fundamentos de mecánica...Este libro es un texto de mecánica que puede integrarse en los cursos de...

fundamentos demecánica

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fundamentos demecánica

Carlos F. González Fernández Catedrático de Física Aplicada

Universidad Politécnica de Cartagena

Copyright © Carlos F. González Fernández

Edición en español: Copyright © Editorial Reverté, S. A., 2009

MAQUETACIÓN: REVERTÉ-AGUILAR, S. L.

CRÉDITOS DE LAS ILUSTRACIONES: Figuras 1.2, 4.23, 4.28, 5.10, 5.13, 6.9 y 7.28: fotografías y dibujos de la NASA. Figura 3.6: fotografía de la US Nacional Oceanic and Atmospheric Administration. Figuras 4.30, 6.16 y 7.51: fotografías de Carlos F. González Fernández.

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 [email protected] www.reverte.com

Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosa-mente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

ESTE LIBRO HA SIDO PUBLICADO CON LA COLABORACIÓN DE LA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

ISBN 978-84-291-4358-4

Edición en papel

Edición e-book (PDF)

ISBN: 978-84-291-9287-2

PRÓLOGO

Este libro es un texto de mecánica que puede integrarse en los cursos de física de primer añode universidad en las titulaciones de las Facultades de Ciencias y de las Escuelas de Ingenie-ría, o bien utilizarse de modo independiente. Al ser éste el primer contacto —a nivel univer-sitario— del estudiante con la mecánica era necesario limitar su contenido, tanto en laselección de temas como en su extensión y profundidad. No obstante, se ha pretendido quesea completo en lo fundamental, claro y riguroso, evitando aquellos aspectos que necesitande un desarrollo más propio de un curso avanzado de mecánica.

El objetivo fundamental del libro es buscar la comprensión por parte del estudiante de lamateria que se expone, organizando y presentando el texto de modo que facilite su aprendi-zaje, dando énfasis a los conceptos en el marco del instrumento analítico necesario y ade-cuado a este nivel de formación, presentando los tópicos en el contexto que mejor justificasu estudio y favorece su entendimiento, incluyendo en cada capítulo problemas tipo resuel-tos con detalle, intentando mostrar una mecánica accesible, cercana, cotidiana en muchoscasos, y abordando cuestiones que podrían ser tratadas como “complementarias” (y, portanto, con demasiada frecuencia obviadas) que se integran en el texto como aplicación ocomo aspecto a señalar, añadiendo así una faceta más al tópico de referencia.

Las siete lecciones en las que se ha organizado la materia responden básicamente a unaidea temática, evitando así separaciones a veces forzadas; de ahí su distinta extensión. Enellas se puede hacer diversas elecciones de contenidos para su mejor adaptación a programasconcretos.

VI Prólogo

AL ESTUDIANTE

La física está continuamente presente en nuestras vidas de manera directa o indirecta. Hayfísica en la televisión y en el ordenador, en la placa de inducción y en el microondas, en elfrigorífico y en la bomba de calor; hay física en la lavadora, en las naves y aeronaves, en lossofisticados aparatos de diagnóstico médico, en los teléfonos móviles y en las consolas dejuegos, en los satélites artificiales y en las sondas espaciales, en la música y en los depor-tes… Hay física en el origen del universo y en su evolución, en la formación de estrellas ygalaxias, en el púlsar y en el quásar, en las corrientes marinas y en la circulación atmosféri-ca…

La física, y en concreto la mecánica, explica por qué es difícil andar sobre el hielo, cuáles la velocidad adecuada que debe llevar un automóvil para no salirse de una curva, por quénuestra atmósfera contiene nitrógeno y oxígeno pero no hidrógeno, qué hacer para evitar elvuelco de una grúa, cómo es que no salimos despedidos al espacio a pesar de la rotaciónterrestre, por qué los astronautas flotan en las naves espaciales, cuál es la causa de las mareasy de que la Luna siempre nos presente la misma cara, por qué las peonzas giran en torno a lavertical más rápidamente antes de caer, la razón de que al competir en carrera los pilotostomen las curvas con sus motos inclinándose hasta casi rozar su rodilla con el asfalto…

Ambas relaciones son interminables. Para comprender es preciso avanzar sobre bases sólidas.Adelante.

