Fundamentos de la programación 7...Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación Página...

28/03/2014

1

Fundamentos de la programación

7GradoenIngenieríaInformáticaGradoenIngenieríadelSoftware

GradoenIngenieríadeComputadores

FacultaddeInformáticaUniversidadComplutense

Luis He

rnánde

z Yáñez

Página 1Fundamentos de la programación: Algoritmos de ordenación

Algoritmos de ordenación 2Ordenación por inserción 4

Versión optimizada 12Claves de ordenación 15Estabilidad de la ordenación 21Casos de estudio (naturalidad) 24Complejidad y eficiencia 25

Ordenación por selección 30Método de la burbuja 34

Versión optimizada 38 Búsqueda secuencial 40Búsqueda binaria 42Órdenes de complejidad 51Inserción y eliminación en listas ordenadas 52Mezcla de listas ordenadas 57

28/03/2014

2

Luis He

rnánde

z Yáñez

Ordenacióndelistas

Tareamuyhabitual:paramostrarlosdatosenordenoparafacilitarlasbúsquedas.Variadasformasdehacerlo(algoritmos),conmayoromenorrapidez.

Página 2Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación

array125.40 76.95 328.80 254.62 435.00 164.29 316.05 219.99 93.45 756.62

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

array76.95 93.45 125.40 164.29 219.99 254.62 316.05 328.80 435.00 756.62

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Algoritmodeordenación(menoramayor)

Algoritmodeordenación(menoramayor)

array[i]

28/03/2014

3

Luis He

rnánde

z Yáñez

OrdenacióndearraysporinserciónElarraycontieneinicialmentelalistadesordenada:

Amedidaquevayamosinsertandoloselementosensulugar,unapartedelarraycorresponderáalalistaordenadayelrestoaloselementosquetodavíaquedanporprocesar.


20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 14 20 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ParteyaordenadaParteyaordenada ElementosporinsertarElementosporinsertar

SiguienteelementoainsertarSiguienteelementoainsertar

Luis He

rnánde

z Yáñez

OrdenacióndearraysporinserciónSituacióninicial:Listaordenadaconunsoloelemento.Elprimerodelarray:

Desdeelsegundoelementohastaelúltimo:

Insertamoselelementoenlaparteordenada

Localizamoslaposicióndelprimerelementoestrictamentemayor…


20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ÚltimoelementodelaparteordenadaÚltimoelementodelaparteordenada7elementoelemento

28/03/2014

4

Luis He

rnánde

z Yáñez

Ordenacióndearraysporinserción… Desplazamosunaposiciónaladerechatodoslosestrictamentemayores.

Ycolocamoselelementoencursoenlaposiciónquequedalibre.


20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7elementoelemento

7 20 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7elementoelemento

Luis He

rnánde

z Yáñez

Ordenacióndearraysporinserciónconst int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista;double elemento;...for (int i = 1; i primer elemento mayorfor (int j = i; j > pos; j‐‐) lista[j] = lista[j‐1];lista[pos] = elemento;

}}


Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

28/03/2014

5

Luis He

rnánde

z Yáñez

Ordenacióndearraysporinserción


20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

20 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7elementoelemento0pospos1ii

7 20 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Luis He

rnánde

z Yáñez



7 14 20 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 14 20 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7 14 20 32 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 14 20 32 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9


28/03/2014

6

Luis He

rnánde

z Yáñez



5 7 14 20 32 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 14 20 32 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 14 20 32 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 14 14 20 32 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Luis He

rnánde

z Yáñez

Ordenacióndearraysporinserción(versiónoptimizada)Lainsercióndecadaelementoensuposiciónadecuadasepuedellevaracabomedianteunaseriedecomparacioneseintercambios:

Desdeelsegundoelementohastaelúltimo: Obtenerelelemento Buscamoselprimerdatomenoroigual,explorandolazonayaordenadadederechaaizquierda,abriendohuecoalmismotiempo


5 7 14 20 32 15 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 14 20 32 32 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 14 20 20 32 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

15elementoelemento

Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

28/03/2014

7

Luis He

rnánde

z Yáñez

Ordenacióndearraysporinserción(versiónoptimizada)const int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista;...for (int i = 1; i =1bool enc = lista[pos] 0) && !enc) {lista[pos+1] = lista[pos];pos‐‐;enc = lista[pos]

