Fundamentos de Electrotecnia

FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA

Septiembre 2007, Diego Clavería G.

Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Antofagasta

Fundamentos de Electrotecnia , Diego Clavería G. [email protected]

PROGRAMA DE ESTUDIOS

ASIGNATURA: ELECTROTECNIA (EE-414 )HORAS ACADÉMICAS: 4 – 2REQUISITOS: FISICA IIUNIDAD RESPONSABLE: DEPT. INGENIERIA ELECTRICA.

BIBLIOGRAFÍA“Tecnología Eléctrica” , Agustin Castejon Oliva; Germán Santamaría HerranzEditorial Mc graw-Hill 1993.

“Electrotecnia: Nivel Inicial” , M.A. SobrevilaEditorial Alsina, 2000, Bs Aires.

“Electrotecnia” , A. Guerrero, O. Sánchez, J.A. Moreno , A. Ortega.Editorial Mc graw-Hill, 2003, México.

“Teoría y análisis de las máquinas eléctricas”, A.F. Fitsgerald, Charles Kingsley , Alexander KushoEditrorial Hispano Europea, 1975.


1. UNIDAD I

2. UNIDAD II

3. UNIDAD III

4. UNIDAD IV

OBJETIVO GENERAL

Asignatura orientada a estudiantes de las ingenierías no especialistas en el Área Eléctrica, de modo que adquieran las nociones básicas de la electrotecnia; la forma de generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica, de los equipos eléctricos y puedan comprender e identificar los distintos elementos asociados a los sistemas eléctricos de carácter industrial, logrando así herramientas que les capaciten para interactuar con profesionales especialistas que trabajen en las empresas.

UNIDAD I : CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS.Objetivo: Conocer e identificar las variables físicas en los sistemas eléctricos; conocer, comprender

los principios de funcionamiento, sus usos más importantes e interconexiones.

Contenidos:

1. Variables en sistemas eléctricos: Voltajes, corrientes, potencia, energía, definiciones de valor máximo y valor efectivo, concepto de frecuencia. Elementos pasivos de sistemas eléctricos: Resistencias, inductancias, capacitancias, transformadores. Principios y características de funcionamiento , principales usos y aplicaciones.

2. Elementos activos de sistemas eléctricos: Fuentes de voltaje, fuentes de corriente, principios y características de funciomiento, principales usos y aplicaciones.


1. UNIDAD I

2. UNIDAD II

3. UNIDAD III

4. UNIDAD IV

OBJETIVO GENERAL


UNIDAD I : CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS.Objetivo: Conocer e identificar las variables físicas en los sistemas eléctricos; conocer, comprender

los principios de funcionamiento, sus usos más importantes e interconexiones.

Contenidos:

3. Calidad, conceptos y normas para su aseguramiento en energía eléctrica; conceptos básicos de: Armónicos, distorsión, potencia aparente, potencia activa y reactiva, factor de potencia. Normas y aspectos técnicos y económicos asociados a la regulación del factor de potencia y la calidad de la energía (Regulación de Tensión, Regulación de frecuencia, regulación de distorsión).

4. Principio de funcionamiento de los principales instrumentos eléctricos: Voltimetros, Amperímetros, Ohmetros, Analizadores de Potencia.


1. UNIDAD I

2. UNIDAD II

3. UNIDAD III

4. UNIDAD IV

OBJETIVO GENERAL


UNIDAD II : SISTEMAS ELÉCTRICOS DE GENERACIÓN, TRANSMICIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA.

Objetivo: Conocer e identificar las principales características de los distintos sistemas de generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica, conocer sus principales esquemas, el equipamiento usado y los costos, a nivel de perfíl, los costos asociados a su implementación y operación.

Contenidos:

1. Conceptos básicos de sistemas de alimentación monofásicos y trifásicos, aspectos básicos asociados a sus conexiones, las cargas y las relaciones entre las variables.

2. Esquemas básicos de sistemas de generación de energía eléctrica: Centrales Termoeléctricas, Centrales Hidroeléctricas, Centrales de Energías renovables.


1. UNIDAD I

2. UNIDAD II

3. UNIDAD III

4. UNIDAD IV

OBJETIVO GENERAL



Objetivo: Conocer e identificar las principales características de los distintos sistemas de generación, transmisión y distribución de la energía eléctrica, conocer sus principales esquemas, el equipamiento usado y los costos, a nivel de perfíl, los costos asociados a su implementación y operación.

Contenidos:

3. Esquemas básicos de sistemas de transmisión y distribución de la energía eléctrica: Tipos de redes de transmisión y distribución, identificación de las principales características técnicas y costos de inversión y operación más relevantes. Redes de transmisión nacional: SING, SIC.

4. Características del sistema eléctrico de Chile: La estructura, características del mercado (tarifaje, peaje, etc.), organismos reguladores (CDEC, CNE, etc.), legislación eléctrica.


1. UNIDAD I

2. UNIDAD II

3. UNIDAD III

4. UNIDAD IV

OBJETIVO GENERAL


UNIDAD III : LOS EQUIPOS ELÉCTRICOS.Objetivo: Introducir los principios básicos de funcionamiento y operación, conocer su uso y

aplicaciones más comunes, de los principales equipos eléctricos utilizados en la industria.

Contenidos:

1. Máquinas eléctricas: Principios básicos de funcionamiento y operación, principales aplicaciones y usos industriales, ventajas y desventajas. Transformadores, máquinas de cc, máquinas de ca(máquina de inducción , jaula de ardilla y rotor bobinado, máquina sincrónica).

2. Accionamientos Eléctricos y electrónicos: Rectificadores de Potencia, conversores AC- AC, Variadores de frecuencia, Partidores suaves.

3. Accionamiento de Control y Protección: Controladores PID y PLC, contactores, temporizadores y Relés.


1. UNIDAD I

2. UNIDAD II

3. UNIDAD III

4. UNIDAD IV

OBJETIVO GENERAL


UNIDAD IV : SEGURIDAD EN EL USO DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA.Objetivo: Introducir los principios básicos de protección de las personas, los riesgos que corren y las

consecuencias físicas y biológicas que pueden sufrir ante un accidente del tipo eléctrico. Introducir los principios básicos de protección de las instalaciones eléctricas tanto a lo que se refiere evitar daños a su estructura física, como a aquella necesaria para evitar mal funcionamiento que puedan afectar a las personas.

Contenidos:

1. Efectos fisiológicos de la energía eléctrica, tiempos de contacto, condiciones fisiológicas del accidentado, fibrilación.

2. Legislación, elementos de protección personal.

3. Protección en faenas y en los equipos (puesta a tierra, fusibles, interruptores, diferenciales, etc.).


FECHA Y FORMA DE LAS EVALUACIONES.

PRIMERA EVALUACIÓN: Jueves 25 de Octubre

Contenidos: Primera Unidad, ejercicios y apuntes de clases.

Porcentaje: 40%

SEGUNDA EVALUACIÓN: Martes 27 de Noviembre.

Contenidos: Segunda Unidad, más transformadores, apuntes y ejercicios.

Porcentaje: 20%

TRABAJO FINAL: 28 – 29 de Noviembre.

Entrega de Presentación e informe escrito el día 23 de Noviembre.

Porcentaje: 20%

EVALUACION DE PRESENTACIONES: Miércoles 5 de Diciembre.

Contenidos: Todo lo visto en las presentaciones.

Porcentaje: 20%

EVALUACIONES PENDIENTES: Jueves 6 de Diciembre.


FECHA Y FORMA DE LAS EVALUACIONES.

TRABAJO FINAL: 28 – 29 de Noviembre.

Temas de las presentaciones.

1. Motor de Inducción.

2. Motor de Corriente Continua.

3. Generador de Corriente Continua.

4. Transformadores Trifásicos.

5. Conversores AC – AC

6. VDF

7. DCS

8. PLC

9. Efectos fisiológicos de la energía eléctrica y equipos de protección personal.

10. Protecciones Eléctricas.

11. Transmisión de datos para instrumentación.

SE CONFORMARÁN GRUPOS DE NO MÁS DE 7 PERSONAS, LOS CUALES SERÁN ENTREGADOS EL DÍA 24 DE OCTUBRE.

UNIDAD I : CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS.1. Variables en sistemas eléctricos.

