Fundamentos de Derivados y Opcioness99df801265675c70.jimcontent.com/download/version... · futuros...

Fundamentos de Derivados y Opciones Benavides

1

Notas de Clase

Fundamentos de Derivados y Opciones

Julián Benavides Franco

Universidad Icesi, 2013


2

Tabla de contenido 1. Introducción a los Activos Derivados............................................................................. 3

1.1 Estructura de un Contrato de Futuros Peso/Dólar ........................................................ 16

1.2 Diagramas de Utilidad .................................................................................................. 20

1.3 Conceptos de Cobertura con Derivados ....................................................................... 24

1.4 Utilidad y Retorno de Inversión en opciones ............................................................... 36

2. Proceso Lognormal ....................................................................................................... 44

3. Valoración de Derivados utilizando la Simulación de Montecarlo .............................. 58

4. Valoración de Derivativos, modelo discreto ................................................................ 63

5. Modelo de Black-Scholes (tiempo continuo) ............................................................... 81

6. Estrategias de Inversión con opciones, acciones, futuros y bonos ............................... 87

7. Convergencia Formula de Valoración de Opciones, Discreta vs. Black-Scholes ........ 99

7.1 Ejercicio de convergencia, usando Macros.......................................................... 104

8. Como Calcular el Portafolio Insurance....................................................................... 110

9. Opciones Reales, una introducción............................................................................. 122

10. Ejercicios Generales ................................................................................................... 127


3

Fundamentos de Derivados y Opciones

1. Introducción a los Activos Derivados

Activos Derivados

Un activo o instrumento derivado es un activo cuyo valor se asocia, se desprende o es

función de otro activo, llamado activo subyacente. Por ejemplo un futuro sobre café es un activo derivado cuyo valor depende del precio futuro del café. Es importante puntualizar que el valor del futuro de café es diferente al precio futuro del café. El valor del futuro está

dado por el valor presente de la diferencia entre el precio forward o futuro pactado inicialmente, X, (aunque este valor se modifica, cuando estamos hablando de un futuro

transado en bolsa) y el precio futuro del subyacente, F0, en el momento en que se valora el futuro:

( ) donde T es el tiempo al vencimiento y kf es la tasa libre de riesgo.

Los activos derivados más importantes son los forward (o contratos a plazo), los futuros y las opciones. A continuación se describen sus características.

Forward (Contratos a Plazo) y Futuros

Es un título que da a su poseedor el derecho y la obligación de comprar o vender un activo

S, por un precio específico predeterminado, en una fecha particular. Denominaremos el

precio específico predeterminado como Precio de Ejercicio X, aunque normalmente se

conoce precio forward (futuro) . El tiempo que transcurre hasta que se debe realizar la

transacción lo denominaremos T. Ejemplo

Suponga que usted suscribe un forward para comprar una acción de Ecopetrol por un

precio de $4500 (X) para dentro de 30 días. Si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4600 (ST) su utilidad será de $100 (ST – X), obtenida al comprar un activo (cuyo valor es superior) por un precio inferior al de

mercado. Por otro lado si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4400 la utilidad será

negativa e igual a -$100, lo cual también equivale a ST-X.


4

Por lo que se deduce que una función que describe el pago de un forward es ST-X. Donde el

subíndice T corresponde al momento del vencimiento.

Puesto que un futuro es en esencia lo mismo que un forward, esta función también aplica para los futuros.

Recuerde que en cualquier transacción financiera existe una contraparte, cual es entonces el pago que recibe la contraparte, quién se comprometió a venderle a usted la acción de

Ecopetrol en las condiciones antes descritas. Una conclusión que puede deducirse de estas funciones de pago es que los forward y los

futuros son operaciones de suma cero, donde la utilidad de uno es la perdida del otro.

En condiciones normales al suscribir un forward, o un futuro, ninguna de las contrapartes debe pagar una prima. Esto quiere decir que el valor esperado hoy de tal tipo de operación es cero.

La diferencia entre forwards y futuros radica fundamentalmente en la intermediación.

Mientras que el forward es una operación sin intermediarios, la compra y venta de futuros se realiza a través de instituciones similares a las bolsas de valores. Estas instituciones son las que organizan el mercado de futuros, produciendo estandarización en los tipos de

activos sobre los que se pueden contratar futuros, el monto, el vencimiento, las garantías requeridas, el ajuste de cuentas y la forma de liquidación de los mismos.

Forward

ST 4600

X 4500

ST - X 100

Delta 100

ST Pago

100

4000 -500

4100 -400

4200 -300

4300 -200

4400 -100

4500 0

4600 100

4700 200

4800 300

4900 400

5000 500

Forward

-600

-400

-200

0

200

400

600

4000 4200 4400 4600 4800 5000

ST

Pago

ST-X


5

En un contrato forward, por el contrario, no existen garantías mas allá de la credibilidad de

la respectiva contraparte, sin embargo esta limitación también permite la versatilidad de los mismos en cuanto a montos y vencimientos.

Opción

Es un título que da a su poseedor el derecho, mas no la obligación, de comprar o vender un

activo S (a veces también llamado activo subyacente) por un precio específico

predeterminado X (precio de ejercicio), en o antes de una fecha particular T (fecha de

expiración o vencimiento). Tipos de Opciones

Call (Compra)

Derecho de compra Put (Venta)

Derecho de venta

Cuando la opción se puede ejercer ANTES del vencimiento se conoce como una opción tipo Americano, cuando la opción solo se puede ejercer EN la fecha de vencimiento se conoce como tipo Europeo.

A diferencia del forward (futuro) la opción es lo que se denomina un activo contingente,

puesto que su utilidad no solo depende del precio futuro del activo subyacente, sino de una decisión que toma el poseedor del mismo.

Otra diferencia más importante es que al comprar una opción se debe pagar una Prima, que se entrega a la contraparte (el emisor de la opción). Cuando calculamos el valor de una

opción, en muchos casos estaremos calculando el valor de la prima. Ejemplo

Opción CALL

Continuamos con la acción de Ecopetrol. Suponga que usted acaba de comprar una opción Call sobre una acción de Ecopetrol. El precio de Ejercicio X es $4500 y el vencimiento es

dentro de 30 días.

Si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4600 (ST), es óptimo ejercer la opción y comprar la acción, su utilidad será de $100 (ST – X), obtenida al comprar un activo (cuyo valor es superior) por un precio inferior al de mercado.

Por otro lado si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4400, no es óptimo ejercer

la opción, ya que esta le da el derecho a comprar una acción por un valor superior al que


6

tendría que pagar si la comprara en el mercado de acciones, por lo tanto la opción expira sin

ser ejercida y la utilidad será de cero.

Si adicionalmente se incluye el pago de la Prima se obtienen los flujos netos que produce la compra de la opción. ¿Cuál sería entonces una función que describe los pagos recibidos por la compra de una

opción Call?

Veamos: 1. ST > X: ST – X 2. ST < X: 0

Una función que describe estos pagos es Máximo (ST-X,0).

Como se observa la opción Call permite a su poseedor obtener utilidades en caso de un incremento en el precio del activo subyacente y limitar las perdidas en caso de una reducción.

Naturalmente un esquema de pagos de este tipo tiene un valor, que en este caso es la prima

que se pagó.

Opción PUT

Continuamos con la acción de Ecopetrol. Suponga que usted acaba de comprar una opción

Put sobre una acción de Ecopetrol. El precio de Ejercicio X es $4500 y el vencimiento es dentro de 30 días.

Opcion Call

ST 4600

X 4500

C=Max(ST - X,0) 100

ST Pago

100

4000 0

4100 0

4200 0

4300 0

4400 0

4500 0

4600 100

4700 200

4800 300

4900 400

5000 500

Opcion Call

-600

-400

-200

0

200

400

600

4000 4200 4400 4600 4800 5000

ST

Pago

Max(ST-X,0)


7

Si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4600 (ST), no es óptimo ejercer la

opción, ya que esta le da el derecho a vender una acción por un valor inferior al que obtendría si la vendiera en el mercado de acciones, por lo tanto la opción expira sin ser

ejercida y la utilidad será de cero. Por otro lado si en 30 días la acción de Ecopetrol se transa por $4400, es optimo ejercer la

opción y vender la acción, su utilidad será de $100 (X – ST), obtenida al vender un activo (cuyo valor es inferior) por un precio superior al de mercado.

Si adicionalmente se incluye el pago de la Prima se obtienen los flujos netos que produce la compra de la opción.

Cual seria entonces una función que describe los pagos recibidos por la compra de una

opción Put? Veamos:

3. ST > X: 0

4. ST < X: X - ST Una función que describe estos pagos es Máximo (X - ST ,0).

Como se observa la opción Put permite a su poseedor obtener utilidades en caso de una

reducción en el precio del activo subyacente y limitar las perdidas en caso de un incremento.

Opcion Put

ST 4600

X 4500

C=Max(X-ST,0) 0

ST Pago

0

4000 500

4100 400

4200 300

4300 200

4400 100

4500 0

4600 0

4700 0

4800 0

4900 0

5000 0

Opcion Put

-600

-400

-200

0

200

400

600

4000 4200 4400 4600 4800 5000

ST

Pago

Max(X-ST,0)


8

Preguntas

1. ¿Cuál seria la función de pago de los emisores de los instrumentos derivados aquí

revisados? 2. Si usted pensara que es muy probable que el precio de la acción de Ecopetrol fuera a

cambiar radicalmente en los próximos días, aunque no puede estar seguro de si a la

baja o al alza, ¿qué opción o combinación de opciones podría usted comprar o vender para obtener una utilidad sobre esta situación?

Operaciones con opciones

Put Protectivo

Es un concepto de cobertura que resulta al implementar una estrategia sencilla de minimización de riesgo financiero que implica la combinación de posiciones largas (lo que

quiere decir comprar) en las acciones o portafolio a asegurar y en una Opción Put; esta estrategia es conocida como Put Protectivo. El Put Protectivo tiene un horizonte que esta

definido por el tiempo de maduración o vencimiento de la opción Put. Al comprar una acción S sabemos que el pago final recibido por la acción al momento de

venderla (liquidar la posición) corresponde al precio spot St (Pago = St ), la Gráfica 1a nos muestra este comportamiento. Para calcular el pago neto se debe restar el costo inicial de la

acción S0. El pago neto se expresa como St – S0. La gráfica 1b representa estos beneficios.

Gráfica 1

a b

Pagos de una acción como función Pagos netos (o beneficios) por la del Precio Spot St compra de una Acción

Precio de Compra (S0) = 100 Pago = St Pago = St – S0

Repetimos la definición de la opción Put: Una opción Put es el derecho, mas no la obligación, de venta de un activo (en este caso una acción o portafolio de acciones) a un

precio determinado, conocido como precio de ejercicio X, en una fecha futura determinada


9

conocida como fecha de vencimiento o de maduración. El tiempo hasta la expiración (o

vencimiento) de la opción se denomina T. Cuando la opción puede ejercerse en cualquier momento entre su emisión y expiración se conoce como una opción tipo americano, en caso

contrario la opción se denomina tipo europeo. Los pagos recibidos al ejercer la opción se observan en la gráfica 2a.

Cuando el precio de ejercicio es superior al precio spot de la acción (X>S t), el propietario de la opción la ejerce, pues puede vender la acción S a un valor mayor al del mercado. Su

utilidad es entonces St-X. Cuando X < St el propietario no ejerce la opción, pues puede vender la acción a un precio mayor que el pactado en la opción, su utilidad en este caso es 0. En ambos casos debe restarse la prima pagada por la compra de la opción si se quiere

obtener los pagos netos de la operación (Gráfica 2b).

Una función que describe este comportamiento es Máximo (X – St,0).

Gráfica 2

a b

Pagos de una Opción Put en el momento Pagos netos (descontando la prima) de Ejercicio de una Opción Put en el momento de

ejercicio Precio de Ejercicio X =90 Precio de Ejercicio X =90

Pago = Max (X-St,0) Prima = 10 Pago = Max (X-St,0) - Prima

La racionalidad que justifica la compra de una opción como la descrita anteriormente estriba en que se elimina la posibilidad de pérdidas más allá de un nivel pre-establecido por el precio de ejercicio X.

Un ejemplo sencillo clarifica el concepto. Supóngase que se desea comprar una acción S

cuyo precio actual es de COL$ 100. También se quiere eliminar la posibilidad de perdidas a un 10%, pero se desea conservar la posibilidad de ganancia que implica la valorización de la acción.

Pagos Put

0

20

40

60

80

100

2.5

27.5

52.5

77.5

102.5

127.5

152.5

177.5

St


10

La limitación de las perdidas implica que se desea que en el momento de liquidar

posiciones se pueda vender la acción S al menos por COL$ 90. Esto se consigue comprando una opción Put con precio de ejercicio X = COL$ 90.

Ahora debemos analizar el resultado de combinar las dos posiciones (la compra de la acción S y de la opción Put).

El análisis del resultado puede realizarse definiendo dos rangos (1: S t < X y 2: St >X):

La combinación de las dos posiciones, la compra de la acción y del put, se muestra en la gráfica 3.

Gráfica 3

a b

Pagos de una Opción Put y una acción Pagos netos (descontando la prima) en el momento de Ejercicio de una Opción Put en el momento de

ejercicio Precio de Ejercicio X =90 Precio de Ejercicio X =90 Pago = Max (X-St,0) + St Prima = 10

Pago = Max (X-St,0) – Prima + St - S0

Como se observa claramente el put protectivo (S+P), donde S es la acción y P es la prima un Put sobre 1 acción S, permite a su poseedor beneficiarse de un incremento en el precio

de la acción y reducir las perdidas en caso de ocurrir lo contrario. La erogación inicial es S0 + P0, donde S0 es el precio de compra de la acción y P0 es la prima pagada por el Put.

Opción

Acción

St < X St > X St < X St > X

Opción X - St 0 X - St - P - P

+ Acción St St St - S0 St - S0

= Total X St X - S0 - P St - S0 - P

Rango

Estrategia

Pagos Pagos Netos

Max(X-St,0) - P

St - S0

FunciónMax(X-St,0)

St


11

El ejemplo anterior nos muestra que las posiciones en diferentes tipos de activos pueden

combinarse o sumarse para producir utilidades (perfiles de pago) que favorezcan los intereses de su poseedor. Para los siguientes ejemplos nos concentraremos en hallar los

resultados de combinar posiciones sin descontar los pagos iniciales (prima o compra del activo).

Call Cubierto

En este caso se combina la compra de una acción con la venta de un Call. Esta estrategia permite obtener utilidades de la venta de un Call, minimizando el nivel de perdidas en caso de un incremento en el precio de la acción mas allá del valor de la prima.

Ya vimos en el ejemplo anterior la función de pago que se obtiene por la compra de una

acción. La función de pago de la venta o emisión de un Call es el negativo de la obtenida por la compra del mismo. El Call Cubierto combina estas dos funciones.

Veamos: Suponga que se adquiere una acción por $500 y no se desea mantenerla por un largo

tiempo, se tiene la intención de venderla en cuanto su precio supere los $600. Existe alguna manera de incrementar la ganancia? La respuesta es si: Puesto que ya se posee la acción se puede emitir una opción Call con un precio de ejercicio de $600. El comprador de la opción

solo la ejercerá cuando el valor de la acción exceda los $600, puesto que este era el valor de venta originalmente establecido, el emisor se siente satisfecho puesto que ha obtenido la

ganancia establecida inicial y la ha incrementado con la prima recibida C0. El análisis del resultado puede realizarse siguiendo la estrategia delineada para el Put Protectivo. Que sucede en caso de una reducción en el valor de la acción?

A continuación se presenta la función de pago de la acción, donde no se ha descontado el

valor de S0:

Accion

ST 500

- S0 0

= ST - S0 500

Delta 100

ST Pago

500

0 0

100 100

200 200

300 300

400 400

500 500

600 600

700 700

800 800

900 900

1000 1000

Accion

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000 1200

ST

Pago

ST-S0


12

En el caso de la venta o emisión de la opción se tiene (sin tener en cuenta la prima recibida):

Ahora se combinan (suman) las dos funciones, lo que resulta en el Call Cubierto:

Venta Opcion Call

ST 500

X 600

-C=Max(ST - X,0) 0

+C0 0

= -C+C0 0

ST Pago

0

0 0

100 0

200 0

300 0

400 0

500 0

600 0

700 -100

800 -200

900 -300

1000 -400

Venta Opcion Call

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

0 200 400 600 800 1000 1200

ST

Pago

-Max(ST-X,0)+C0

Call Cubierto

ST - S0 500

-C+C0 0

= ST - S0-C+C0 500

ST Pago

500

0 0

100 100

200 200

300 300

400 400

500 500

600 600

700 600

800 600

900 600

1000 600

Call Cubierto

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

0 200 400 600 800 1000 1200ST

Pago

ST-S0-C+C0


13

Paridad Put-Call

Uno de los resultados más conocidos sobre las opciones europeas es la paridad Put-Call.

Este resultado establece que el valor actual de un Put y una unidad del activo subyacente S son iguales al valor de un Call (sobre el mismo subyacente, idéntico precio de ejercicio X e igual vencimiento T) más el valor presente de un bono libre de riesgo de descuento puro

con valor nominal de X, el precio de ejercicio, que madura en T. Esto es:

Put0 + S0 = Call0 + Pv(X) Si el subyacente fuera una acción que paga dividendos conocidos durante la vida de las

opciones, la anterior ecuación se modifica a:

Put0 + S0 = Call0 + Pv(X) + Pv(Div) Cuando las opciones involucradas son americanas se obtiene la siguiente desigualdad:

S0-X ≤ Call0 - Put0 ≤ S0 - PV(X)

Ejercicio temprano

Se puede usar la paridad Put-Call para establecer particularidades respecto a la relación entre el valor de las opciones americanas y europeas.

Analicemos el caso de las opciones Call, para esto re-expresamos la paridad de la siguiente manera, generalizando la expresión para cualquier momento t, entre la emisión y el

vencimiento:

Callt = St - Pv(X) + Putt, adicionalmente Pv(X) = X.exp(-kf.(T-t)). Definamos Des(X) = X-Pv(X) = X.(1-exp(-kfT))>0

Luego

Callt = St – X + Des(X) + Putt

Por simple inspección podemos observar que el valor del Call siempre será superior al valor intrínseco, cuando S0≥X. Puesto que la única ventaja que un Call americano tiene sobre uno Europeo es su posibilidad de ejercicio temprano, y conociendo que la utilidad en este caso

sería St – X, menor a la que se obtendría al venderlo, podemos concluir que no es óptimo ejercer el Call antes del vencimiento y que el valor de mercado de un Call americano es

igual al de uno europeo. Este no es el caso para el Put. Se deja al lector interesado la argumentación para este caso.

Valor Intrínseco Valor Temporal


14

Ejercicios

Realizar el análisis anterior para las siguientes operaciones:

Long Straddle: Compra de un Call y un Put sobre una acción con el mismo precio de ejercicio suponga que X = $500. Para que sirve? Forma (V)

Spread: Compra de un Call con un precio de ejercicio de X1=450 y venta de un Call con un

precio de ejercicio de X2=550. Los spreads son combinaciones de Calls (2 o mas) o Puts (2 o mas) exclusivamente, las cuales se compran o se venden (emiten). Forma (_/¯)

Collar: Tenencia de una acción combinada con la compra de un put (X=400) y la venta de

un call (X=600). Paridad Put-Call:

Compare las siguientes estrategias, a. Put Protectivo: acción mas put con precio de ejercicio X

b. Call con precio de ejercicio X mas la compra de bonos libre de riesgo (cero cupón) y valor nominal de X.

Suponga una tasa libre de riesgo de k0. Que conclusión se desprende, si no hay posibilidad de arbitraje.

Compruebe que un Put americano vale más que uno europeo.

Pruebe la relación de desigualdad Put-Call para opciones americanas.

------------------


15

Swaps

Un swap es un acuerdo entre dos empresas para intercambiar flujos de caja en el futuro. El

acuerdo normalmente incluye los vencimientos de dichos intercambios y la forma de calcular su monto. Desde este punto de vista un contrato forward (a plazo) es un swap, con un solo plazo.

Veamos un ejemplo.

Un swap de moneda es un intercambio de flujos de caja en 2 monedas diferentes, normalmente envuelve dos bonos con similares vencimientos expresados en las 2 monedas transadas. Se intercambian los cupones y el principal.

Suponga que General Motors ha emitido bonos denominados en yenes japoneses, debido a

que las condiciones del mercado japonés son favorables. Sin embargo el grueso de sus ingresos esta denominado en dólares. Por otro lado Honda esta construyendo una fabrica en USA y requiere dólares, aunque el grueso de sus ingresos esta expresado en yenes. Como

resultado de sus necesidades de efectivo y sus ingresos GM y Honda acuerdan un swap.

GM recibirá yenes que le permitirán cubrir los cupones y el principal de los bonos que emitió en el mercado japonés y pagará dólares. Honda recibirá dólares y pagará en yenes en su mercado local.

Pregunta Conceptual:

Establezca que el valor esperado (presente o futuro) de un swap es cero. Para tal fin utilice los flujos que acompañan la emisión de dos bonos.

Sea el bono a expresado en yenes (valor nominal 8000, cupón 5%) y el bono b expresado en US (valor nominal 100, cupón 7%). Suponga que la tasa actual es de 80Y/US y el

comportamiento esperado de la misma responde al efecto Fisher. Compruebe que el valor neto de los intercambios es de cero.

---------------------


16

1.1 Estructura de un Contrato de Futuros Peso/Dólar Un contrato de futuros se establece cuando el comprador de los futuros y el vendedor de los

mismos, cualquiera que sea el activo subyacente acuerdan su precio a la entrega, el número de contratos a intercambiar y el mes de entrega.

En una bolsa establecida el vencimiento (entrega) de los contratos (la fecha en que el intercambio se debe realizar) se realiza en un día especifico (normalmente hacia el final de mes) de determinados meses. La cámara de compensación de la bolsa se encarga de realizar

los ajustes a las diferentes posiciones abiertas en los diferentes contratos transados.

Suponga que en Colombia existe una bolsa de futuros Peso/Dólar (TRM), que negocia contratos C de compraventa de dólares por un monto unitario de US$ 25.000, que maduran el 3er Miércoles de cada mes.