Índice analítico

PRÓLOGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V

AL ESTUDIANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VI

Capítulo 1 MAGNITUDES FÍSICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I. Unidades y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2II. Fórmula dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.2 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I. Unidades SI básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II. Unidades SI derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14III. Múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171. Escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203. Producto de escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226. Derivada e integral de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277. Homogeneidad vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

VIII Índice analítico

Capítulo 2 CINEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.1 Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Movimientos con aceleración constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43I. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II. Movimiento bajo la acción de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III. Movimiento circular uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 Movimientos periódico y vibratorio armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50I. Movimiento periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II. Movimiento vibratorio armónico (m.v.a.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III. Composición de movimientos vibratorio armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6 Movimientos de traslación y de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59I. Movimiento de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II. Movimiento de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62III. Movimiento de traslación y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Capítulo 3 DINÁMICA. LEYES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

3.1 Primera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3 Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 Fuerza gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.5 Campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77I. Concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II. Líneas de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80III. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.6 Fuerza central. Momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7 Equilibrio y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.8 Fuerza recuperadora lineal en el movimiento oscilatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96I. Fuerza recuperadora lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96II. Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.9 Fuerza de rozamiento entre sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101I. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101II. Rozamiento en el deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III. Rozamiento en la rodadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Índice analítico IX

Capítulo 4 MOVIMIENTO RELATIVO. FUERZAS DE INERCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1 Transformación de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2 Cinemática relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.3 Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia en el movimiento rectilíneo . . . . . . . . 129

4.4 Fuerzas de inercia en el movimiento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135I. Fuerza centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135II. Fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5 Rotación terrestre y aceleración de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Capítulo 5 TRABAJO Y ENERGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.1 Trabajo y energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154I. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154II. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156III. Trabajo y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.2 Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160I. Fuerza conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160II. La energía potencial como campo escalar. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.3 Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.4 Energía potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166I. En las proximidades de la superficie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166II. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.5 Energía potencial del oscilador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

5.6 Curvas de energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.7 Energía relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Capítulo 6 DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.1 Centro de masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.2 Ecuación dinámica y conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.3 Choques entre partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209I. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209II. Choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.4 Masa variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.5 Ecuación dinámica y conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224I. Teorema de König del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224II. Momento-fuerza neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225III. Ecuación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

X Índice analítico

Capítulo 7 DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.1 Movimiento general del cuerpo rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.2 Sistemas equivalentes de fuerzas. Reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237I. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237II. Par de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238III. Fuerzas convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240IV. Fuerzas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

7.3 Equilibrio del sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

7.4 Movimiento plano. Rotación alrededor de un eje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254I. Características del movimiento plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254II. Rotación alrededor de un eje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.5 Movimiento plano de roto-traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265I. Movimiento de rodadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266II. Movimiento de deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.6 Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271I. Energía cinética de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271II. Energía cinética del sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7.7 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278I. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278II. Sólido rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.8 Determinación de momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287I. Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287II. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288III. Teorema de los ejes perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288IV. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.9 Rotación en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295I. Centro de masas fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296II. Eje de rotación con un punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

ÍNDICE ALFABÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Capítulo 1

MAGNITUDES FÍSICAS

1.1 Análisis dimensional............................................................................................. 2

1.2 Sistema Internacional de Unidades...................................................................10

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales...................................................................17

2 Capítulo 1 MAGNITUDES FÍSICAS

1.1 Análisis dimensional

I. UNIDADES Y MEDIDAS

La física trata de obtener las leyes que rigen el comportamiento del universo mediante elestudio de los componentes de la materia y de sus interacciones. Para conseguirlo se propo-nen modelos, que son construcciones mentales capaces de explicar cómo se producen losfenómenos en la realidad. Habitualmente los modelos son el resultado de un largo procesoconocido como método científico que implica observación —de los objetos o fenómenos enestudio—, experimentación, formulación del modelo teórico y su comprobación experimen-tal.

En la elaboración de los modelos la física utiliza una serie de conceptos que se designancomo magnitudes, que tratan de expresar características o propiedades de los cuerpos o delos fenómenos, como la masa, la longitud, el tiempo, etc., cuya manifestación particular encada caso concreto se designa como cantidad; así, la masa de una bola de billar es la canti-dad de masa que contiene, y el tiempo de la rotación terrestre es la cantidad de tiempo quetarda la Tierra en dar una vuelta completa sobre sí misma.

Las leyes físicas establecen relaciones entre cantidades de distintas magnitudes. Si repre-sentamos entre paréntesis las distintas cantidades, la segunda ley de Newton, por ejemplo, sepuede escribir como una relación de proporcionalidad,

(1.1)

es decir, la fuerza aplicada a un cierto cuerpo le origina una aceleración directamente pro-porcional a dicha fuerza e inversamente proporcional a la masa del cuerpo; así, aplicandouna misma fuerza, si se duplica la masa la aceleración se reducirá a la mitad. Pero, ¿cómo sesabe cuándo se tiene una masa doble o una aceleración mitad que otra? Para ello es precisomedir; medir es comparar una cantidad con otra —de la misma magnitud— que se tomacomo referencia; a esta cantidad se la designa como unidad, y el número de veces que aque-lla contiene a la unidad es la medida.

Por ejemplo, si Um es una unidad elegida de masa, la cantidad de masa (m) puede expre-sarse como

(1.2)

siendo n la medida de (m) con relación a la unidad Um.

Unidad de una magnitud es una cantidad de la misma, elegida arbitraria-mente, con la que se comparan las restantes cantidades de la misma mag-nitud.

