FUNDAMENTOS

DE INGENIERÍA

ELÉCTRICA

José Francisco Gómez

González

Benjamín González Díaz

María de la Peña Fabiani

Bendicho

Ernesto Pereda de Pablo

Tema 3:

Corriente

alterna

PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO

Fundamentos.

Corriente alterna senoidal: caracterización e importancia.

Fasores.

Circuitos de ca básicos.

Impedancias y admitancias.

Circuitos de ca en general.

Potencia en ca: activa, reactiva y aparente.

Concepto de factor de potencia y su modificación.

Concepto de filtros. Características. Filtros pasabaja, pasaalta, pasabanda y de rechazo de banda.

3

Fundamentos

Corriente continua: no varía

frente al tiempo.

Corriente alterna (ca): su

sentido cambia con el

tiempo.

Corriente alterna periódica:

su valor se repite al cabo de

un cierto tiempo T (periodo).

Onda: expresión gráfica de

la variación periódica en

amplitud y tiempo.

4

Corriente alterna

senoidal (I)

Corriente continua

Vo

lta

je (

V)

Tiempo (s)

Corriente alterna

Vo

lta

je (

V)

Tiempo (s)

5

0( )v t V 0( ) cos( )v t V wt

Corriente alterna

senoidal (II)

Vm=Valor máximo= valor de pico=valor de cresta.

V(t)= Valor instantáneo.

T=Periodo: tiempo de un ciclo completo (s).

f= Frecuencia (lineal)= ciclos por segundo=1/T[Hz]

ω= Pulsación (frecuencia angular): ωT=2π=> ω= 2πf (rads-1).

ϕ=Ángulo de fase (rad) aunque se expresa en º

6

0( ) cos( )v t V wt

Análogamente para la intensidad

Corriente alterna senoidal (III)

Ventajas de una corriente alterna senoidal:

Función simple y bien definida.

Cualquier función periódica se puede expresar como una suma de

senos y cosenos de distintas frecuencias.

Fácil de producir y transformar.

7

Valor medio

8

Los valores medios no

dan información sobre

las corrientes alternas.

T

0

1

dtIT

I

T

0

1

dtVT

V

T

0

1

dtfT

f

2Tcon cosVV o tSi

T

0

/2

0 02

1t cos

2

tsenVdtVV oo

T

0

/2

0 02

1t cos

2

tsenIdtII oo

2ffef

2VVef

2IIef

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores

eficaces de la corriente o la tensión.

T

0

2

02

/2

0

2222

2

2

2

1

22

12cos

2t cos

2

VVdt

tVdtVV ooo

2

oef

VV

T

0

2

02

/2

0

2222

2

2

2

1

22

12cos

2t cos

2

IIdt

tIdtII ooo

2

oef

II

Caracterización de las corrientes alternas

utilizando valores eficaces

9

Significado físico de valor eficaz

Si tenemos una resistencia R que es atravesada por una corriente

Entonces la energía disipada es

Por lo que, ¿cuánto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo t la misma energía?

10

𝑖 𝑡 = 𝐼𝑚 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

𝑊 𝐴𝐶 =

0

𝑡

𝑅𝑖2 𝜏 𝑑𝜏

𝑊 𝐷𝐶 =

0

𝑡

𝑅𝐼2 𝑑𝜏 = 𝑅𝐼2𝑡; 𝑆𝑖 𝑊𝐷𝐶 =𝑊𝐴𝐶 ⇒ 𝑅𝐼2𝑡 =

0

𝑡

𝑅𝑖2 𝜏 𝑑𝜏

𝐼 =1

𝑇

0

𝑡

𝑅𝑖2 𝜏 𝑑𝜏 = 𝐼𝑒𝑓𝑓

Circuitos en alterna

Siendo v(t) conocido, se

quiere calcular i(t).

v(t)=vL+vC+vR

La ecuación resulta

11

L

div L

dt

0

1( )

t

C

t

v i dC

Rv Ri

0

1( ) ( )

t

t

div t L i d Ri

dt C

2

2

( ) 1dv t d i diL i R

dt dt C dt

Se resuelve mediante:

Respuesta transitoria

Respuesta permanente

Notación fasorial (I)

En un circuito de corriente alterna, ω es la misma en todos los puntos del circuito, tanto para las corrientes como para los voltajes.

El valor de cada magnitud en un instante viene determinado por su amplitud y su fase.

