UNIVERSIDAD DE OCCIDENTE

FUNDAMENTOS

DE LGEBRA

Ing. Luis Antonio Achoy Bustamante Ing. Jos Antonio Castro Inzunza

Abril 2012

Fundamentos de lgebra

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NDICE Pgina: INDICE 1 PRESENTACIN 2 UNIDAD I LOS NMEROS REALES Y PROPIEDADES DE LOS EXPOENETES 5

ACTIVIDAD 1 NUMEROS NATURALES Y ENTEROS 6 ACTIVIDAD 2 NUMEROS RACIONALES 8 ACTIVIDAD 3 NUMEROS IRRACIONALES 10 ACTIVIDAD 4 PROPIEDADES DE CAMPO 12 ACTIVIDAD 5 PROPIEDADES DE LA IGUALDAD 14 ACTIVIDAD 6 DEL ARITMTICA AL ALGEBRA 16 ACTIVIDAD 7 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES 18 ACTIVIDAD 8 EXPONENTES RACIONALES 20

UNIDAD II OPERACIONES ALGEBRAICAS , PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIN

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ACTIVIDAD 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 23 ACTIVIDAD 10 PRODUCTO DE EXPERSIONES ALGEBRAICAS 26 ACTIVIDAD 11 DIVISION DE MULTINOMIOS 28 ACTIVIDAD 12 PRODUCTOS NOTABLES 29 ACTIVIDAD 13 BINOMIO DE NEWTON 31 ACTIVIDAD 14 PRODUCTO DE BINOMIOS 32 ACTIVIDAD 15 FACTORIZACIN POR FACTOR COMUN 34 ACTIVIDAD 16 FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS 37 ACTIVIDAD 17 FACTORIZACIN DE TRINOMIOS 39 ACTIVIDAD 18 FACTORIZACIN DE DIFERENCIAS DE CUADRADOS, 42 SUMAS Y DIFERENCIAS DE CUBOS ACTIVIDAD 19 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIN 44 ACTIVIDAD 20 LA ECUACIN DE SEUNDO GRADO 45

UNIDAD III EXPRESIONES RACIONALES Y RADICALES 48 ACTIVIDAD 21 EXPRESIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 49 ACTIVIDAD 22 MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FRACCIONES

ALGEBRAICAS 52

ACTIVIDAD 23 SUMA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Y FRACCIONES COMPLEJAS

54

ACTIVIDAD 24 SIMPLIFICACIN DE EXPRESIONES CON RADICALES 57 ACTIVIDAD 25 SUMA DE EXPRESIONES CON RADICALES 60 ACTIVIDAD 26 PRODUCTO Y DIVISIN CON RADICALES 61 ACTIVIDAD 27 OPERACIONES CON RADICALES Y RACIONALIZACIN 63 ACTIVIDAD 28 OPERACIONES PARA EL CLCULO 65 EJERCICIO DE EVALUACIN 69

UNIDAD IV TEORIA DE CONJUNTOS 72 ACTIVIDAD 29 REPRESENTACIN Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 73 ACTIVIDAD 30 NMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO 76 ACTIVIDAD 31 CONJUNTO POTENCIA Y PRODUCTO CARTESIANO 78

BIBLIOGRAFA 80

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PRESENTACIN

La enseanza basada en competencias establece que hay que dotar al alumno de un conjunto de conocimientos, destrezas y actitudes que le permitan su realizacin y desarrollo en el mbito personal como profesional. Dentro de las competencias bsicas se encuentran las competencias matemticas, las cuales se relacionan con el desarrollo de habilidades para usar diferentes tipos de pensamiento matemtico, como son el lgico, espacial, el de representacin por medio de modelos, frmulas, grficos, que tienen aplicacin universal para la explicar y describir la realidad.

En definitiva, la competencia Matemtica supone: aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemticamente, comprender una argumentacin matemtica y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemtico, utilizando las herramientas de apoyo adecuadas e integrando el conocimiento matemtico con otros tipos de conocimiento para dar una mejor respuesta a las situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad. Se deben desarrollar las siguientes competencias bsicas:

Organizacin, comprensin e interpretacin la informacin. Identificacin de los elementos matemticos que se presentan en una situacin

real. Aplicacin de tcnicas adecuadas de seleccin, ordenacin y representacin de

los datos. Utilizacin de procedimientos matemticos que permitan su anlisis y la

extraccin de conclusiones. Expresin matemtica oral y escrita.

Uso del vocabulario y los smbolos matemticos bsicos. Utilizacin de formas adecuadas de representacin segn el propsito y la

naturaleza de la situacin. Expresin correcta de los resultados obtenidos al resolver problemas. Justificacin de resultados con argumentos y expresiones de base matemtica. Capacidad para seguir una demostracin sencilla de un resultado matemtico,

identificando las ideas fundamentales y enjuiciando la lgica y validez de las argumentaciones e informaciones.