Garantía

La bolsa exige una garantía (Margin) en pesos igual a nxCxTRMx%n. Donde n es el numero de contratos abiertos, C es el tamaño del contrato y TRM es la tasa de cambio spot COL/US del día en que se pacta el futuro y %n es un valor que puede variar según la

volatilidad de la divisa y que actualmente es igual al 5%. Esta garantía tiene el propósito de reducir el riesgo de no pago y cada contraparte debe suscribirla

Ajuste de Garantía

Si la garantía llegara a reducirse al 75% de su valor original, en virtud de las oscilaciones

de la tasa de futuros, la contraparte afectada deberá reponerla a su nivel original, realizándose un ajuste de la garantía (Margin Call). Este nivel original es el establecido en la fecha de apertura del contrato, no el que resulta del nuevo precio de la divisa (Esta es una

convención, no hay ninguna razón por la cual no pudiera realizarse de esta forma).

Mecánica de operación

Al cerrarse la operación, las contrapartes depositan la garantía. Al finalizar la rueda de ese día, la bolsa calcula los ajustes que deben realizarse a cada posición. Si F0 identifica a la

tasa a futuro pactada al cierre de la operación y F1 a la tasa a futuro calculada por la bolsa al final del día, la perdida o ganancia para una posición larga (compra de futuros) es igual a

n(C)(F1-F0). La racionalidad de este calculo estriba en que F1 es el precio de venta (o el valor final del activo subyacente) y F0 el precio de compra. Estos valores normalmente se expresan en la moneda legal donde opera la bolsa de futuros. Naturalmente la posición

corta es el espejo de la larga con lo que la perdida o ganancia de la posición larga es la ganancia o perdida de la corta (n(C)(F0-F1)). La cámara de compensación abona o

descuenta este valor de la garantía depositada por cada contraparte. Al siguiente día la tasa de referencia es F1 y el calculo de la utilidad es n(C)(F2-F1) para el comprador de futuros. Toda vez que las perdidas acumuladas reduzcan la garantía por debajo de la cota mínima

aceptada (75%) la contraparte afectada deberá reponerla a su nivel original. Al vencerse el contrato de futuros las utilidades o pérdidas acumuladas para el comprador

de futuros corresponden a:

n

iii FFnCUtilidad

1

1 lo cual se simplifica en 0FFnC n .


17

Si recordamos que la tasa Fn corresponde al precio spot de la divisa al vencimiento del

futuro (Sn)1, la formula para la utilidad total es:

0FSnCUtilidad n

Otra forma de contabilizar la utilidad corresponde a:

AGGIGFUtilidad

Donde GF corresponde al nivel final de la garantía (en caso de no existir ningún retiro), GI al depósito inicial y AG a los ajustes acumulados de la garantía.

Ejemplo:

Al finalizar la rueda (o al inicio de la rueda del siguiente día) de negociación de cierto día, 2 personas, Luís y Ana, acuerdan por intermedio de sus respectivos comisionistas entrar en

un contrato de futuros Peso/Dolar. Luís acuerda comprar un (1) contrato de futuros a una tasa de 2.850 COL/US y Ana acuerda venderlo. El contrato vence en 10 días.

Al vencimiento del contrato la tasa de futuros ha oscilado de la siguiente manera:

Recuerde que un contrato de futuros se liquida diariamente.

Encuentre la utilidad diaria de ambas posiciones, los cambios en los niveles de garantía, y los ajustes requeridos a las garantías, si es que se requieren.

1 De existir diferencia entre el precio futuro al vencimiento y el spot habría lugar a arbitraje. Si Fn>Sn se

compran dólares en el mercado spot y se venden en el de futuros con ganancia inmediata, si Fn<Sn se realiza

la operación contraria.

Ft TC COL/US

0 2,850.00

1 2,842.00

2 2,808.00

3 2,815.00

4 2,850.00

5 2,883.00

6 2,931.00

7 2,871.00

8 2,865.00

9 2,895.00

10 2,866.00


18

Encuentre los valores adecuados para cada casilla y realice un ejercicio similar para la

posición opuesta.

Numero de contratos (n) 1

Caracteristicas del ContratoContrato (C) 25,000 US

%Garantia 5.00% Col

Garantia US 1,250

TC Spot COL/US 2,820

Garantia COL 3,525,000 por contrato

Ajuste Garantia 75.00% de Garantia inicial

Aj. Garantia COL 2,643,750 por contrato

Util Diaria

Ft TC COL/US UDi = (Fi - Fi-1)nC

0 2,850.00 - 3,525,000 3,525,000 -

1 2,842.00 (F1-F0)nC = 200,000- 3,325,000 - 3,325,000 200,000-

2 2,808.00 (F2-F1)nC = 850,000- 2,475,000 1,050,000 3,525,000 1,050,000-

3 2,815.00 : 175,000 3,700,000 - 3,700,000 875,000-

4 2,850.00 : 875,000 4,575,000 - 4,575,000 -

5 2,883.00 : 825,000 5,400,000 - 5,400,000 825,000

6 2,931.00 : 1,200,000 6,600,000 - 6,600,000 2,025,000

7 2,871.00 : 1,500,000- 5,100,000 - 5,100,000 525,000

8 2,865.00 : 150,000- 4,950,000 - 4,950,000 375,000

9 2,895.00 : 750,000 5,700,000 - 5,700,000 1,125,000

10 2,866.00 (F10-F9)nC = 725,000- 4,975,000 - 4,975,000 400,000

UDi = 400,000 Total AG 1,050,000

Balance Final Garantia 4,975,000

- Ajustes de Garantia 1,050,000-

- Garantia Inicial 3,525,000-

= Utilidad 400,000

Directo (F10-F0)nC = 400,000

Luego UDi = (F10-F0)nC = (S10-F0)nC

Comprobar esta igualdad

Compra US

Ajuste Garantia

(AG)Garantia

Balance

Garantia

Utilidad

Luis

Utilidad

acumulada


19

Plantilla Contrato de Futuros

La siguiente plantilla, una derivación de la anterior, puede modificarse a voluntad para diferentes tipos de contratos.

PERFIL DE PAGOS De UN FUTURO Posición Larga:

1ro

compra

Monto C US$ 5,000 2do

venta

Garantia pesos #COL COL$ 160 #Contratos

Mantenimiento %M 87.50% Posicion n 3 +:Larga/- Corta

Garantía en pesos GC COL$ 800,000 =C*#COL Gar. Total GT 2,400,000 =Abs(n)GC

Mantenimiento MC COL$ 700,000 =%M*GC Mtto Total M 2,100,000 =Abs(n)MC

Condición Retiro 1 1:Si,2:No

U. diaria

Larga

Ui Gi Ai Bi UAi

=(Fi-Fi-1)nC =Bi-1+Ui =SI(Gi<M,GT-Gi,0) =Gi+Ai Ui

0 2,400 2,400,000 2,400,000

1 2,420 + (F1-F0)nC = 300,000 2,700,000 (300,000) 2,400,000 300,000

2 2,455 + (F2-F1)nC = 525,000 2,925,000 (525,000) 2,400,000 825,000

3 2,415 + : (600,000) 1,800,000 600,000 2,400,000 225,000

4 2,385 + : (450,000) 1,950,000 450,000 2,400,000 225,000-

5 2,450 + : 975,000 3,375,000 (975,000) 2,400,000 750,000

6 2,465 + : 225,000 2,625,000 (225,000) 2,400,000 975,000

7 2,500 + (F7-F6)nC = 525,000 2,925,000 (525,000) 2,400,000 1,500,000

Ganancia: Ui = 1,500,000 Aj. T. Gar. (1,500,000) Ai

(St-X)*Cont*n*Pos 1,500,000

B. F. Garantia 2,400,000

- Aj. T. Garantia 1,500,000

- Garantia Total 2,400,000-

= Utilidad 1,500,000

BalanceUtilidad

acumuladaFi TC COL/US UDi = Garantia Ajuste


20

1.2 Diagramas de Utilidad

Es usual con los activos derivados trabajar con funciones de pago. Estas funciones de pago

son aplicaciones al plano cartesiano (X-Y) de los resultados de las operaciones (o posiciones) con este tipo de activos. La función de X o variable independiente es asignada

al precio del activo subyacente (ST), en muchos casos una acción. La variable dependiente Y es el resultado de la estrategia de inversión.

Ejemplo:

Suponga que usted abre un contrato de compra de futuros sobre el activo S a un precio X el cual se vence en el periodo T. Su utilidad al vencimiento Y será f(ST) = ST -X. El diagrama de utilidad es la expresión gráfica de esta ecuación. En los diagramas de utilidad

se pueden combinar los pagos de diferentes activos sea que estos se compren (posición larga) o se vendan (posición corta).

A continuación se explica el procedimiento para realizar tal tarea en Excel.

Graficando Forwards

La ganancia final de una opción depende del precio final del activo subyacente. Para un forward la ganancia al vencimiento es:

2. ST - X, cuando se compra el forward (Posición larga).

3. X - ST , cuando se vende el forward (Posición corta).

Graficaremos la posición larga.

Para graficar la ganancia del forward como función del precio de la acción al vencimiento ST podemos acudir a la

función de tabla de datos de Excel, para

encontrar la ganancia final del forward para diferentes valores de ST . La tabla de

datos permite hallar el resultado de una formula o modelo cuando una o dos variables que la definen toman diferentes

valores.

En este caso la función o modelo es ST-X y la variable independiente es ST . Para tal fin deben organizarse los datos de la

siguiente forma:


21

Ahora debe seleccionarse la zona de la

tabla de datos (encerrada entre los bordes oscuros) e invocar el comando

[Herramientas de Datos/ Análisis Y si/Tabla de datos], que muestra el siguiente menú de dialogo. En este caso

la variable que cambia es ST (la columna izquierda del área seleccionada) ubicada

en la celda B3 de la formula básica. Para este ejemplo sencillo no existen cambios para una segunda variable, luego el menú

debe llenarse así:

Una vez finalizado el procedimiento el siguiente es el resultado:

Gráfica

Excel provee las herramientas para

graficar este resultado:


22

Graficando Opciones

La ganancia final de una opción depende del precio final del activo subyacente.

Para una opción Call se tienen las siguientes posibilidades: 4. ST>X, en este caso es óptimo ejercer la opción y la ganancia corresponde a la

diferencia entre el precio de compra X y el valor de mercado ST . Considere que

usted vende la acción inmediatamente después de ejercer la opción, su ganancia corresponde al precio de venta menos el precio de compra: ST-X.

5. ST<=X, en este caso la opción no se ejerce, puesto que es mas barato comprar la acción en el mercado que ejerciendo la opción, su ganancia corresponde a 0.

Una función que representa la ganancia en todo el rango de valores de S es Max (ST-X,0).

Esta función esta definida en el Excel y por lo tanto puede usarse para graficar la ganancia al vencimiento de la opción Call.

El estructura del modelo es similar al del forward. Por tal motivo solo se presenta

el resultado final y la gráfica:

Para graficar la ganancia de la opción

como función del precio de la acción al vencimiento ST acudimos nuevamente a

la función de tabla de datos de Excel, para encontrar la ganancia final de la opción para diferentes valores de ST . En este caso

la función o modelo es Max (ST-X,0) y la variable es ST .


23

Ejercicios

1. Realice un ejercicio similar para una opción Put con X (precio de ejercicio) de

$1830.

2. ¿Cuál es el resultado de comprar una opción Put con precio de ejercicio de $1800 y comprar una opción Call con el mismo precio de ejercicio? En este caso una

condición es que las dos opciones maduran simultáneamente (aunque esta condición no aplica si la opciones son tipo americano).

3. Al comprar una opción se debe pagar una prima. Asuma que este valor es $40.

Incorpore este cambio en su modelo.

--------------------


24

1.3 Conceptos de Cobertura con Derivados

El concepto de cobertura puede entenderse fácilmente cuando un agente combina 2 posiciones

diferentes: 1) la posición, natural, que implica la exposición al riesgo; 2) la posición en el derivado

que implica una exposición opuesta al riesgo. El resultado puede implicar una eliminación total o

parcial del riesgo o, mejor aún, una exposición al riesgo limitada al lado positivo (“up side”) del

mismo.

Cobertura de una posición larga Examinemos la exposición natural al riesgo, suponiendo, inicialmente, una posición larga. Sin

pérdida de generalidad asumamos que el agente ha emitido una factura o cuenta por cobrar (CxC)

en otra divisa que se hará efectiva en algún momento en el futuro, por ejemplo 90 días. Supóngase,

además, que el agente considera que una tasa de cambio, que llamaremos precio de equilibrio (P eq),

no le produce ni ganancias ni perdidas en lo relativo a la exposición al riesgo cambiario. Esto

implica que el agente al considerar esta venta al exterior considera que P eq es el valor adecuado que

debe recibir por sus productos. La ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por su exposición

cambiara por cada unidad de la divisa es: P90-Peq, donde P90 es el precio de mercado de la divisa el

día 90, al cual se liquida una transacción en el mercado spot. Si el precio de equilibrio es $1,000 y

el precio de liquidación de la divisa, cuando se paga la factura y se convierte a moneda local, es

$1,100, la utilidad por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidación es $900, la pérdida

es $100.

Gráficamente

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxC

Peq


25

a. Cobertura tomando posición en Forwards o Futuros

Esta exposición puede compensarse hoy tomando una posición corta en forwards2 (-F) o

vendiendo futuros de esa divisa. Si la tasa pactada de venta, o precio de ejercicio, es X, la

ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por cada unidad de divisa es: X-P90. Si X es

$1,000 y el precio de liquidación de la divisa es $1,100, la pérdida por divisa es $100. Por

el contrario si el precio de liquidación es $900, la utilidad es $100.

Gráficamente

Las posiciones combinadas son entonces CxC – F= P90 – Peq + X– P90 = X– Peq, lo cual es

constante para cualquier P90. Si X es igual a Peq, lo ideal, el resultado de la cobertura es

cero, lo que implica una indiferencia total al riesgo.

2 Esto implica un contrato para vender la divisa en un momento específico en el futuro, en este caso en 90

días. Los contratos forward y los futuros son esencialmente el mismo contrato, solo difieren en su parte

operacional: Los forward se liquidan al vencimiento, mientras que los futuros son liquidados parcialmente en

forma diaria.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

-F

X


26

Gráficamente

Si el precio de mercado es de $1,100, al combinar las ganancias de la cuenta por cobrar de

$100 (P90-Peq=$1,100-$1,000) con las pérdidas del forward -$100 (X-P90=$1,000-$1,100),

el resultado neto es 0. Si el precio de mercado es de $900, al combinar las pérdidas de la

cuenta por cobrar -$100 (P90-Peq=$900-$1,000) con las ganancias del forward $100 (X-

P90=$1,000-$900), el resultado neto también es 0. Como ya se dijo, esta posición es

perfectamente neutral al riesgo.

b. Cobertura tomando posición en Opciones

Sin embargo, el caso anterior descarta la posibilidad de obtener utilidades en caso de que la

tasa al vencimiento (P90) haya evolucionado favorablemente en relación a la posición del

agente. Una alternativa que permite aprovechar esta coyuntura, en caso de presentarse, es la

compra de opciones de venta (Put). En este caso el poseedor de la opción obtiene un

derecho de venta de la divisa en el día 90, pero no la obligación3. Esto significa que el

agente solo vende la divisa a la contraparte al precio establecido (X) si le conviene hacerlo,

lo cual sucede cuando el precio de mercado es inferior al precio de ejercicio; en este caso su

utilidad es igual a la de la venta del forward X-P90. Por el contrario, si el precio de mercado

es superior al precio de ejercicio, el agente simplemente no hace uso del derecho, y vende

las divisas en el mercado spot; en este caso la utilidad de la opción es cero. Por supuesto,

por este derecho de venta el agente debe pagar una prima a la contraparte. Se puede

entonces plantear la siguiente tabla para describir la utilidad de una opción de venta:

{

Esta función se describe mejor como Max(X-Pt,0), a la que se le resta la prima pagada por

la opción.

3 Esta es una opción de venta Europea, la cual solo puede ejercerse el día del vencimiento. Existen opciones

que pueden ejercerse durante la vida de la opción, estas opciones se denominan Americanas.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxC -F CxC + -F

XPeq


27

Gráficamente

La gráfica anterior supone que el precio de ejercicio es $1,000 e incluye la reducción en la

utilidad por una prima pagada de $30.

Al combinar las posiciones en la cuenta por cobrar y la opción de venta (Put), obtenemos:

{

, lo cual se simplifica a

{

Si X=Peq, como es el caso de nuestro ejemplo, el agente ha limitado sus pérdidas, cuando el

precio de la divisa cae por debajo de X, a 0 (X-Peq=$1,000 -$1,000) menos la prima;

mientras que si el precio sube por encima de X, su utilidad es P90-Peq, menos la prima.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

Put

X


28

Gráficamente



El caso merece una explicación un poco más detallada, si, por ejemplo el precio de mercado

de la divisa al vencimiento es $1,100, la utilidad por la cuenta por cobrar es $100 (P 90-Peq=

$1,100 - $1,000); la opción vence sin ser ejercida por lo que su utilidad es 0, y la utilidad

combinada sigue siendo $100 menos la prima. En caso de un precio de la divisa de $900, se

tiene una utilidad negativa por la cuenta por cobrar de -$100 (P90-Peq= $900 - $1,000); la

opción se ejerce, puesto que el agente vende óptimamente a la contraparte la divisa a un

precio superior al del mercado, y se genera una utilidad de $100 (X-Pt=$1,000 - $900), al

combinar ambas la utilidad es 0, con lo que el agente ha eliminado el riesgo de “down

side”, pero aprovecha la subida de precio de la divisa.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxC Put CxC + Put

XPeq


29

Cobertura de una posición corta

Examinemos la exposición al riesgo de una posición corta. Sin pérdida de generalidad asumamos

que el agente tiene una cuenta por pagar (CxP) en otra divisa que se hará efectiva en algún

momento en el futuro, por ejemplo los 90 días del caso anterior. Supóngase, además, que el agente

considera, al igual que antes, que una tasa de cambio, que llamaremos precio de equilibrio (P eq), no

le produce ni ganancias ni perdidas en lo relativo a la exposición al riesgo cambiario. Esto implica

que el agente al considerar esta compra al exterior considera que Peq es el valor adecuado que debe

pagar por lo que ha adquirido. La ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por su exposición

cambiara por cada unidad de la divisa es: P eq-P90, donde P90 es el precio de mercado de la divisa el

día 90, al cual se liquida una transacción en el mercado spot. Si el precio de equilibrio es $1,000 y

el precio de liquidación de la divisa, cuando el agente adquiere la divisa y paga la factura, es

$1,100, la pérdida por divisa es $100. Por el contrario si el precio de liquidación es $900, la utilidad

es $100.

Gráficamente

a. Cobertura tomando posición en Forwards o Futuros

Esta exposición puede compensarse hoy tomando una posición larga en forwards (+F) o

comprando futuros de esa divisa. Si la tasa pactada de venta, o precio de ejercicio, es X, la

ganancia (o pérdida) que el agente recibiría por cada unidad de divisa es: P 90 - X. Si X es

$1,000 y el precio de liquidación de la divisa es $1,100, la utilidad por divisa es $100. Por

el contrario si el precio de liquidación es $900, la pérdida es $100.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxP

Peq


30

Gráficamente

Las posiciones combinadas son entonces CxP + F= P eq – P90 + P90 – X= Peq – X, lo cual es

constante para cualquier P90. Si X es igual a Peq, lo ideal, el resultado de la cobertura es

cero, lo que implica una indiferencia total al riesgo.

Gráficamente

Si el precio de mercado es de $1,100, al combinar las pérdidas de la cuenta por pagar de -

$100 (Peq – P90=$1,000 – $1,100) con las ganancias del forward $100 (P90 – X = $1,100 –

$1,000), el resultado neto es 0. Si el precio de mercado es de $900, al combinar las

ganancias de la cuenta por cobrar $100 (Peq – P90=$1,000 – $900) con las pérdidas del

forward -$100 (P90 – X = $900 – $1,000), el resultado neto también es 0. Como ya se dijo,

esta posición es perfectamente neutral al riesgo.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

F

X

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxP F CxP + F

XPeq


31

b. Cobertura tomando posición en Opciones

Análogamente al caso anterior, la cobertura con forwards (o futuros) descarta la posibilidad

de obtener utilidades en caso de que la tasa al vencimiento (P90) haya evolucionado

favorablemente en relación a la posición del agente. Una alternativa que permite aprovechar

esta coyuntura, en caso de presentarse, es la compra de opciones de compra (Call). En este

caso el poseedor de la opción obtiene un derecho de compra de la divisa en el día 90, pero

no la obligación. Esto significa que el agente solo compra la divisa a la contraparte al precio

establecido (X) si le conviene hacerlo, lo cual sucede cuando el precio de mercado es

superior al precio de ejercicio; en este caso su utilidad es igual a la de la compra del

forward P90-X. Por el contrario, si el precio de mercado es inferior al precio de ejercicio, el

agente simplemente no hace uso del derecho, y compra las divisas en el mercado spot; en

este caso la utilidad de la opción es cero. Por este derecho de compra el agente debe pagar

una prima a la contraparte. Se puede entonces plantear la siguiente tabla para describir la

utilidad de una opción de compra:

{

Esta función se describe mejor como Max(P t-X,0), a la que se le resta la prima pagada por

la opción.

Gráficamente



Al combinar las posiciones en la cuenta por pagar y la opción de compra (Call), obtenemos:

{

, lo cual se simplifica a

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

Call

X


32

{

Si X=Peq, como es el caso de nuestro ejemplo, el agente ha limitado sus pérdidas, cuando el

precio de la divisa sube por encima de X, a 0 (X-Peq=$1,000 -$1,000) menos la prima;

mientras que si el precio cae por debajo de X, su utilidad es P eq-P90, menos la prima.

Gráficamente



Si el precio de mercado de la divisa al vencimiento $900, la utilidad por la cuenta por pagar

es $100 (Peq-P90= $1,000 - $900); la opción vence sin ser ejercida por lo que su utilidad es

0, y la utilidad combinada sigue siendo $100 menos la prima. En caso de un precio de la

divisa de $1,100, se tiene una utilidad negativa por la cuenta por pagar de -$100 (Peq-P90=

$1,000 - $1,100); la opción se ejerce, puesto que el agente compra óptimamente a la

contraparte la divisa a un precio inferior al del mercado, y se genera una utilidad de $100

(Pt-X=$1,100 - $1,000), al combinar ambas la utilidad es 0, con lo que el agente ha

eliminado el riesgo de “down side”, pero aprovecha la bajada de precio de la divisa.

