FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Definición de Conjuntos

Notación de Conjuntos

Determinación de Conjuntos

Clasificación de Conjuntos

Representación gráfica de conjuntos- Diagramas de

Venn – Euler.

Igualdad de Conjuntos

Operaciones con Conjuntos

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DEFINICIÓN DE CONJUNTO

Conjunto: Es una agrupación o colección bien definida de objetos, donde cada objeto es un elemento o miembro del conjunto que satisfacen ciertas propiedades específicas.

Elemento: Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos.

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NOTACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Conjunto: Se denota con una letra mayúscula: A, B, C, o enumerando sus elementos separados por comas y delimitándolos por llaves: { }

Elementos: Se denotan con letras minúsculas: a, b, c, d, a menos que dichos elementos sean a su vez conjuntos.

Relación de pertenencia: Sea x un elemento cualquiera y A un conjunto. Si es cierto que x es un elemento de A, se dice que x pertenece a A y se denota: x A.

( : Letra griega epsilón) Relación de no pertenencia: Si no es cierto que x es un

elemento de A, se dice que x no pertenece a A y se denota como: x A. Siguient

e

DETERMINACIÓN DE CONJUNTO

Hay dos formas de determinar conjuntos, por extensión y por comprensión:

Por extensión: Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración), cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento.

Ejemplo: B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { c, o, n, j, u, t, s } A = { 7,2,8,5,3,23} Siguient

e

DETERMINACIÓN DE CONJUNTO

Por comprensión o forma constructiva: Se dice que un conjunto es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. Este implica usar la notación siguiente para determinar un conjunto dado A.

A = { x tal que x es un objeto que verifica una condición dada }

O en forma más simple:

A = { x / x es un objeto que verifica una condición dada } Ejemplos:

B = { x / x es un número par menor que 10 }

C = { x / x es una letra de la palabra conjunto }

D = { x / x N 0< x ≤5 } Siguiente

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CONJUNTO

Diagramas de Venn: Son esquemas que nos permiten hacer la representación grafica de los conjuntos. A cada conjunto se le considera encerrado dentro de una curva (plana) cerrada. Los elementos del conjunto considerado pueden ser específicamente dibujados o pueden quedar (implícitamente) sobreentendidos. Los diagramas son empleados, para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica, desprovista de validez lógica.

El conjunto universo U, se representa por un rectángulo o por un cuadrado.

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Los conjuntos que se encuentran en el universo, se representan por líneas curvas cerradas que demarcan los elementos del conjunto.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTO

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IGUALDAD DE CONJUNTOS

Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B. En la igualdad, el orden de los elementos de cada conjunto no importa.

Ejemplos:

A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 1, 2} entonces A = B

C = {1, 2, 3, 3, 4, 1} y D = 1, 2, 2, 3, 4, 4} entonces C = D

E = {x/x son vocales de la palabra mundo} y F = {u, o } entonces E = F

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Sean A y B dos conjuntos tal que todo elemento de A es también elemento de B, entonces decimos que:

A es un subconjunto de B. A es una parte de B A está incluido en B

Se denota o simboliza A B.

Su definición matemática es: A B x A x B

RELACIÓN DE CONTENIDO Ó SUBCONJUNTO Ó

INCLUSIÓN

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INCLUSIÓN DE CONJUNTOS

Ejemplos:       Dados los conjuntos      A = { 0 , 3 }      B = { 0,1,2,3,4, }

 

Observe       A B porque 0 y 3 B       B A porque 1,2 y 4 A

.

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OPERACIONES CON CONJUNTOS

Unión de conjuntos: La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x A x B }.

Mediante un diagrama de Venn-Euler Cuando no tienen elementos comunes

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UNIÓN

  Cuando tienen algunos elementos comunes

  Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto

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INTERSECCIÓN

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes en el conjunto A y en el conjunto B. Se denota por A B, que se lee: A intersección B. También se puede definir:

A B = { x / x A x B }.

Mediante un diagrama de Venn-Euler  Cuando no tienen elementos comunes

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INTERSECCIÓN

  Cuando tienen elementos comunes

 Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto

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DIFERENCIASe denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto

formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.

La diferencia se denota por: A – B que se lee: A diferencia B o A menos B.

Se define la diferencia de dos conjuntos también como:

A – B = {x / x A x B }.

Mediante un diagrama de Venn-Euler

Cuando no tienen elementos comunes

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DIFERENCIA

 Cuando tienen elementos comunes

 Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro conjunto

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COMPLEMENTO Para cualquier conjunto A, tal que ACU, el complemento de

A, denotado por AC, A', se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A.

Simbólicamente se expresa: AC = U-A ={ x/ x U x A} Mediante un diagrama de Venn-Euler

 

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DIFERENCIA SIMETRICA Es el conjunto formado por los elementos

que pertenecen a la unión de los conjuntos exceptuando la intersección.

A B ={ x / x (AUB) x (A B) }