Medida es un número que indica cuántas veces una cantidad dada con-tiene a la unidad elegida.

∼( ) ( )( )f m a

=( ) mm nU

1.1 Análisis dimensional 3

Si se elige otra unidad, , para medir la misma cantidad de masa resulta

(1.3)

con n′ la nueva medida, y dividiendo (1.2) y (1.3), se obtiene

(1.4)

es decir,

Como se ha dicho, para la experimentación es preciso cuantificar las cantidades, y porello las relaciones teóricas, en vez de relaciones de proporcionalidad entre cantidades, seexpresan en forma de ecuaciones —igualdades— en las que los símbolos que en ellas figu-ran corresponden a las medidas de las distintas cantidades que intervienen en cada caso con-creto. De este modo, la segunda ley de Newton, en vez de (1.1) se expresa como

siendo f, m y a las medidas de fuerza, masa y aceleración.

Si las relaciones físicas se establecen entre medidas, es necesario definir un sistema deunidades de las distintas magnitudes físicas; unas se definen independientemente de las res-tantes, son las unidades básicas del sistema (como las unidades de masa, tiempo y longituden mecánica), mientras que otras se definen a partir de su relación con las primeras o entreellas, son las unidades derivadas (como las unidades de velocidad, aceleración o cantidadde movimiento, pues, por definición, la velocidad es el cociente entre longitud y tiempo; laaceleración es el cociente entre velocidad y tiempo, y la cantidad de movimiento es el pro-ducto de masa y velocidad).

II. FÓRMULA DIMENSIONAL

La elección de la unidad de una cierta magnitud es, en principio, arbitraria; si se cambia launidad, cambiará la medida de la cantidad que en concreto se considere. ¿En cuánto? Si setrata de unidades definidas independientemente, esto es, básicas, teniendo en cuenta (1.4), larelación

(1.5)

los cocientes de las medidas de una misma cantidad y de las unidades utili-zadas están en razón inversa.

Las ecuaciones físicas relacionan medidas de las cantidades que en ellasintervienen.

mU′

′ ′=( ) mm n U

′=

′m

m

Un

n U

=f ma

′=

′

n U

n U


proporciona directamente la nueva medida. ¿Y si se trata de unidades definidas medianteotras, es decir, de unidades derivadas? Por ejemplo, ¿cómo cambia la medida de una veloci-dad dada (v) si se cambian las unidades de longitud y tiempo? Sea v su medida utilizando unsistema de unidades , con U y Ut las unidades de longitud y tiempo, respectiva-mente; nos preguntamos cuál será la medida, v′, de la misma velocidad si se utiliza otro sis-tema de unidades siendo U′ y U′t las nuevas unidades de longitud y tiempo,respectivamente. Según (1.5)

Y como las unidades de velocidad son derivadas y vienen dadas por

sustituyendo, se tiene

(1.6)

expresión en la que todo es conocido excepto el valor v′ que se quería obtener, pudiendo asíresponder a la pregunta planteada. La expresión (1.6) informa de cómo cambia la medida dela velocidad —y, también, qué relación guarda la nueva unidad U′v con la primitiva Uv— sise cambian las unidades de longitud y tiempo.

De hecho, se puede responder a las mismas preguntas para cualquier magnitud mecánicasi se conocen las unidades de masa, longitud y tiempo en los dos sistemas, y

; si se amplía para todos los campos de la física, hay que añadir las unidades detemperatura, θ, y de carga eléctrica, q (o de la intensidad de corriente eléctrica). En defini-tiva, para cualquier magnitud, x, la relación entre las medidas de una misma cantidad y, tam-bién, entre las unidades de dicha magnitud en dos sistemas de unidades diferentes vienedada por

(1.7)

que es la fórmula dimensional de la magnitud x, siendo αm, α , αt, αθ, αq, sus exponentesdimensionales.

La fórmula dimensional de una magnitud proporciona la dependencia dela medida de la cantidad y de la unidad de la misma con el sistema de uni-dades utilizado.

, , ...tU U

′ ′ , , ...tU U

′=

′v

v

Uv

v U

′′= =

′yv v

t t

U UU U

U U

−⎛ ⎞⎛ ⎞′ ′′⎜ ⎟⎜ ⎟= =

′ ⎝ ⎠⎝ ⎠

1

v t

v t

U UUv

v U U U

, , m tU U U′ ′ ′ , , m tU U U

qm t

qx m t

x m t q

UU U UU Ux

x U U U U U U

θαα αα α

θ

θ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′ ′′ ′⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


a) CorchetesPara abreviar, se utiliza la notación con corchetes:1

Y de este modo, la ecuación (1.7) se expresa como

(1.8)

Los corchetes de las magnitudes masa, longitud, tiempo, temperatura y carga eléctrica serepresentan con letras mayúsculas

con lo que (1.8) toma la forma

(1.9)

Ejemplo 1.1

Determine la relación que existe entre la unidad de fuerza en el Sistema Internacional (newton) y en elsistema CGS (dina).