28/03/2014

8

Luis He

rnánde

z Yáñez

...ordenarInsercion(lista);

cout

28/03/2014

9

Luis He

rnánde

z Yáñez

ClavesdeordenaciónPodemoscrearunafunciónparaeloperadorrelacional:bool operator>(tDato opIzq, tDato opDer) {return opIzq.nombre > opDer.nombre;

}

Enelmétododeinserción“estándar”if(lista[pos] > elemento) enc= true;else pos++;

Enelmétododeinserciónoptimizadoenc = !(lista[pos] > elemento); //a≤b ↔ !(a>b)


tDato elemento;

Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

Luis He

rnánde

z Yáñez

Clavesdeordenación#include #include #include using namespace std;#include const int N = 100;typedef struct {int codigo;string nombre;double sueldo;

} tDato;typedef struct {tDato datos[N];int cont;

} tLista;

void ordenarInsercion(tLista& lista);bool operator>(const tDato& opIzq, const tDato& opDer);void mostrar(const tLista& lista);void cargar(ifstream& ent, tLista& lista);


28/03/2014

10

Luis He

rnánde

z Yáñez

int main() {tLista lista;lista.cont = 0;ifstream archivo;archivo.open("datos.txt");if (!archivo.is_open()) {cout

28/03/2014

11

Luis He

rnánde

z Yáñez

...

void mostrar(const tLista& lista) {for (int i = 0; i

28/03/2014

12

Luis He

rnánde

z Yáñez

EstabilidaddelaordenaciónSiahoraordenamosporelcampoCodigo:


10000 Sergei 10000010000 Hernández 15000011111 Benítez 10000011111 Urpiano 9000011111 Pérez 9000011111 Durán 12000012345 Alvarez 12000012345 Gómez 10000012345 Sánchez 9000012345 Turégano 10000021112 Domínguez 9000021112 Jiménez 10000022222 Fernández 12000033333 Tarazona 120000

10000 Hernández 15000010000 Sergei 10000011111 Benítez 10000011111 Durán 12000011111 Pérez 9000011111 Urpiano 9000012345 Alvarez 12000012345 Gómez 10000012345 Sánchez 9000012345 Turégano 10000021112 Domínguez 9000021112 Jiménez 10000022222 Fernández 12000033333 Tarazona 120000

Noestable:Losnombresnomantienensusposicionesrelativas.

Noestable:Losnombresnomantienensusposicionesrelativas.

Estable:Losnombresmantienensusposicionesrelativas.

Estable:Losnombresmantienensusposicionesrelativas.

Luis He

rnánde

z Yáñez

EstabilidaddelaordenaciónLosdosmétodosdeordenaciónporinserciónquehemosvistosonestables.Nolosonseríansiusáramoslassiguientescomparaciones:

Enelmétododeinserción“estándar”if(lista[pos] >= elemento) enc= true;else pos++;

Enelmétododeinserciónoptimizadoenc = lista[pos]

28/03/2014

13

Luis He

rnánde

z Yáñez

Casosdeestudio Listainicialmenteordenada. Listainicialmenteinversamenteordenada. Listacondisposiciónaleatoria¿Trabajamenos,másoiguallaordenaciónencadacaso?Sielalgoritmodeordenacióntrabajamenoscuantomásordenadaestáinicialmentelalista,sedicequelaordenaciónesnatural.Ordenaciónporinserciónconlalistainicialmenteordenada: Versiónestándar:

Seahorralosdesplazamientos,perohaceelmáximonúmerodecomparaciones.Nonatural.

Versiónoptimizada:Trabajamuchomenos,yaquebastaunacomparacióncadavez.Natural.


Luis He

rnánde

z Yáñez

ComplejidadyeficienciaMidelacantidadderecursosentiempo(yespacio)quenecesitaunalgoritmopararesolverunproblema.Lacomplejidadalgorítmicanoproporcionanmedidasabsolutassinomedidasrelativasaltamañodelproblema.

Eltiempo(medidoenpasos)requeridoporunalgoritmoenfuncióndeltamañodelosdatos:T(N)Contaremoslasoperacionesquerealizaelalgoritmoenbasealadimensióndelalistaaordenar.Enestecaso: Comparaciones AsignacionesencomponentesdelarrayAsumimosqueambasrequierenuntiemposimilar.