Cabe preguntarse por qué es tan popular el uso de los futuros y los forwards vs. las opciones en lo

que se refiere a cobertura. La respuesta es la prima, usualmente el cambio en el valor del subyacente

debe ser relativamente muy grande para que el agente con cobertura termine en punto de equilibrio.

En nuestro ejemplo, el precio de la divisa debe subir o bajar $30 antes de que el agente, empiece a

obtener utilidades. Naturalmente un subyacente con mucha volatilidad puede subir o bajar mucho

de precio. Sin embargo, la volatilidad también incrementa el valor de la prima.

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

800 900 1000 1100 1200

Pt

Utilidad

CxP Call CxP + Call

XPeq


33

Práctica de Excel

El siguiente instructivo permite deducir el desempeño de las diferentes estrategias planteadas en

este capítulo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

A B C D E F G H

1 CxC Pt CxC -F CxC + -F

Pt 900 -100 100 0

X 1000 Delta 800 -200 200 0

Peq 1000 25 825 -175 175 0

Prima 30 850 -150 150 0

Utilidad 875 -125 125 0

CxC -100 =Pt-Peq 900 -100 100 0

-F 100 =X-Pt 925 -75 75 0

CxC + -F 0 950 -50 50 0

975 -25 25 0

1000 0 0 0

1025 25 -25 0

1050 50 -50 0

1075 75 -75 0

1100 100 -100 0

1125 125 -125 0

1150 150 -150 0

1175 175 -175 0

1200 200 -200 0


34

El área sombreada de gris es una tabla de datos (Datos/Análisis Y si/Tabla de Datos) , que cambia

con Pt,

Posteriormente se pueden graficar los resultados en forma independiente o conjunta como se

muestra en la sección anterior.

Para cada estrategia descrita en el texto aplican las siguientes fórmulas:

1. Cuenta por cobrar y Forward corto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

1 CxC

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B2-B4 =Pt-Peq

-F =B3-B2 =X-Pt

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)


35

2. Cuenta por cobrar y Opción de Venta

3. Cuenta por pagar y Forward largo

4. Cuenta por pagar y Opción de Compra

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

2 CxC

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B2-B4 =Pt-Peq

Put =MAX(B3-B2,0)-B5 =Max(X-Pt,0)-Prima

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

3 CxP

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B4-B2 =Peq-Pt

F =B2-B3 =Pt-X

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A B C

4 CxP

Pt 900

X 1000

Peq 1000

Prima 30

Utilidad

=B1 =B4-B2 =Peq-Pt

Call =MAX(B2-B3,0)-B5 =Max(Pt-X,0)-Prima

=A7&" + "&A8 =SUMA(B7:B8)


36

1.4 Utilidad y Retorno de Inversión en opciones

En capítulos anteriores se definió la función de utilidad para las opciones de compra y de

venta. Es usual descontar el valor de la prima al mostrar la utilidad neta, ignorando el hecho de que son flujos que se dan en periodos de tiempo no coincidentes. Al llevar el pago de la

prima al momento del vencimiento t, a la tasa libre de riesgo kf, se elimina el problema. Luego, al vencimiento la utilidad por la compra de una opción de compra o de venta sería:

Utilidad Opción de Compra = ( ) ( )

Utilidad Opción de Venta = ( ) ( )

C0 y P0 son el valor de las primas pagadas por la opción de compra y la opción de venta, respectivamente, recibidas en el momento 0. La expresión exp(kft) denota el factor que

convierte los valores anteriores a valor futuro4.

Opción de Compra

Puesto que una opción de compra genera más utilidades potenciales cuando el precio de ejercicio es menor, se infiere que la prima pagada por una opción tal es mayor que la prima de una opción equivalente, que solo difiere de la primera por tener un precio de ejercicio

superior. Este hecho se observa en la gráfica a continuación para una opción de compra (Call) con las siguientes condiciones:

Valor del subyacente en el momento de compra S0=100 Tiempo al vencimiento t=3/12 años

Tasa libre de riesgo kf=3.0% Precio de ejercicio X= 90 hasta 110 en incrementos de 5 y sus correspondientes primas5:

4 Esta es una tasa continua.

5 Las primas están calculadas con la fórmula de Black-Scholes. Se asume adicionalmente un tiempo al

vencimiento de 0.25 años y volatilidad de 35%. Esto también aplica para las primas de la opción de venta de

la siguiente sección.

X 90 95 100 105 110

C(0) 13.26 10.01 7.33 5.21 3.60


37

La gráfica ilustra la utilidad de una opción de compra (Call) al vencimiento para diferentes precios de ejercicio y expresando las primas pagadas a valor futuro. Como se observa la

más costosa es la que tiene un precio de ejercicio más bajo, compensado por el hecho de que es la primera que ante un cambio favorable del precio, un incremento del valor del subyacente al vencimiento, obtiene utilidades positivas.

Si la utilidad neta es dividida por la inversión, la prima pagada expresada a valor futuro,

tenemos el retorno de la inversión, como se observa a continuación:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Utilidad Call

90

95

100

105

110


38

Es interesante observar que a pesar de ser la más costosa, la opción con precio de ejercicio de 90 es la menos agresiva de todas. La razón de este comportamiento es que el

inversionista que elige esta opción en realidad asume un menor riesgo que el inversionista que opta por la opción con precio de ejercicio mayor.

Opción de Venta

Igual tipo de análisis puede realizarse para la opción de venta (Put). Como la utilidad potencial crece con precios de ejercicio inferiores, las primas son mayores entre mayor sea

el precio de ejercicio. Este hecho se observa en la gráfica a continuación para una opción de venta (Put) con condiciones similares a las anteriores:

Valor del subyacente en el momento de compra S0=100 Tiempo al vencimiento t=3/12 años

Precio de ejercicio X= 90 hasta 110 en incrementos de 5 y sus correspondientes primas:

-150%

-100%

-50%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Retorno Call

90

95

100

105

110

X 90 95 100 105 110

P(0) 2.59 4.30 6.58 9.42 12.78


39

De manera análoga como sucede con la opción de compra, la opción de venta con el mayor

potencial de utilidad, en este caso la de mayor precio de ejercicio, es la más costosa. Esto se compensa frente a variaciones favorables del subyacente al vencimiento.

Igualmente, al graficar el retorno se obtiene:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Utilidad Put

90

95

100

105

110

-150%

-100%

-50%

0%

50%

100%

150%

200%

250%

300%

350%

80,00 85,00 90,00 95,00 100,00 105,00 110,00 115,00 120,00

Retorno Put

90

95

100

105

110


40

La opción más costosa, como antes, es la menos agresiva de todas. Al elegir esta opción el inversionista asume un riesgo menor que el inversionista que opta por la opción con precio

de ejercicio menor. Adicionalmente debe observarse que la rentabilidad de este tipo de inversiones puede llegar, en el peor de los casos, a -100%, una perdida completa; lo que muestra a las claras lo agresivo de este tipo de operaciones.


41

Práctica en Excel

Opción de Compra

El objetivo es observar numérica y gráficamente el impacto de diferentes precios al vencimiento, St, en la utilidad neta de una posición larga en una opción de compra (Call). Inicialmente se almacena el precio al vencimiento St en la celda C7. Los precios de

ejercicio en incrementos de 5 se almacenan en el rango C8:G8. En las celdas C9 a G9 se formula la utilidad de la opción Max(St-X,0), con la precaución de fijar la celda C7. La

fórmula almacenada en la celda C9 es =MAX($C$7-C8,0), al copiarla hacia la derecha hasta la celda G9, se calculan las funciones de utilidad para los diferentes precios de ejercicio. En las celdas C11 a G11 se proyecta a valor futuro el precio de la prima y en las

celdas C12 a G12 se calcula la utilidad neta. En ambos casos se usan las fórmulas ya descritas.

Una vez calculada la utilidad para diferentes precios de ejercicio se evalúa el efecto que sobre ella tiene diferentes valores del activo subyacente al vencimiento (St). Esto se puede realizar a través de una tabla de datos. Para esto se toman valores de St entre 80 y 120, en

incrementos de 2.5, los cuales se guardan en el rango B13:B29. Para calcular el resultado de la posición se selecciona el rango B12:G29 y a través de la tabla de datos

(Datos/Análisis Y si/Tabla de datos) se define la celda C7, donde se almacena St, como la variable independiente que cambia entre los valores ya definidos. Los resultados se grafican como se mostró previamente.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A B C D E F G

Call Delta X 5 Fecha 01/11/2009

Utilidad kf 3.0% t 0.25 años

Sigma 35.0% Vto 31/01/2010

S0 100

St 100

X 90 95 100 105 110

Call VI(t):Max(St-X,0)

Prima(0) C(0) 13.26 10.01 7.33 5.21 3.60

Prima(t) C(0)*e(kf*t)

Utilidad Call =VI(t)-Prima(t)


42

Para el cálculo de la rentabilidad dividimos la utilidad sobre la inversión:

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ⁄⁄ .

Estos valores se almacenan en las celdas C33 a G33, en el mismo orden anterior. En el rango B34:B50 se guardan los valores para St entre 80 y 120, análogamente al paso anterior, y finalmente con la función tabla se calculan las rentabilidades seleccionando el

rango B33:G50, con la celda de entrada C7, que es la celda donde se almacena el valor de St.


43

Opción de Venta

La única diferencia con el caso anterior es la utilidad de la opción. En este caso se debe almacenar en las celdas C9 a G9 la función Max(X-St,0), la fórmula almacenada en la celda C9 es =MAX(C8-$C$7,0).

En todo lo demás se procede como en el caso anterior.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A B C D E F G

Put Delta X 5 Fecha 01/11/2009

Utilidad kf 3.0% T 0.25 años

Sigma 35.0% Vto 31/01/2010

S0 100

St 100

X 90 95 100 105 110

Put VI(T):Max(X-St,0)

Prima(0) P(0) 2.59 4.30 6.58 9.42 12.78

Prima(T) P(0)*e(kf*T)

Utilidad Put =VI(T)-Prima(T)


44

2. Proceso Lognormal El proceso lognormal presupone que el precio de un activo nunca puede ser negativo. El

precio del activo tiene una tendencia (normalmente creciente) estable a lo largo del tiempo, sin embargo sus valores puntuales son esencialmente aleatorios.

El supuesto fundamental plantea que la distribución de probabilidad de los retornos continuos es normal, así:

[ ̃ ]

(2-1)

es el precio del activo en el periodo t, ̃ el retorno en el periodo.

Esto implica que

t

tt

tS

Str ln~

Puesto que asumimos que la distribución de tr t es normal se tiene:

Distribución de ̃ [( ⁄ ) √ ]

Por lo que podemos re-expresar (1), como:

[( ⁄ ) ̃ ⁄ ] con Z~

~ 0,1N

(2-2)

Si disponemos de series históricas de los precios de los activos podemos hallar los

parámetros y usando las siguientes formulas, que resultan de (2):

* (

)+ [( ⁄ ) ̃ ⁄ ]=( ⁄ )

* (

)+ [( ⁄ ) ̃ ⁄ ]=

Finalmente se obtiene:

( ⁄ ) [ (

)]

;

[ (

)]

Sabemos que t=T/n, donde T implica el horizonte sobre el cual se calculan los parámetros y n el número de periodos en el que se divide. T es usualmente igual a un año, tomando el

valor de T = 1, por lo que t=1/n*, n* puede tomar el valor de 12 (si los datos son mensuales), alrededor de 242 (si los datos son diarios, solo días hábiles), 365 (si los datos

son diarios, días calendario), etc.


45

( ⁄ ) * (

)+ ; * (

)+

(2-3)

Con esta expresión podemos hallar los parámetros de un proceso lognormal para un activo particular con base en los datos históricos y simular series de precios de activos con estos

parámetros.

Veamos

1. Cálculo de la media y varianza anualizada:

En la tabla Tabla 2-1 se listan los precios de final de semana y mes del ADR6 de

Ecopetrol y se calcula su retorno de manera discreta y continua. Es usual en la práctica de negocios el uso de retornos y tasas discretas, aun cuando la manipulación de las tasas discretas genera las diferencias entre tasas nominales y efectivas. Este problema

desaparece cuando se usan tasas continuas. El retorno discreto se calcula como

, su contraparte continua es (

). A menor t la diferencia

entre estos retornos se reduce.

Tabla 2-1

Precios y retornos mensuales y semanales ADR de Ecopetrol, de 03/2009 a 04/2013 Retornos discretos y continuos, no todos los periodos se muestran

6 ADR: American Depositary Receipt. Un ADR representa 1 o más acciones de una empresa no

estadounidense, originalmente listada en otro país, que se negocian en bolsas de EE. UU.

Rentabilidad y VarianzaRetorno Retorno

Mes-año Mes (t) Precio Discreto Continuo

03/2009 0 16.07

04/2009 1 17.25 7.34% =(St+1/St)-1 7.09% =ln(St+1/St)

05/2009 2 20.34 17.91% : 16.48% :

06/2009 3 22.29 9.59% : 9.15% :

07/2009 4 25.16 12.88% : 12.11% :

08/2009 5 24.67 - 1.95% : - 1.97% :

09/2009 6 26.10 5.80% : 5.63% :

10/2009 7 24.10 - 7.66% : - 7.97% :

11/2009 8 24.76 2.74% : 2.70% :

12/2009 9 23.30 - 5.90% : - 6.08% :

01/2010 10 23.39 0.39% : 0.39% :

01/2013 46 63.59 2.27% : 2.24% :

02/2013 47 57.16 - 10.11% : - 10.66% :

03/2013 48 54.52 - 4.62% : - 4.73% :

04/2013 49 47.14 - 13.54% : - 14.54% :


46

Ahora calculamos la media y la varianza de este título, tanto con datos mensuales como semanales:

Con datos mensuales, n es 12 y t es el inverso de n. Al calcular el retorno discreto promedio mes encontramos que esta estimación no es correcta, puesto que al aplicar la

fórmula de valor futuro discreta [F=P(1+’)n] con el valor hallado de ’=2.51% el valor estimado de la acción para el mes 49 sería de 54.19, y no de 47.14, que es el valor correcto.

La tasa correcta se halla despejando ’ de la fórmula de valor futuro, lo cual resulta en un valor de 2.22% (discreta).

Como se ve en el cálculo equivalente con retornos continuos, el problema es inexistente

para esta metodología. La fórmula de valor futuro continua [F=Pexp(’n)] entrega el valor

correcto usando el promedio de las tasas continuas, que es de 2.20%. Este valor coincide

cuando en la ecuación de valor futuro despejamos ’ (=ln(P0/P49)/49). Incidentalmente

podemos hallar la equivalencia entre tasas continuas y discretas, puesto que para cualquier

frecuencia de datos se cumple que 1+’d=exp(’c). Finalmente se observa que la ecuación

Retorno Retorno

Sem-año Semana (t) Precio Discreto Continuo

30/03/2009 0 16.07

06/04/2009 1 16.35 1.74% =(St+1/St)-1 1.73% =ln(St+1/St)

13/04/2009 2 16.52 1.04% : 1.03% :

20/04/2009 3 17.09 3.45% : 3.39% :

27/04/2009 4 17.25 0.94% : 0.93% :

04/05/2009 5 19.15 11.01% : 10.45% :

11/05/2009 6 18.69 - 2.40% : - 2.43% :

18/05/2009 7 19.66 5.19% : 5.06% :

26/05/2009 8 20.34 3.46% : 3.40% :

01/06/2009 9 21.66 6.49% : 6.29% :

08/06/2009 10 22.6 4.34% : 4.25% :

16/02/2010 46 24.95 2.21% : 2.19% :

22/02/2010 47 25.84 3.57% : 3.50% :

01/03/2010 48 26.78 3.64% : 3.57% :

08/03/2010 49 27.03 0.93% : 0.93% :

15/03/2010 50 26.99 - 0.15% : - 0.15% :

08/04/2013 210 48.75 - 10.70% : - 11.31% :

15/04/2013 211 47.25 - 3.08% : - 3.13% :

22/04/2013 212 47.14 - 0.23% : - 0.23% :

Mensual n 12

t 0.083 =1/n

Discreto Continuo

Retorno ' = t 2.51% =promedio(ri) 2.20% =promedio(ri)

P49 54.19 =P0.(1+') 4̂9 47.14 =P0.exp('.49)

¿Qué pasa?

' 2.22% =(P49/P0) (̂1/49)-1 2.20% =ln(P49/P0)/49

Equivalencia

d' 2.22% =exp(c')-1

(Anual) 30.15% =(1+'d-mes) n̂-1 26.36% ='c-mes.n

30.15% =exp(c')-1 = tc-mes.n


47

(3) solo se cumple para retornos continuos, =’c.n, eliminando la diferencia entre tasas

efectivas y nominales, esto significa que el promedio de los retornos continuos si estima

correctamente la media que es 2/2, mientras que el promedio de los retornos discretos

debe ser corregido, puesto que solo estima .

El cálculo se repite para frecuencias semanales. Aquí solo cabe anotar que al convertir las tasas semanales a anuales encontramos, como es de esperar, los mismos valores. El número

de semanas por año no es exactamente 52. Para calcular el número exacto de semanas en el periodo multiplicamos 12 por el número de semanas en el periodo dividido por el número

de meses en el mismo: 12x212/49.

Semanal n 51.92 =12.#Sem/#Mes

t 0.019 =1/n

Discreto Continuo

Retorno ' = t 0.58% =promedio(ri) 0.51% =promedio(ri)

P212 54.68 =P0.(1+') 2̂12 47.14 =P0.exp('.212)

¿Qué pasa?

' 0.51% =(P212/P0) (̂1/212)-1 0.51% =ln(P212/P0)/212

Equivalencia

d' 0.51% =exp(c')-1

(Anual) 30.15% =(1+'d-sem) n̂-1 26.36% ='c-sem.n

30.15% =exp(c')-1 = tc-sem.n


48

Gráfica 2-1

Evolución precio del ADR de Ecopetrol.

Nota: La línea azul solo presenta los datos mensuales

En el caso de los retornos la estimación no cambia dependiendo de la frecuencia de

muestreo, puesto que el retorno solo depende de los datos iniciales y finales. Esto no sucede para el caso de la varianza; como se ve en la gráfica Gráfica 2-1, una menor frecuencia de muestreo soslaya importante información respecto a la variabilidad.

A continuación se calcula la volatilidad de los retornos mensuales, usando tanto los

retornos discretos como los continuos.

Volatilidad Muestral (Datos Mensuales)

Discreto Continuo

Var. Mes 2m'=2

m.t 0.49% =var(ri) 0.49% =var(ri)

2año 0.0593

mes'.n 0.0586

mes'.n

Desv. Mes m 7.03% 2m')1/2 6.99%

2m')1/2

año 24.36% mes '.n1/2 24.21% mes '.n

1/2


49

Al calcular la varianza (muestral o poblacional), usando los retornos discretos o continuos, encontramos que el valor hallado para los datos semanales es diferente, y posiblemente más cercano a la realidad, que el hallado con datos mensuales.

Finalmente, con el cálculo de la varianza se puede mejorar el cálculo del retorno discreto,

aplicando la siguiente corrección ⁄ , que reporta un valor muy cercano a la

realidad:

Volatilidad Muestral (Datos Semanales)

Discreto Continuo

Var. Sem 2m'=2

mt 0.09% =var(ri) 0.09% =var(ri)

2año 0.04619826

m'.n 0.048361

m'.n

Desv. Sem m 2.98% 2m')1/2 3.05%

2m)1/2

año 21.49% sem '.n1/2 21.99% sem '.n

1/2

Corrección Retorno Discreto (Datos Mensuales)

Retorno d' 2.26% ='-2/2

Corrección Retorno Discreto (Datos Semanales)

Retorno d' 0.53% ='-2/2


50

Simulación de una Trayectoria de Precios

En esta sección se usarán los cálculos previos para simular una trayectoria de precios de un

año, con frecuencia semanal (52 semanas) para el ADR de Ecopetrol. Los datos básicos son:

Con la media y la desviación simulamos una posible realización de la trayectoria de precios

del ADR de Ecopetrol implementando la ecuación (2-1): [ ̃ ⁄ ]

en forma sucesiva.

Con base en los parámetros previos valores se desarrolla el siguiente modelo. Primero se

calcula [ ̃ ⁄ ], posteriormente [ ̃ ⁄ ] y así

sucesivamente hasta llegar a T.

Los valores en la columna Z son números aleatorios que responden a una distribución

normal estándar. Programas cuantitativos tales como Matlab o Mathematica tienen la capacidad de generar una serie de este tipo. Otra posibilidad es recurrir a Excel, usando la

función de generación de números aleatorios, procedimiento que detallamos a continuación. En primer lugar seleccionamos [Datos/Análisis de Datos] lo cual despliega la siguiente

pantalla:

Parámetros de SimulaciónADR Ecopetrol

Media () 1.58%

Desviación () 21.99%

t 1.93% semana

S0 47.14

Periodo Fecha Z Precio

0 22/04/2013 47.14

1 29/04/2013 -0.88 45.90 <--=S0.EXP(t+Z .t1/2)

2 06/05/2013 -0.92 44.64 <--=S1.EXP(t+Z .t1/2)

3 13/05/2013 0.80 45.75

4 20/05/2013 0.93 47.08

5 27/05/2013 0.99 48.54

6 03/06/2013 0.76 49.69

7 10/06/2013 -0.14 49.49

8 17/06/2013 -0.81 48.31

9 24/06/2013 -0.12 48.14

10 01/07/2013 -1.85 45.51


51

Al seleccionar generación de números aleatorios debemos a continuación definir el número de variables (columnas) y la cantidad de datos (52 semanas), además de la distribución

deseada (Normal, media = 0, desviación = 1) y la celda donde se desea ubicar el primer dato:

La grafica resultante se muestra a continuación; los datos simulados no pretenden generar

un resultado cercano a los datos reales, puesto que apenas son una realización, entre muchas posibles, de un proceso aleatorio, por lo que su poder predictivo es nulo:


52

Gráfica 2-2

Trayectoria simulada precio del ADR de Ecopetrol.