2. Elementos activos de sistemas eléctricos.

3. Calidad, conceptos y normas de la energía eléctrica.

4. Principio de funcionamiento de los instrumentos eléctricos.


Carga Eléctrica: Se sabe que toda la materia está formada por piezas fundamentales llamadas átomos, y que estos a su vez están formados por diferentes clases de partículas elementales. Las 3 partículas más importantes son: el electrón, el protón y el neutrón.

Datos:

Masa del electrón : 9.10956 x 10-31 [Kg.], aproximadamente 1840 veces menos que la del protón y neutrón.

Unidad fundamental: Coulomb [C].

Corriente Eléctrica: Se puede definir en palabras simples como “transferencias de carga” o “carga en movimiento”. Este concepto es importante en el estudio de los circuitos eléctricos, porque al mover una carga de un lugar a otro, también se puede transferir energía de un punto a otro punto.

La corriente Eléctrica es una medida de la rapidez con la que la carga se está moviendo al pasar por un punto de referencia en una dirección específica.

Unidad fundamental : Ampere [A].

][1][1][1

sCA =

][][

sC

dtdqi =

UNIDAD I : CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS.


Una corriente que es constante en el tiempo se denomina corriente continua (c.c.) y se simboliza como I.

Si la corriente no es constante en el tiempo y es cíclica se denomina corriente alterna (c.a.) , la cual se simboliza por i.

La tensión eléctrica, diferencia de potencial o voltaje: es una magnitud física que impulsa a los electrones a lo largo de un conductor en un circuito cerrado. La tensión entre dos puntos de un campo eléctrico es igual al trabajo que realiza dicha unidad de carga positiva para transportarla desde el punto A al punto B. Igual que el potencial, en el Sistema Internacional de Unidades la diferencia de potencial se mide en voltios (V).

La tensión es independiente del camino recorrido por la carga y depende exclusivamente del potencial eléctrico de los puntos A y B en el campo; se expresa por la fórmula:

Suponga que por el terminal A de la figura entra una corriente continua pasa por el elemento y sale por el terminal B, suponga también que el paso de esta carga por este elemento requiere un gasto de energía, entonces se dirá que entre los dos terminales existe un voltaje eléctrico medible.

][][

CdqJdWVAB = ][

][1][][1][1

CmN

CJV •

==



Potencia es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo. Esto es equivalente a la velocidad de cambio de energía en un sistema o al tiempo empleado en realizar un trabajo, según queda definido por:

Cuando se trata de corriente continua (c.c.) la potencia eléctrica desarrollada en un cierto instante por un dispositivo de dos terminales es el producto de la diferencia de potencial entre dichos terminales y la intensidad de corriente que pasa a través del dispositivo. Esto es,

][][

sdtJdEP =

][][

sdtJdW

dtdqx

dqdWP ==





Elementos pasivos de circuitos:

Son aquellos elementos que no pueden suministrar una potencia promedio mayor que cero, en un intervalo de duración infinita.

RESISTENCIA

Se denomina resistencia eléctrica, R, de una sustancia, a la oposición que encuentra la corriente eléctrica durante su recorrido. Su valor viene dado en ohmios, se designa con la letra griega omega mayúscula (Ω). También se define como la propiedad de un objeto o sustancia de transformar energía eléctrica en otro tipo de energía de forma irreversible, generalmente calor.

Esta definición es válida para la corriente continua y para la corriente alterna cuando se trate de elementos resistivos puros,esto es, sin componente inductiva ni capacitiva. De existir estos componentes reactivos, la oposición presentada a la circulación de corriente recibe el nombre de impedancia.

][][1][1

AV

=ΩI. Resistencia

II. Inductancia

III. Capacitancia





INDUCTANCIA

Un campo magnético variable se puede inducir un voltaje en un circuito cercano. Este voltaje es proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente que produce el campo magnético. La constante de proporcionalidad se llama inductancia y se denota por L.

dttdiLtV )()( =∫ ⋅= )()(1)( tdtv

Lti

La inductancia se mide en Henry

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=A

sVH 1][1 I. Resistencia

II. Inductancia

III. Capacitancia





CAPACITANCIA

La diferencia de potencial en los terminales de un condensador es proporcional a la carga en él almacenada. La constante de proporcionalidad C se denomina capacidad o capacitancia del condensador.

∫ ⋅= )()(1)( tdtiC

tVdtdq

dtdvCti ==)(

La capacitancia se mide en Faradios

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=VCF 1][1 I. Resistencia

II. Inductancia

III. Capacitancia

UNIDAD I : CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS.1. Variables en sistemas eléctricos.

2. Elementos activos de sistemas eléctricos.

3. Calidad, conceptos y normas de la energía eléctrica.

4. Principio de funcionamiento de los instrumentos eléctricos.


ELEMENTOS ACTIVOS DE SISTEMAS ELECTRICOS

Los elementos activos son aquellos capaces de proporcionar a algún dispositivo externo una potencia promedio mayor que cero, donde el promedio se toma sobre un intervalo de tiempo de duración infinita. Estos son fuentes de tensión o de corriente.




FUENTE IDEAL DE TENSIÓN.- es una fuente que mantiene un voltaje determinado entre sus terminales, en forma independiente de lo que se le conecte a ella, vale decir, en forma independiente de la corriente que salga de la fuente o entregue la fuente a la carga

v

i

Vg(t)Vg(t)

i

I. Fuente ideal de Tensión

II. Fuente ideal de Corriente

III. Fuente real de Tensión

IV. Fuente real de Corriente




v

i

v(t)

i

Ig(t) Ig(t)

FUENTE IDEAL DE CORRIENTE; mantiene una corriente independiente del voltaje en bornes, o sea, independiente de la carga conectada.








FUENTE REAL DE TENSIÓN: el voltaje en bornes depende de la carga conectada, o sea, depende de la corriente que entrega a la carga.

Vg(t)

i

Ri

Vo(t)

v

i

Vo(t)i(t)*Ri

Rcarga








FUENTE REAL DE CORRIENTE: la corriente que entrega la fuente es función de la carga, o de lo que se le conecta.

v(t)

Io(t)

Ig(t)Ri Rcarga

corriente) de(divisor *)(

)(arg

0aci

ig

RRRtI

tI+

= I. Fuente ideal de Tensión






SEÑALES CARACTERISTICAS DE SISTEMAS ELECTRICOS

DEFINICIÓN: se llama señal a cualquier cantidad física cuya magnitud está ligada al monto de una observación característica, que puede especificarse en el tiempo en forma unívoca.

Es necesario destacar que no se restringe, con este concepto, la idea de señal, sólo a aquellas magnitudes físicas que aportan algún tipo de información, como se entiende en el lenguaje corriente.

En adelante, los términos: forma de onda, señal, variable y función serán equivalentes.Una señal queda especificada por alguna de las siguientes situaciones:

I. Tener una f(t) expresada en forma analítica.II. Tener una tabla de valores de f(t).III. Tener una representación gráfica.

No siempre es posible describir una señal por medios matemáticos exactos.

Una señal es periódica si repite cada cierto tiempo o período T, sus valores.

F(t) = f(t+nT) n = entero positivo

TEl período T de una señal se define como el tiempo que transcurre entre dos máximos consecutivos de una señal periódica


UNIDAD I : CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIONES EN SISTEMAS ELÉCTRICOS.SEÑALES CARACTERISTICAS DE SISTEMAS ELECTRICOS




Desde nuestro punto de vista, una de las señales periódicas más importante es la senoidal.

Una señal es no periódica si no hay un valor de T que satisfaga la relación:

f(t) = f(t+nT).

Se llama frecuencia fundamental de una señal periódica al valor recíproco del período.

f = 1 / T (seg)

este último concepto da una idea de cuantas veces por cantidad de tiempo, se repite una cierta magnitud.

),(),()()(/),( 2121 tttttttftftff aaaMAX ∈∧∈∀≥=

Si bien es cierto que conocemos totalmente una señal cuando podemos graficarla en función del tiempo, existen algunos valores característicos de las señales que nos proporcionaran información suficiente para diversos objetivos:

• El valor máximo, de una señal periódica, es la mayor magnitud que ésta puede alcanzar en un periodo dado, también se llama valor cresta o peak, se define como:

• El valor mínimo de una señal periódica, es la menor magnitud que ésta puede alcanzar en un periodo dado. Se define como:

),(),()()(/),( 2121 tttttttftftff bbbMIN ∈∧∈∀≤=




VALORES CARACTERÍSTICOS DE LAS SEÑALES

MINMAXpp fff −=


• El valor peak to peak: Se define así.





fpptatb

Vmax

Vmin

∫ ⋅−

=2

1

)(112

t

t

dttftt

f


El valor medio: Es la media aritmética de todos los valores instantáneos de la señal en un intervalo de tiempo dado.