12

Notación fasorial (II)

Y=A√2 cos(t+d) ≡ Y= A∠d

13

Números imaginarios

14

r

a

b

Re

Im

Coordenadas

cartesianasjbaz

Coordenadas polares rz

Cambio de

coordenad

as

Cartesianas a

polares a

btgarc

bar

22

Polares a

cartesianas

senrb

ra

cos

Fórmula de Euler senjrrre j cos

Relación

Partimos de:

En notación fasorial

Multiplicamos por

Relación de Euler

Una función sinuidal es representado unívocamente por su fasor.

15

0( ) 2 cos( )v t V t

0 0

jv V V e

( )

0 0 0 (cos( ) sin( )j j t j tV e e V e V t j t

( )

0 02 Re( ) 2 cos( )j tV e V t

j te

Operaciones con fasores

1. http://www.youtube.com/watch?v=dBV4FLtA8ls

2. http://www.frro.utn.edu.ar/repositorio/catedras/electrica/2_an

io/electrotecnica1/trabajos_practicos/Ejercicos_fasores.pdf

3. http://www.uco.es/users/mr.ortega/fisica/archivos/guias/A01_

Numeros_complejos.pdf

16

Circuitos resistivos (I)

Sólo varía el módulo no la fase -> vR(t) e iR(t) están en fase.

Ley de Ohm en alterna con los valores de la amplitud

17

𝑣𝑅(𝑡)= V; ⇒ 𝑖𝑅 𝑡 =𝑣0 𝑡

R=𝑣0R𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)

Circuitos resistivos (II)

Si escribimos el voltaje como

La transformación fasorial de este voltaje es

18

imimim tVtRItIRRiv coscoscos

ij

m m iV RI e RI

IRV

Circuitos inductivos (I)

vL(t) e iL(t) desfasadas en π/2 radianes, con la corriente retrasada.

Relación I-V: reactancia inductiva (depende de la frecuencia)

19

( ) 0; ( ) cos( ) ( )2

o oLo L

V VdiL V sen t i t t sen t

dt L L

LL

L

vX L

i

Circuitos inductivos (II)

20

o

imimim tLItsenLI

dt

tIdL

dt

diLv 90cos

cos

90 90o

oi i i

i

j j jj

m m m

j

m

V LI e LI e e LI e j

j LI e j LI

ILjV

o

imim

o LIILV 9090

Circuitos capacitivos (I)

vC(t) e iC(t) desfasadas en π/2 radianes, con la corriente adelantada

Relación I-V: reactancia capacitiva (depende de la frecuencia)

21

En el condensador q=Cv = C ( )

Como ( ) ( ) cos( ) ( )2

o

c c o

V sen t

dqi t i t C V t C Vsen t

dt

1CC

C

vX

i C

Circuitos capacitivos (II)

22

o

vmvmvm tCVtsenCV

dt

tVdC

dt

dvCi 90cos

cos

90 90o

ov v

v

j jj v j

m m m

j

m

I CV e CV e e CV e j

j CV e j CV

ICj

V

1

o

imim

o IC

IC

V 901

901

Impedancia (I)

En los tres casos anteriores tenemos que se puede establecer una relación entre la corriente fasorial y la corriente fasorial.

Impedancia: Cociente entre el fasor tensión y el fasor corriente

Por lo tanto se cumple la ley de Ohm.

Z es un número complejo, pero no un fasor, ya que no se corresponde con ninguna función sinusoidal en el dominio temporal.

23

V RI

V j LI

jV I

C

El fasor tensión puede expresarse como el

producto de una cantidad compleja por el

fasor corriente

V ZI

Impedancia y reactancia

24

Resistencia Bobina Condensador

RZ RLZ j L

C

jZ

C

[ ]Z R jX

Re(Z)= R: Resistencia [Ω]

Re(Z)= X: Reactancia [Ω]

0

10

L

L

X L

XC

Leyes de Kirchhoff en corriente

alterna

Las LK: conservación de la energía en una malla (LKM) y de la

carga en un nudo (LKN).

Estas leyes de conservación son principios físicos de validez

universal, y no dependen del tipo de corriente que se tenga.

Por tanto, las LK también se cumplen en el caso de la corriente

alterna.

25

Circuitos RLC en CA (general) (I)

Gráficamente, obtenemos Vo sumando los fasores.

- Si calculamos Vo analíticamente:

26

2 2 2 2 21( ) I ( )o R L C oV v v v R L

C

Circuitos RLC en CA (general) (II)

27

:

( ) ( ) 0º

( ) ( ) º

( ) 0 º ; ( )

( ) 0 º ;( )

m m

m m

m

m

El desfase semidede I con respecto aV

v t V sen t V V

i t I sen t I I

i t atrasa I I L

i t adelanta I I C

Para cualquier elemento en CA

28

1

(Ley de Ohm generalizada)

º [ ] es la impedancia

1º [ Siemens]es la admitancia

m

m

m

m

V Z I

VVZ

II

IY

VZ

;

Re( ) cos es la resistencia.

