoescalarnoexiste. Comoresultado, sinosotros queremos que la funcin espacial posea un producto escalar, debemosseleccionar solos esas funciones para cual(, ) son nitas. En particular, una4funcin(x) se dice que es de cuadradointegrablesi el producto escalar decon sigo misma es:(, ) =

||2dx (1.9)es nita.Un buen ejemplo de funciones de cuadrado integrable son la funciones de ondaenmecnicacuntica, (r, t). Deacuerdoalainterpretacindelaprobabili-daddeBornde(r, t)lacantidad|(r, t)|2d3rrepresentalaprobabilidaddeencontrar, al tiempot, la partcula en el volumend3r al rededor del punto r.5