∫ ⋅=T

dttfT

f0

)(1Si la función es periódica el valor medio estará dado por la siguiente expresión

∫ ⋅−

=2

1

)(1)( 2

12

t

tef dttf

tttf


El valor eficaz o RMS: Es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos de la señal en un intervalo de tiempo dado.

Si la función es periódica el valor RMS estará dado por la siguiente expresión ∫ ⋅=

T

ef dttfT

tf0

2 )(1)(

Si f(t) es un voltaje alterno, entonces el voltaje eficaz se consideracomo un voltaje continuo producido por la fuente de voltaje alterna.






El factor de Forma: Es la relación que existe en el valor efectivo de una señal periódica y su valor medio.





∫

∫

⋅

⋅

== T

T

ef

dttfT

dttfT

ftf

FF

0

0

2

)(1

)(1)(

..

Ejemplo:

De la siguiente función determine: Periodo, frecuencia, valor máximo, valor mínimo, valor peak to peak, valor medio, valor eficaz y forma de onda.





Solución:





Una señal puede descomponerse en varias señales, es decir en dos o más partes o componentes,. Por ejemplo en parte par o impar, y/o en parte continua o alterna.

DESCOMPOSICIÓN EN PARTE PAR E IMPAR

Una señal puede descomponerse en una parte par y otra impar. Es decir;





)t(f)t(f)t(f ip +=

impar componente 2

t)f(f(t)(t)f

par componente 2

t)f(f(t)(t)f

i

p

−−=

−+=


DESCOMPOSICIÓN EN PARTE PAR E IMPAR

Propiedades:





∫∞

∞−= 0dt*)t(fi

periódicaestfi f si 0)( t=

periódica es f si )()( ttftf p =


DESCOMPOSICIÓN EN PARTE CONTINUA Y ALTERNA

)t(f)t(f)t(f CCCA +=

alterna corriente de componente )t(f)t(f)t(fcontinua corriente de componente )t(f)t(f

CCCA

CC

−==

Propiedades:





)t(f)t(fCC = 0)t(fCA =

SEÑALES SINUSOIDALESUna señal sinusoidal seno o coseno tiene la forma de onda representada en la figura

T

A

-A

t

F(t)

ϕ/w

Donde:

• T = período de la señal = 1/f (seg).

• w = 2 π f =2 π / T = frec. angular (rad/seg).

• ϕ= ángulo de desfasaje o de fase

• A = valor máximo de la señal.

Matemáticamente una señal sinusoidal, de acuerdo a la figura, se puede definir por la expresión:




SEÑALES TÍPICAS:

)(*)( ϕω += tsenAtf

SEÑALES EXPONENCIALES

)1(*)( teAtf α−−=

A

F(t)

t

SEÑAL EXPONENCIAL CRECIENTE SEÑAL EXPONENCIAL DECRECIENTE

te*A)t(f α−=

A

F(t)

t




SEÑALES TÍPICAS:

SEÑALES EXPONENCIALES

La constante de tiempo T representa la velocidad con que varía la exponencial. Es el tiempo que demora en llegar la señal al valor 1-e para la señal ascendente, y al valor 1/e para la señal descendente. (e=2,71828...).

Observaciones: a medida que las constantes de tiempo son más grandes, más lentamente sube la señal. Por ejemplo, si T1 > T2;

CONSTANTE DE TIEMPO




SEÑALES TÍPICAS:

T1

T2

A

SEÑALES SINGULARES

Se caracterizan por ser relativamente simples y tener alguna discontinuidad en la función o en su derivada

SEÑAL ESCALÓN (STEP): Matemáticamente se define como:




SEÑALES TÍPICAS:

1 t para 1 u(t) 0 t para 0)t(u

≥=<=

t

1

u(t)

SEÑALES SINGULARES


Una definición más general es:




SEÑALES TÍPICAS:

T t paraA T)-u(t*A T t para 0)Tt(u*A

≥=<=−

u(t)

A

tT

SEÑALES SINGULARES


SEÑAL RAMPA (RAMP). Su definición matemática es:

0 t para t r(t) f(t)0 tpara 0)t(r)t(f

≥==<==

t

tT

A

0

1

T t para t *A T)-r(t*A f(t)T tpara 0)Tt(r*A)t(f≥==

<=−=

en forma más general:



SEÑALES CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS ELECTRICOS

SEÑALES TÍPICAS:

SEÑALES SINGULARES

SEÑAL IMPULSO (impuls). Está definida por las relaciones:





SEÑALES TÍPICAS:

0 tpara )t()t(f

1 dt *(t)

0 t para 0)t()t(f

-

=∞=δ=

=δ

≠=δ=

∫∞+

∞

f(t)

SEÑALES SINGULARES


RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES SINGULARES.




SEÑALES TÍPICAS:

)Tt())Tt(u(dtd .3

)Tt())Tt(r(dtd .2

)Tt(u))Tt(r(dtd .1

2

2

−δ=−−

−δ=−−

−=−−

SEÑALES SINGULARES





SEÑALES TÍPICAS:

EJEMPLO: ESCRIBA EN FUNCIONES SINGULARES LA SIGUIENTE EC. MATEMATICA.

Cuando ciertos elementos activos y/o pasivos se interconectan para formar un circuito o una red, existen leyes que imponen restricciones a las variables de los componentes. Las denominaremos leyes de interconexión. Estas leyes son tales que, no dependen de la naturaleza de los componentes, sino que solo del modo que los componentes están interconectados.

LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK)

La suma orientada de las corrientes que atraviesan una superficie cerrada, es cero en todo instante

La suma orientada de las corrientes, se efectúa en referencia a cierta dirección para atravesar la superficie, que se puede suponer o elegir en forma arbitraria.



LEYES DE KIRCHHOFF

I1

I2

I3

I4I5

Superficie A Superficie B

Direcciónde referencia+ si sale- si entra

LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF (LCK)

I1

I2

I3

I4I5

Superficie A Superficie B

Direcciónde referencia+ si sale- si entra

Aplicando LKC en Superficie A: Aplicando en superficie B:



0IIIII 54321 =++−−+05I4I3I2I1I =−−++−

“La suma orientada de los voltajes asociados a un lazo o camino cerrado es cero en todo instante”. La suma orientada se efectúa en referencia a cierta dirección de recorrido del camino cerrado que puede ser elegida en forma arbitraria.

LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF (LVK)

V1

V5

V4

V3

V2

Aplicando LVK a la figura:

0VVVVV 54321 =++−−



CONEXIÓN SERIE

Dos o más elementos están conectados en serie cuando son recorridos por la misma corriente.

I1 I2

V1 V2

I I

V

En este caso: I1 = I2 por LCK.

Por LVK: V = V1 + V2



CIRCUITOS ELÉCTRICOS

TIPOS DE CONEXIONES DE LOS COMPONENTES ELEMENTALES.

CONEXIÓN PARALELO

Dos o más elementos están en paralelos si tienen la misma diferencia de potencial entre sus terminales o tienen terminales comunes. .

I1I2

I

VV1 V2

En este caso: V1 = V2 = V

I = I1 + I2





DIVISOR DE TENSIÓN

V1 V2

I

V

R1 R2

21

22

21

11

212

21

2

21

2

2

1

1

2

2

1

1

2211

21

*Vy *V

:que tienese spejando

V pero V

ocomponiend tienese RV

RVI luego;

*V Y *

RRRV

RRRV

de

VVR

RRV

VRVde

RV

IRIRVVVV

+=

+=

=++

=+

=

==

==+=





DIVISOR DE TENSION PARA TRES O MAS ELEMENTOS

V1 V2

I

V

R1 R2

Rn R3

Vn V3

∑=

+++==∴

+++==

+++=

+++=+++=

nnn

n321nnn

n321111

n321

n321

n321

RV

*RV

)R...RRR(V

*RI*RV

)R...RRR(V

*RI*RV

)R...RRR(V

I luego;

I*)R...RRR(VV...VVVV





DIVISOR DE CORRIENTE

I1 I2

I

V R1 R2

21

12

21

21

1

2

2

1

2211

21

RRR*i

I y RR

R*II

RR

II

R*IR*IIII

+=

+=∴

=

=

+=





DIVISOR DE CORRIENTE PARA MÁS DE DOS ELEMENTOS

I1 I2

I

V R1 R2

)G......GGG(I *GV*G

RVI

)G......GGG(I *GV*G

RVI

)G......GGG(IV

V*)G......GGG(IV*G......V*GV*GV*GI

RV...