1Im( ) es la reactancia; X=L -

- Si X>0 L Reactancia inductiva. - Si X<0 C Reactancia capacitiva.

Z R jX

R Z Z

X Z Z senC

La relación entre ambas magnitudes:

-En forma binómica:

Teoremas de circuitos en ca

Teorema de superposición

Válido con las fuentes de alterna

Teoremas de Thevenin y de Norton

Válidos sustituyendo R por Z

Los parámetros se hayan de la misma manera

Vth: voltaje en abierto entre los terminales

IN: intensidad de cortocircuito, ICC.

Rth=RN= Vth/ICC.

Máxima transferencia de potencia

ZL=Z*th (complejo conjugado de la Zth equivalente entre los

terminales)

29

Potencia en Corriente Alterna

En cualquier elemento, P=VI

A través de las reglas trigonométricas

Obtenemos que la potencia instantánea es:

30

tIi

tVv

m

ivm

cos

cos

ttIVp

tItVvip

ivmm

mivm

coscos

cos*cos

cos2

1cos

2

1coscos sensen coscoscos

cos cos

cos cos cos 2 22 2 2

cos cos cos 2 2

m m v i

m m m m m mv i v i v i

f f v i f f v i f f v i

p V I t t

V I V I V It ses sen t

V I V I t V I sen sen t

Potencia instantánea

La potencia instantánea pasa a través de dos ciclos completos

por cada ciclo ya sea de voltaje o la corriente. La potencia

instantánea puede ser negativa durante una porción de cada

ciclo.

En una red completamente pasiva, la potencia negativa

implica que la energía almacenada en los inductores o

capacitores se está extrayendo.

El hecho de que la potencia instantánea varíe con el tiempo en

la operación de estado permanente senoidal de un circuito

explica por qué algunos aparatos accionados por motor (tales

como los refrigeradores) experimente vibraciones y requieran

montajes flexibles del motor para evitar la vibración excesiva

31

Potencia activa (promedio) y

reactiva

es la potencia activa o promedio,

unidades en vatios (W).

es la potencia reactiva, unidades en

voltio-amperio reactivos (VAR).

Se puede ver que P es la potencia

promedio de la potencia instantánea

donde T es el periodo de una onda

senoidal.

32

cos cos cos 2 2

cos 2 2

f f v i f f v i f f v ip V I V I t V I ses sen t

P P t Qsen t

cosf f v iP V I

ivff senIVQ

Tt

t

o

o

pdtT

P1

Para una resistencia (R)

En este caso la corriente y el

voltaje están en fase, lo que

significa que

Y la potencia real

instantánea es

Nunca será negativa, por lo

que la potencia no puede

extraerse de una red

puramente resistiva, sino que

toda la energía se disipa en

la forma de energía térmica

(efecto Joule).

33

0 iv ff IVP 0Q

tPPp 2cos

Potencias en circuitos

puramente inductivos

En este caso el voltaje adelanta a la corriente en 90º,

En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.

La potencia reactiva es el producto de la tensión por la intensidad

Y la potencia real instantánea es

La potencia instantánea en los terminales del circuito continuamente se está intercambiando entre el circuito y la fuente que activa a este mismo, a una frecuencia 2ω. Cuando es positiva, la energía se está almacenando en los campos magnéticos asociados a las inductancias, y cuando es negativa, se está extrayendo de los campos magnéticos.

34

0P

ff IVQ

tsenQp 2

o

iv 90

Potencias en circuitos

puramente capacitivos

En este caso el voltaje retrasa respecto a la corriente en 90º,

La potencia activa o promedio es:

La potencia reactiva es

Y la potencia real instantánea es

En este caso la potencia promedio (activa es cero), por lo que no se produce un trabajo efectivo, es decir, no ocurre ninguna transformación de energía de la forma eléctrica a la no eléctrica.

La potencia se intercambia continuamente entre la fuente que excita el circuito y el campo eléctrico asociado con los elementos capacitativos.