Intervalo de confianza 90%

Predicciones

Aunque el modelo lognormal no predice una trayectoria particular puede usarse para establecer rangos de posibles realizaciones, intervalos de confianza, futuras con una probabilidad definida (Hull, 2008). Se trabaja en este caso con el logaritmo del precio, que

según los supuestos del modelo lognormal, tiene una distribución normal. Por ejemplo, los valores de una variable y, en un tiempo x (e.g. 6 meses) estarán entre ymax y ymin con una

certeza del z%. A continuación se plantea un modelo que permite tal tipo de cálculos. Siguiendo con el ADR de Ecopetrol, podemos estimar el intervalo de confianza con probabilidad del 90% en 6 meses de la siguiente manera. En primer lugar se estima el valor

esperado del precio, en términos del logaritmo, en un tiempo T: ( ) . Este

valor es 3.86, el cual equivale a un valor de US 47.51 al calcular la exponencial. La

volatilidad acumulada semestral ⁄ es 0.16. Puesto que la variable Z es normal estándar, podemos estimar su realización en los límites superior e inferior del rango superior estimando el inverso de la distribución normal estándar para una probabilidad del

95% (Excel: +/- INV.NORM.ESTAND(95%)). El resultado es Desv=1.64 desviaciones


53

estándar. En otras palabras entre -1.64 y +1.64 desviaciones estándar se encontrarán el 90%

de las realizaciones de la variable. Al multiplicar este valor por la volatilidad acumulada (0.16), obtenemos el Delta o la magnitud en la que se afecta el valor esperado,

⁄ =0.26, hacia abajo y hacia arriba. Estos valores son, en términos del logaritmo de la variable, los límites inferior y superior, Ln(STmin) y Ln(STmax), respectivamente, del

intervalo de confianza esperado. Los valores esperados STmin y STmax, se obtienen nuevamente al calcular la exponencial.

En la Gráfica 2-2, se incorporaron los valores STmin y STmax para T variando entre 0 y 1

año. Este cálculo se puede realizar en Excel usando [Datos/Análisis Y si/Tabla de Datos]

definiendo como variable independiente a T, los valores se reportan a continuación:

Intervalo de Confianza

T 1/2 Seis meses

Ln(ST) 3.86 Ln(S0)+T

E(ST) 47.51 Exp(Ln(ST))

Desviación Semestral Acumulada

T1/2 0.16

Probabilidad

Certeza 95.00% Cola Superior

Desv. 1.64 N-1(Pr=95%)

↑=INV.NORM.ESTAND(H9)

Valores Extremos

Delta 0.26 Desv.T1/2

Ln(STmin) 3.61 Ln(ST)-Delta

Ln(STmax) 4.12 Ln(ST)+Delta

STmin 36.79 Exp(Ln(STmin))

STmax 61.36 Exp(Ln(STmax))


54

Intervalo de Confianza 5.00% 95.00%

Fecha T 36.79 61.36

22/04/2013 - 47.14 47.14

1 20/05/2013 0.08 42.70 52.17

2 17/06/2013 0.15 41.01 54.45

3 15/07/2013 0.23 39.77 56.28

4 12/08/2013 0.31 38.77 57.88

5 09/09/2013 0.38 37.91 59.34

6 07/10/2013 0.46 37.15 60.69

7 04/11/2013 0.54 36.47 61.97

8 02/12/2013 0.61 35.85 63.19

9 30/12/2013 0.69 35.29 64.37

10 27/01/2014 0.77 34.76 65.50

11 24/02/2014 0.84 34.27 66.60

12 24/03/2014 0.92 33.81 67.68

13 21/04/2014 1.00 33.37 68.73


55

Simulación de Trayectorias

Se presenta en este acápite un procedimiento y una macro7 que permite simular 3

trayectorias aleatorias.

Ahora continuamos con la generación de trayectorias aleatorias y la envolvente de

probabilidad (90%) entre 0 y 26 semanas. La hoja de cálculo luce de la siguiente forma:

En las columnas F a H tenemos números aleatorios generados de la misma manera que en

la sección anterior. Las columnas I a K contienen las trayectorias de precios producto de las realizaciones de los números aleatorios. En la columna L se tiene el valor medio de la

variable (Equivalente a la celda B14, nótese que el valor en la semana 26 coincide con el valor calculado previamente). En las columnas M y N tenemos los valores mínimo y máximo que determinan el rango del 90% de probabilidad (Equivalentes a las celdas B24 y

B25, respectivamente)

7 Una macro es un programa en VBA que automatiza o realiza cálculos diferentes a los pre-programados por

Excel.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

E F G H I J K L M N

t z1 z2 z3 Tray1 Tray2 Tray3 Media Min Max

0 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00

1 1.55529051 0.67966084 -0.71240947 104.87 102.35 98.48 100.44 95.96 105.13

2 2.08186975 0.65879817 -0.95084033 111.60 104.70 96.34 100.89 94.59 107.61

3 -1.02654212 0.52924293 -0.64573896 108.95 106.72 95.05 101.34 93.64 109.67

4 -0.230566 0.45768957 0.45420961 108.73 108.57 96.68 101.78 92.91 111.51

5 1.42113322 -2.47382559 -1.2405053 113.60 101.82 93.83 102.24 92.32 113.22

6 0.67235419 -0.06181153 -0.27845545 116.25 102.09 93.52 102.69 91.83 114.83

7 0.58554178 1.5365913 1.0641952 118.68 107.01 96.74 103.14 91.42 116.38

8 -0.49998675 -1.39455096 0.28793011 117.57 103.41 97.95 103.60 91.06 117.87

9 -0.68564759 0.91502216 0.54630391 115.86 106.53 99.89 104.06 90.75 119.32

10 0.35871381 -0.53135636 0.62747063 117.54 105.44 102.09 104.52 90.48 120.74

11 -0.33401989 0.25878535 -1.45424565 116.97 106.67 98.49 104.99 90.24 122.14

12 1.39799795 0.8563643 0.78230642 122.14 109.72 101.10 105.45 90.04 123.50

13 0.61781293 -0.34796585 -1.12923999 124.80 109.15 98.42 105.92 89.85 124.86

14 -1.60237505 -0.02758043 -0.17014713 119.90 109.55 98.39 106.39 89.69 126.19

15 0.62031404 -0.44152443 1.19007836 122.52 108.69 102.14 106.86 89.55 127.51

16 -0.9051837 1.41465307 0.62644631 120.02 113.54 104.39 107.33 89.43 128.82

17 1.17027639 -0.91607035 -1.19209972 124.52 111.19 101.44 107.81 89.32 130.12

18 -0.98879354 1.01035312 0.52291739 121.69 114.85 103.38 108.29 89.23 131.41

19 1.10131396 -0.38502776 1.39962594 126.02 114.14 107.95 108.77 89.15 132.70

20 0.61439096 -0.11249767 -0.9863038 128.76 114.29 105.50 109.25 89.09 133.97

21 0.94688176 0.47483127 -0.19238769 132.77 116.31 105.41 109.73 89.03 135.25

22 -0.84647127 0.36778374 -0.82424094 130.26 118.03 103.48 110.22 88.99 136.52

23 0.58010187 -0.19550725 0.12698365 132.96 117.91 104.31 110.71 88.95 137.78

24 -1.9901745 0.91154106 1.52108441 126.38 121.46 109.28 111.20 88.93 139.05

25 -1.10103429 -0.84144631 0.18678065 123.12 119.19 110.34 111.69 88.91 140.31

26 0.18724791 -0.73868705 0.59683885 124.31 117.29 112.68 112.19 88.90 141.57


56

A continuación se muestran las fórmulas para los cálculos de estos valores para la semana

1, estas fórmulas se repiten hasta la semana 26:

Gráficamente el resultado es el siguiente:

4

5

6

I J

Tray1 Tray2

=B8 =I5

=I5*EXP($B$4*$B$7+F6*$B$5*$B$7^(1/2)) =J5*EXP($B$4*$B$7+G6*$B$5*$B$7^(1/2))

4

5

6

K L

Tray3 Media

=J5 =K5

=K5*EXP($B$4*$B$7+H6*$B$5*$B$7^(1/2)) =$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6)

4

5

6

M

Min

=L5

=$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6-$B$19*$B$5*($E6/$B$6)^(1/2))

4

5

6

N

Max

=M5

=$L$5*EXP($B$4*$E6/$B$6+$B$19*$B$5*($E6/$B$6)^(1/2))


57

Gráfica 2-3

Trayectorias simulada modelo lognormal.

Intervalo de confianza 90%

Generación automática de una serie de Precios

El proceso anterior puede automatizarse fácilmente a través de una macro simple. La macro

transcrita a continuación permite generar tres series de números aleatorios. Para tal fin se crean dos rangos de nombres: 1) Noal, F6:H31, donde se guardan los números aleatorios; 2) celi, F6, la celda inicial.

A continuación se transcribe la macro:

Sub Macro1() '

' Macro1 Macro ' Aleator

' ' Acceso directo: Ctrl+Mayús+A '

Application.ScreenUpdating = False Sheets("Hoja1").Select

Range("Noal").Select

80,00

90,00

100,00

110,00

120,00

130,00

140,00

150,00

0 5 10 15 20 25 30

Precio

Semanas

Trayectorias

Tray1 Tray2 Tray3 Media Min Max


58

' Range(Selection, Selection.End(xlDown)).Select

Selection.ClearContents Application.Run "ATPVBAEN.XLAM!Random", ActiveSheet.Range("celi"), 3, 26 _

, 2, , 0, 1 Sheets("Gráfico1").Select Application.ScreenUpdating = True

End Sub

--------------------- Ejercicios

1. Estime cuales son los valores mínimo y máximo para un intervalo de confianza del 80% dentro de 4 meses para una variable similar a la del ejemplo previo.

2. Genere 4 trayectorias de precios, el valor medio y la envolvente para un intervalo de confianza del 95% entre 0 y 1 año, para una variable con precio inicial de 500, volatilidad del 25% y un retorno esperado del 14%.

3. Valoración de Derivados utilizando la Simulación de Montecarlo

Las herramientas desarrolladas en las secciones anteriores nos permiten estimar el valor de un derivado a través de una simulación. Se valorarán en este caso opciones de compra (Call) y venta (Put) europeas a 6 meses sobre el ADR de Ecopetrol, con un precio de

ejercicio de 50. Puesto que son derivados europeos, solo pueden ejercerse al vencimiento. Una opción de compra (Call) se ejerce si el precio de ejercicio X es inferior al precio de

vencimiento del subyacente ST , la utilidad es en este caso de ST-X, la opción no se ejerce si X es superior a ST , este resultado se esquematiza como el máximo entre ST-X y 0: Max(ST-X, 0). Para la opción de venta (Put) la utilidad es máximo entre X-ST y 0: Max(X-ST , 0)8.

Asumiremos que la volatilidad de los retornos es 21.99%, manteniéndose en los valores estimados previamente, la tasa libre de riesgo es del 4% y el precio actual de la acción es

$47.14.

8 Ver Benavides (2010) y Benninga (2008).

Parámetros de SimulaciónADR Ecopetrol

Tasa libre de riesgo (kf) 4%

Desviación () 21.99%

Media () 1.58% =kf-2/2

T 0.50 años

Fecha 0 22/04/2013

Fecha T 21/10/2013

S0 47.14


59

Puesto que nuestro interés es simular los precios al vencimiento (en 0.5 años), modificamos

el procedimiento previo para obtener el valor final tal que [ ̃ ⁄ ]. Es

importante destacar que = kf-2/2. La razón de este ajuste es que no tenemos mejor

información sobre el retorno esperado de la acción que la tasa libre de riesgo. Ya que el objetivo es una muestra representativa de los posibles valores finales, repetimos el cálculo

un número suficiente de veces tal, que obtengamos la distribución de ̃. La similitud de la

distribución de la muestra y la teórica para 3,000 realizaciones de ̃ se presenta en el gráfico 4.


60

Gráfica 4

Distribución Muestra vs. Normal Histograma de frecuencia de la muestra vs. distribución normal teórica.

3000 simulaciones

Se calculan sucesivamente ST y el valor del derivado al vencimiento. Puesto que la

expectativa más razonable respecto al rendimiento del activo es la tasa libre de riesgo,

expresamos =kf-2/2. A continuación se presentan 2 realizaciones, de las 3000 requeridas,

de ST:

Periodo ̃ Precio (ST)

0

47.14

1 0.67 45.95 <--=S0.EXP(.T+ ̃ ..T1/2)

2 0.09 62.66 <--=S0.EXP(.T+ ̃ ..T1/2)

En la gráfica 5 se incorpora la distribución de valores finales de ST a los cálculos previos.

La línea rosada (graficada sobre el momento del vencimiento de los derivados) presenta esta distribución. Los valores superiores al precio de ejercicio son aquellos en los cuales es

óptimo ejercer la opción de compra (Call), los valores inferiores al precio de ejercicio son aquellos en los cuales es óptimo ejercer la opción de venta (Put). Los valores de los derivados que corresponden a las realizaciones de los precios arriba mostrados se presentan

a continuación. Si el precio final del subyacente es 45.95, el resultado para la opción de compra es Max(45.95-50, 0)=0 ; si el precio final es 62.66, el resultado es Max(62.66-

50,0)=12.66. Los cálculos correspondientes a la opción de venta se calculan en forma análoga:

Call Put

Periodo Max(ST-X,0) Max(X-ST,0)

0

1 - 4.05

2 12.66 -


61

Gráfica 5

Evolución ADR Ecopetrol Las líneas verde (semana) y azul oscura (mes) representan la evolución del precio histórico del ADR de Ecopetrol. Las líneas roja (95% superior) y violeta (5% inferior) representan la evolución del intervalo de confianza del 90%, la línea azul clara es una posible realización del precio. La línea horizontal punteada negra representa el precio de ejercicio X. La línea vertical negra representa el momento del vencimiento de los derivados T. Finalmente, la curva rosada representa la distribución de los valores de ST al momento del vencimiento.

Habiendo obtenido los valores finales, los promediamos. Encontramos así el valor esperado

del derivado, así:

Valor esperado en T de la opción de compra (Call):

∑ ( )

Valor esperado en T de la opción de venta (Put):

∑ ( )

Puesto que el retorno esperado del subyacente es kf, el valor futuro (VF) se descuenta a esta tasa:

Valor esperado en 0 de la opción de compra (Call) o venta (Put): ( )

A continuación se estiman los valores futuro y presente de los derivados analizados:


62

Valor

Futuro, VF

Valor

Presente, V0

Black-

Scholes

Call 2.19 2.15 2.14

Put 4.12 4.04 4.01

En la tabla anterior se presentan los valores obtenidos con la simulación con los valores obtenidos con la fórmula de Black-Scholes, la cual se describirá en secciones posteriores.

Como se observa los resultados por ambos métodos son muy cercanos.


63

4. Valoración de Derivativos, modelo discreto

Los activos derivados pueden valorarse suponiendo que en el futuro inmediato solo pueden

darse 2 estados, en uno de esos estados (U) el valor del activo subyacente es superior al valor actual, mientras que en el otro (D) el valor del activo subyacente es inferior a su valor

actual.

Bajo nuestro supuesto u>1>d. Suponga además que se desea invertir en un portafolio P sin

riesgo. Para tal fin se invierte (Largo) en acciones y se vende (corto) un call. Para descartar una solución trivial suponemos que se cumple que X, el precio de ejercicio, es tal

que S0u>X>S0d.

El valor (costo) actual de tal estrategia es P0 = S0 – c0.

El objetivo es encontrar el valor de que haga que el valor del portafolio no varíe en ninguno de los 2 estados posibles.

En el estado U el valor del portafolio P1U es S0u – Max(S0u – X, 0), por lo que tenemos

P1U = S0u – S0u + X

En el estado D el valor del portafolio P1D es S0d – Max(S0d – X, 0), por lo que tenemos

P1D = S0d

Puesto que nuestro propósito es que el portafolio tenga 0 riesgo, se debe cumplir que

P1U = P1D

S0u – S0u + X = S0d

Resolviendo, tenemos que = (u – X/S0)/(u – d). Puesto que este valor de genera un

portafolio sin riesgo, es correcto descontarlo a la tasa libre de riesgo r, por lo que su valor

presente es (usando su valor en el estado D) S0d e-rt. Esto a su vez debe ser el valor de la

estrategia hoy: S0d e-rt = S0 – c.

Al despejar tenemos que c = S0(1- d e-rt).

Ejercicio

Resuelva este modelo para un Put.

Generalización

La estrategia delineada en los párrafos anteriores permite valorar cualquier derivativo f. Sea

0S0 –f0 el costo del portafolio hoy, compuesto por 0 unidades del activo subyacente y la

S1U = S0u

S0

S1D = S0d


64

venta de f. Sean f1U y f1D los respectivos valores futuros en los estados U y D del derivativo

f.

El valor de es el que resuelve

0S0u – f1U = 0S0d – fD1

0 =(f1U – f1D)/[S0(u – d)] (Ec. 4.1)

Con este valor para 0 se garantiza un portafolio libre de riesgo. El valor presente del

portafolio debe ser igual, en ausencia de arbitraje, al valor (costo) inicial del mismo:

(0S0u – f1U) exp(-rt) = 0S0 – f0

f0 =S0 + (f1U – 0S0u) e-rt (Ec. 4.2 a)

En el caso del estado D esta igualdad se expresa como

f0 =0S0 + f1D – 0S0d) e-rt (Ec. 4.2 b)

Aunque será evidente en secciones posteriores, es conveniente observar que las ecuaciones

4.2 nos muestran que el valor del derivativo es igual a invertir en 0 unidades del activo

subyacente S y en un bono libre de riesgo con valor nominal de f1U – 0S0u ó f1D – 0S0d.

Definamos p = (ert – d)/(u – d) y expresemos f en función de p, f1U y f1D. El resultado es

f0 = e-rt [pf1U +(1-p) f1D]. (Ec. 4.3)

Aunque p es una probabilidad neutral al riesgo, el inversionista promedio, averso al riesgo, también debe aceptar el valor de f hallado por este procedimiento. La razón es que el valor

de f hallado garantiza la ausencia de arbitraje, independientemente de las preferencias del inversionista.

Ejercicio

Compruebe que, sí p = (ert – d)/(u – d), f0 = e-rt[pf1U +(1-p) f1D].

Formulación Alternativa de la Valoración para 2 periodos

En este caso el objetivo es duplicar los pagos futuros del derivativo a través de un

portafolio que incluye 0 unidades del activo subyacente S y la inversión en bonos libres de riesgo B.

Los supuestos del modelo son: 1. Existen 2 periodos, el periodo inicial donde se suscribe el derivado y el periodo

final donde el derivado expira. El tiempo transcurrido entre estos periodos es t.


65

2. El activo subyacente S, cuyo valor actual es S0, solo puede tomar 2 valores futuros

(lo que es equivalente a decir que el futuro solo tiene dos estados U y D): S1U o S1D. Podemos expresar S1U = S0u y S1D = S0d. Los factores u y d estan asociados a la

volatilidad del activo subyacente ya conocido 3. Existe un bono cero cupón o de descuento puro sin riesgo, la tasa libre de riesgo se

denomina r. Esta tasa se compone continuamente, lo que implica que el valor futuro

de un bono con valor de B0 en el siguiente periodo es igual a B0exp(rt), independiente de si el estado es U o D. La tasa normalmente se expresa en términos

anuales por lo que si el tiempo transcurrido entre el periodo 0 y el 1 es 1 año, el valor de t es igual a 1. Si el horizonte es menor, t corresponde a la fracción anual o porcentaje transcurrido. (Si el tiempo hasta la expiración es de 5 meses, t = 5/12).

4. Se cumple que u > ert > d.

Bajo el principio de no arbitraje, 2 activos que tengan pagos futuros idénticos deben tener el mismo precio hoy.

Sean f1U y f1D los pagos futuros en cada estado del derivativo, los cuales para una opción Put corresponden a:

f1U = Max[X-S0u,0]

f1D = Max[X-S0d,0]

Sean 0 el número de unidades del activo subyacente y B0 el monto de la inversión en el

bono libre de riesgo que componen el portafolio. Para cada estado se debe cumplir que:

f1U = 0S0u + B0ert

f1D = 0S0d + B0ert

Este es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, los valores de 0 y B0. Despejamos las incógnitas y encontramos que

0 = (f1U – f1D)/[S0(u – d)] (Ec. 4.1)

B0 = e-rt (f1Du – f1Ud)/(u - d) (Ec. 4.4)

Observese que 0 es el mismo valor hallado previamente, cuando el valor del derivativo se

dedujo como parte de un portafolio sin riesgo.

El valor hoy del derivativo corresponde al valor de la inversión en el activo subyacente

0S0 más el valor de la inversión en el bono libre de riesgo B0.

B1U = B0ert

B0

B1D = B0ert


66

Sea f0 el valor del derivativo en el momento 0, según los supuestos previos se tiene que

f0 = 0S0 + B0 (Ec. 4.5)

Reemplazando 0 y B0 con los valores hallados en las ecuaciones 4.1 y 4.4 se tiene

f0 = (f1U – f1D)/(u – d) + e-rt(f1Du – f1Ud)/(u - d)

Lo que se convierte en (al multiplicar y dividir la primera expresión por ert) f0 = [(f1U – f1D)ert + (f1Uu – f1Dd)]/[(u - d)ert]

Reagrupando términos se tiene f0 = [(f1U (ert – d) + f1D (u – ert)]/[(u - d)ert]

Definamos p = (ert – d)/(u-d)

(1-p) = (u – ert)/(u-d)

Se obtiene así f0 = e-rt[pf1U + (1-p)f1D] (Ec. 4.3)

Como se mencionó en la sección previa este método se conoce como valoración neutral al riesgo.

Ejercicio

Observe las ecuaciones 4.2 y las ecuaciones 4.4 y 4.5. Compruebe que

B0 = e-rt(f1Du – f1Ud)/(u - d) = (f1U –0S0u)e-rt = f1D – 0S0d)e-rt

Las probabilidades en un mundo neutral al riesgo

Debido a que en este mundo conocemos los pagos futuros de cada activo existente con certeza absoluta podemos hallar el valor esperado del derivativo, si conocemos la probabilidad de ocurrencia de cada estado. Esta probabilidad puede hallarse si analizamos

el activo subyacente S.