RV

RV

RVI

I......IIII

n321nn

nn

n32111

11

n321

n321

n321

n321

n321

++++===

++++===∴

++++=

++++=++++=

+++=

++++=





La respuesta de un sistema lineal cualquiera sometido a una excitación arbitraria puede descomponerse en una parte transitoria (transiente) y en otra permanente (estado estacionario).

Sistema Lineal

E(t) R (t) = R trans + R perm

La respuesta transiente o transitoria tiende a desaparecer en el tiempo. La respuesta estacionaria permanece permanente mientras el sistema no sufra perturbaciones.



RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL.

Analizaremos la respuesta de sistemas lineales invariantes excitados con señales singulares. En particular, nos limitaremos a redes eléctricas del tipo RLC, por ello la respuesta del sistema, voltaje o corriente en cualquier elemento, será la solución de una ecuación integro diferencial lineal de coeficientes constantes.

RESPUESTA TRANSITORIA

La ecuación diferencial necesita tener un número de condiciones iniciales igual al orden de la ecuación, para evaluar las constantes indeterminadas. Estas condiciones iniciales se obtienen a partir del estado inicial de los componentes de la red, corrientes en L, y voltajes en C.




CIRCUITOS:

1. RL SERIE CON ENTRADA CERO

2. RC SERIE CON ENTRADA CERO

3. RL SERIE CON ENTRADA ESCALON

4. COMBINACIONES DE ESTOS

En t=0 el interruptor desconecta la fuente y conecta a la resistencia, luego la condición inicial de la corriente en la inductancia es I0.

Para t ≥0, se tiene que:


CIRCUITO RL CON ENTRADA CERO

t=0

I0 L R

i (t)

[ ]L /0dt

)t(diL)t(Ri

0)t(v)t(v LR

=+

=+





t=0

I0 L R

i (t)

0 tpara )(

L / )(

0)()(

0

1-00

0

≥=

+=

+=

=−+

−LRt

eIti

sLR

IsLR

LIsI

LIssLIsRI

I0

t




CIRCUITO RL CON ENTRADA CERO


V0 C R

t=0 iRiC

+

-

+

-

Condición inicial en el condensador Vc(0)= V0

0R

)t(vdt

)t(dvC

0)t(i)t(i

CC

CR

=+

=+0t para eV)t(v

CR1s

V

R1Cs

CV)s(V

0R

)s(VCV)s(CsV

RCt

0C

00C

C0C

≥=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

=+−

−




CIRCUITO RC CON ENTRADA CERO


V0 C R

t=0 iRiC

+

-

+

-

Condición inicial en el condensador Vc(0)= V0

V0

t

vC (t)

Conociendo Vc(t) se puede calcular las corrientes;

RCt

0cR

RCt

0Cc

eRV)t(i)t(i

eRV

dt)t(dvC)t(i

−

−

=−=

−==




CIRCUITO RC CON ENTRADA CERO


Se quiere determinar i(t);

i(t) R

LEu(t)

+

-

)t(Eudt

)t(diL)t(Ri

)t(v)t(v)t(Eu LR

=+

+=

0 tpara e-1RE e

RE-

RE)(

L / R

E-RsEB

sA I(s)

)(

)(

)()(

LR-

LR-

1-

≥⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=

=+

ttti

sLRs

LR

sLRsL

EsLRs

EsI

sEssLIsRI




CIRCUITO RL CON ENTRADA ESCALON


Se quiere determinar i(t);

i(t) R

LEu(t)

+

-

)t(Eudt

)t(diL)t(Ri

)t(v)t(v)t(Eu LR

=+

+=

t

i(t)

E/R




CIRCUITO RL CON ENTRADA ESCALON

RESPUESTA PERMANENTE

Analizaremos la respuesta de régimen permanente a una entrada sinusoidal.

1. La mayor parte de la energía se genera, transmite y utiliza en forma de señales senoidales.2. En redes lineales, por superposición, se puede analizar la respuesta ante cualquier señal

periódica, descomponiéndola en señales senoidales por serie de Fourier.




CIRCUITOS:

1. CIRCUITO RESISTIVO PURO.

2. CIRCUITO INDUCTIVO PURO.

3. CIRCUITO CAPACITIVO PURO.

4. CIRCUITO RL SERIE.

5. CIRCUITO RC SERIE.

6. CIRCUITO RLC SERIE.





i(t)

v(t)

R +

)t(senV)t(v max ω=

)t(Ri)t(v)t(vR ==

)t(senI)t(iR

)t(senVR

)t(v)t(i

max

max

ω=

ω==

RVI

RVI

efef

maxmax

=

=

CIRCUITO RESISTIVO PURO

Si


i(t)

v(t)

R +

)t(senV)t(v max ω=

)t(Ri)t(v)t(vR ==

La potencia instantánea disipada en la resistencia y entregada por la fuente:

)t(senIV)t(p

)t(senI*)t(senV)t(i)t(v)t(p2

maxmax

maxmax

ω=

ωω==

El valor medio de la potencia es:

( )2

)2cos(121

2

)(21

maxmax2

0

maxmax

2

0

2maxmax

IVtdtIVP

tdtsenIVP

=−=

=

∫

∫

ωωπ

ωωπ

π

π





Si


i(t)

v(t)

R +

)t(senV)t(v max ω=

)t(Ri)t(v)t(vR ==

La energía disipada en la resistencia es:

∫∫ ω==t

0

2maxmax

t

0dt)t(senIVdt)t(p)t(E





Si


i(t)

v(t) L +

)t(senV)t(v max ω=

dt)t(diL)t(v)t(vL ==

)90t(senI)t(i

)90t(senL

V)tcos(L

V)t(i

dt)t(senVL1dt)t(v

L1)t(i

max

maxmax

t

0max

t

0

o

o

−ω=

−ωω

=ωω

−=

ω== ∫∫

L

efef

L

maxmaxmax

XVI

XV

LVI

=

=ω

=

se define fL2LXL π=ω= reactancia inductiva (ohm)




CIRCUITO INDUCTIVO PURO

Si


i(t)

v(t) L +

)t(senV)t(v max ω=


La potencia instantánea disipada en la inductancia y entregada por la fuente:

)t(2senIV21)t(p

)tcos(I*)t(senV)t(i)t(v)t(p

maxmax

maxmax

ω−=

ωω−==


0td)t(senIV21P

2

0

2maxmax =ωω

π= ∫

π





Si


i(t)

v(t) L +

)t(senV)t(v max ω=


La energía disipada en la resistencia es:

( ) ( )tsenLI

21-

tsen2

IV- 1t2cos4

IV-

dt)t(2senIV21dt)t(p)t(E

22max

2maxmaxmaxmax

t

0maxmax

t

0

ω=

ωω

=+ω−ω

=

ω−== ∫∫





Si


i(t)

v(t)

C +

)t(senV)t(v max ω=

∫==t

0c dt)t(i

C1)t(v)t(v

)tcos(I)t(i

tcosX

V)tcos(C

1V)t(i

tcosCVdt

)t(dvC)t(i

max

C

maxmax

max

ω=

ω=ωω

=

ωω==

C

efef

C

maxmaxmax

XVI

XV

C1VI

=

=ω

=

reactancia capacitiva (ohm)




CIRCUITO CAPACITIVO PURO

Si


i(t)

v(t)

C +

)t(senV)t(v max ω=

∫==t

0c dt)t(i

C1)t(v)t(v

La potencia instantánea disipada en el condensador y entregada por la fuente:

)t(2senIV)t(p

)tcos(I*)t(senV)t(i)t(v)t(p

maxmax21

maxmax

ω=

ωω==

El valor medio de la potencia es

0td)t(2senIV21

21P

2

0maxmax =ωω

π= ∫

π





Si


i(t)

v(t)

C +

)t(senV)t(v max ω=

∫==t

0c dt)t(i

C1)t(v)t(v

La energía almacenada en el campo eléctrico en el condensador es:

tsenCV

dttsenIVdttptEtt

ω

ω

22max

0maxmax

0

21

)(221)()(

=

== ∫∫





Si

Inductiva: La reactancia inductiva XL es la oposición a la corriente alterna debido a la inductancia del circuito. La unidad de reactancia es el Ohm. La reactancia inductiva se obtiene de la siguiente forma:

fL2LXL π=ω=Donde f es la frecuencia [Hz] , L es la inductancia [H] y w es la frecuencia angular [rad/s]

Capacitiva: La reactancia capacitiva XC es la oposición a la corriente alterna debido a la capacitancia del circuito. La reactancia capacitiva se obtiene de la siguiente forma:

fC21

C1XC π

=ω

=

Donde f es la frecuencia [Hz] , L es la inductancia [H] y w es la frecuencia angular [rad/s] .