28/03/2014

14

Luis He

rnánde

z Yáñez

ComplejidadyeficienciaOrdenaciónporinserciónoptimizada:...for (int i = 1; i =1bool enc = lista[pos] 0) && !enc) {

lista[pos+1] = lista[pos];pos‐‐;enc = lista[pos]

28/03/2014

15

Luis He

rnánde

z Yáñez

ComplejidadyeficienciaOrdenaciónporinserciónoptimizada: Casomejor:listainicialmenteordenada

Laprimeracomparaciónfallaynoserealizaningúnintercambio.T(N)=(N‐1)*(1comparación+1asignación)

Casopeor:listainicialmenteordenadaalrevésParacadapos,entrei‐1y1,serealiza1asignacióny1comparación.Además1comparaciónantesy2asignacionesdespués


Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

Luis He

rnánde

z Yáñez

ComplejidadyeficienciaOrdenaciónporinserción(optimizada): Casomejor:T(N)=2N‐ 2

SedicequetienecomplejidadlinealT(N)O(N)

Casopeor:T(N)=N2 ‐ 1SedicequetienecomplejidadcuadráticaT(N)O(N2)

Casomedio(distribuciónaleatoriadeloselementos)T(N)O(N2)

Hayalgoritmosdeordenaciónmejores!


Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

28/03/2014

16

Luis He

rnánde

z Yáñez

Algoritmodeordenaciónporseleccióndirecta

Desdelaprimeraposición,i =0,hastalapenúltima(N‐2): Calcularm: posiciónconelmenorelementoen[i..(N‐1)] Intercambiarelelementodelaposicióni coneldelaposiciónm


20 7 14 32 5 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mmii

5 7 14 32 20 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mmiiSólointercambiamossinoeslamismaposiciónSólointercambiamossinoeslamismaposición

Luis He

rnánde

z Yáñez

Algoritmodeordenaciónporseleccióndirecta


5 7 14 32 20 14 27 12 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mmii

5 7 12 32 20 14 27 14 13 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mmii

5 7 12 13 20 14 27 14 32 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mmii

28/03/2014

17

Luis He

rnánde

z Yáñez

Algoritmodeordenaciónporseleccióndirectaconst int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista;double tmp;...for (int i = 0; i

28/03/2014

18

Luis He

rnánde

z Yáñez

AlgoritmodeordenaciónporelmétododelaburbujaEsunavariacióndelmétododeseleccióndirecta.Elelementomenorvasubiendohastaalcanzarsuposicióndefinitiva,comounaburbujaenelaguasubehacialasuperficie.


6

3

1

9

4

6

3

1

9

4

6

1

3

9

4

6

4

3

9

1

6

4

3

1

9

Luis He

rnánde

z Yáñez


12 32 14 5 14 70 1 2 3 4 5

12 32 14 5 7 140 1 2 3 4 5

12 32 14 5 7 140 1 2 3 4 5

12 32 5 14 7 140 1 2 3 4 5

12 5 32 14 7 140 1 2 3 4 5

5 12 32 14 7 140 1 2 3 4 5

28/03/2014

19

Luis He

rnánde

z Yáñez

AlgoritmodeordenaciónporelmétododelaburbujaDesdelaprimeraposición,i =0,hastalapenúltima(N‐2):Desdelaúltimaposición ,j =N‐1,hastai+1 hacer:Sielelementoenj esmenorqueelelementoenj‐1,intercambiarlos

const int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista;double tmp;...for (int i = 0; i i; j‐‐)// Desde el último hasta el siguiente a iif (lista[j]

28/03/2014

20

Luis He

rnánde

z Yáñez

Métododelaburbujamejoradoconst int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista;bool subirBurbuja( int i, tLista& lista);// Sube la burbuja en lista[i+1..N‐1]// i

28/03/2014

21

Luis He

rnánde

z Yáñez

BúsquedasecuencialEnlassecuenciasnoordenadasbuscamosrecorriendohastaqueencontremoselelementoolleguemosalfinal.Silasecuenciaolistaestáordenadapodemospararantesdellegaralfinalenelcasodequeelelementonoesté.

Si,porejemplo,buscamosel17,alllegaral20yasabremosquenoestá,puesacontinuacióntodoslosvaloresson>=20y,porlotanto>17.

Consecuencia:setratadebuscarelprimerelementodelalistaqueseamayoroigualqueeldatoquesebusca.