Para cualquier activo se cumple

1Di1Ui1i fp1pff

En particular para el activo subyacente tenemos:

dSp1upSS ii1i

Adicionalmente podemos plantear que en un mundo neutral al riesgo el valor futuro del

activo subyacente debe ser rt

i1i eSS , combinando las 2 últimas ecuaciones podemos

hallar el valor de p


67

dp1puert

du

dep

rt

El valor actual del derivativo se halla de la misma forma, solo que ahora ya conocemos el valor de p. El valor del derivativo en el periodo i es:

1Di1Ui

rt

i fp1pfef


68

Valoración Multi-periodo

El valor del derivativo puede calcularse de manera más precisa si el tiempo hasta la

maduración se subdivide en varios periodos. A mayor numero de periodos mas preciso es el cálculo.

Suponga que el tiempo hasta el vencimiento del derivativo es T, el cual se expresa en años, y se desea subdividirlo en n periodos. La duración de cada periodo t es T/n. El supuesto

anterior sobre la variación de precios se mantiene. Para cada periodo futuro el precio del activo subyacente solo puede incrementarse en u o reducirse en d. Se cumple que u>ert>d. La probabilidad neutral al riesgo es nuevamente p = (ert-d)/(u-d)

El proceso de variación del activo subyacente para tres periodos se presente en le siguiente

árbol de nodos:

Bajo estas condiciones es claro que la probabilidad p no cambia entre los periodos. La valoración del derivativo se realiza desde el vencimiento hasta el periodo 0 en un proceso

que se esquematiza, en el caso de un call europeo at-the-money, así:

0 1 2 3

S1UUU

S0u3

S1UU

S0u2

S1U S1UUD

S0u S0u2d

S1UD

S0ud

S1D S1UDD

S0d S0ud2

S1DD

S0d2

S1DDD

S0d3

S0


69

Notese que en el periodo 3 (nuestro n) los valores de f3 corresponden a los valores finales de la opción, los cuales llamamos valores intrínsecos en secciones posteriores. Para el

periodo 2 los valores de f2 corresponden a la valoración neutral al riesgo de f3 en sus diferentes estados. El proceso se repite hasta llegar al periodo 0. Es posible por este método encontrar formulas para los valores de opciones call y put

europeas, para n periodos:

Ec. 4.4

Ec. 4.5

La expresión !ink!

n!

i

n

, siendo n el número de periodos e i el número de subidas,

corresponde a una combinatoria que expresa el número de caminos por los cuales puede

llegarse a uno de los valores (nodos) del último periodo. Por ejemplo para llegar a f3UUD es

posible seguir las rutas UUD, UDU o DUU, por lo que 32

3

, lo que puede comprobarse

fácilmente aplicando la fórmula. Cuando n tiende a infinito las ecuaciones 4.4 y 4.5 tienden a los valores reportados por la

fórmula de Black-Scholes, siempre que se defina9 a t-σtσ edyeu .

9 La fórmula también converge si

tσt2-rtσt2-r 22

edyeu

0 1 2 3

f3UUU

S0u3-X

f2UU

[pf3UUU+(1-p)f3UUD]e-rt

f1U f3UUD

[pf2UU+(1-p)f2UD]e-rt

S0u2d-X

f0 f2UD

[pf1U+(1-p)f1D]e-rt

[pf3UUD+(1-p)f3UDD]e-rt

f1D f3UDD

[pf2UD+(1-p)f2DD]e-rt

0

f2DD

[pf3UDD+(1-p)f3DDD]e-rt

f3DDD

0

,0duSXMaxp1pi

nep

X,0duSMaxp1pi

nec

ini

0

inin

0i

rtn

0

ini

0

inin

0i

rtn

0


70

Derivados Americanos y Exóticos

La metodología planteada en la sección anterior se extiende fácilmente a derivativos de

ejercicio temprano, como las opciones americanas, y derivativos exóticos, por ejemplo opciones americanas con precios de ejercicio variable.

Una opción americana puede ser ejercida antes del vencimiento por lo que en cada periodo debe examinarse si es conveniente ejercerla o esperar un periodo adicional. Para este

propósito es conveniente introducir un árbol de nodos para los valores intrínsecos del derivativo. A continuación se presenta el árbol para un call americano at-the-money.

La valoración del derivativo se realiza de manera similar a la planteada para la europea,

solo que en cada nodo que no corresponda al periodo final n o al periodo 0 debe efectuarse la comparación entre el valor hallado por el método neutral al riesgo, el cual es el valor presente de los pagos futuros del derivativo, y el valor intrínseco; el valor seleccionado

corresponde al mayor de los dos. De nuevo los valores del periodo final n son los valores intrínsecos del derivativo al vencimiento.

La función Max (Máximo) permite evaluar en cada nodo si conviene ejercer la opción o es mejor esperar otro periodo.

0 1 2 3

fi3UUU

S0u3 -X

fi2UU

S0u2-X

fi1U f

i3UUD

S0u-X S0u2d-X

fi2UD

0

fi1D f

i3UDD

0 0

fi2DD

0

fi3DDD

0

f0


71

Veamos

0 1 2 3

f3UUU

S0u3-X

f2UU

Max(fi2UU,[pf3UUU+(1-p)f3UUD]e

-rt)

f1U f3UUD

Max(fi1U,[pf2UU+(1-p)f2UD]e

-rt) S0u

2d-X

f0 f2UD

[pf1U+(1-p)f1D]e-rt

Max(fi2UD,[pf3UUD+(1-p)f3UDD]e

-rt)

f1D f3UDD

Max(fi1D,[pf2UD+(1-p)f2DD]e

-rt) 0

f2DD

Max(fi2DD,[pf3UDD+(1-p)f3DDD]e

-rt)

f3DDD

0


72

Ejemplo 1:

Calcule el valor de una opción Put Americana por el método de valoración neutral al riesgo

para un activo subyacente con precio actual de 100, un precio de ejercicio de 103, con un tiempo para la maduración de 2 meses. La tasa libre de riesgo es de 9% anual y la volatilidad anualizada es del 40%. Utilice dos periodos (n =2).

En este caso T = 2/12 y t =T/n.

Escriba los parámetros del modelo y encuentre los factores que determinan la evolución de los precios del activo subyacente: t, u, d, exp(rt), p:

Establezca ahora la evolución de precios del activo subyacente, desde el periodo 0 hasta el periodo 2:

Encuentre los valores del derivativo (tipo europeo) iniciando desde el periodo final

regresando hasta el periodo 0:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A B C D E

Put Americano

S0 100

X 103

T 0.166666667 <--=2/12

n 2 subperiodos

r 9%

=sigma 40%

t =T/n 0.0833 <--=C5/C6

u=exp(t1/2

) 1.1224 <--=EXP(C8*C9^(1/2))

d=1/u 0.8909 <--=1/C10

e(rt) 1.0075 <--=EXP(C7*C9)

p=(ert-d)/(u-d) 0.5037 <--=(C12-C11)/(C10-C11)

Factores del

Modelo

Parametros

14

15

16

17

18

19

20

A B C D E F

0 1 2S

SUU2: uSU1 uu: 125.978 <--=D17*C10

SU1 uS0 u: 112.240 <--=C18*C10

S0, SUD2: S0, dSU1 100.000 ud: 100.000 <--=D17*C11

SD1: dS0 d: 89.095 <--=C18*C11

SDD1: dSD1 dd: 79.379 <--=D19*C11


73

Proceda ahora a hallar los valores que reportaría un ejercicio temprano del derivativo:

Compare los cursos de acción y seleccione la mejor alternativa (el máximo valor), para finalmente encontrar el valor en el periodo cero del derivativo:

La respuesta final es:

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

A B C D E F G

Put Europeo

0 1 2

PUU2: Max(SUU2-X,0) - <--=MAX($C$4-E16,0)

PU1: e-rt

(pPUU2+(1-p)PUD2) 1.478 <--=(E25*$C$13+E27*(1-$C$13))/$C$12

PU0: e-rt

(pPU1+(1-p)PD1) 7.209 3.000 <--=MAX($C$4-E18,0)

PD1: e-rt

(pPUD2+(1-p)PDD2) 13.136 <--=(E27*$C$13+E29*(1-$C$13))/$C$12

PDD2: Max(SDD2-X,0) 23.621 <--=MAX($C$4-E20,0)

=(D26*$C$13+D28*(1-$C$13))/$C$12

32

33

34

35

36

37

38

A B C D E F

Ejercicio Anticipado

0 1 2

- <--=MAX($C$4-D17,0)

13.905 <--=MAX($C$4-D19,0)

39

40

41

42

43

44

45

A B C D E F

Put Americano: Comparacion valores

0 1 2

1.478 <--=MAX(D35,D26)

7.589 <--=(D42*$C$13+D44*(1-$C$13))/$C$12

13.905 <--=MAX(D37,D28)

46

47

B C

Put

Respuesta 7.589


74

Ejemplo 2

La siguiente hoja de Excel muestra la valoración de este mismo derivativo suponiendo 3

periodos. A diferencia del ejercicio anterior, se opta por comparar en una sola celda los valores intrínsecos y neutral al riesgo:

A continuación se calculan los cambios en el precio del activo subyacente y el valor

intrínseco de la opción:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A B C D

Put Americano

Parametros

S0 100 r 9%

X 103 Sigma 40%

T 0.166666667

n 3

Factores

t 0.0556 <--=B5/B6

u 1.0989 <--=EXP(D4*B9^(1/2))

d 0.9100 <--=1/B10

ert

1.0050 <--=EXP(D3*B9)

p 0.5030 <--=(B12-B11)/(B10-B11)

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

A B C D E F G

0 1 2 3

Si / fi

uuu: 132.69 <--=D18*$B$10

- <--=MAX($B$4-E15,0)

uu: 120.75 -

u: 109.89 udu: 109.89 <--=D18*$B$11

- - <--=MAX($B$4-E21,0)

S0: 100.00 ud: 100.00

3.00 3.00

d: 91.00 udd: 91.00 <--=D30*$B$10

12.00 12.00 <--=MAX($B$4-E27,0)

dd: 82.81 20.19

ddd: 75.36 <--=D30*$B$11

27.64 <--=MAX($B$4-E33,0)


75

Ahora hallamos el valor del put europeo:

Y finalmente el americano:

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

A B C D E F G

Put Europeo

0 1 2 3

- <--=MAX($B$4-E15,0)

- <--=(E39*$B$13+E45*(1-$B$13))/$B$12

2.93 - <--=MAX($B$4-E21,0)

=(D42*$B$13+D48*(1-$B$13))/$B$12

7.75 5.93 <--=(E45*$B$13+E51*(1-$B$13))/$B$12

=(C45*$B$13+C51*(1-$B$13))/$B$12

12.70 12.00 <--=MAX($B$4-E27,0)

19.67 <--=(E51*$B$13+E57*(1-$B$13))/$B$12

27.64 <--=MAX($B$4-E33,0)

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

A B C D E F G H

Put Americano

0 1 2 3

- <--=MAX($B$4-E15,0)

- <--=MAX(D19,(E62*$B$13+E68*(1-$B$13))/$B$12)

2.93 - <--=MAX($B$4-E21,0)

=MAX(C22,(D65*$B$13+D71*(1-$B$13))/$B$12)

7.87 5.93 <--=MAX(D25,(E68*$B$13+E74*(1-$B$13))/$B$12)

=MAX(B25,(C68*$B$13+C74*(1-$B$13))/$B$12)

12.95 12.00 <--=MAX($B$4-E27,0)

20.19 <--=MAX(D31,(E74*$B$13+E80*(1-$B$13))/$B$12)

27.64 <--=MAX($B$4-E33,0)


76

Los precios hallados para el put son:

n 2 3

Europeo 7.21 7.75

Americano 7.59 7.87

Los valores hallados para el cálculo con 3 periodos son más exactos. Modelo Risk Neutral para Divisas

Opciones Europeas

El modelo risk neutral se modifica de tal manera que

du

dep

rf)t(r

.

El parámetro rf es la tasa libre de riesgo del país cuya moneda es el activo

subyacente. En el caso de una opción por dólares americanos, es la tasa libre de riesgo de ese

país.

Opciones Americanas

Se procede de igual manera que en el ejercicio anterior.


77

4.a Ejercicios

1. Resuelva para 2 subperiodos, con vencimiento a 2 meses

2. Resuelva el ejercicio anterior con 3 subperiodos con el mismo tiempo al vencimiento

3. Opciones Exóticas

a.

b.

Se cumple para este caso la paridad Put-Call?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

B C D E

Put Americano

Parametros

S0 100

X 103

n 12 subperiodos anuales

rf 9%

=sigma 40%

Factores

t =1/n 0.0833 <--=1/C5

u=exp(t1/2

) 1.1224 <--=EXP(C7*C9^(1/2))

d=1/u 0.8909 <--=1/C10

e(rft) 1.0075 <--=EXP(C6*C9)

=(e(rft)-d)/(u-d) 0.5037 <--=(C12-C11)/(C10-C11)

Ejercicio

Suponga un opcion PUT cuyo precio de ejercicio es variable. Los datos del activo subyacente son:

El tiempo al vencimiento es de 3 meses

S0 100

u 1.1

d 0.95

rf 6% ea (1+rf)^t = 1.00486755

t 1 meses 0.08333333

Precio de Ejercicio X1 X2 X3

100 105 112

Ejercicio

Suponga un opcion CALL cuyo precio de ejercicio es variable. Los datos del activo subyacente son:

El tiempo al vencimiento es de 3 meses

S0 100

u 1.1

d 0.95

rf 6% ea (1+rf)^t = 1.00486755

t 1 meses 0.08333333

Precio de Ejercicio X1 X2 X3

100 105 112


78

Plantilla 1

William Sharpe (Premio Nobel Economía de 1990) fue el primero en sugerir el modelo

binomial. Cox, Ross y Rubinstein (1979) y Rendleman y Bartter (1979) publicaron sendos papers, derivándolo de manera formal. La siguiente plantilla recoge los conceptos básicos de esos primeros modelos:

Valoración Opciones file: Binomial portafolio sin riesgo

S0 200 rf 10%

X 200 T 0,33333333

0 1

S1u S0u 215

f1u 15 Call: Max(S 0 u-X,0)

0 Put: Max(X - S 0 u,0)

S0 200

S1d S0d 180

f1d 0 Call: Max(S 0 d-X,0)

20 Put: Max(X - S 0 d,0)

Cálculo 0

0S0u-f1u =0S0d-f1d

0 =(f1u-f1d)/(S0u-S0d)

0 0,42857143 Call

-0,57142857 Put

Portafolio sin riesgo 0 1

U 0S0u-f1u 77,1428571 Call

-122,857143 Put

P0= 0S0u-f1u)exp(-rfT) 74,6138135 Call

-118,829407 Put

D 0S0d-f1d 77,1428571 Call

-122,857143 Put

Monto inversión acciones

0S0 85,7142857 Call

-114,285714 Put

Valor Derivativo

P0= 0S0-f0

Despejando

f0= 0S0-P0 11,1004722 Call

4,54369234 Put

Modelo Risk-Neutral (Comprobación)

u= S1u/S0 1,08 exp(rfT) 1,03

d= S1d/S0 0,90

p= (exp(rfT)-d)/(u-d) 0,77

1-p 0,23

f0= (f1up+(1-p)f1d)/exp(rfT) 11,1004722 Call

4,54369234 Put

Paridad Put-Call

S0+Put0 204,544

PV(X)+Call0 204,544


79

Plantilla 2

Modelo binomial de 2 periodos

Valoración de OpcionesParametros

S0 u =exp(*t^(1/2)

X d =1/u

rf Local exp((rf-rf1)t)

rf1 Foranea exp(rft)

T p =(exp((rf-rf1)t)-d)/(u-d)

Sigma 1-p

Periodos

t =T/n

Evolución de Precios

S2uu=S0u2

f2uu

S1u=S0u

f1u

S0 S2ud=S0ud

f0 f2ud

S1d=S0d

f1d

S2dd=S0d2

f2dd

Opción

f2uu

f2uu

f'1u [pf2uu+(1-p)f2ud]/exp(rft)

f'1u Max([pf2uu+(1-p)f2ud]/exp(rft),f1u)

Europea f'0 [pf'1u+(1-p)f'1d]/exp(rft) f2ud

Americana f'0 Max([pf'1u+(1-p)f'1d]/exp(rft),f0) f2ud

f'1d [pf2ud+(1-p)f2dd]/exp(rft)

f'1d Max([pf2ud+(1-p)f2dd]/exp(rft),f1d)

f2dd

f2dd


80

Plantilla 3

Modelo binomial de 3 periodos

Modelo Binomial, 3 periodosParametros

S0 1,000.00 u =exp(.t^(1/2))

X 1,030.00 d =1/u

rf 5% Local exp((rf-rf1)t)

rf1 3% Foranea exp(rft)

T 0.50 p =(exp((rf-rf1)t)-d)/(u-d)

n 3 1-p

30% Sigma Delta

Periodos Factor

t =T/n

Evolución de Precios 0 1 2 3

S0 S1u=S0u S2uu=S0u2 S3uuu=S0u3

S1d=S0d S2ud=S0ud S3uud=S0u2d

S2dd=S0d2 S3udd=S0ud2

S3ddd=S0d3

X0 X1 X2 X3

f0 f1u f2uu f3uuu

f1d f2ud f3uud

f2dd f3udd

f3ddd

Opción

f'0 f'1u f'2uu f3uuu

f'1d f'2ud f3uud

f'2dd f3udd

f3ddd

Europea

[pf'1u+(1-p)f'1d]/

exp(rft)

[pf'2uu+(1-p)f'2ud]/

exp(rft)

[pf3uuu+(1-p)f3uud]/

exp(rft) f3uuu

[pf'2ud+(1-p)f'2dd]/

exp(rft)

[pf3uud+(1-p)f3udd]/

exp(rft) f3uud

[pf3udd+(1-p)f3ddd]/

exp(rft) f3udd

f3ddd

Americana

Mx([pf'1u+(1-p)f'1d]/

exp(rft),f0)

Mx([pf'2uu+(1-p)f'2ud]/

exp(rft),f1u)

Mx([pf3uuu+(1-p)f3uud]/

exp(rft),f2uu)f3uuu

Mx([pf'2ud+(1-p)f'2dd]/

exp(rft),f1d)

Mx([pf3uud+(1-p)f3udd]/

exp(rft),f2ud)f3uud

Mx([pf3udd+(1-p)f3ddd]/

exp(rft),f2dd)f3udd

f3ddd


81

5. Modelo de Black-Scholes (tiempo continuo)

Black, Scholes (1973) y Merton (1973) derivaron la fórmula para valorar opciones

europeas en tiempo continuo. Su argumento básico es que en cualquier momento se puede

replicar el valor de una opción como una inversión de 0 unidades del activo subyacente S0

y una inversión con monto B0 en el activo libre de riesgo, el activo subyacente se comporta siguiendo el modelo lognormal de precios, anteriormente discutido. Tenemos entonces que el valor del derivado f0 es:

f0 = 0.S0 + B0 (4)

En tiempo continuo estos valores se modifican permanentemente. El valor de 0 puede

interpretarse como la sensibilidad de la prima de la opción al valor del subyacente.

Para el caso de la opción de compra europea (Call), los valores de 0 y B0 son:

0= N(d1), B0= - X.e

-kf.TN(d

2)

Para el caso de la opción de venta europea (Put), los valores de 0 y B0 son:

0= -N(-d1), B0= X.e

-kf.TN(-d

2)

Las expresiones N(.) representan la distribución normal estándar acumulada. Los términos

d1 y d2 están definidos como:

d1= [Ln(S0/X)+(kf+2/2)T]/(T

1/2)

d2= d1 - T1/2

Los valores de S0, X, kf, y T son el precio actual del subyacente, el precio de ejercicio, la

tasa libre de riesgo, la volatilidad y el tiempo al vencimiento, respectivamente.

Call Europeo: Valor esperado de la función: MAX(ST-X,0)

C0=S0N(d1) - Xe

-kf.TN(d

2)

Put Europeo: Valor esperado de la función: MAX(X-ST ,0)

P0= Xe-rT

N(-d2) - S0N(-d

1)


82

Ejemplo

----------------------- Modificaciones simples a la fórmula de Black-Scholes

Otras fórmulas también han sido desarrolladas para evaluar opciones europeas sobre acciones que pagan dividendos:

1. Pago de Dividendos en periodos discretos y conocidos

Los dividendos se descuentan del valor actual de la Acción:

∑

toma el valor de S0 en las fórmulas anteriores, que se aplican sin cambios

adicionales, d1 también debe ajustarse en consecuencia.

2. Flujo continuo de Dividendos Este flujo continuo se expresa a una tasa q de tal manera que:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

A B C D E F

Put Europeo

Parametros

n 12 subperiodos ano

Subperiodos 2.00

S0 100

X 103

T 0.16666667 <--=B5/B4

rf 9%

Sigma 40%

D1 -0.00750443 <--=(LN(B6/B7)+(B9+(1/2)*B10^2)*B8)/(B10*B8^(1/2))

D2 -0.17080375 <--=B13-B10*B8^(1/2)

N(D1) 0.49700617 <--=DISTR.NORM.ESTAND(B13)

N(D2) 0.43218904 <--=DISTR.NORM.ESTAND(B14)

C 5.84789548 <--=B6*B16-B7*EXP(-B9*B8)*B17

Parity

P 7.31442525 <--=B19+B7*EXP(-B9*B8)-B6

Calculo directo

-D1 0.00750443 <--=-B13

-D2 0.17080375 <--=-B14

N(-D1) 0.50299383 <--=DISTR.NORM.ESTAND(B26)

N(-D2) 0.56781096 <--=DISTR.NORM.ESTAND(B27)

Formula

P 7.31442525 <--=B7*EXP(-B9*B8)*B30-B6*B29


83

También debe ajustarse d1. Asimismo esto aplica a una opción sobre divisas donde

kf1 es la tasa libre de riesgo del país cuya divisa se puede adquirir o vender y la tasa de cambio esta expresada en Moneda local sobre moneda extranjera:

3. Cuando la opción es de venta (Call) americana y paga dividendos se puede aplicar la aproximación de Black. En este caso el valor de la opción es el máximo entre una

opción europea con vencimiento en T, que paga dividendos, como el caso anterior, y una opción europea con vencimiento en t-m-1, siendo este término el instante anterior al pago del último dividendo. Lo que implica que para la segunda opción

∑

, donde tmax=tm-1.

4. Opciones sobre futuros. El valor de S0 se modifica a

Ejercicio. Calcule el valor de una opción de compra por 1 dólar americano a 3 meses. La

opción es at-the-money. Identifique las tasas libre de riesgo apropiadas para cada país (Colombia y E.E. U.U.) y la volatilidad del dólar.