REACTANCIA

Impedancia: Se compone de una parte resistiva y una componente reactiva. Se determina por:

ϕ∠=+= ZjXRZDonde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

−

RX

XRZ

1

22

tanϕ




REACTANCIA




REACTANCIA, EJEMPLO

][100][173Ω=

Ω=

LXR

SOLUCIÓN

°

°−−

∠=

Ω≈+=

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

30200

][200100173

630)578.0(tan

173100tan

22

11

Z

Z

πϕ


i(t)

v(t)

R +

L vL(t)

vR(t)

)t(senI)t(i max ω=

dt)t(diL)t(Ri)t(v)t(v)t(v LR +=+=

tcosLI)t(senRI)t(v maxmax ωω+ω=luego v(t) es la suma de dos ondas senoidales, seno más coseno, dando como resultado una sinusoide de la forma

( )φ+ω= tsenV)t(v max

( ) tcosLI)t(senRItsenV maxmaxmax ωω+ω=φ+ω

( ) φω+φω=φ+ω tsencosVcostsenVtsenV maxmaxmax

tLItsenRItsenVtsenVωωω

φωφωcos)(coscos

maxmax

maxmax

+=+




CIRCUITO RL SERIE

Si

igualando términos semejantes se tienen dos ecuaciones:


CIRCUITO RL SERIE

tcosLItsencosV)t(senRIcostsenV

maxmax

maxmaxωω=φω

ω=φω

simplificando los términos semejante en cada ecuación;

(2) LIsenV(1) RIcosV

maxmax

maxmaxω=φ=φ

así se tiene dos ecuaciones con dos incognitas, Vmax y φ.

Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumando se tienen

[ ] [ ]22

maxmax

222max

22max

2

2max

2max

2max

22max

2

)L()R(IV

)L()R(IsencosV

)LI()RI(senVcosV

ω+=

ω+=φ+φ

ω+=φ+φ

Dividiendo la ecuación (2) por la ecuación (1)

R Ltg

cossen

RI LI

cosVsenV

max

max

max

max

ω=φ=

φφ

ω=

φφ





luego

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=φ −

RLtg 1

así, finalmente la expresión del voltaje total es




CIRCUITO RL SERIE

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+ωω+= −

RLtgtsen)L()R(I)t(v 122

max






CIRCUITO RL SERIE

[ ]

[ ])t2cos()cos(21IV)t(p

)ttcos()ttcos(21IV)t(p

)t(senI*)t(senV)t(i)t(v)t(p

maxmax

maxmax

maxmax

φ+ω−φ=

ω+φ+ω−ω−φ+ω=

ωφ+ω==



[ ]

[ ]

φπφπ

ωφπ

ωφωφπ

π

π

cos2

)02(cos4

)()cos(41

)()2cos()cos(21

21

maxmaxmaxmax

2

0maxmax

2

0maxmax

IVIVP

tdIVP

tdtIVP

=−=

=

+−=

∫

∫

la potencia media es proporcional a cosφ, el factor de potencia.




CIRCUITO RL SERIE


Triángulo de impedanciaSe tiene que la relación entre el voltaje y la corriente es




CIRCUITO RL SERIE

)ohm(pedanciaImZXRIV

IV 2

L2

max

max ≡=+==

φ

R

XL

Z


i(t)

v(t)R +

L vL(t)

vR(t)

vC(t)

)t(senI)t(i max ω=

∫++=++= dt)t(iC1

dt)t(diL)t(Ri)t(v)t(v)t(v)t(v CLR

tcosI)C

1L()t(senRI)t(v

tcosIC

1tcosLI)t(senRI)t(v

maxmax

maxmaxmax

ωω

−ω+ω=

ωω

−ωω+ω=

luego v(t) es la suma de ondas senoidales, seno más coseno, dando como resultado una sinusoide de la forma

( )φ+ω= tsenV)t(v max




CIRCUITO RLC SERIE

Si


( ) tcosI)C

1L()t(senRItsenV maxmaxmax ωω

−ω+ω=φ+ω

pero por identidad trigonométricas se tiene que:

( ) φω+φω=φ+ω tsencosVcostsenVtsenV maxmaxmaxasí igualando

tIC

LtsenRI

tsenVtsenV

ωω

ωω

φωφω

cos)1()(

coscos

maxmax

maxmax

−+

=+




CIRCUITO RLC SERIE


igualando términos semejantes se tienen dos ecuaciones:

tcosI)C

1L(tsencosV

)t(senRIcostsenV

maxmax

maxmax

ωω

−ω=φω

ω=φω

simplificando los términos semejante en cada ecuación;

(2) I)C

1L(senV

(1) RIcosV

maxmax

maxmax

ω−ω=φ

=φ

así se tiene dos ecuaciones con dos incognitas, Vmax y φ.

Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumando se tiene:

[ ]

22maxmax

222max

22max

2

max222

max

2max

22max

2

)1()(

)1()(

cos

)1()(

cos

CLRIV

CLRI

senV

IC

LRI

senVV

ωω

ωω

φφω

ω

φφ

−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

=+

−+

=+




CIRCUITO RLC SERIE


Dividiendo la ecuación (2) por la ecuación (1)

RC

Ltgsen

RI

IC

L

VsenV 1

cos;

)1(

cos max

max

max

max ωω

φφφω

ω

φφ −

==−

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

−ω=φ −

RC

1Ltg 1

así, finalmente la expresión del voltaje total es

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ω

−ω+ω

ω−ω+= −

RC

1Ltgtsen)

C1L()R(I)t(v 122

max




El ángulo de desfase entre el voltaje y la corriente ϕ será positivo o negativo dependiendo de los valores de las reactancias inductivas y capacitivas.


CIRCUITO RLC SERIE


[ ]

[ ])t2cos()cos(21IV)t(p

)ttcos()ttcos(21IV)t(p

)t(senI*)t(senV)t(i)t(v)t(p

maxmax

maxmax

maxmax

φ+ω−φ=

ω+φ+ω−ω−φ+ω=

ωφ+ω==




El ángulo de desfase entre el voltaje y la corriente ϕ será positivo o negativo dependiendo de los valores de las reactancias inductivas y capacitivas.


CIRCUITO RLC SERIE


[ ]

[ ] )t(d)cos(IV41P

)t(d)t2cos()cos(21IV

21P

2

0maxmax

2

0maxmax

ωφπ

=

ωφ+ω−φπ

=

∫

∫

π

π

φπφπ

cos2

)02(cos4

maxmaxmaxmax IVIVP =−=

la potencia media es proporcional a cosφ, el factor de potencia.