5 7 12 13 14 14 15 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Luis He

rnánde

z Yáñez

Búsquedasecuencialconst int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista; // lista ordenada double buscado;

int i = 0; bool encontrado = false;

// Búsqueda asimétricawhile ((i = buscado) encontrado = true; else i++;

}

// CASOS:// encontrado && (lista[i] == buscado): Encontrado en la posición i // encontrado && (lista[i] > buscado): No encontrado, // debería estar justo antes que lista[i]// !encontrado: No encontrado, debería estar detrás de todos

if(encontrado && (lista[i] == buscado)) { // Encontrado!!...

}


ComplejidadlinealO(N)

Invariante:lista[0 … i‐1]

28/03/2014

22

Luis He

rnánde

z Yáñez

BúsquedabinariaUnaformamuchomásrápidadebuscarqueaprovechalaordenación.Comparamosconelvalorqueestéenelmediodelalista.

Sieselquebuscamos,terminamos. Sino,buscamosenlaprimeramitaddelalistasieseelementoesmayorqueelquebuscamosyenlasegundamitadencasocontrario.

Repetimoselprocesohastaencontrarlooquedarnossinsublista.


5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sibuscamosel12:

5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Luis He

rnánde

z Yáñez

BúsquedabinariaVamosbuscandoensublistascadavezmáspequeñas.Debemoslimitarelsegmentodelalistadondeestamosbuscando.Inicialmentetenemostodalalista:

Elíndicedelelementoenlamitades:mitad = (ini + fin) / 2Sinosehaencontrado,¿dóndehayquebuscaracontinuación? Sielbuscadoesmenorqueelqueestáenlamitad:fin = mitad ‐ 1 Sielbuscadoesmayorqueelqueestáenlamitad:ini = mitad + 1


5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

iniini finfinmitadmitad

28/03/2014

23

Luis He

rnánde

z Yáñez

Búsquedabinaria

12 lista[mitad] ini = mitad + 1


5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Buscamosel12

5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9


5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

iniini finfin

mitadmitad ¡Encontrado!

Luis He

rnánde

z Yáñez

BúsquedabinariaSielelementonoestá,acabaremosquedándonossinsublista:ini > fin

13 > lista[mitad] ini = mitad + 1

13 fin !!! Nohayyadóndeseguirbuscando Noestá.Página 45Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación

5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

mitadmitadiniini finfin

5 7 12 14 14 15 18 20 27 320 1 2 3 4 5 6 7 8 9

iniinifinfin

mitadmitad

Parael13:

28/03/2014

24

Luis He

rnánde

z Yáñez

Búsquedabinariaconst int N = 10;typedef double tLista[N];tLista lista;...double buscado;cout buscado;int ini = 0, fin = N – 1, mitad;bool encontrado = false;while ((ini

28/03/2014

25

Luis He

rnánde

z Yáñez

...int dato;while (archivo >> dato) {lista.elementos[lista.cont] = dato;lista.cont++;

}for (int i = 0; i

28/03/2014

26

Luis He

rnánde

z Yáñez

Búsquedabinaria¿Quéordendecomplejidadtiene?Casopeor:Elelementonoestáenlalistaoseencuentraensublistade1elemento.Nºdecomparaciones=Nºdevueltasqueseejecutaelwhile

=NºdevecesquevisitamoselíndicemitadparapartirlasublistaN → N 2 → N 4 → N 8 →… → 4 → 2 → 1 →

0 Fallo!Éxito!

Elnúmerodevueltasenelpeorcasoeselnúmerodeflechas→SihacemosqueNseaiguala2k,esaseriequedacomo:

2 → 2 → 2 → 2 →… → 2 → 2 → 2 → 0 Fallo!Éxito!Entotalk+1vueltas:

Complejidadlogarítmica:T(N) O(log2 N)


N=2k T(N)=1+log2 N

Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

Luis He

rnánde

z Yáñez

Órdenesdecomplejidad

O(logN)<O(N)<O(NlogN)<O(N2)<O(N3)...

N log2 N N2

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐1 0 12 1 44 2 168 3 6416 4 25632 5 102464 6 4096128 7 16384256 8 65536...


28/03/2014

27

Luis He

rnánde

z Yáñez

InsercionesyeliminacionesenlistasordenadasHayqueinsertardeformaquelalistasigaordenada:

Buscarellugar,desplazarlossiguientesaladerechaycolocar.Aleliminarnohayquedejarhuecos.Porejemplo,insertamosel10:


5 7 12 14 14 15 18 20 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 12 14 14 15 18 20 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 10 12 14 14 15 18 20 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9

¡Errorsilalistaestállena!¡Errorsilalistaestállena!