Las unidades de masa, longitud y tiempo en ambos sistemas son: SIkg, m, s, CGSg, cm, s.Calculemos la fórmula dimensional de la fuerza utilizando la segunda ley de Newton f = ma. Así,

por lo que

Sustituyendo las unidades,

Esto es,

1. En el texto, el símbolo ≡ se utiliza para significar designación, identidad o definición.

[ ]′

≡ =′

x

x

Uxx

x U

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] qm tx m t qθ αα α α α= θ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]M, L, T, , Qx t q≡ ≡ ≡ θ ≡ θ ≡

[ ] M L T Q qm tx θαα αα α= θ

[ ] [ ] [ ] [ ] −= = = 2[ ]MLT

[ ]

vf m a m

t

[ ]2

f m t

f m t

U U UUf

U U U U

−′ ′ ′′= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

3 2 5

3 2

dyn g cm s g cm10 10 10

N kg m s 10 g 10 cm

−

− − −= = = × =⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

51N 10 dyn=


b) Fórmula dimensional de una constantePara asegurar la independencia de las leyes físicas con el sistema de unidades empleado —esdecir, que los dos miembros de la ecuación con que se expresa la ley mantengan la igualdadaunque se cambie de unidades— se introducen constantes en dichas leyes, como la de la gra-vitación, la de los gases, las elásticas, etc. Su valor está condicionado por las medidas de lascantidades que intervienen en la ley; de ahí que la cuantía de las constantes dependan del sis-tema de unidades que se utilice. ¿Cómo se evalúa su cambio al modificar el sistema de uni-dades? Igual que con las magnitudes. Así, si

es la fórmula dimensional de la constante C, siendo [C] = C/C′, se tiene que

(1.10)

lo que permite determinar el nuevo valor de la constante como consecuencia de un cambiode unidades.

Ejemplo 1.2

En el Sistema Internacional la constante de la gravitación (γ) tiene el valor 6,670 × 10–11. ¿Cuál es suvalor en el sistema de unidades CGS?

Las unidades de masa, longitud y tiempo en ambos sistemas son: SIkg, m, s; CGSg, cm, s.Calculemos la fórmula dimensional de γ a partir de la ley de la gravitación f = γ m2/r2. Así,

Por tanto, con (1.10)

Y sustituyendo valores

con lo que γ′ = 6,670 × 10–8 es su valor en el sistema CGS, es decir,

La fórmula dimensional de una constante proporciona la dependencia desu valor con el sistema de unidades utilizado.

[ ] θM L T Q qm tC θαα αα α=

[ ]qm t

qm t

m t q

UU UU UCC

C' U U U U U

θαα αα α

θ

θ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′′ ′′ ′⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2 1 3 2L M M L Tf l m m a− − − −γ = = =

[ ]1 23

m t

m t

U UU

U U U

− −′ ′′γ

γ = =′γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 13 2 3113 6 3

3 2

6,670 10 g cm s g cm10 10 10

kg m s 10 g 10 cm

− −−−

− −×= = = × =

′γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8 3 1 2´ 6,670 10 cm g s− − −γ = ×


c) Homogeneidad dimensionalComo ya se ha dicho, las ecuaciones físicas se establecen entre medidas, y las medidas cam-bian dependiendo del sistema de unidades que se utilice; pero dichas ecuaciones deben sergenerales, no pueden cambiar con el cambio de unidades, deben ser independientes del sis-tema de unidades utilizado. La exigencia de que las leyes físicas se satisfagan cualquiera quesea el sistema de unidades que se emplee, es decir, que sean invariantes a los cambios de sis-temas de unidades, también supone su homogeneidad dimensional.

Si no fuera así —de acuerdo con la información que suministra (1.7)— cada término dela ecuación se transformaría en distinta cuantía al cambiar de sistema de unidades y el valorde los miembros de la igualdad ya no coincidirían, deshaciéndose ésta. Por ejemplo, si enuna igualdad el exponente dimensional αm es nulo en el primer miembro y no nulo en elsegundo, un cambio en la unidad de masa determina una alteración del segundo pero no delprimer miembro, y no se mantiene la igualdad con el nuevo sistema de unidades.

La exigencia de homogeneidad dimensional permite, en algunos casos, obtener la rela-ción física que liga determinadas magnitudes asociadas a un cierto fenómeno. Así, por ejem-plo, si se sabe o se supone —con base empírica o justificación teórica— que una ciertamagnitud p depende o puede depender de las magnitudes x, y, z independientes entre sí,

se puede buscar una relación monomia entre ellas —en la que pueden intervenir constantes— como

siendo k un número indeterminado. El problema es determinar los exponentes a, b, c, algunode los cuales podría ser nulo. Como ambos miembros de la ecuación deben tener la mismafórmula dimensional para que sea dimensionalmente homogénea

(1.11)

el procedimiento consiste, en primer lugar, en expresar la fórmula dimensional de las magni-tudes y constantes. Si el problema pertenece al ámbito de la mecánica, serán de la forma

y, en segundo lugar, sustituir dichas expresiones en (1.11), de modo que

La homogeneidad dimensional de una ecuación física implica que todoslos términos de la misma tengan la misma fórmula dimensional.