Triángulo de impedanciaSe tiene que la relación entre el voltaje y la corriente es




CIRCUITO RLC SERIE

)(Im)( 22

max

max ohmpedanciaZXXRIV

IV

CL ≡=−+==

φ

R

XL -XC

Z

XC

XL

LA FUNCIÓN COMPLEJA FORZADA

Si una red lineal se excita con una señal exponencial compleja, su repuesta será con una señal exponencial compleja. Si la entrada es de la forma:

)t(jmaxeV)t(v ϕ+ω=

la respuesta será de la forma

)t(jmaxeI)t(i ϕ+ω=

Si al circuito RL serie se le aplica una tensión

tcosV)t(v max ω=Por Euler [ ]tjeretcos ω=ωAsí la entrada se puede expresar como

[ ]tjeVretv ωmax)( =




LA FUNCIÓN COMPLEJA FORZADAy la respuesta será de la forma

[ ])t(jmaxeIre)t(i ϕ+ω=

La ecuación diferencial del circuito RL serie es

dt)t(diL)t(Ri)t(v)t(v)t(v LR +=+=

si la corriente es la respuesta del circuito debe satisfacer la ecuación diferencial, luego reemplazando, se obtiene

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

ϕ+ωϕ+ω

dteIdLeRIre)t(v

)t(jmax)t(j

max





Así

[ ] /re)(max

)(maxmax

ϕωϕωω ω ++ += tjtjtj eLIjeRIeV

simplificando ejωt, en ambos lados de la ecuación

ϕϕ ω+= jmax

jmaxmax eLIjeRIV





Luego

)RL1tg(j

22max)(j

max

)RL1tg(j22

maxmax)(jmax

e)L(R

VeI

e)L(R

V LjR

VeI

ω−−ϕ

ω−ϕ

ω+=

ω+

=ω+

=

por lo tanto igualando módulos y ángulos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=ϕ

+=

−R

Xtg

XR

VI

L1

2L

2max

max

luego la respuesta será

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

−ωω+

= − )RLtg(tcos

)L(R

V)t(i 122

max




EL FASOR

Una corriente o voltaje sinusoidal a una frecuencia dada, están caracterizados por sólo dos parámetros; la amplitudy la fase. La representación de un complejo también se caracteriza por los mismos parámetros. Por ejemplo, la corriente

( )ϕ+ω= tcosI)t(i maxse puede expresar como

[ ] /re)( )(max

ϕω += tjeIti

donde Imax y ϕ definen exactamente a la corriente i(t).

Podemos, entonces representar una corriente por una cantidad compleja

ϕ∠== ϕ•

IeII jmax

donde •I es la representación fasorial de i(t).

•I

La función i(t) es una representación en el dominio del tiempo, el fasor es una representación en el dominio de la frecuencia ω, aunque en él no estáexplícita. El proceso de cambiar i(t) en

se llama transformada fasorial del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.




EL FASOR

Ejemplo:

[ ]o

o

30100V

e100re)t(v

)30t400cos(100)t(v)30t400(j

−∠=

=

−=

•

−

En general, cuando se trabaja con excitaciones sinusoidales, se utiliza el valor eficaz en lugar del valor máximo, así

o302

100V −∠=•

RELACIONES FASORIALES EN CIRCUITOSCircuito resistivo; se tenía que si el voltaje aplicado es

[ ] 0VV eVre)t(v

tcosV)t(v

maxtj

max

max

∠=⇒=

ω=•

ω

La respuesta será de la forma

[ ] ϕ∠=⇒=

ϕ+ω=•

ϕ+ωmax

)t(jmax

max

II eIre)t(i

)tcos(I)t(i

luego

tjmax

)t(jmax eVeRI ωϕ+ω =




EL FASOR

0y VRI VIR

0VRI VeRI

maxmax

maxmax

max)(j

max

=ϕ=⇒=

∠=ϕ∠⇒=

••

ϕ

el voltaje y la corriente en una resistencia están en fase ϕ=0

VI

Luego la impedancia compleja se define como

0R0jRI

VZ ∠=+== •

••

Para un circuito inductivo, se tenía que si el voltaje aplicado es

[ ] 0VV eVre)t(v

tcosV)t(v

maxtj

max

max

∠=⇒=

ω=•

ω


[ ] ϕ∠=⇒=

ϕ+ω=•

ϕ+ωmax

)t(jmax

max

II eIre)t(i

)tcos(I)t(i

tjmax

)t(jmax

tjmax

)t(jmax

eVeLIj

eVeIdtdL

ωϕ+ω

ωϕ+ω

=ω

=

luego




EL FASOR

0VI*90X0VILj VeLIj

maxmaxL

maxmax

max)(j

max

∠=ϕ∠∠∠=ϕ∠ω

⇒=ω ϕ

90 X

VI

90X

V 90X

0VI

L

maxmax

L

max

L

maxmax

−=ϕ=

−∠=∠∠

=ϕ∠

el voltaje y la corriente en una inductancia están desfasados en ϕ=-90. Se dice que la corriente atrasa al voltaje en 90 grados

VI


o90XjXI

VZ LL ∠===•

••




EL FASOR


luegoPara un circuito capacitivo, se tenía que si el voltaje aplicado es

[ ] 0VV eVre)t(v

tcosV)t(v

maxtj

max

max

∠=⇒=

ω=•

ω

[ ] ϕ∠=⇒=

ϕ+ω=•

ϕ+ωmax

)t(jmax

max

II eIre)t(i

)tcos(I)t(i

tjmax

)t(jmax

tjmax

)t(jmax

eVeICj

1

eVdteIC1

ωϕ+ω

ωϕ+ω

=ω

=∫

0VI*90X

0VICj

1

VeICj

1

maxmaxC

maxmax

max)(j

max

∠=ϕ∠−∠

∠=ϕ∠ω

⇒=ω

ϕ

90 X

VI

90X

V 90X 0VI

C

maxmax

C

max

C

maxmax

=ϕ=

+∠=−∠∠

=ϕ∠




EL FASOR

el voltaje y la corriente en una inductancia están desfasados en ϕ=+90. Se dice que la corriente adelanta al voltaje en 90 grados

V

I


o90XjXI

VZ CC −∠=−== •

••

Para un circuito RL serie, en forma análoga la impedancia se define como

RXtgXRjXR

I

VZ L12L

2L

−•

••

∠+=+==

Para un circuito RC serie, en forma análoga la impedancia se define como

RXtgXRjXR

I

VZ C12C

2C

−•

••

−∠+=−=+==

y para un circuito RLC serie, en forma análoga la impedancia se define como

RXXtg)jXX(RjXjXR

I

VZ CL12CL

2cL

−∠+=−+== −

•

••




EL FASOR

Para un circuito RC serie, en forma análoga la impedancia se define como

RXtgXRjXR

I

VZ C12C

2C

−•

••

−∠+=−=+==

y para un circuito RLC serie, en forma análoga la impedancia se define como

RXXtg)jXX(RjXjXR

I

VZ CL12CL

2cL

−∠+=−+== −

•

••




EL FASOR

Se define la admitancia de un circuito como

ADMITANCIA

[mho] jBGZ

1Y +== •

•

donde G= conductanciaB= susceptancia




POTENCIA Y FACTOR DE POTENCIA

Cuando v e i son ambos positivos o ambos negativos, la potencia es positiva. Por consiguiente, se gasta energía durante todo el ciclo.

La potencia instantánea P es el producto de la corriente i y el voltaje v en el instante t.





Si v es negativo e i es positiva durante cualquier parte del ciclo, o si i es negativa mientras v es positivo, la potencia será negativa. Esta “potencia negativa” no esta disponible para realizar trabajo, es potencia que regresa a la fuente.





El producto del voltaje y la corriente que pasa por una resistencia es siempre positivo y se llama “Potencia Real”. Puede considerarse a la potencia real como potencia resistiva que se disipa como calor.

Como el voltaje en una reactancia esta siempre 90° fuera de fase con la corriente debido a la reactancia, el producto P = V * I es siempre negativo. Este producto se llama “Potencia Reactiva” y es causada por la reactancia del circuito. Similarmente, el producto, del voltaje y la corriente de la fuente, se conoce con el nombre de “Potencia Aparente”.

Potencia real: Potencia Reactiva: Potencia Aparente:





Con el voltaje de la fuente V como el fasor de referencia, en un circuito inductivo, S se atrasa a P, mientras que en un circuito capacitivo S adelanta a P.





El cuociente de la potencia real y la potencia aparente se llama Factor de Potencia (FP), se define como:





Si en un circuito, la corriente se atrasa con respecto al voltaje (es decir, un circuito inductivo), se dice que tiene un F.P. atrasado; si en un circuito la corriente adelanta al voltaje (es decir, circuito capacitivo), se dice que tiene un F.P. adelantado.