Luis He

rnánde

z Yáñez

InsercionesyeliminacionesenlistasordenadasPorejemplo,eliminamosel7(el2º):


5 10 12 14 14 15 18 20 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 7 10 12 14 14 15 18 20 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5 10 12 14 14 15 18 20 270 1 2 3 4 5 6 7 8 9

¡Errorsilaposiciónnoesválida!¡Errorsilaposiciónnoesválida!

28/03/2014

28

Luis He

rnánde

z Yáñez

GestióndeunatabladedatosordenadaTeproporcionamosunejemplobastantecompletodegestióndeunatabladedatosordenadaporuncamponombre:const int N = 100;typedef struct {int codigo;string nombre;double sueldo;

} tRegistro;

typedef tRegistro tLista[N];

typedef struct {tLista registros;int cont;

} tTabla;


tabla.cpp

Luis He

rnánde

z Yáñez

GestióndeunatabladedatosordenadaIncluyeestossubprogramas:void mostrarDato(int pos, tRegistro registro);// Línea con los datos del registro precedidos de su posiciónvoid mostrar(const tTabla& tabla);bool operator>(tRegistro opIzq, tRegistro opDer);bool operator

28/03/2014

29

Luis He

rnánde

z Yáñez


Luis He

rnánde

z Yáñez

Mezcladedoslistasordenadasenarraysconst int N = 100;typedef struct {int elementos[N];int cont;

} tLista;

Uníndiceparacadalista,inicializadosa0(principiodelaslistas).


Mientrasquenolleguemosalfinaldealgunadelasdoslistas:• Elegimoselelementomenordelosquetienenesosíndices.• Locopiamosenlalistaresultadoyavanzamoseseíndiceunaposición.

Copiamoslosquequedenenlalistaquenosehayaacabadoenlalistaresultado.

Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

28/03/2014

30

Luis He

rnánde

z Yáñez

Mezcladedoslistasordenadasenarrays

void mezcla(tLista lista1, tLista lista2, tLista& listaM) {int pos1 = 0, pos2 = 0;int cont = 0;bool enc = (cont==N);

// buscamos el N‐ésimo dato introducido en listaMwhile ((pos1

28/03/2014

31

Luis He

rnánde

z Yáñez

Mezcladedoslistasordenadasenarchivosbool mezcla(string nombre1, string nombre2, string nombreM) {// Mezcla las secuencias en los archivos nombre1 y nombre2// generando la secuencia mezclada en el archivo nombreMifstream archivo1, archivo2;ofstream mezcla;bool ok = true;archivo1.open(nombre1.c_str());if (!archivo1.is_open())ok = false;

else {archivo2.open(nombre2.c_str());if (!archivo2.is_open())ok = false;

else { // Ambos archivos existenmezcla.open(nombreM.c_str());int dato1, dato2;bool eof1, eof2;eof1 = !(archivo1 >> dato1);eof2 = !(archivo2 >> dato2); ...


Pedro J. Martín

de la Calle

Pedro J. Martín

de la Calle

Luis He

rnánde

z Yáñez

Mezcladedoslistasordenadasenarchivos... while (!eof1 && !eof2) { // Recorrido:

if (dato1

28/03/2014

32

Luis He

rnánde

z Yáñez

ProgramaciónenC++paraingenierosF.Xhafa etal.Thomson,2006

EllenguajedeprogramaciónC++ (Ediciónespecial)B.Stroustrup.Addison‐Wesley,2002

Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación Página 62

Luis He

rnánde

z Yáñez

LicenciaCC(Creative Commons)Estetipodelicenciasofrecenalgunosderechosaterceraspersonasbajociertascondiciones.Estedocumentotieneestablecidaslassiguientes:

Pulsaenlaimagendearribaaladerechaparasabermás.

Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación Página 63

Reconocimiento(Attribution):Encualquierexplotacióndelaobraautorizadaporlalicenciaharáfaltareconocerlaautoría.Nocomercial(Noncommercial):Laexplotacióndelaobraquedalimitadaausosnocomerciales.Compartirigual(Sharealike):Laexplotaciónautorizadaincluyelacreacióndeobrasderivadassiemprequemantenganlamismalicenciaalserdivulgadas.

Fundamentos de la programación 7...Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación Página...

Documents

Transcript of Fundamentos de la programación 7...Fundamentos de programación: Algoritmos de ordenación Página...