( , , )p f x y z=

a b cp kx y z=

[ ] a b cp x y z⎡ ⎤=⎣ ⎦

[ ][ ]

[ ][ ]

M L T

M L T

M L T

M L T

mp p tp

mx x tx

my y ty

mz z tz

p

x

y

z

α α α

α α α

α α α

α α α

=

=

=

=

M L T (M L T ) (M L T ) (M L T )mp p tp my y ty mz z tzmx x tx a b cα α α α α α α α αα α α=


Igualando los exponentes se obtienen las ecuaciones:

que permiten obtener los exponentes a, b, c.

Ejemplo 1.3

Analice si, desde el punto de vista dimensional, la expresión T = 2π(g/l)1/2 puede corresponder alperíodo (T) de un péndulo simple de longitud l, siendo g la aceleración de la gravedad.

La fórmula dimensional de las magnitudes T, g y l son:

Por otra parte, 2π es un número, por lo que su fórmula dimensional es

En consecuencia, la fórmula dimensional del primer miembro de la ecuación es T, siendo la delsegundo

Por lo que la ecuación no es dimensionalmente homogénea, y no es posible.

Ejemplo 1.4

Determínese la relación entre la fuerza centrípeta que actúa sobre una partícula que describe una cir-cunferencia con el radio de la trayectoria, la velocidad angular del movimiento y la masa de la partícula.

Se trata de determinar una relación

que en forma explícita escribiremos

con k un número indeterminado. Obtengamos la fórmula dimensional de cada una de las magnitudesque intervienen en el problema,

mp mx my mz

p x y z

tp tx ty tz

a b c

a b c

a b c

α = α + α + α

α = α + α + α

α = α + α + α

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]2T LT Lv

T g lt

−= = = =

[ ] 0 0 02 M L T 1π = =

[ ][ ]

21LT

2 TL

gg

l l

−−

⎡ ⎤π = = =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ω( , , )c cf f r m

= ωa b c

cf kr m

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]− −= = = ω = =2 1MLT L T Mcf m a r m


y sustituyamos en la ecuación anterior,

Igualando los exponentes de M, L y T, se obtienen las ecuaciones

de modo que la relación buscada es

d) Cambio de escalaLa semejanza geométrica entre dos sistemas materiales (su igualdad de forma) al obteneruno del otro multiplicando todas sus longitudes por un factor de escala λ, no implica seme-janza física (igualdad de comportamiento estático o dinámico, es decir, igualdad en la rela-ción de fuerzas en uno y otro sistema). Consideremos, por ejemplo, un péndulo constituidopor una bola esférica de radio R suspendida de un cordel de longitud l y sección circular deradio r (Figura 1.1). Si se construye un péndulo mayor cuyas dimensiones se han multipli-cado por diez, la longitud del cordel será 10l, el radio de su sección 10r y el radio de la bola,10R. Se puede estimar la relación entre la carga (el peso de la bola) que tiene que soportar elcordel respecto a la resistencia de éste (peso que puede soportar sin romperse) teniendo encuenta que el peso es proporcional a su masa, ésta a su volumen y el volumen al cubo delradio de la esfera, mientras que la resistencia es proporcional al área de la sección del cordel,y ésta lo es al cuadrado de su radio (relación aplicable a cuerdas y vigas, músculos y huesos).Por tanto, el cociente de ambas fuerzas para el péndulo pequeño es,

Figura 1.1

− −=2 a 1 b cMLT (L) (T ) (M)

= = − =−1 c 1 a 2 b

= ω2

cf kr m

33

2 2p. pequeño

4peso 3~ ~ ~

resistencia

Rm R

s r r

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ π

l r

R 10 l = 10 r

10 R


y para el péndulo grande,

Así, en el péndulo grande el cordel tendría que soportar una carga diez veces mayor —enrelación con su resistencia— que en el péndulo pequeño, lo que podría generar su rotura.Ambos sistemas no son, pues, físicamente semejantes. Para que la relación (peso/resisten-cia) fuese igual en ambos péndulos, el radio de la sección del cordel del péndulo mayorhabría que aumentarlo 10 × 101/2 veces, resultando el cordel más grueso en relación con sulongitud que en el péndulo menor.