El F.P. se expresa como un número decimal o como un porcentaje. Un F.P. de 0,7 o 70% significa que el aparato usa solo el 70% de la entrada de Volt Amperes. Por lo tanto es aconsejable diseñar circuitos que tengan un F.P. grande, porque tales circuitos hacen uso más eficiente de la corriente entregada a la carga.





Cuando se afirma que un motor consume 10 kVA de una línea de alimentación, se refiere a la potencia aparente que recibe el motor. Similarmente, cuando se dice que un motor consume 10 kW , significa que la potencia real que recibe el motor es 10 kW .

La normativa Chilena indica que el factor de potencia no debe ser inferior a 0,93 o 93% en atraso y en caso de no cumplir esta disposición el consumidor deberá pagar una multa correspondiente al 1% de la tarifa de costo mensual por cada punto que tenga por debajo del establecido por norma.

Ejemplo, un consumidor tiene un factor de potencia de 0,90 en atraso y además el costo mensual de energía es $100.000.-, entonces deberá pagar una multa de:





CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA DE UN CIRCUITO

Si la carga es inductiva, que es el caso más general, el factor de potencia del circuito se puede corregir colocando en paralelo con la carga un condensador, de esta forma la potencia reactiva QL será menor, con lo cual se reduce el costo de la energía.

Sea un circuito con una carga inductiva

C +

cIº

TIº

ºV

º

LZ

º

LI Si la impedancia de carga ZL es resistiva inductiva. Se tendrá un triangulo de potencia





S= V*IL Q= V*IL*senφ

φ

P= V*IL*cosφ

Se desea corregir el factor de potencia, mediante un condensador en paralelo con la carga, a cos φ’.

S= V*IL Q= V*IL*senφ

φ

P= V*IL*cosφ

φ’

S’

Q’=Q-QC

QC

Donde QC es la potencia reactiva capacitiva, consumida por el condensador. Luego








C

CC

C

XfC

fCQVX

QQQsenSQ

PS

*21

21

'''*'

'cos'

2

π

π

φφ

=

==

−==

=

Para el cálculo de las corrientes

'IIII

º90XV

jXVI

TºC

ºL

ºT

CC

ººC

φ∠=+=

∠=−

=

IL

IT

IC

IC

Vφ

φ’





Ejemplo: Sea un circuito con una impedancia Z=5+j8, alimentado con una tensión de 220 volt. Corregir el factor de potencia a 0,93 inductivo.

5832,235843,90220I

53,058cos5843,98j5Z

−∠=∠∠

=

=∠=++=

el factor de potencia del circuito es 0,53.

LjQP82,4359j7,2718584,5130 5832,23*0220S

+=+=∠=∠∠=

se quiere corregir a un factor de potencia cosφ=0,93, por lo tanto φ=21,56 grados.

El triángulo de potencias es

QL=4359,87

P=2718,7

S=5130,4

QL- QC = Q'L

ϕ

φS'

Ejemplo: Sea un circuito con una impedancia Z=5+j8, alimentado con una tensión de 220 volt. Corregir el factor de potencia a 0,93 inductivo.

Del triángulo se determina




VARi 25,1074)56,21(sen*22,2923senSQ

33,292393,0

7,2718cos

PS

'L ==φ′=

==φ

=′

VARc 62,328525,107487,4359QQQ LLC =−=′−=

ohm 73,1462,3285

220QVX

2

c

2c ===

[f] 10*21673,14*)502(

11 6−===πω cX

C

Los armónicos son distorsiones periódicas de: la tensión, corrientes o las ondas sinusoidales de energía. Una forma de onda se puede considerar como una combinación de varias ondas sinusoidales con diferentes frecuencias y magnitudes. La amplitud de los armónicos más altos es mucho menor que la amplitud de la fundamental y tienden a cero.



ARMÓNICOS ELÉCTRICOS.

En las redes eléctricas se pueden encontrar dos tipos de cargas: “cargas lineales” y “cargas no lineales”.

CARGAS LINEALES.

Se dice que se está en presencia de una carga lineal si su relación voltajecorriente es directamente proporcional, es decir, se puede representar dicha relación a través de una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente de magnitud “m”. Las cargas lineales son básicamente consumos resistivos puros, por ejemplo: ampolletas, estufas, etc. (dichos consumos pueden ser representados en un modelo matemático por medio de una resistencia).

CARGAS NO-LINEALES.

Se dice que se está en presencia de una carga no-lineal si su relación voltajecorriente no es directamente proporcional, es decir, no se puede representar dicha relación a través de una recta que pase por el origen y tenga una pendiente de magnitud “m”. Las cargas no lineales pueden ser básicamente consumos del tipo inductivos (máquinas ó equipos que contengan bobinas en su interior) o bien, por consumos del tipo capacitivo (maquinas o equipos eléctricos/electrónicos que contengan condensadores en su interior.

Cabe destacar que los armónicos son provocados a menudo por cargas no lineales, (como los suministros de corriente continua en ordenadores, televisores y variadores de velocidad) y por último, es necesario indicar que los armónicos producen daños en los equipos y máquinas eléctricas, por ejemplo: el sobrecalentamiento de transformadores, conductores y motores.




a) Relación lineal entre voltaje y corriente; b) Relación no lineal entre voltaje y corriente.




TIPOS DE ARMÓNICOS EXISTENTES EN UNA RED ELÉCTRICA.

ARMÓNICOS PARES O INTER ARMONICOS: cuando la frecuencia del armónico presente en el sistema es un múltiplo par de la frecuencia fundamental de la señal de la red. En el sistema eléctrico Chileno, la frecuencia fundamental es de 50[Hz], por lo tanto una armónica par seria la de 100[Hz]; ya sea de voltaje o corriente

ARMÓNICOS IMPARES: si es múltiplo impar de la frecuencia fundamental, por ejemplo, para la red Chilena sería una señal que tenga una frecuencia de 150[Hz]. Es decir, si f es la frecuencia de la red, entonces los armónicos se pueden dividir en:





En el gráfico de barras se muestra el porcentaje de contribución de cada uno de los componentes a la señal completa. Una señal sin distorsión debería mostrar un primer armónico (es decir, el fundamental) al 100%, mientras que el resto debería estar a cero: sin embargo, esto no ocurrirá en la práctica, ya que siempre hay una cierta cantidad de distorsión que produce armónicos más altos.




RESPECTO DE UNA SEÑAL COMPLETA.


Los gráficos pueden ser analizados de dos formas, ya sea desde el punto de vista de una señal completa o bien con respecto de una señal fundamental.

Si se toma el eje de las ordenadas (Y) que indica contribución, el análisis se refiere a que si consideramos una señal completa compuesta de varias señales (armónicos), cada una aporta con el porcentaje indicado en el gráfico de armónicos. Por ejemplo: según el gráfico la tercera armónica aporta con un 10% a la señal completa, o también se puede decir que el tercer armónico es un 10% de la señal total.




RESPECTO DE UNA SEÑAL FUNDAMENTAL.


Los gráficos pueden ser analizados de dos formas, ya sea desde el punto de vista de una señal completa o bien con respecto de una señal fundamental.

En este caso, en el eje de las ordenadas, aparecerá el porcentaje del armónico presente respecto de la señal fundamental. Por ejemplo: según el gráfico la tercera armónica (en el eje de las abscisas, la número 3) es un 10% de la señal fundamental.




EFECTOS DE LOS ARMÓNICOS EN LAS REDES ELÉCTRICAS.

El número del armónico presente en una red eléctrica indica la frecuencia de armónico. Considere las frecuencias de transmisión de dos redes eléctricas, la de Chile y la de Estados Unidos. La secuencia de armónicos puede ser positiva (+), cero (0) o negativa (-).




Los armónicos de secuencia negativa intentan que el motor funcione más lentamente que el fundamental y así como en el caso anterior, provoca que el motor pierda par y se recaliente.


Los armónicos de secuencia positiva intentan que el motor funcione más rápido que el fundamental, lo que trae por consecuencia que el motor pierde par y se recaliente.

Una de las máquinas eléctricas que se ve afectada directamente por la introducción de armónicos en la red eléctrica es el transformador. Dado que si en un consumo se presenta una señal con mayor cantidad de armónicos de corriente, mayor es la cantidad de energía que es demandada, pero no es usada útilmente. Dicha potencia es necesaria para suplir la energía demandada por las cargas no lineales. Es por eso que existe el Factor K o de sobredimensionamiento, para que en caso de que se instale un transformador se tenga en consideración la potencia en [KVA] que es requerida por la cargaconectada, para que también se le añada a través de dicho factor la energía que es consumida por las cargas no lineales.