84

Ejercicio de Valoración Neutral al Riesgo y Black-Scholes

Encuentre el valor de las opciones Call y Put europea y americana para la compra de una

divisa cuyo valor en moneda local es de 1000. El tiempo al vencimiento es 4 meses (0.33 años). La volatilidad de los cambios de precio de la divisa es de 30% (anual). Las tasas libre de riesgo en el país local y el país de origen de la divisa son 8% y 3% continuas,

respectivamente. Calcule el valor de las opciones utilizando un árbol de 3 periodos. Calcule estos mismos valores utilizando la fórmula de Black-Scholes, para ambos métodos

compruebe la paridad Put-Call.


85

Valoraciòn Derivativos

Put Black-Scholes

Parametros S0* 990.049834

S0 1000 t 0.11111111 N(-di)

X 1000 u 1.10517092 d1 18.283% 0.42746665

kf 8% d 0.90483742 d2 0.962% 0.49616124

k1 3% exp((kf-k1)t) 1.00557102

Sigma 30% exp(kft) 1.00892851 Put 59.8918367

T 0.33333333 p 0.50282952 Paridad Black-Scholes

n 3 1-p 0.49717048 P0+S0* 1049.94167

PV(X)+C0 1049.94167

Arbol ST Valor Intrinseco

0 1 2 3

X 1000 1000 1000 1000

Delta 0

1349.85881

0

1221.40276

0

1105.17092 1105.17092

0 0

1000 1000

0 0

904.837418 904.837418

95.162582 95.162582

818.730753

181.269247

740.818221

259.181779

Valoración

0

0

0

0

23.1076664 0

23.1076664 0

Put0 65.5618563 46.8933385

Put0Am 67.0491329 46.8933385

109.676684 95.162582

112.694875 95.162582

175.144306

181.269247

259.181779

259.181779

Paridad

S0*+P0 1055.61169

PV(X)+C0 1055.61169


86

Valoraciòn Derivativos

Call Black-Scholes

Parametros S0* 990.049834

S0 1000 t 0.11111111 N(di)

X 1000 u 1.10517092 d1 18.283% 0.57253335

kf 8% d 0.90483742 d2 0.962% 0.50383876

k1 3% exp((kf-k1)t) 1.00557102

Sigma 30% exp(kft) 1.00892851 Call 76.2559211

T 0.33333333 p 0.50282952

n 3 1-p 0.49717048

Arbol ST Valor Intrinseco

0 1 2 3

X 1000 1000 1000 1000

Delta 0

1349.85881

349.858808

1221.40276

221.402758

1105.17092 1105.17092

105.170918 105.170918

1000 1000

0 1.1369E-13

904.837418 904.837418

0 0

818.730753

0

740.818221

0

Valoración

349.858808

349.858808

226.187693

226.187693

138.555969 105.170918

138.555969 105.170918

Call0 81.9259407 52.4150541

Call0Am 81.9259407 52.4150541

26.1226007 0

26.1226007 0

0

0

0

0


87

6. Estrategias de Inversión con opciones, acciones, futuros y bonos Existen diferentes estrategias de inversión con los activos derivativos y sus subyacentes. El

resultado de estas estrategias (pago) puede ilustrarse como función del valor del subyacente en el momento t’. Usualmente t’ corresponde a T, que identifica el vencimiento de los

títulos involucrados en la estrategia. El estudiante interesado en la inversión en activos derivativos puede construir un modelo que le permita entender el resultado de diferentes combinaciones al vencimiento. Si, adicionalmente, en la plantilla se involucran macros que

permitan valorar opciones americanas (aproximación binomial) y europeas (Black-Scholes) aparte de futuros o forwards también se podrán valorar calendar spreads u otras

combinaciones que incluyan derivados que no aún no se hayan vencido y que permitan evaluar la posibilidad de una liquidación temprana.

A continuación se delineará como se construye tal modelo.

1. Funciones de utilidad para cada los tipos de activos involucrados al vencimiento: a. Futuro o forward: (Largo) ST-XF,T1, (Corto) XF,T 1-ST . XF,T 1 es el precio

pactado del futuro (ejercicio) en el vencimiento T1 y ST es el precio en el

momento de estudio. b. Call: (Largo) Max(ST-X,0), (Corto) -Max(ST-X,0).

c. Put: (Largo) Max(X-ST ,0), (Corto) -Max(X-ST ,0). d. Bono: X. X es el valor nominal del bono. e. Subyacente: ST . ST es el es el precio en el momento de estudio.

2. Antes del vencimiento se pueden valorar los activos usando las siguientes fórmulas a. Forward: ST - XF,T 1.exp(-kf.t), donde kf es la tasa libre de riesgo y t es el

tiempo que resta al vencimiento (T1-T). En este caso ST corresponde al

precio en el momento de la valoración. b. Opciones: Fórmula de Black-Scholes o aproximación binomial. Ver macros

más adelante c. Bono: exp(-kf.t).X

Estructura del Modelo

1. Área de parámetros, los significados de los símbolos son los usuales. La utilidad se

evalúa en t1. Algunas posiciones no maduran aún, pudiendo madurar en t2 y t3.

Todos pueden ajustarse a voluntad. 2. También se definen los valores de S0, St1, X1 a X4, que son el valor del subyacente

hoy, en t1 y diferentes valores de precios de ejercicio, respectivamente. 3. La tasa libre de riesgo y la volatilidad (Sigma) también pueden modificarse. 4. XF,t1 y XF,t2 son los precios de ejercicio de los forward, calculados llevando S0 a los

respectivos vencimientos a la tasa libre de riesgo (e.g. XF,t1=S0.exp(kf.t1)). De esta forma no debe pagarse por el forward, dado que su valor presente es 0.


88

Funciones básicas

El modelo incorpora el cálculo de las primas o la inversión en activos. Se pueden elegir 16 tipos de inversiones, el subyacente, bonos, forwards y opciones europeas. La columna H

define si al calcular el resultado de la estrategia de inversión se consideran las primas pagadas o la inversión realizada (para el caso del subyacente y el bono). Las primas de las

opciones se llevan a valor futuro (t1) para que todos los flujos correspondan al mismo momento. Las primas se calculan con la fórmula de Black-Scholes.

Combinación de posiciones

En la siguiente tabla, celdas azules de la columna B, se definen las posiciones que se toman. Si se agregan números enteros positivos implica que se han tomado posiciones

largas (compra) en los activos referenciados; si el número es negativo las posiciones son cortas (venta). El valor de -1 en la celda B34, implica que se vendió una unidad del

subyacente. El valor de 0.5 en la celda B37 significa que se compró medio forward, con vencimiento en t2, y precio de ejercicio XF,t2. El valor de 1 en la celda B38 implica que se compró un Call con vencimiento en t1 y precio de ejercicio X1. Las celdas en la columna D


89

presentan la utilidad de cada posición particular, evaluado para St1. El resultado global está

en la celda D50.

Resultados

En la siguiente tabla de datos se calculan los resultados hasta para cuatro de las posiciones individuales y la utilidad total para diferentes valores de St1. En la celda D52 se calcula el

monto total de la inversión en el momento 0. Los resultados gráficos también se presentan.


90

Utilidad -1 unidad subyacente

Utilidad 0.5 forwards

Utilidad 1 Call

Utilidad -0.5 Put

Utilidad Total Posiciones, con inversión


91

Guía para construir un modelo alternativo

1. Área de parámetros, los significados de los símbolos son los usuales. El tiempo al

vencimiento en este ejemplo es T=0.25 aunque para este ejemplo este valor no afecta los resultados.

Funciones básicas

En las siguientes celdas se ingresan las funciones de utilidad (columna B), las primas o valores iniciales de los activos (columna C) y la utilidad o profit al descontar los costos

iniciales (columna D). Si la posición es corta, en el caso de las opciones la prima es un ingreso recibido por vender la opción.

Combinación de posiciones

En la siguiente tabla si se agregan números enteros positivos implica que se han tomado posiciones largas (compra) en los activos referenciados; si el número es negativo las

posiciones son cortas (venta). El valor de -2 en la celda E22, implica que se vendieron dos Call con precio de ejercicio X2. La combinación de posiciones de la estrategia denominada

A se ingresan en el rango E21:E28. Las estrategias B, C y D siguen la misma lógica.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B C D

Modelo

Condicion X1<X2<X3

ST 50

X1 30

X2 50

X3 70

Vol () 40% rf 6%

T 0.25

9

10

11

12

13

14

15

16

17

A B C D

Pago

Costos Prima/Compra Profit

Call X1 =MAX($B$3-B4,0) 10.64 =B10-C10

Call X2 =MAX($B$3-B5,0) 0.68 =B11-C11

Call X3 =MAX($B$3-B6,0) 0.00869 =B12-C12

Put X1 =MAX(B4-$B$3,0) 0.19681 =B13-C13

Put X2 =MAX(B5-$B$3,0) 9.94 =B14-C14

Put X3 =MAX(B6-$B$3,0) 28.96 =B15-C15

Accion =B3 40 =B16-C16

Bono =B4 29.55 =B17-C17


92

Resultados

En la siguiente tabla se calculan los resultados. La tabla simplemente multiplica las posiciones por el profit (utilidad) y luego las suma. Este resultado luego se gráfica a través

de una tabla dinámica donde la variable es ST, el valor al vencimiento del activo subyacente.

A continuación se presenta la tabla dinámica.

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

A B C D E F G H

Posiciones

Notas A B C D

1 Compra una unidad Call X1 1 0 -1 0

-1 Venta una unidad Call X2 -2 0 2 0

Call X3 1 0 -1 0

Put X1 0 1 0 -1

Put X2 0 -2 0 2

Put X3 0 1 0 -1

Accion 0 0 0 0

Bono 0 0 0 0

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

E F G H

Resultados

=$D10*E21 =$D10*F21 =$D10*G21 =$D10*H21

=$D11*E22 =$D11*F22 =$D11*G22 =$D11*H22

=$D12*E23 =$D12*F23 =$D12*G23 =$D12*H23

=$D13*E24 =$D13*F24 =$D13*G24 =$D13*H24

=$D14*E25 =$D14*F25 =$D14*G25 =$D14*H25

=$D15*E26 =$D15*F26 =$D15*G26 =$D15*H26

=$D16*E27 =$D16*F27 =$D16*G27 =$D16*H27

=$D17*E28 =$D17*F28 =$D17*G28 =$D17*H28

=SUMA(E30:E37) =SUMA(F30:F37) =SUMA(G30:G37) =SUMA(H30:H37)


93

Las estrategias planteadas corresponden a lo siguiente:

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

B C D E F G H

Tabla Dinámica

=E20 =F20 =G20 =H20

=E38 =F38 =G38 =H38

Delta 5 0 =TABLA(,B3) =TABLA(,B3) =TABLA(,B3) =TABLA(,B3)

=D43+$C$43 =TABLA(,B3) =TABLA(,B3) =TABLA(,B3) =TABLA(,B3)




















24

25

26

27

J K

A Butterfly (Call)

B Butterfly (Put)

C -Butterfly (Call)

D -Butterfly (Put)


94

Las cuales se grafican a continuación:

Esta tabla presenta el aspecto del modelo con los resultados numéricos de la plantilla sin incluir la tabla:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

I J K L M N O P Q

Butterfly (Call)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120

Butterfly (Put)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120

-Butterfly (Call)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120

-Butterfly (Put)

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 20 40 60 80 100 120


95

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

A B C D E F G H

Modelo

Condicion X1<X2<X3

ST 50

X1 30

X2 50

X3 70

Vol () 40% rf 6%

T 0.25

Pago

C

o Profit

Call X1 20 9.36

Call X2 0 -0.68

Call X3 0 -0.01

Put X1 0 -0.2

Put X2 0 -9.94

Put X3 20 -8.96

Accion 50 10

Bono 30 0.45

Posiciones

Notas A B C D

1 Compra una unidadCall X1 1 0 -1 0

-1 Venta una unidadCall X2 -2 0 2 0

Call X3 1 0 -1 0

Put X1 0 1 0 -1

Put X2 0 -2 0 2

Put X3 0 1 0 -1

Accion 0 0 0 0

Bono 0 0 0 0

Resultados

9.36 0 -9.36 0

1.36 0 -1.36 0

-0.01 0 0.009 0

0 -0.2 0 0.197

0 19.88 0 -19.9

0 -8.96 0 8.96

0 0 0 0

0 0 0 0

10.71 10.72 -10.7 -10.7


96

Los costos de las primas pueden ser calculados programando las siguientes macros en la

hoja de cálculo. Lo que permitiría una apreciación más correcta de la utilidad.

Macros

A continuación se presentan los códigos de 2 macros que valoran opciones americanas o europeas. Estos macros permiten valorar opciones sobre activos que generen una tasa de

dividendos conocida de antemano u opciones sobre divisas. Los parámetros son los siguientes:

S: Precio del subyacente en el momento de la valoración. X: Precio de ejercicio al vencimiento. rf: tasa libre de riesgo (local).

r1: tasa de dividendos o tasa libre de riesgo foránea. n: periodos de la evaluación, a mayor n más precisa es la valoración.

e: 1 si la opción es europea

Function CallAmEuD(S, X, rf, r1, T, n, sigma, e)

dt = T / n u = Exp(sigma * Sqr(dt)) d = Exp(-sigma * Sqr(dt))

r = Exp(rf * dt) r2 = Exp((rf - r1) * dt)

Pr = (r2 - d) / (u - d) Dim OpcPagoFin() As Double Dim OpcPagoMed() As Double

Dim OpcPagoAme() As Double ReDim OpcPagoFin(n + 1)

For Estado = 0 To n OpcPagoFin(Estado) = Application.Max(S * u ^ _

Estado * d ^ (n - Estado) - X, 0) Next Estado

For Indice = n - 1 To 0 Step -1

ReDim OpcPagoMed(Indice) ReDim OpcPagoAme(Indice)

If e = 0 Then For Estado = 0 To Indice

OpcPagoAme(Estado) = S * u ^ _ Estado * d ^ (Indice - Estado) - X

Next Estado ElseIf e = 1 Then

For Estado = 0 To Indice


97

OpcPagoAme(Estado) = 0

Next Estado End If

For Estado = 0 To Indice OpcPagoMed(Estado) = Application.Max(OpcPagoAme(Estado) _

, ((1 - Pr) * OpcPagoFin(Estado) + Pr * OpcPagoFin(Estado + 1)) / r) Next Estado

ReDim OpcPagoFin(Indice) For Estado = 0 To Indice

OpcPagoFin(Estado) = OpcPagoMed(Estado) Next Estado

Next Indice CallAmEuD = OpcPagoMed(0)

End Function

----------------------------------------------------------- Function PutAmEuD(S, X, rf, r1, T, n, sigma, e) dt = T / n

u = Exp(sigma * Sqr(dt)) d = Exp(-sigma * Sqr(dt))

r = Exp(rf * dt) r2 = Exp((rf - r1) * dt) Pr = (r2 - d) / (u - d)

Dim OpcPagoFin() As Double Dim OpcPagoMed() As Double

Dim OpcPagoAme() As Double ReDim OpcPagoFin(n + 1) For Estado = 0 To n

OpcPagoFin(Estado) = Application.Max(X - S * u ^ _ Estado * d ^ (n - Estado), 0)

Next Estado For Indice = n - 1 To 0 Step -1 ReDim OpcPagoMed(Indice)

ReDim OpcPagoAme(Indice) If e = 0 Then

For Estado = 0 To Indice OpcPagoAme(Estado) = X - S * u ^ _ Estado * d ^ (Indice - Estado)


For Estado = 0 To Indice OpcPagoAme(Estado) = 0 Next Estado

End If


98


OpcPagoMed(Estado) = Application.Max(OpcPagoAme(Estado) _ , ((1 - Pr) * OpcPagoFin(Estado) + Pr * OpcPagoFin(Estado + 1)) / r)

Next Estado ReDim OpcPagoFin(Indice) For Estado = 0 To Indice


Next Indice PutAmEuD = OpcPagoMed(0) End Function


99

7. Convergencia Formula de Valoración de Opciones, Discreta vs.

Black-Scholes

Cox, Ross y Rubinstein (1979) y Rendleman y Bartter (1979) independientemente, desarrollan el modelo discreto, sugerido por Sharpe y aquí llamado “Risk Neutral”, basado

en un precio futuro de 2 estados, para la valoración de opciones. Puesto que es un modelo recursivo, permite la incorporación de características que no pueden ser tomadas en cuenta en la expresión explicita deducida por Black y Scholes (1973), en particular el ejercicio

temprano de la opción. En esta sección se desarrolla la expresión general para opciones europeas que se encuentra

en el trabajo de Cox, Ross y Rubinstein. El árbol de precios del subyacente evoluciona de la siguiente forma:

A continuación se plantea el modelo para un periodo:

[ ( ) ( ) ]

Donde f denota cualquier derivado y los subíndices u y d denotan las alzas o bajas, respectivamente. denota el pago al vencimiento (después de n periodos), luego

de a subidas y n-a bajadas, en el caso anterior n es igual a 1. Para el caso de una opción de

compra la fórmula se convierte en:

[ ( ) (

)

( ) ( )]

Y para 2 periodos es:

[ ( ) (

)

( ) ( )

( ) ( )]

Evolución Precio ST

S0 S1 S2 … Sn-2 Sn-1 Sn

S0und0

S0un-1d0

S0un-2d0 S0u

n-1d1

… S0un-2d1

S0u2d0 … S0u

4-2d2

S0u1d0 … …

S0 S0u1d1 … …

S0u0d1 … …

S0u0d2 … S0u

2dn-2

… S0u1dn-1

S0u0dn-2 S0u

1dn-1

S0u0dn-1

S0u0dn


100

Esta fórmula10 se generaliza para n periodos:

[∑ (

) ( ) (

)

]

El factor de valor presente es , con

, donde es la tasa libre de riesgo en

tiempo continuo, T es el tiempo a la madurez y n es el número de periodos. El número de

alzas en el precio es a . El término ( ) es la combinatoria, que se puede interpretar como el

número de caminos posibles para alcanzar un determinado nodo, si en las diferentes rutas

siempre hay a alzas. La fórmula puede simplificarse para el caso del call (y del put), puesto que dependiendo de la relación entre S0 y X, por debajo de cierto número de alzas, aumbral, la opción no se ejerce.

Esta relación es:

, el cual se resuelve para aumbral:

( ) (

)

( )

, con lo que la fórmula 1, se simplifica a:

[ ∑ (

) ( ) (

)

]

Reorganizando los términos se tiene:

∑ ( ) (

)

( ( )

)

∑ (

) ( )

Si se define

, se tiene que

( ), con lo que la expresión anterior es11:

∑ ( ) ( ) ( )

∑ (

) ( )

Las términos dentro de la sumatoria representan el complemento de la distribución

binomial acumulada:

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

y

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

La expresión final es:

( ( ))

( ( ))

Para el caso del put se tiene

10

Para un derivado genérico, sin ejercicio anticipado, la fórmula es:

[∑(

) ( )

]

11 Recuerde que


101

∑ (

) ( )

∑ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

En el límite (cuando n→∞) estas expresiones convergen a las conocidas fórmulas de Black-Scholes:

( )

( )

( ) ( )

Ejemplo:

Se calcula la convergencia para una divisa S, cuyo valor actual es 1,500. Se valoran opciones Call y Put europeas con precio de ejercicio X de 1,550, tiempo al vencimiento T de 1 año, volatilidad de 40% y tasas libres de riesgo locales y foráneas de 4% y 1%,

respectivamente. La fórmula binomial se calcula en principio para 6 periodos.

A continuación se calculan los parámetros del modelo binomial.

Valoracion Call y Put

Datos

S0 1,500

X 1,550

40.00%

T 1 años

kf 4.00% Local

kf1 1.00% Foránea

n 6 periodos

Parámetros

t 0.167 =T/n

u 1.177 =exp(.t^(1/2))

d 0.849 =1/u

ekf.t

1.007

e(kf-kf1).t

1.005

u-d 0.328

p 0.475 =(e(kf-kf1).t

-d)/(u-d)

1-p 0.525

p' 0.556 =u.p/e(kf-kf1).t

1-p' 0.444

athreshold 3.100 =Ln(X/(S0.dn))/Ln(u/d)

amax 3.000 =Entero(athreshold)


102

Cálculos Finales

Las fórmulas para el Call y el Put se desarrollaron en los párrafos previos; se estiman ahora

para los parámetros previos. Puesto que el propósito es ver si los valores convergen cuando se aplica la fórmula de Black-Scholes, también se presenta este valor.

Como se observa para n=6 hay una diferencia apreciable entre los 2 métodos. A

continuación se presenta la evolución del precio para valores crecientes de n:

Complemento Distribución Binomial Acumulada

1- (amax,n,p') 0.45 =1-Bin(Ent(amax),n,p',1) Acumulado

1- (amax,n,p) 0.30 =1-Bin(Ent(amax),n,p,1) Acumulado

(1) S0.e-kf1.T

.(1- (amax,n,p')) 673.56

(2) X.e-kfT

.(1- (amax,n,p)) 442.77

(1)-(2) Call 230.79 =S0.e-kf1.T

. (amax,n,p') - X.e-kfT

. (amax,n,p)

Black-Scholes 233.67

(amax,n,p') 0.55 =Bin(Ent(amax),n,p',1)

(amax,n,p) 0.70 =Bin(Ent(amax),n,p,1)

(3) X.e-kfT

. (amax,n,p) 1,046.45

(4) S0.e-kf1.T

. (amax,n,p') 811.51

(3)-(4) Put 234.94 =X.e-kfT

.(1- (amax,n,p))-S0.e-kf1.T

.(1- (amax,n,p'))

Black-Scholes 237.82

Paridad Put-Call

S0e-kf1T

+P0 1,720.02

Xe-kfT

+ C0 1,720.02


103

Como se observa, los valores obtenidos por el método binomial se acercan a los de Black-

Scholes a medida que n se incrementa. Gráficamente:

n Call RN Call BS Put RN Put BS

230.793 233.673 234.942 237.822

1 289.671 233.673 293.820 237.822

2 218.074 233.673 222.223 237.822

4 227.727 233.673 231.876 237.822

8 232.198 233.673 236.347 237.822

16 233.932 233.673 238.081 237.822

32 234.400 233.673 238.549 237.822

64 234.344 233.673 238.493 237.822

128 234.112 233.673 238.261 237.822

256 233.851 233.673 238.000 237.822

512 233.618 233.673 237.767 237.822

1024 233.712 233.673 237.861 237.822

2048 233.672 233.673 237.821 237.822

4096 233.685 233.673 237.834 237.822

8192 233.678 233.673 237.827 237.822

16384 233.675 233.673 237.824 237.822

32768 233.675 233.673 237.824 237.822

65536 233.674 233.673 237.823 237.822

131072 233.673 233.673 237.822 237.822


104

El método para valoración de opciones neutral al riesgo converge a la formula de Black-

Scholes a medida que se incrementa el numero de subperiodos en que se divide el tiempo hasta la maduración de la opción.