Esto explica por qué en aeromodelismo los aviones no son sin más reducciones a escalade aviones comerciales o militares. Y, también, por qué en determinados aspectos físicos losdistintos tamaños de los animales no es una cuestión de escala. El esqueleto de un tigre no essimplemente el esqueleto de un gato ampliado; así, al comparar el fémur en uno y otro, comola resistencia de los huesos aumenta al aumentar la sección y ésta depende del cuadrado de ladimensión transversal, mientras que el peso, la masa, depende del volumen y éste es propor-cional al cubo de una longitud característica, el fémur del tigre debe ser más grueso en rela-ción con su longitud que en el caso del gato.

1.2 Sistema Internacional de Unidades

Antes de especificar las unidades básicas y derivadas del Sistema Internacional de Unidades(SI) conviene señalar algunas reglas de escritura de nombres y símbolos:

• Los símbolos de las unidades se imprimen en caracteres romanos (rectos).

• En general los símbolos de las unidades se escriben en minúsculas, pero si el nombrede la unidad deriva de un nombre propio, la primera letra será mayúscula.

• Los nombres de las unidades se escriben en minúsculas.

• Los símbolos de las unidades quedan invariables en plural. Los nombres de las unida-des toman una s en el plural excepto los que terminan en las letras s, x o z.

• Los símbolos de las unidades no están seguidos por un punto.

• Cuando una unidad derivada está formada multiplicando dos o varias unidades, seexpresa con la ayuda de símbolos de unidades separados por puntos a media altura opor un espacio.

• Cuando una unidad derivada está formada dividiendo una unidad por otra, se puedeutilizar una barra inclinada, horizontal o bien exponentes negativos. No se debe intro-ducir en una misma línea más de una barra oblicua, a menos que se añadan paréntesis.

• Notación numérica. Debe dejarse un espacio entre grupos de 3 dígitos, tanto a laizquierda como a la derecha de la coma. En números de cuatro dígitos puede omitirsedicho espacio. La coma no debe usarse como separador de millares.

( )( )

3 3

2 2p. grande p. pequeño

10peso peso~ 10 10

resistencia resistencia10

R R

rr

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1.2 Sistema Internacional de Unidades 11

I. UNIDADES SI BÁSICAS

A) Longitud

a) Definición de la unidad SI

b) Algunos valores (en metros)

Unidades SI básicas

Magnitud Nombre Símbolo

longitudmasatiempointensidad de corriente eléctricatemperatura termodinámica (*)cantidad de sustancia intensidad luminosa

metrokilogramosegundoamperiokelvinmolcandela

mkgsAKmolcd

(*) La temperatura Celsius se expresa en grados Celsius (símbolo °C).

El metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío duranteun tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

1026 límite del universo observable1022 distancia de la galaxia más cercana (Andrómeda)1021 diámetro de nuestra galaxia 1016 año luz (9,46 × 1015)1013 diámetro del sistema solar 1011 unidad astronómica (1UA 1,50 × 1011 m, distancia media entre los centros

Sol-Tierra)109 radio del Sol (6,96 × 108) 108 distancia media entre los centros Tierra-Luna (3,84 × 108), radio de Júpiter

(7,13 × 107) 107 radio medio terrestre (6,37 × 106)106 radio de la Luna (1,74 × 106)104 punto más profundo de los océanos103 montañas más altas100 hombre10–4 células vegetales 10–5 células animales 10–6 bacterias10–7 virus10–8

10–9 NANOCIENCIA Y NANOTECNOLOGÍA

10–10 átomo de hidrógeno10–15 protón10–18 electrón

≅

⎭⎪⎬⎪⎫


La Figura 1.2 da idea del tamaño relativo del Sol y sus planetas

c) Nanociencia y nanotecnologíaLa nanociencia y nanotecnología es el estudio y manipulación de la materia a escala molecu-lar y atómica, tratando la molécula y el átomo como entidades sobre las que se puede actuarindividualmente. Tal posibilidad genera un enorme potencial de evolución en campos tandiversos como la fabricación de nuevos materiales, tecnologías de la información, medicinao medioambiente, entre otros, y constituye uno de los más ambiciosos e innovadores desa-rrollos científicos actuales.

Para dar una ligera idea de lo que puede representar la posibilidad de manipular indivi-dualmente los átomos, piénsese que las propiedades de los materiales no sólo dependen deltipo de átomos y moléculas que los constituyen, sino de su ubicación. Así, por ejemplo, conlos átomos de carbono que constituyen la mina de un lápiz (grafito) se podría obtener dia-mante si se reubicasen adecuadamente. En el grafito los átomos de carbono forman capasmuy estables, fuertes y flexibles que se disponen unas sobre otras y se unen entre sí muydébilmente, por lo que se desprenden con facilidad (como al escribir con el lapicero). Launión de capas de átomos de carbono mucho mayores que las del grafito, unas a continua-ción de otras, forma una estructura larga, fuerte y ligera que tiene una gran variedad de usostecnológicos: la fibra de carbono. Pues bien, si una capa de carbono se enrolla para formarun tubo, se obtiene un nanotubo de carbono que tiene unos nanometros de diámetro,pudiendo obtenerse de hasta un milímetro de longitud uniendo unos con otros. Las fibrasobtenidas con nanotubos son más ligeras que el aluminio y, sin embargo, tienen una resisten-cia a la tracción más de 20 veces superior a la del acero, son sumamente elásticas y tienenpropiedades eléctricas, térmicas y estructurales que dependen de su diámetro, longitud y delmodo en que se enrolla la capa.