ÍNDICE DE DISTORSIÓN DE LAS ONDAS DE TENSIÓN Y CORRIENTE EN UNA RED ELÉCTRICA POR CAUSA DE LAS CARGAS NO LINEALES.

Las cargas no lineales originan corrientes armónicas que se propagan en las redes de transmisión y distribución eléctrica, afectando los índices de calidad del suministro. Esto puede ser peligroso para algunos equipos y cargas sensibles como son: dispositivos de protección, bancos de condensadores, motores, computadoras, etc. además de los problemas de calentamiento que originan en las líneas y transformadores de distribución.

Producto de la conexión de cargas no lineales a la red eléctrica, cabe esperar que siempre se genere distorsión en las ondas sinusoidales eléctricas. Dicha distorsión suele cuantificarse por medio de tres índices de evaluación. Los cuales son:

1. Índice de distorsión armónica total (THD).2. Factor de diversidad (FD).3. Factor de atenuación (FA)





ÍNDICE DE DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD).

Se le denomina THD por la sigla en ingles “Total Harmonic Distortion” y es aplicable tanto para corriente como para tensión. Este índice se define como la relación entre el valor eficaz del total de las componentes armónicas y el valor eficaz correspondiente a la componente fundamental. Este valor es usualmente expresado como un porcentaje de la onda fundamental. Así para la onda de corriente será:






Existen dos tipos de sistemas de alimentación en nuestra red eléctrica, estos son:

Los Sistemas Monofásicos.Los Sistemas Trifásicos.

El uso específico de cada uno de ellos depende generalmente de la cantidad energía que demande el consumidor, es decir, de la cantidad de cargas conectadas en el lugar de consumo.

Existen dos tipos de consumidores:

Industriales: Abarca, por ejemplo, a las mineras y barrios industriales.

Residenciales: Abarca, generalmente, a edificios, departamentos, casas habitacionales o cualquier consumo semejante.

SISTEMAS DE ALIMENTACIÓN



SISTEMAS MONOFÁSICOS.

Se dice que estamos frente a un sistema monofásico cuando la carga (que puede ser la conexión de elementos resistivos, inductivos y capacitivos; ya sea en serie, paralelo o mixtos) es alimentada por una sola fuente de alimentación, ya sea de voltaje o de corriente. La conexión serie de elementos se muestran a continuación.

SISTEMAS DE ALIMENTACIÓN



PROPIEDADES

It = IR = IL= IC

VR = It*R ; VL= I*( j XL); VC= It * (-j Xc)

Vf = VR+VL+VC

SISTEMAS MONOFÁSICOS



La conexión de elementos en paralelo es la más utilizada en nuestro sistema de alimentación monofásica y la podemos realizar, por ejemplo, en nuestra casa cada vez que enchufamos un artefacto. La conexión paralela de elementos se muestra a continuación.




PROPIEDADES




En la red de distribución domiciliaria chilena, el valor eficaz de tensión es de 220[V] a una frecuencia fundamental de 50[Hz]. Cada alimentación esta hecha por medio de conductores de cobre, los cualespresentan una resistencia natural al paso de la corriente con lo cual se produce irremediablemente una caída de tensión en dichos conductores. Según lo establecido por la normativas de calidad de energía eléctrica en nuestro país, el porcentaje de perdida en cada empalme no debe ser superior a un 3% de la tensión nominal eficaz, es decir 6,6[V]

Las ecuaciones de potencia y energía para una carga alimentada monofásicamente están dadas por:




SISTEMAS TRÍFASICOS

Un sistema trifásico es una combinación de tres sistemas de una fase o monofásicos. En un sistema trifásico balanceado, la potencia proviene de un generador de corriente alterna que produce tres voltajes iguales en magnitud, pero desfasados 120º entre sí. En el sistema Internacional (SI), las fases se pueden representar con las letras R, S y T; V1, V2 y V3; A, B y C o X, Y y Z, según el país donde nos encontremos.



El sentido de rotación de los fasores, tanto para secuencia positiva como para negativa es la misma, antihoraria. La diferencia está en que en secuencia positiva, la secuencia de los voltajes es V1, V2, V3 (A, B, C); mientras que para la secuencia negativa el orden de rotación es V1, V3, V2 (A, C, B); respectivamente. En la realidad las fuentes solo producen secuencia positiva.





TIPOS DE CONEXIONES

Aunque en los sistemas eléctricos suelen emplearse circuitos monofásicos la mayor parte de la generación y distribución de corriente alterna es trifásica. Los circuitos trifásicos requieren una menor sección de los conductores que para circuitos monofásicos con las mismas características de potencia y voltaje nominal; permiten una flexibilidad en la elección de voltajes y pueden utilizarse con cargas monofásicas. Además, los equipos son de menor tamaño, más ligeros y más eficientes que los monofásicos con la misma capacidad nominal. Los sistemas trifásicos pueden conectarse de dos maneras:

1.- Si las tres terminales comunes de cada fase, se conectan entre si a una sola, y las otras tres terminales se conectan a la línea de 3 fases, el sistema está conectado en “Y” o “estrella”. El terminal común (tanto para la fuente o carga trifásica) puede o no estar conectado a tierra, si está conectado a tierra se dice que el neutro esta aterrizado, de lo contrario, se dice que el es neutro flotante.

2.- Si las tres fases se conectan en serie para formar un circuito cerrado, el sistema está conectado en triangulo o delta.




TIPOS DE CONEXIONES

Fuente y carga en Conexión estrella.




TIPOS DE CONEXIONES

Fuente conectada en estrella y carga en delta.




TIPOS DE CONEXIONES

Fuente conectada en delta y carga conectada en estrella.




TIPOS DE CONEXIONES

Fuente y carga conectadas en delta.




TIPOS DE CONEXIONESDe las figuras anteriores, se puede observar claramente que en un sistema eléctrico trifásico

podemos identificar dos magnitudes de voltajes y corrientes, estas son: magnitudes de línea y magnitudes de fase.

Magnitudes de línea: son voltajes que se miden entre 2 fases y las corrientes de línea son corrientes que se miden en una línea que va desde la fuente hasta una carga trifásica. Las magnitudes de línea pueden encontrarse tanto en conexiones estrella como triangulo.

Magnitudes de fase: Son voltajes que se miden entre una fase y el neutro y las corrientes de fase son corrientes que pasan por una carga monofásica y van desde una línea hasta el neutro. Las magnitudes de fase pueden encontrarse en conexiones en estrella.




TIPOS DE CONEXIONES

a) VAB e IA son voltaje y corriente de línea para una fuente, ya sea una conexión estrella o triangulo.

b) VAN es voltaje de fase en una fuente conectada en estrella.

c) Van e Ia son voltaje y corriente de fase para una carga con conexión en estrella.

d) VAB e IAB son voltaje y corriente de fase en una carga con conexión triangulo.

En una fuente de voltaje balanceada y de secuencia positiva, o bien, una carga conectada en estrella balanceada y de secuencia positiva, los voltajes de línea siempre están adelantados 30º con respecto al voltaje de fase de referencia, es decir, por ejemplo si el voltaje de fase, VAN está en la posición cero del eje del diagrama fasorial, entonces 30º medidos del eje cero y en sentido antihorario está el voltaje de línea VAB




TIPOS DE CONEXIONES




TIPOS DE CONEXIONES Fasorialmente se tiene:




TIPOS DE CONEXIONES

VL representa el voltaje de línea del sistema trifásico. Por ejemplo en nuestras redes eléctricas de distribución en baja tensión, a una frecuencia de 50[Hz], el voltaje de línea es de 380[V] (voltaje eficaz entre línea y línea). El valor del voltaje de fase VAN , es de 220[V] (Valor eficaz entre fase y neutro).

En secuencia positiva, los voltajes de línea se adelantan 30º con respecto a los voltajes de fase, en cambio en secuencia negativa los voltajes de línea se atrasan 30º respecto de los voltajes de fase.

Además, en una conexión estrella, la corriente de la línea es igual que la corriente de fase Ia=IA ; en tanto que para una conexión en triangulo, el voltaje de línea es igual al voltaje de fase Vab = VAB

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