Planteamiento y resolucin de problemas. Reconocimiento y planteamiento de situaciones reales susceptibles de ser

formuladas en trminos matemticos. Traduccin a esquemas o estructuras matemticas. Valoracin de distintas vas para resolver problemas. Seleccin de los datos y estrategias apropiadas para resolver un problema. Utilizacin con precisin de procedimientos de clculo (exacto, aproximado,

mental, con calculadora, ), frmulas y algoritmos. Expresin correcta de los resultados y su interpretacin en trminos de la

situacin inicial. Uso de medios tecnolgicos en el tratamiento de la informacin.

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El lgebra es una de las ramas ms importante de la Matemtica, permite el manejo de expresiones en forma general, permite simplificarlas y transformarlas en otras formas equivalentes ms simples, por este motivo se deben desarrollar las habilidades algebraicas por medio del entendimiento y practica de sus principios fndateles. El presente curso consta de una serie de actividades donde se desarrollan los conceptos fundamentales y se proponen ejercicios los cuales deben ser resueltos para adquirir la habilidad en el manejo de expresiones algebraicas, las cuales son la base para el entendimiento de otras reas como el Clculo, Estadstica, Investigacin de Operaciones, matemticas financieras. Una de las preguntas que nos hacemos con cierta frecuencia es QU ES LA MATEMTICA? Podramos decir que la Matemtica es una expresin de la mente humana, que refleja la voluntad activa, la razn contemplativa y el deseo de una perfeccin esttica. Sus elementos bsicos son: Lgica e intuicin, anlisis y construccin, generalidad y particularidad. Sin duda alguna, todo el desarrollo matemtico ha tenido sus races psicolgicas en necesidades ms o menos prcticas, mediante un largo proceso de abstraccin.

La historia de las Matemticas comienza en Oriente, donde hacia el ao 2 000 a. C. los babilonios posean ya una gran cantidad de conocimientos que podran ser clasificados como lgebra Elemental. Pero como ciencia en sentido moderno, donde aparece ms tarde es en Grecia entre los Siglos V y IV a. C. donde se origina un desarrollo axiomtico-deductivo, con Eudoxio y culmina con los elementos de Euclides, concepcin que actualmente se conserva.

Durante casi 2000 aos el peso de la tradicin geomtrica de los griegos retras la inevitable evolucin del concepto de nmero y del desarrollo del Clculo Algebraico, despus de un periodo de preparacin lenta, la Matemtica comenz su vigorosa evolucin en el Siglo XVII, con la Geometra Analtica y el Clculo Diferencial e Integral. En este proceso hubo grandes aportaciones de personajes, tales como Vieta, Descartes, Newton, Leibnitz, Euler, Gauss y muchos otros.

Los conocimientos matemticos fueron construidos de una manera progresiva, donde han sido pulidos hasta llegar al grado de desarrollo actual. Las Matemticas, son la llave para la comprensin del mundo fsico; nos dan el poder sobre la naturaleza y le han dado al hombre la conviccin de que se puede seguir profundizando en los secretos de la misma.

Adems, las Matemticas, han permitido a los pintores, pintar en forma realista, as como la comprensin de los sonidos musicales, el anlisis de tales sonidos fueron la base para la construccin del telfono, fongrafo, la radio e instrumentos de grabacin y reproduccin. Las Matemticas cada vez son ms importantes para la investigacin biolgica y mdica, el desarrollo de la electrnica, la computacin y otras ciencias, tambin juega un papel importante en la planificacin de la economa, la direccin de la produccin, el diagnstico y tratamiento de enfermedades, el estudio del rendimiento de los atletas, invadiendo as, todos los campos del saber de la humanidad.

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Actualmente los estudiantes tienen la idea de que se les ensean las Matemticas para fastidiarlos y causarles problemas. Este enfoque ha causado un bajo nivel de aprovechamiento de la materia por lo que se aprenden los contenidos en forma memorizada y los procedimientos en forma mecanizada, sin tener un claro entendimiento de los mismos o la forma de utilizarlos en la vida diaria o en su profesin.

Es necesario que los estudiantes tengan una participacin activa en la construccin del conocimiento matemtico, no ser simples repetidores, la enseanza constructiva no es fcil, pero no hay caminos fciles, para disfrutar la vista de lo alto de una montaa hay que escalarla, en las Matemticas no hay telefricos, los cables se rompen en la mente de los jvenes, el arte de ensear reside en la habilidad para la utilizacin de los procesos de descubrimiento, con esto se puede estimular y desarrollar el poder creativo de los estudiantes y de darles el placer del descubrimiento.

La Ciencia est ms activa que nunca, cada vez ms se usa a las Matemticas para presentar y predecir los fenmenos que ocurren en la naturaleza, por esta razn es necesario que los nuevos profesionistas tengan un conocimiento mas amplio para poder entender los modelos matemticos y formular nuevos, adems de que son un lenguaje universal.

El aprendizaje de las Matemticas requiere de un esfuerzo significativo por parte de los alumnos, el desarrollo de las habilidades y la adquisicin de conocimientos matemticos es gradual y solo es posible a travs de la constancia en el estudio. Tambin el aprendizaje de las Matemticas en la escuela est fundamentado en tres elementos bsicos:

El reconocido valor de los conocimientos matemticos para la solucin de problemas que enfrenta nuestra sociedad.

La potencialidad del aprendizaje de las matemticas para el desarrollo del pensamiento.

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