Figura 1.2


B) Masa


b) Algunos valores (en kilogramos)

C) Tiempo


b) Algunos valores (en segundos)

El kilogramo es igual a la masa del prototipo internacional de platino iri-diado que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas.

1030 masa del Sol (1,99 × 1030)1027 masa de Júpiter (1,90 × 1027)1025 masa de la Tierra (5,97 × 1024) 1023 masa de la Luna (7,35 × 1022)102 hombre10–3 gota de lluvia10–5 mosquito10–13 mota de polvo10–15 bacteria10–27 protón (1,672 × 10–27)10–30 electrón (9,109 × 10–31)

El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiacióncorrespondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estadofundamental del átomo de cesio 133.

1017 edad del universo1016 período orbital del Sol alrededor del centro galáctico1015 extinción de los dinosaurios 109 siglo (3,15 × 109)107 año (3,15 × 107)106 período de rotación de la Luna105 período de rotación de la Tierra (8,62 × 104)102 viaje de la luz del Sol a la Tierra10–2 destello de un flash fotográfico10–3 tiempo de respuesta de una excitación neuronal, período de ondas sonoras 10–6 período de ondas de radio10–9 período de microondas10–15 período de la luz visible 10–17 período de los rayos X


II. UNIDADES SI DERIVADAS

Ángulo plano es la figura geométrica constituida por dos semirrectas —los lados del án-gulo— con un origen común, denominado vértice (Figura 1.3). Expresa la diferencia de pen-diente entre dichas semirrectas, y el valor de su abertura, es decir, la medida del ángulo —expresada en radianes— se obtiene trazando con radio arbitrario r y centro en el vértice Vuna circunferencia y aplicando la relación

siendo L la longitud del arco de circunferencia interceptado por el ángulo plano.

Como la longitud de una circunferencia es 2πr, el ángulo plano completo alrededor de unpunto es 2π rad.

El radián es la unidad natural de los ángulos; así, en los desarrollos en serie del seno ydel coseno

ϕ se expresa en radianes.

Algunas unidades SI derivadas

Magnitud Nombre Símbolo Unidades SI

Unidades SI básicas

superficievolumenvelocidadaceleracióndensidadfrecuenciafuerzapresiónenergía, trabajopotenciamomento-fuerzaángulo planoángulo sólidovelocidad angular aceleración angularintensidad energética

metro cuadradometro cúbicometro por segundometro por segundo cuadradokilogramo por metro cúbicohercionewtonpascaljuliovationewton metroradiánestereorradiánradián por segundoradián por segundo cuadradovatio por estereorradián

m2

m3

m/sm/s2

kg/m3

HzNPaJWN·mradsrrad/srad/s2

W/sr

N/m2

N⋅mJ/s

s–l

m⋅kg⋅s–2

m–l ⋅kg⋅s–2

m2⋅kg⋅s–2

m2⋅kg⋅s–3

m2⋅kg⋅s–2

El radián es el ángulo que, teniendo su vértice en el centro de un círculo,intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud iguala la del radio.

ϕ=Lr

ϕ ϕϕ= ϕ− + ϕ= − +

3 2

sen ... cos 1 ...3! 2


Ángulo sólido es la figura geométrica constituida por todas las semirrectas que tienen unmismo origen, designado como vértice, y que cortan a una curva cerrada (Figura 1.3).Expresa el tamaño aparente, para un observador situado en el vértice, de un objeto cuyo con-torno es dicha curva. Su valor —expresado en estereorradianes— se obtiene trazando conradio arbitrario r y centro en el vértice V una superficie esférica y aplicando la relación

siendo S el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido.

Como el área de una esfera es 4πr2, el ángulo sólido completo alrededor de un punto es4π sr. El Sol y la Luna se ven desde la Tierra con un ángulo sólido de aproximadamente6 × 10–5 sr.

De las definiciones de ángulo plano y ángulo sólido es claro que son magnitudes adimen-sionales, por lo que sus fórmulas dimensionales son

Figura 1.3

El estereorradián es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centrode una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente un áreaigual a la de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera.