7.1 Ejercicio de convergencia, usando Macros El siguiente ejercicio muestra como los valores convergen para las opciones tipo europeo, tanto Call como Put. Adicionalmente se muestra como el valor de una opción Put tipo

Americano es siempre mayor que una opción Put tipo Europeo.

La simulación trabaja sobre formulas creadas a través de macros de Excel cuyo código también se adjunta.

La valoración se realiza sobre Opciones Americanas y Europeas de las siguientes características:

Valor del Activo Subyacente (S0): 100 Precio de Ejercicio (X): 103 Tiempo para la maduración (T): 2 meses (2/12 de año)

Tasa libre de riesgo (r): 9% Volatilidad de S (Sigma): 40%

Opciones Put

A continuación se describe la implementación del ejercicio en Excel

Las formulas usadas para la valoración de cada tipo de opción (para 1 subperiodo) se muestran a continuación

Los valores resultantes son:

1

2

3

4

5

6

A B C

Valoracion Put

S 100

X 103

T 0.16667 <--=2/12

r 9%

Sigma 40%

8

9

10

11

A B M N O P

n 1

PutEu 8.8037 <--=PutAmEu($B$2,$B$3,$B$5,$B$4,B8,$B$6,1)

PutBS 7.3144 <--=PutBS($B$2,$B$3,$B$5,$B$4,$B$6)

Putam 8.8037 <--=PutAmEu($B$2,$B$3,$B$5,$B$4,B8,$B$6,0)

8

9

10

11

A B C D E F G H I J K L

n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

PutEu 8.8037 7.2094 7.3729 7.4127 7.3973 7.3638 7.3290 7.3037 7.3204 7.3123 7.3140

PutBS 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144 7.3144

Putam 8.8037 7.5886 7.6567 7.6295 7.5832 7.5396 7.5042 7.4839 7.4956 7.4884 7.4892


105

Los cuales se grafican a continuación, el eje de abcisas (X), en escala logarítmica, indica el

número de subperiodos que se utilizan para las formulas:

Se puede observar como las formulas convergen en el caso de la valoración binomial y de

Black-Scholes para el Put Europeo.

Opciones Call

Con las mismas condiciones anteriores se muestra como se implementan las formulas para

1 subperiodo:

Las cuales extendidas hasta 1024 subperiodos nos entregan los siguientes valores:

Convergencia Valoración Put

B-S y Binomial

7.0

7.2

7.4

7.6

7.8

8.0

8.2

8.4

8.6

8.8

9.0

1 10 100 1000 10000

Subperiodos

PutEu PutBS Putam

37

38

39

40

A B M N O P

n 1

CallEu 7.33719 <--=CallAmEu($B$2,$B$3,$B$5,$B$4,B37,$B$6,1)

CallBS 5.8479 <--=CallBS($B$2,$B$3,$B$5,$B$4,$B$6)

CallAm 7.33719 <--=CallAmEu($B$2,$B$3,$B$5,$B$4,B37,$B$6,0)

37

38

39

40


n 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

CallEu 7.33719 5.74291 5.90635 5.94619 5.93073 5.8973 5.86245 5.83713 5.85391 5.84577 5.84744

CallBS 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479 5.8479

CallAm 7.33719 5.74291 5.90635 5.94619 5.93073 5.8973 5.86245 5.83713 5.85391 5.84577 5.84744


106

Cuya gráfica se presenta:

El estudio de la grafica nos muestra que el valor de una opción Call tipo americano y una tipo europeo es el mismo. Ambos convergen al valor entregado por la formula de Black-

Scholes.

Convergencia Valoración Call

B-S y Binomial

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

1 10 100 1000 10000

Subperiodos

CallEu CallBS CallAm


107

Código de Visual Basic para la implementación de las Formulas utilizadas para el

ejercicio

Valoración de una Opción Put, Tipo americano o europeo, método binomial

Function PutAmEu(S, X, rf, T, n, sigma, e)

dt = T / n u = Exp(sigma * Sqr(dt))

d = Exp(-sigma * Sqr(dt)) r = Exp(rf * dt) Pr = (r - d) / (u - d)


Dim OpcPagoAme() As Double ReDim OpcPagoFin(n + 1) For Estado = 0 To n

OpcPagoFin(Estado) = Application.Max(X - S * u ^ _ Estado * d ^ (n - Estado), 0)

Next Estado For Indice = n - 1 To 0 Step -1 ReDim OpcPagoMed(Indice)

ReDim OpcPagoAme(Indice) If e = 0 Then

For Estado = 0 To Indice OpcPagoAme(Estado) = X - S * u ^ _ Estado * d ^ (Indice - Estado)


For Estado = 0 To Indice OpcPagoAme(Estado) = 0 Next Estado

End If For Estado = 0 To Indice

OpcPagoMed(Estado) = Application.Max(OpcPagoAme(Estado) _ , ((1 - Pr) * OpcPagoFin(Estado) + Pr * OpcPagoFin(Estado + 1)) / r) Next Estado

ReDim OpcPagoFin(Indice) For Estado = 0 To Indice

OpcPagoFin(Estado) = OpcPagoMed(Estado) Next Estado Next Indice

PutAmEu = OpcPagoMed(0) End Function


108

Los parámetros de la función son auto explicativos excepto el último e, el cual es 1 si se

quiere valorar una opción tipo Europeo y 0 si es tipo Americano.

Valoración de una Opción Put, Tipo europeo, formula Black-Scholes

Function PutBS(S, X, rf, T, sigma)

d1 = (Application.Ln(S / X) + (rf + sigma ^ 2 / 2) * T) / (sigma * Sqr(T)) d2 = d1 - sigma * Sqr(T) d1n = -d1

d2n = -d2 drf = Exp(-rf * T)

PutBS = Application.NormSDist(d2n) * drf * X _ - Application.NormSDist(d1n) * S End Function

Valoración de una Opción Call, Tipo americano o europeo, método binomial

Function CallAmEu(S, X, rf, T, n, sigma, e)

dt = T / n u = Exp(sigma * Sqr(dt))

d = Exp(-sigma * Sqr(dt)) r = Exp(rf * dt) Pr = (r - d) / (u - d)


Dim OpcPagoAme() As Double ReDim OpcPagoFin(n + 1)

For Estado = 0 To n OpcPagoFin(Estado) = Application.Max(S * u ^ _

Estado * d ^ (n - Estado) - X, 0) Next Estado

For Indice = n - 1 To 0 Step -1

ReDim OpcPagoMed(Indice) ReDim OpcPagoAme(Indice)

If e = 0 Then For Estado = 0 To Indice

OpcPagoAme(Estado) = S * u ^ _ Estado * d ^ (Indice - Estado) - X Next Estado


109

ElseIf e = 1 Then

For Estado = 0 To Indice OpcPagoAme(Estado) = 0

Next Estado End If

For Estado = 0 To Indice OpcPagoMed(Estado) = Application.Max(OpcPagoAme(Estado) _

, ((1 - Pr) * OpcPagoFin(Estado) + Pr * OpcPagoFin(Estado + 1)) / r) Next Estado ReDim OpcPagoFin(Indice)



Next Indice CallAmEu = OpcPagoMed(0)

End Function Valoración de una Opción Call, Tipo europeo, formula Black-Scholes

Function CallBS(S, X, rf, T, sigma) d1 = (Application.Ln(S / X) + (rf + sigma ^ 2 / 2) * T) / (sigma * Sqr(T))

d2 = d1 - sigma * Sqr(T) drf = Exp(-rf * T)

CallBS = Application.NormSDist(d1) * S - Application.NormSDist(d2) * drf * X End Function

-------------------


110

8. Como Calcular el Portafolio Insurance Una inversionista en acciones normalmente busca aprovechar las ganancias de precio de su

portafolio inicial S, llamado en adelante activo subyacente (Gráfica 1), pero también desearía protegerse contra una caída en el precio de su portafolio. Sin ningún tipo de

protección el inversionista esta expuesto a la perdida total de su inversión si, por ejemplo, el valor del activo subyacente ha caído a cero en el momento en que desea liquidar sus posiciones.

Gráfica 1 Gráfica 2

Este tipo de protección puede lograrse adquiriendo un put (Gráfica 2) con precio de ejercicio X (En este caso X=100), que se agrega a la posición inicial en S, lo que se denomina un put protectivo. Así se garantiza que el valor del portafolio no baje de X. Si no

hay puts apropiados, debido a que el portafolio es complejo o porque el mercado de derivativos no es activo (Caso Colombia), se puede crear un put combinando posiciones en el portafolio original y en bonos sin riesgo (que vencen en la fecha de expiración de la

opción), con lo que se crea un portafolio que replica los pagos del Put protectivo. Puesto que las variaciones en el precio del activo subyacente son aleatorias es necesario

rebalancear el portafolio periódicamente para ajustar las proporciones del activo subyacente y los bonos sin riesgo. Esto no es necesario si lo que se tiene es un Put real (no sintético como en el caso descrito) ya que los términos de ejercicio y expiración se convienen en el

momento 0 y permanecen estables. Esta técnica se conoce como “Portfolio Insurance”.

Los activos poseídos son entonces S+P. (Gráfica 3)

Gráfica 3

Stock

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300

Put

-20

0

20

40

60

80

100

120

0 100 200 300

Put+Stock

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300


111

Donde S representa la inversión en los activos del portafolio original (S0 es el precio del portafolio original) y P el Put (La inversión I0 debe repartirse entre estos 2 activos).

Podemos usar 2 modelos de valoración para el Portafolio “Insurance”: a) el modelo Binomial y b) el modelo de Black-Scholes.

Se debe recordar que el modelo binomial de valoración de opciones tiene al menos 2

versiones que son en esencia el mismo método. Aquí usaremos el modelo que replica los pagos de la opción como una combinación del activo subyacente y bonos libres riesgo.

Veamos primero como se construye este portafolio Replica o de seguimiento.

Valoración de una Opción Put

Método del Portafolio Replica o de Seguimiento (2 periodos)

Los supuestos del modelo son: 9. Existen 2 periodos, el periodo inicial donde se suscribe la opción y el periodo final

donde la opción expira. 10. El activo subyacente S, cuyo valor actual es Si, solo puede tomar 2 valores futuros

(lo que es equivalente a decir que el futuro solo tiene dos estados U y D): SU o SD.

Podemos expresar SUi = Siu y SDi = Sid. Los factores u y d multiplican al valor a Si ya conocido. Ninguno de estos valores (SU o SD) corresponde necesariamente al

valor real que en el periodo i +1 tome el activo subyacente S. Es común observar que el estado U corresponde a un incremento de precio (u>1) y el estado D a una reducción (d<1)12. Es importante notar que estos valores son suposiciones que no

coinciden necesariamente con el futuro, se utilizan solo para el calculo de las posiciones del portafolio.

11. Existe un bono cero cupón o de descuento puro sin riesgo, la tasa libre de riesgo se denomina rf. Esta tasa se compone continuamente, lo que implica que el valor futuro de un bono con valor de B0 dentro de un periodo t es igual a B0Exp(rft),

independiente de si el estado es u o d. La tasa normalmente se expresa en términos anuales por lo que si el tiempo transcurrido entre el periodo 0 y el 1 es 1 año el

valor de t es igual a 1. Bajo el principio de no arbitraje 2 activos que tengan pagos futuros idénticos deben tener el

mismo precio hoy. El método replica los pagos de la opción Put (en realidad el método aplica para cualquier derivativo) en términos de activos cuyo precios, actual y futuro, en

cada estado, son conocidos. Sean VUi y VDi los pagos futuros en cada estado de la opción Put, que corresponden (en el

caso de un Put) a:

VUi = Max[X-Siu,0]

12

Es usual calcular u = Exp(t1/2

) y d = Exp(-t1/2

), donde es la volatilidad del activo subyacente y t el

tiempo asignado para cada subperiodo.


112

VDi = Max[X-Sid,0]

Sean y el número de unidades del activo subyacente y del bono libre de riesgo que

componen el portafolio respectivamente. Es importante notar que el valor actual de cada bono es igual a 1. Para cada estado se debe cumplir que:

VUi = iSiu + iExp(rft) (Ec. 1.1)

VDi = iSid + iExp(rft) (Ec. 1.2)

Este es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, los valores de y . Despejamos las incógnitas y encontramos que

i = (VUi – VD i)/(Siu – Sid) (Ec. 2.1)

i = Exp(-rft)(VDiSiu – VUiSid)/(Siu - Sid) (Ec. 2.2)

El valor hoy de la opción Put corresponde al valor de la inversión en el activo subyacente

iSi mas el valor de la inversión en el bono libre de riesgo i (recuerde que el valor actual

del bono libre de riesgo es 1, por lo que B corresponde tanto al numero de bonos requeridos como al valor de la inversión en bonos).

Sea P0 el valor del Put en el momento 0, según los supuestos previos se tiene que

P0 = S0 + donde el subíndice 0 indica que estos cálculos corresponden al periodo inicial.

Recordemos que el Put protectivo corresponde a la combinación de 2 posiciones: la compra del activo subyacente S y de un Put P. La posición del Put protectivo creada sobre 1 unidad

del activo subyacente S, tiene entonces el siguiente valor en t = 0:

S0 + P0 = (1 + )S0 +

De esta posición %S0 = (1 + 0)S0/[(1 + 0)S0 + 0] representa el porcentaje invertido en el

activo subyacente S y %0 = 0/[(1 + 0)S0 + 0] representa el porcentaje del portafolio invertido en bonos sin riesgo.

Si I0 representa el presupuesto de inversión disponible, el monto invertido en acciones y en

bonos es I0S = I0%S0

I0 = I0%0

Debemos ahora determinar el número de unidades del activo subyacente S a comprar

#S0 = I0%S0/S0 = I0(1 + 0)/[(1 + 0)S0 + 0]

El éxito del portafolio replica estriba en duplicar lo mas fidedignamente posible los pagos del Put protectivo. Establecer los montos iniciales de la inversión en el activo subyacente y


113

los bonos no garantiza una proporción adecuada en todo el horizonte de vida (hasta la fecha

de expiración o fecha donde el inversionista liquida sus posiciones) de la opción puesto que lo que se tiene es una opción sintética y no una real. Dado el comportamiento aleatorio de

los precios del activo subyacente, se requiere ajustar las posiciones con una frecuencia determinada por el inversionista. En la vida real es costoso liquidar posiciones por lo que un seguimiento perfecto no es posible y el inversionista debe elegir una frecuencia de ajuste

que le brinde la seguridad adecuada sin elevar demasiado los costos de transacción.

Sea la fecha de liquidación T = 1 año, asumamos que el inversionista se siente razonablemente seguro si rebalancea su portafolio mensualmente, por lo que el numero de ajustes es n = 12. Si lo que queremos es estructurar un Put que venza cada mes tenemos que

bajo estas condiciones t = T/n = 1/12. Si el Put vence al finalizar el horizonte de cobertura T, entonces cambia cada periodo y es igual a t=T-iT/n, con i variando desde 0 hasta n-1.

Esto implica que u cambia cada periodo.

Es claro entonces que los cálculos anteriores deben repetirse 12 veces para ajustar de manera adecuada las proporciones.

Al momento de realizar el primer rebalanceo el precio del activo subyacente es S1, por lo que lo obtenido al cabo de un mes corresponde a

I1 = (#S0)S1 + 0Exp(rf(T/n)).

Donde el 1er término designa al valor que toma en el periodo 1 la inversión en acciones al

multiplicar el numero de acciones que se compro en el periodo 0 por su precio actual y el 2do término al valor de los bonos habiendo transcurrido un periodo desde su compra.

Conocido el valor real del activo subyacente S1 podemos calcular los correspondientes SU1 y SD1, y los valores del Put VU1 y VD1. Valores hipotéticos que permiten calcular el

portafolio de replica.

El ciclo requiere que ahora se calculen 1 y 1. Lo que permite hallar %S1 y %1.

Multiplicando %S por I1 hallamos el monto de la inversión en el activo subyacente y si

dividimos este valor por S1, encontramos #S1 el numero de unidades del activo subyacente que componen el portafolio en el periodo 1.

#S1 = %S1I1/S1

El ciclo se reinicia. Veamos ahora un ejemplo práctico en Excel:

El activo subyacente S tiene un precio actual de 80, la tasa libre de riesgo es 10% (Anual),

la volatilidad del activo es de 30%. El precio de ejercicio X es de 80 se quiere asegurar el


114

portafolio por un año y se ajustan posiciones mensualmente. Se dispone de $1000 para

invertir. Se ignoran costos de transacción y variaciones en la tasa de interés.

Los datos en Excel lucen de la siguiente manera

Se procede a calcular el Put Protectivo, iniciando con los valores de SUi y SDi y los valores intrínsecos de la opción Put (Max(X-St,0) para cada uno de los valores posibles (SUi y SDi):

Ahora debemos hallar los valores de i y Bi:

Se utilizaron las ecuaciones 2 para hallar los anteriores valores. En el caso de un método

alternativo es utilizar la Ecuación 1.1 (una ves hallado ) para despejar su valor. El sentido

negativo de implica que se venden en corto –0.47 unidades del activo subyacente y que

se compran 41.38 unidades del bono libre de riesgo cuyo valor por unidad es de 1.

16

17

18

19

20

21

A B C D E

Put Protectivo

SUi Siu 87.24 <--=C5*$C$8

SDi Sid 73.36 <--=C5*$C$9

VUi Max(X-Siu,0) - <--=MAX($C$6-C17,0)

VDi Max(X-Sid,0) 6.64 <--=MAX($C$6-C18,0)

22

23

24

A B C D E F

Despeje

i =(VUi-VDi)/(Siu-Sid) 0.4784- <--=(C20-C21)/(C17-C18)

Bi =Exp(-rt)(VDiSiu-VUiSid)/(Siu-Sid) 41.38 <--=$C$15*(C21*C17-C20*C18)/(C17-C18)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A B C D E

Portfolio InsuranceParametrosPeriodo 0 1

Ii 1,000.00

Si 80.00 77.00

X 80.00

Sigma 30%

u Exp(t1/2

) 1.0905 <--=EXP(C7*$C$12^(1/2))

d =1/u 0.9170 <--=1/C8

T en años 1

N Frecuencia ajuste 12

t =T/N 0.0833 <--=C10/C11

r 10%

Exp(rt) 1.0084 <--=EXP(C13*$C$12)

Exp(-rt) 1/Exp(rt) 0.9917 <--=EXP(-C13*$C$12)


115

En consecuencia podemos hallar el valor actual del Put, multiplicando los valores hallados

previamente por los precios actuales de los activos que componen el portafolio replica, puesto que el valor actual del bono es 1 no es necesario multiplicarlo por ningún valor:

El anterior procedimiento se puede aplicar para cualquier tipo de derivativo.

Ahora debemos extender los cálculos para hallar el monto de las inversiones a realizar en el Put protectivo.

La cantidad disponible para inversión es $1000. Un Put suscrito sobre una unidad del activo

subyacente, en las condiciones anteriores, implica la venta de 0.47 unidades del activo y la compra de 41.38 unidades del bono. El Put Protectivo combina en un portafolio 1 unidad del activo subyacente con las inversiones requeridas para establecer el put sintético.

Habiendo calculado la inversión porcentual en el activo subyacente y el portafolio

procedemos a calcular la inversión total y el número de unidades del activo subyacente que se requiere comprar:

Los cálculos anteriores finalizan el ejemplo para 1 periodo. Supongamos que al final del sub-periodo (1 mes) el precio del activo subyacente ha caído hasta $77, cual es el valor del

portafolio? En un mes la inversión en bonos gana intereses (Recuerde que es una inversión libre de riesgo) mientras que la inversión en el activo subyacente lo pierde.

25

26

A B C D E

Portafolio Réplica

Pi Sii+Bi 3.12 <--=C23*C5+C24

27

28

29

30

31

32

33

34

A B C D E

Put Protectivo por 1 unidad de S

Si+Pi (1+i)Si+Bi 83.12 <--=C26+C5

Inversion Si (1+i)Si 41.73 <--=(1+C23)*C5

Inversion Bi Bi 41.38 <--=C24

Chequeo Total Inversiones 83.12 <--=C29+C30

Posiciones

%Si (1+i)Si/(Si+Pi) 50.21% <--=(1+C23)*C5/C28

%Bi Bi/(Si+Pi) 49.79% <--=1-C33

36

37

38

39

40

41

A B C D

Inicio de Periodo

Inversion Si %SiIi 502.083321 <--=C33*C4

Inversion Bi %BiIi 497.916679 <--=C4*C34

Chequeo

Ii %SiIi+%BiIi 1,000.00 <--=C37+C38

#Si %SiIi/Si 6.27604152 <--=C37/C5


116

El proceso puede ahora repetirse para el siguiente periodo.