35

0P

tsenQp 2

o

iv 90

ff IVQ

Caso general

36

2

( ) ( ); ( ) ( );

( ) ( ) ( )

( ( ) cos ( )cos( ) )

cos

m m

m m

m m

med ef ef

V t V sen t I t I sen t

P t V sen t I sen t

V I sen t sen t t sen

P V I

El valor medio depende del desfase entre V e I

El factor de potencia

El ángulo se conoce como ángulo del factor de

potencia, y se denomina factor de potencia (FP, fdp) a

Como vemos el FP es positivo tanto en circuito puramente

capacitativos como inductivos por lo que para describir

complemente este ángulo, utilizaremos frases descriptivas

como: factor de potencia retrasado (o inductivo) y factor de

potencia adelantado (o capacitativo).

37

iv

ivFP cos

Potencia aparente o compleja

Tomando para V e I valores eficaces, definimos:

entonces su módulo es la potencia aparente, S:

La parte real es la potencia activa, P:

La parte imaginaria es la potencia reactiva, Q:

38

* 2(cos ) ºef ef ef ef efS V I V I jsen I Z V I

2 [ ]ef ef efS S V I I Z VA

2 2Re cos cos [ ]ef ef ef efS V I I Z I R W

2 2Im [ ]ef ef ef efS V I sen I Z sen I X VAr

Triángulo de potencia

39

**

2

1ff IVIVjQPS

2 2

cos

sin

S P Q

P S

Q S

S

P

Q

j

¿Cómo sería un triángulo de potencia en un circuito capacitivo?

Corrección del factor de potencia (I)

S es la potencia total entregada a la impedancia

P es la potencia consumida en las resistencias

Componente de I en fase con V (P(t)med)

Es la potencia que se aprovecha -->A maximizar

Q es la potencia intercambiada con L y C

Componente de I desfasada de V en 90º (π/2 rad)

Necesaria para que L y C “funcionen”

Factor de potencia (FP, FP): cos j (entre 0 y 1)

Indica la potencia aprovechable.

En atraso: Z=R+jXL (bobina).

En adelanto: Z=R-jXC (condensador).

40

Corrección del factor de potencia (II)

Un FP bajo:

Aumenta la corriente consumida

Aumentan las pérdidas en las líneas

Disminuye el rendimiento

Aumenta la caída de tensión en las líneas

Aumenta la potencia aparente consumida

Es conveniente trabajar con factores de potencia próximos a la unidad

Algunas cargas pueden necesitar para su funcionamiento potencia reactiva (generalmente son de tipo inductivo= alimentación de motores)

Es necesario compensar el consumo de potencia reactiva mediante baterías de condensadores

41

Corrección del factor de potencia (III)

Normalmente FP en atraso (motores, inducción)

Debe corregirse (j-> 0) con C en paralelo.

en la que

P es la potencia activa.

Q es la potencia reactiva inductiva de la carga.

Qc es la potencia reactiva capacitiva de los condensadores.

ϕm es el valor del ángulo que fija en nuevo factor de potencia.

42

PQm

jm

j0

Q0

S0

Sm

QC(tan tan )C o mQ P

Filtros

Los circuitos analizados han sido con fuentes senoidales de

frecuencia constante.

¿Qué pasa cuando se varía la frecuencia?

Modificación de la impedancia de capacitores e inductores, ya

que la impedancia de estos elementos es una función de la

frecuencia.

43

1

L

C

X L

XC

Filtro pasa-baja

44

L1 0.1H

R16.38 ohm

AC

Sweep

ac

Vi Vo

max21 AA 21log20

L

Rc

Filtro pasa-alta

45

RCc

1

Filtro pasabanda

46

Este filtro deja pasar voltajes dentro de una

banda de frecuencias. Los filtros de paso

banda ideales tienen dos frecuencias de

corte, las cuales identifican a la banda de

paso.

En a) tenemos el circuito equivalente

cuando la frecuencia es cero, en este caso

el condensador tiene una impedancia muy

elevada y no circula corriente y la caída en

la resistencia es cero. Cuando la frecuencia

es infinita caso b) la impedancia de la

bobina es muy elevado y tampoco circula

corriente. Por lo que vemos que para

frecuencias altas y bajas no hay salida, es

decir, hay un ancho de banda de

frecuencia intermedias entre las que si

tenemos una salida.

Filtro rechazo de banda

47

Este filtro deja pasar voltajes fuera

de la banda entre dos frecuencias

de corte.

Para frecuencias altas tenemos el

circuito equivalente a) en donde la

bobina tiene una impedancia muy

elevada, por lo que el voltaje de la

entrada pasa a la salida. Para

frecuencias bajas, el condensador

tiene una impedancia muy alta y

otra vez el voltaje de la entrada

pasa a la salida. En cambio, para

frecuencias intermedias la

impedancia de la bobina y el

condensador son bajas y el voltaje a

la salida es pequeño.