Ω= 2

S

r

L

r ϕ S

V

Ω

VÁngulo plano

r

Ángulo sólido

[ ] [ ] 0 0 0 0 0M L T Q 1ϕ = Ω = =θ


Algunas unidades utilizadas pero no incluidas en el Sistema Internacional

III. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES DE LAS UNIDADES SI

Nombre Símbolo Valor en unidad SI

minutohoradíagradominutosegundolitrotoneladamilla marinanudoangstromáreahectáreabaratmósfera normal gal a

fermiquilatetorrkilogramo-fuerzacaloríamicra

a. El gal se emplea en geodesia y geofísica para expresar la aceleración debida a la gravedad.

minhdo ′″lt

ÅahabaratmGalfermi, fmqtorrkgfcalμ

1 min = 60 s1 h = 60 min = 3600 s1 d = 24 h = 86 400 s1º = (π/180) rad1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad1″ = (1/60)' = (π/648 000) rad1 l = l dm3 = 10–3 m3

1 t = 103 kg1 milla marina = 1852 m1 milla marina por hora = (1852/3600) m/s1 Å = 0,1 nm = 10–10 m1 a = 102 m2

1 ha = 104 m2

1 bar = 0,1 MPa = 105 Pa1 atm = 101 325 Pa1 Gal = 1 cm/s2 = 10–2 m/s2

1 fm = 10–15 m1 quilate = 200 mg = 2 × 10–4 kg1 torr = (101 325/760) Pa1 kgf = 9,80665 N1 cal = 4,1868 J1μ = 1 μm = 10–6 m

Unidades CGS con nombres especiales

ergiodinapoisestokes

ergdynPSt

1 erg = 10–7 J1 dyn = 10–5 N1 P = 1 dyn⋅s/cm2 = 0,1 Pa⋅s1 St = 1 cm2/s = 10–4 m2/s

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1024 1021 1018 1015

1012 109

106

103

102

101

yottazettaexapetatera giga mega kilohectodeca

YZEPTG M kh da

10–1

10–2

10–3

10–6

10–9

10–12

10–15

10–18 10–21 10–24

decicentimilimicronanopicofemto attozeptoyocto

dcmμnpfazy

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales 17

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales

1. ESCALARES Y VECTORES

Consideremos de nuevo las magnitudes físicas, pero ahora en base a la complejidad de sudescripción, de su carácter. Por ejemplo, la descripción de la magnitud masa —mediante unnúmero (al margen de unidades)— es más sencilla que la descripción de la magnitud veloci-dad —un número ya no es suficiente—; una y otra son magnitudes de distinto carácter: lamasa es un escalar y la velocidad es un vector.

La forma de operar con las magnitudes escalares, su álgebra operacional, es la mismaque la de los números. Ejemplos de magnitudes escalares son la ya mencionada masa, la pre-sión, la temperatura, el volumen, etc.

Magnitudes vectoriales son la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

La recta soporte o línea de acción de un vector es la generada moviendo su punto de apli-cación según la dirección del propio vector.

a) Vector unitarioSi r y r son, respectivamente, un vector cualquiera y su módulo, su cociente define un vectorer de módulo igual a la unidad y con el mismo sentido y dirección que el vector r:

Por ello, todo vector es igual al producto de su módulo por su vector unitario

(1.12)

b) Independencia del referencialEn general, se designa como sistema de referencia o referencial, S, un cuerpo respecto delcual se analiza un determinado fenómeno; como el espacio se considera un continuo euclí-deo de tres dimensiones, se sitúa en el cuerpo una terna ortogonal de ejes cartesianos.

Ahora bien, las magnitudes escalares y vectoriales son independientes de la situación yorientación del referencial. Así, la masa de una partícula, m, y su peso, mg, no cambian aun-que se cambie la orientación o el origen de los ejes (Figura 1.4).

Una magnitud es un escalar cuando viene descrita completamente medianteun número, con el que se la representa.

Una magnitud tiene carácter vectorial cuando viene descrita completa-mente mediante un número, una dirección y un sentido. Se la representacon un segmento orientado cuya longitud corresponde al número (el módu-lo), su recta soporte señala la dirección y la flecha indica el sentido.

= rre r

=r rr e


c) Componentes de un vectorSe puede dar otra descripción de una magnitud vectorial utilizando un referencial S(Figura 1.5). En efecto, utilizando coordenadas cartesianas y siendo i, j, k los vectoresunitarios ortogonales según los ejes X, Y, Z, el vector r con origen en O puede expre-sarse como

(1.13)

o, en forma compacta,

con x, y, z las componentes cartesianas del vector r respecto de los ejes X, Y, Z; es decir,x, y, z son las proyecciones de r sobre dichos ejes

(1.14)

siendo α, β, γ, los ángulos que forma r con los ejes X, Y, Z, respectivamente. Por tanto,

Hay que notar que aquí se está hablando de componentes cartesianas, pero igualmente sepueden considerar componentes relativas a otros sistemas de coordenadas.

Figura 1.4

un vector puede describirse mediante tres números: sus componentes.

Figura 1.5

Z m

Z′

mg

Y′

O Y

XX′

= + +x y zr i j k

≡ ( , , )x y zr

= α = β = γcos cos cosx r y r z r

S

Z

γ C r

z

rk β

i O j y Y

x α

XA B

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