42

43

44

45

46

A B C D E

Fin de Periodo

Si+1 77.00 <--=D5

#SiSi+1 483.26 <--=C41*C43

%BiIiExp(rt) 502.08 <--=C38*$C$14

Ii+1 985.34 <--=SUMA(C44:C45)


117

A continuación puede observarse el resultado para una simulación que cubre 9 meses:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46


Portfolio InsuranceParametrosPeriodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ii 1,000.00 985.34 1,012.84 1,067.56 1,103.54 1,079.55 1,163.52 1,223.49 1,199.50 1,151.52

Si 80.00 77.00 83.00 89.00 92.00 90.00 97.00 102.00 100.00 96.00

X 80.00

Sigma 30%

u Exp(t1/2

) 1.0905

d =1/u 0.9170

T en años 1

N Frecuencia ajuste 12

t =T/N 0.0833

r 10%

Exp(rt) 1.0084

Exp(-rt) 1/Exp(rt) 0.9917

Put Protectivo

SUi Siu 87.24 83.97 90.51 97.05 100.32 98.14 105.77 111.23 109.05 104.68

SDi Sid 73.36 70.61 76.11 81.62 84.37 82.53 88.95 93.54 91.70 88.04

VUi Max(X-Siu,0) - - - - - - - - - -

VDi Max(X-Sid,0) 6.64 9.39 3.89 - - - - - - -

Despeje

i =(VUi-VDi)/(Siu-Sid) 0.4784- 0.7030- 0.2699- - - - - - - -

Bi =Exp(-rt)(VDiSiu-VUiSid)/(Siu-Sid) 41.38 58.54 24.23 - - - - - - -

Portafolio Réplica

Pi Sii+Bi 3.12 4.41 1.82 - - - - - - -

Put Protectivo por 1 unidad de S

Si+Pi (1+i)Si+Bi 83.12 81.41 84.82 89.00 92.00 90.00 97.00 102.00 100.00 96.00

Inversion Si (1+i)Si 41.73 22.87 60.59 89.00 92.00 90.00 97.00 102.00 100.00 96.00

Inversion Bi Bi 41.38 58.54 24.23 - - - - - - -

Chequeo Total Inversiones 83.12 81.41 84.82 89.00 92.00 90.00 97.00 102.00 100.00 96.00

Posiciones

%Si (1+i)Si/(Si+Pi) 50.21% 28.09% 71.44% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00% 100.00%

%Bi Bi/(Si+Pi) 49.79% 71.91% 28.56% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00%

Inicio de Periodo

Inversion Si %SiIi 502.08 276.78 723.53 1,067.56 1,103.54 1,079.55 1,163.52 1,223.49 1,199.50 1,151.52

Inversion Bi %BiIi 497.92 708.56 289.31 - - - - - - -

Chequeo

Ii %SiIi+%BiIi 1,000.00 985.34 1,012.84 1,067.56 1,103.54 1,079.55 1,163.52 1,223.49 1,199.50 1,151.52

#Si %SiIi/Si 6.27604152 3.594552176 8.7171895 11.9950479 11.9950479 11.9950479 11.9950479 11.9950479 11.9950479 11.9950479

Fin de Periodo

Si+1 77.00 83.00 89.00 92.00 90.00 97.00 102.00 100.00 96.00 103.00

#SiSi+1 483.26 298.35 775.83 1,103.54 1,079.55 1,163.52 1,223.49 1,199.50 1,151.52 1,235.49

%BiIiExp(rt) 502.08 714.49 291.73 - - - - - - -

Ii+1 985.34 1,012.84 1,067.56 1,103.54 1,079.55 1,163.52 1,223.49 1,199.50 1,151.52 1,235.49


118

Gráficamente la evolución del valor del portafolio se observa con una cota inferior:

PI

800

900

1,000

1,100

1,200

1,300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

mes

$

50

60

70

80

90

100

110

120Si

Ii XT Si


119

Modelo de Black-Scholes

Recordando que P=XExp(-rfT)N(-d2)-S0N(-d1) (Una combinación de el activo S y bonos

sin riesgo), se tiene que S0+P0 = S0(1-N(-d1))+ Xexp(-rT)N(-d2)

Lo que representa un Put protectivo sobre una unidad de S. Donde T es el tiempo para la

expiración de la opción, medido en anos (normalmente T=1, en caso contrario debe tenerse en cuenta como esta expresada r).

La posición en el portafolio original S seria = S0(1-N(-d1))

La posición en el activo libre de riesgo es = Xexp(-rfT)N(-d2) Del monto disponible para invertir se asignan a los activos representados por S (expresado

%): %S0 = S0(1-N(-d1))/(S0+P0).

En los bonos se invierte 1-%S0. Lo invertido en acciones (S) es I0 %S0, lo invertido en bonos es I0 (1-%S0).

El numero de acciones (S) es igual #S0 = I0 %S0/S0. Donde S0 es el valor de las acciones en

el tiempo 0. El rebalanceo del portafolio ocurre a la frecuencia m definida por el inversionista (diario

N=250, semanal N=52, mensual N=12, si T=1 (1 ano)).

Una vez transcurrido un periodo, en teoría se liquidan las posiciones y se tiene un nuevo monto a invertir (I1). I1 = #S0S1 + I0(1-%S0)exp(r*(T/N)).

El 1er término representa el valor de la porción del portafolio invertida en S, el 2do termino

representa el valor de lo invertido en los bonos libres de riesgo, una vez transcurrido un periodo.

Se recalcula el Put, teniendo en cuenta que el tiempo al vencimiento se ha reducido. T ha cambiado a T(1-1/m) y el valor de S es S1.

El proceso se repite hasta el vencimiento o expiración del Put.

-------------------


120

Plantilla

Portfolio Insurance

Inv. Binomial T'

Ii 1.000,0 970,4 943,9 921,2 902,9 890,1 884,5 888,4 894,4 900,4 906,4 912,4 918,5

Periodo (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T'=T-it 1 0,92 0,83 0,75 0,67 0,58 0,50 0,42 0,33 0,25 0,17 0,08

n* 12

t=T/n* 0,0833 VENCIMIENTO AL FINAL DEL AÑO

Sigma 30%

ui = exp(T' 0.5

) 1,3499 1,3327 1,3150 1,2967 1,2776 1,2575 1,2363 1,2137 1,1891 1,1618 1,1303 1,0905

di = 1/ui 0,7408 0,7503 0,7604 0,7712 0,7827 0,7952 0,8089 0,8239 0,8410 0,8607 0,8847 0,9170

r 8,00%

exp(rT') 1,0833 1,0761 1,0689 1,0618 1,0548 1,0478 1,0408 1,0339 1,0270 1,0202 1,0134 1,0067

X 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Si 56,000 53,500 51,000 48,500 46,000 43,500 41,000 38,500 36,000 33,500 31,000 28,500 26,000

Si+1U = Si ui 75,592 71,301 67,067 62,889 58,768 54,701 50,689 46,726 42,808 38,921 35,039 31,078

Si+1D = Si di 41,486 40,143 38,782 37,403 36,006 34,592 33,163 31,722 30,275 28,834 27,427 26,136

Put Intrinseco

fi+1U = Max(X - Si+1U,0) - - - - - - - 3,274 7,192 11,079 14,961 18,922

fi+1D = Max(X - Si+1D,0) 8,514 9,857 11,218 12,597 13,994 15,408 16,837 18,278 19,725 21,166 22,573 23,864

Portafolio Replica

i = (fi+1U - fi+1D)/[Si(u-d)] 0,250- 0,316- 0,397- 0,494- 0,615- 0,766- 0,961- 1,000- 1,000- 1,000- 1,000- 1,000-

Bi = e-rT'

(fi+1Du – fi+1Ud)/(u - d) 17,420 20,961 24,883 29,274 34,254 40,001 46,787 48,361 48,684 49,010 49,338 49,668

Pi = iSi + Bi 3,440 4,036 4,657 5,302 5,973 6,672 7,399 9,861 12,684 15,510 18,338 21,168

Porcentaje Inversión

%Si=Si(1+i)/(Si+Pi) 0,707 0,636 0,553 0,456 0,341 0,203 0,033 - - - - -

%Bi=Bi/(Si+Pi) 0,293 0,364 0,447 0,544 0,659 0,797 0,967 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

Ii 1.000,0 970,4 943,9 921,2 902,9 890,1 884,5 888,4 894,4 900,4 906,4 912,4

Inicio de Periodo

IiS=Ii %Si 706,9 616,9 521,9 420,0 307,8 180,4 29,4 - - - - -

IiB=Ii %Bi 293,1 353,5 422,0 501,2 595,1 709,7 855,1 888,4 894,4 900,4 906,4 912,4

Total 1.000,0 970,4 943,9 921,2 902,9 890,1 884,5 888,4 894,4 900,4 906,4 912,4

#Si=IiS/Si 12,6 11,5 10,2 8,7 6,7 4,1 0,7 - - - - -

Fin de Periodo

IfiS = #SiSi+1 675,4 588,0 496,3 398,3 291,1 170,1 27,7 - - - - -

IfiB = IiBe

rt295,0 355,9 424,8 504,6 599,0 714,4 860,8 894,4 900,4 906,4 912,4 918,5

Ii+1 = IfiS+I

fiB 970,4 943,9 921,2 902,9 890,1 884,5 888,4 894,4 900,4 906,4 912,4 918,5


121

Inv. Binomial t

Ii 1,000.0 1,001.7 991.2 997.8 1,004.5 1,071.0 1,260.1 1,056.1 1,047.9 1,166.6 1,075.2 1,025.5 906.5

Periodo (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tc 1

nc 12

Tb=Tc/nc 0.0833 VENCIMIENTO EN CADA MES

nb 1

t=Tb/nb 0.0833

Sigma 30.00%

u = exp(t0.5

) 1.0905

d=1/u 0.9170

r 8.00%

ert

1.0067

X 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50 58.50

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Si 56.000 55.249 50.084 51.798 58.580 65.804 77.422 64.888 64.385 71.681 66.063 63.013 55.116

Si+1U = Si u 61.066 60.247 54.615 56.484 63.880 71.757 84.426 70.758 70.210 78.165 72.039 68.713 60.102

Si+1D = Si d 51.354 50.666 45.929 47.501 53.721 60.345 70.999 59.505 59.044 65.734 60.583 57.785 50.544

Put Intrinseco

fi+1U = Max(X - Si+1U,0) - - 3.882 2.013 - - - - - - - - -

fi+1D = Max(X - Si+1D,0) 7.142 7.831 12.567 10.995 4.776 - - - - - - 0.711 7.953

Portafolio Replica

i = (fi+1U - fi+1D)/[Si(u-d)] 0.735- 0.817- 1.000- 1.000- 0.470- - - - - - - 0.065- 0.832-

Bi = e-rt

(fi+1Du – fi+1Ud)/(u - d) 44.611 48.913 58.108 58.108 29.831 - - - - - - 4.443 49.675

Pi = iSi + Bi 3.427 3.758 8.024 6.310 2.292 - - - - - - 0.341 3.816

Porcentaje Inversión

%Si=Si(1+i)/(Si+Pi) 24.9% 17.1% 0.0% 0.0% 51.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 100.0% 93.0% 15.7%

%Bi=Bi/(Si+Pi) 75.1% 82.9% 100.0% 100.0% 49.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 7.0% 84.3%

Ii 1,000.0 1,001.7 991.2 997.8 1,004.5 1,071.0 1,260.1 1,056.1 1,047.9 1,166.6 1,075.2 1,025.5 906.5

Inicio de Periodo

IiS=Ii %Si 249.3 171.4 - - 512.2 1,071.0 1,260.1 1,056.1 1,047.9 1,166.6 1,075.2 953.6 142.4

IiB=Ii %Bi 750.7 830.3 991.2 997.8 492.3 - - - - - - 71.9 764.1

Total 1,000.0 1,001.7 991.2 997.8 1,004.5 1,071.0 1,260.1 1,056.1 1,047.9 1,166.6 1,075.2 1,025.5 906.5

#Si=IiS/Si 4.5 3.1 - - 8.7 16.3 16.3 16.3 16.3 16.3 16.3 15.1 2.6

Fin de Periodo

IfiS = #SiSi+1 246.0 155.3 - - 575.4 1,260.1 1,056.1 1,047.9 1,166.6 1,075.2 1,025.5 834.1

IfiB = IiBe

rt755.7 835.9 997.8 1,004.5 495.6 - - - - - - 72.4

Ii+1 = IfiS+I

fiB 1,001.7 991.2 997.8 1,004.5 1,071.0 1,260.1 1,056.1 1,047.9 1,166.6 1,075.2 1,025.5 906.5


122

9. Opciones Reales, una introducción Muchas inversiones pueden ser aplazadas en el tiempo a la espera de condiciones

favorables para realizarlas. Algunas veces para que el inversionista disponga de esa flexibilidad se requiere una inversión inicial menor que garantice tal flexibilidad.

El primer caso es típicamente la ampliación de capacidad de una fábrica. Regularmente una fabrica tiene cierta capacidad de ampliación. Para obtener los beneficios

relacionados con tal ampliación se requerirá, en el futuro, realizar una inversión adicional. Suponga que el monto de esta inversión es X. Posterior a esta inversión se obtienen unos

flujos de caja en el tiempo, cuyo valor presente denominaremos S0 (Por el momento no nos preocuparemos de la tasa a la cual se descuentan estos flujos).

La evaluación de proyectos estándar nos dice que si S>VP(X) el proyecto es aceptable y debe realizarse (VPN>0). Lo que esta medida no tiene en cuenta es el valor que para el

inversionista tiene la flexibilidad de: (1) Definir en que momento realiza la ampliación y (2) Definir si la realiza o no. El valor adicional del proyecto esta determinado por dos parámetros adicionales hasta ahora

no contemplados: (1) El tiempo que puede dilatarse la inversión T y (2) La volatilidad de los flujos .

La valoración por Opciones reales tiene en cuenta este valor.

Esta reflexión es particularmente pertinente en situaciones donde el proyecto inicial es poco atractivo y gran parte del valor se obtiene a partir de una ampliación..

El segundo caso puede relacionarse con la compra de activos cuyo potencial futuro sea muy atractivo, si cambian las condiciones del mercado.

En este caso puede ubicarse la compra de un lote urbanizable. Es posible que con los precios actuales de la finca raíz este proyecto de urbanización no resulte viable, sin

embargo, las características cíclicas de esta actividad productiva pueden tornarlo atractivo en cualquier momento.

En este caso X es el costo de la construcción y S el valor esperado de los activos con los precios actuales. En este caso también incluimos la volatilidad de los precios de la finca

raíz () y el tiempo por el cual la opción es valida.


123

Una opción financiera es un instrumento que permite la cobertura (o apostar) o frente al

riesgo de oscilaciones en el precio de un activo.

Suponga que usted posee una acción S de una empresa cualquiera y desea cubrirse contra una reducción en su valor. Al comprar una opción PUT usted obtiene el derecho a vender la acción a un precio convenido en el momento de compra de la opción, este precio se

denomina Precio de Ejercicio (X). Otra condición que debe convenirse es cuanto tiempo será valida esta posibilidad, este tiempo se denomina Tiempo a la Madurez, de

Expiración ó al Vencimiento (T). Es importante recordar que la opción, a diferencia de un futuro, es un activo contingente: El comprador de la opción no esta obligado a ejercerla (hacerla efectiva). Si el precio de la acción S se ha incrementado ó al menos se ha

mantenido por encima del precio de ejercicio X, no es optimo ejercer la opción.

Otra importante característica de las opciones es la que se refiere a la posibilidad de ejercerla antes del vencimiento. Cuando las partes acuerdan que la opción puede ejercerse en cualquier momento antes del vencimiento, la opción se conoce como tipo Americana.

Cuando la opción solo puede ejercerse al vencimiento se denomina Europea.

El valor de la opción, lo que el comprador debe pagar por obtenerla, se denomina Prima. Debe reconocerse que cuando dos contrapartes, el vendedor y el comprador, acuerdan los términos de una opción PUT, sus flujos son absolutamente opuestos. El comprador paga la

prima en el momento cero, la cual es recibida por el vendedor. En el momento de ejercer la opción el comprador entrega la acción y recibe el precio de ejercicio X. El comprador, por

su parte, entrega el precio de ejercicio X y recibe la acción. Si la opción no es ejercida no hay intercambio diferente al inicial.

Existen dos métodos y una fórmula para calcular el valor de una opción: (1) El método binomial. (2) El método neutral al riesgo. (3) La fórmula de Black-Scholes.

Aunque conceptualmente mas elaborada, la formula de Black-Scholes es el metodo de calculo mas expedito para la valoración de opciones.

Valoración de Opciones con la Fórmula de Black-Scholes

Black y Scholes (1973) desarrollaron una formula para la valoración de opciones con base en el principio de no arbitraje para encontrar el valor de una opción tipo Europeo, con base

en cinco parámetros de fácil estimación: 1. S0: El valor de la acción o activo subyacente en el momento de emitir la opción. 2. X: El precio de ejercicio de la opción.

3. T: El tiempo hasta la expiración o madurez de la opción. 4. r: La tasa de interés libre de riesgo.

5. : La volatilidad del activo subyacente. La formula derivada por Black-Scholes para un Call es:


124

P = S0N(d1) - Xe-rTN(d2) (Ec. 1)

Donde N(.) es la distribución normal acumulada y d1 y d2 vienen dados por los siguientes

términos:

Tdd

Tσ

T2σrXSLnd

12

2

2o

1

σ

El supuesto fundamental de la formula de Black-Scholes es que los precios del activo subyacente están determinados por un proceso continuo tipo lognormal (E(Ln(S t+

t/St)

=t, Var(Ln(St+

t/St) =2t).


125

Ejercicios

1. La Empresa ABC tiene seis maquinas de hilado. Esta considerando reemplazar las

seis maquinas. Cada maquina nueva cuesta $1000 y tiene una vida útil de 5 años.

Los flujos de caja anticipados son:

Halle el Valor Presente Neto de este proyecto. Suponga que el proyecto no es atractivo, pero el gerente de producción propone: Yo

quiero cambiar una de las maquinas hoy. Al cabo de un año si el experimento es exitoso reemplazaría las otras cinco maquinas.

Como analizaría el proyecto en el contexto de una opción real? La tasa de descuento para las maquinas es del 12%, la tasa libre de riesgo es de 6% y la volatilidad

asociada a la operación de las maquinas es de 40%.

2. Usted tiene los siguientes resultados de la evaluación a través de la técnica del VPN de un proyecto industrial, el cual contempla una expansión (fase 2) en el 4 to año. Las bases de su calculo son las siguientes:

El VPN de la fase 1 es de –10.16. Evaluado a la tasa k0 Los flujos de la fase 2 son los siguientes:

Halle el Valor presente del proyecto conjunto, el VPN modificado y el valor de la opción real (defina los cinco parámetros requeridos para valorar la opción por el

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo x maquina (1,000.00) 220.00 300.00 400.00 200.00 150.00

Impuestos 35%

k0 15%

45%

kF 8.00%

Fase 2 0 1 2 3 4 5 6 7Ingresos - - - - 200.00 300.00 450.00

-Costo de bienes vendidos - - - - (144.00) (216.00) (324.00)

=Utilidad bruta - - - - 56.00 84.00 126.00

-Depreciacion (30.00) (30.00) (30.00)

-Gastos de Administración y Ventas - - - - (46.00) (69.00) (103.50)

=EBIT=Utilidad Operacional - - - - (20.00) (15.00) (7.50)

EBIT(1-T) - - - - (13.00) (9.75) (4.88)

+Depreciacion - - - - 30.00 30.00 30.00

- Gastos de Capital - - - 150.00 8.88 9.18 9.88

- Incremento en Capital de Trabajo - - - - 8.00 4.67 6.33 2.12

=Flujo de Caja Libre - - - (158.00) 3.46 4.74 13.13

+Valor Terminal - - - - - - 238.53

=FCL + VT - - - (158.00) 3.46 4.74 251.66


126

método de Black-Scholes, y utilice la tabla para encontrar un valor aproximado),

invertiría usted en este proyecto?

Bibliografía

Puede consultar:

Investments Opportunities as Real Options: Getting Started on the Numbers.

Luerhman, T. HBR, Julio-Agosto 1998 Financial Modeling.

Benninga, S. MIT Press, 2nd edition, 2001

-------------------


127

10. Ejercicios Generales

1. Valorar un put americano a 3 meses suponiendo 3 subperiodos (halle el t apropiado)

S0= 1000, X= 1050, Sigma=30% y una tasa libre de riesgo de 8% compuesta continuamente.

2. Replique el ejercicio de Ecopetrol (Según la guía de clase Proceso Lognormal). Se adjunta la serie de los precios de fin de mes de esta acción.

3. Halle las series de tiempo para otras 2 acciones que se transen (procure que sean

acciones de alta bursatilidad) en el mercado de valores colombiano. Puede conseguir estos datos del sitio web:

http://www.supervalores.gov.co Encuentre la media y la varianza anualizadas y simule la evolución del precio de estas acciones siguiendo el proceso lognormal. Las notas de clase entregadas usan

conceptos del capitulo 15 de Benninga, que se incluyen en el material entregado originalmente.

4. Con los datos de sigma y varianza de cada una de las acciones, calcule el precio de una opción Call Europea “at the money” (S0=X) con un vencimiento de 4 meses y 4 subperiodos. Estime cual puede ser la tasa libre de riesgo para la economía

colombiana que pueda aplicar en este ejemplo (Sustente su respuesta) 5. Estime el ejercicio anterior para un Put americano

6. El siguiente es un modelo de un bono estructurado cuyo pago esta sujeto al valor de un índice de bolsa (IGBVC). El bono combina el pago de una opción Call Europea “at the money” con los pagos de un bono estándar, con valor nominal de 100:

Pago al vencimiento = Max(St-X,0)+100*(1+8%) Suponiendo solo 2 periodos (El periodo 0 y el 1) el valor del índice puede evolucionar de la siguiente forma:

Encuentre el valor del bono, suponiendo una tasa libre de riesgo de 11% para el periodo. Suponga que esta tasa es discreta. Este ejercicio se puede solucionar por el método del portafolio de replica o por el método neutral al riesgo. En el método

neutral al riesgo usted puede hallar los valores de u y d por los valores que toma el índice, en este caso no se cumple que d=1/u.

7. Como el analista financiero de American Airlines usted debe estudiar la oferta realizada por Boeing de vender opciones para comprar 200 aviones nuevos 777 dentro de 6 meses por un precio de $85 millones por avión. Suponga que la

volatilidad del precio de los aviones es de 45% (anual).Usando 2 subperiodos y el hecho que el precio actual de los aviones es de $105 millones y la tasa libre de

riesgo es de 8% anual, indique cuanto debe desembolsar American por el derecho (mas no la obligación) de comprar los aviones.

8. ¿Qué combinación de derivados, bonos y acciones produce el siguiente perfil de utilidad?

IGBVC 0 1

u: 1,500.00

S0: 1,275.00

d: 750.00

http://www.supervalores.gov.co/


128

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120

Fundamentos de Derivados y Opcioness99df801265675c70.jimcontent.com/download/version... · futuros...

Documents

Transcript of Fundamentos de Derivados y Opcioness99df801265675c70.jimcontent.com/download/version... · futuros...