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FUNDAMENTOS DEL LGEBRA DE POLINOMIOS

Autor: Ricardo J. Fernndez Tern Universidad Simn Bolvar ( RicharOrange@hotmail.com)

INTRODUCIN Y CONCEPTOS PREVIOS

El lgebra es la rama de las matemticas que se encarga del estudio de las reglas de

operaciones y relaciones, y de las construcciones y conceptos que se deriven de ellas, incluyendo

trminos, polinomios, ecuaciones y estructuras algebraicas.

Un polinomio es la suma de varios trminos individuales, llamados monomios, los cuales estn

conformados por una cantidad numrica (el coeficiente) y una variable con su exponente, siendo

ste un nmero natural. A este tipo de polinomios se les llama polinomios en una variable.

El coeficiente del trmino que contiene a la variable con su mayor exponente se denomina

coeficiente principal, y el mayor exponente se denomina grado del polinomio.

En este artculo se plantearn los fundamentos del lgebra de polinomios. En primer lugar, se

darn las definiciones bsicas, luego se expondrn varios teoremas importantes aplicables a

polinomios en una variable. En segundo lugar, se presentarn los fundamentos de divisibilidad

de polinomios, se enunciarn y probarn los teoremas respectivos y se presentar una forma

alternativa (y ms eficiente) de factorizar polinomios con races racionales. Finalmente, se

presentar de forma precisa el mtodo de descomposicin de cocientes de polinomios en

fracciones simples.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA

El Teorema Fundamental del lgebra (TFA) seala lo siguiente:

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA: Todo polinomio no constante de grado

en una variable con coeficientes complejos tiene tantas races complejas como indica su

grado, contando sus multiplicidades algebraicas.

Sea un polinomio de grado definido as:

Con . El nmero se denomina coeficiente principal.

El lector puede verificar que una consecuencia del TFA es que el polinomio se pueda

escribir como:

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Con , y no necesariamente todas distintas. A cada una de las se les

llama races del polinomio. Si se exige que todas sean distintas, entonces es posible expresar al

polinomio como:

Es decir, agrupando las races repetidas y asignndole un exponente . A ese exponente se

le denomina multiplicidad algebraica de una raz. Entonces es la multiplicidad algebraica de

la raz . Ms adelante el lector encontrar un teorema que le har familiarizarse con estas

definiciones.

Si el coeficiente principal es igual a uno (1) el polinomio se llama mnico o normado.

Si en un polinomio entonces es posible convertirlo en uno mnico dividiendo cada

coeficiente entre , es decir, la siguiente expresin siempre es un polinomio mnico:

(

)

Los polinomios mnicos tienen ciertas propiedades que se discutirn despus.

CONTUNIDAD, DIFERENCIABILIDAD Y CONSECUENCIAS

Si , es decir, si es una funcin polinmica, se puede probar fcilmente que es

continua en . Su dominio tambin son todos los nmeros reales, y su rango podran ser

tambin todos los nmeros reales.

Como cualquier funcin polinmica es una funcin continua, aplican los teoremas de Rolle,

Lagrange (incrementos finitos), Cauchy (incrementos finitos), Bolzano (valor intermedio),

LHpital-Bernoulli (para el lmite indeterminado del cociente de polinomios) y todos los

teoremas de funciones continuas.

Una funcin polinmica es derivable en todo .

A continuacin se enunciar y probar un importante teorema sobre las derivadas de orden

superior de un polinomio:

TEOREMA 1: La derivada de orden de un polinomio de grado n cuyo coeficiente

principal es resulta

Demostracin: Sea

un polinomio de grado . Se realiza

la prueba por induccin. Primero se verifica que para un caso pequeo de se cumple. Por

ejemplo, para polinomio de grado :

Como entonces se cumple para .

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Para un polinomio de grado se tiene:

Entonces tambin es vlido para Se tomar como hiptesis inductiva que el teorema aplica

para algn , y se debe probar que eso implica que se cumple para . Entonces la

hiptesis inductiva es: Si

luego

Para comenzar la prueba inductiva se escribe un polinomio de grado

Derivando una vez, se tiene que

Como es un polinomio de orden y por hiptesis inductiva la -sima derivada de un

polinomio de orden es igual al primer coeficiente por entonces

[

] [ ]

Pero , lo que completa la prueba inductiva, ya que la -sima derivada de

es la derivada de orden de .

El teorema anterior es de especial utilidad e importancia a la hora de aplicar la regla de

LHpital-Bernoulli para calcular lmites de cocientes de polinomios, logaritmos, exponenciales

y funciones trigonomtricas regulares que den como resultado indeterminaciones del tipo y

.

PROPIEDADES Y CARACTERSTICAS

DE LOS POLINOMIOS MNICOS

En primer lugar se tiene el siguiente teorema, que complementa el corolario del TFA sealado

al principio del artculo:

TEOREMA 2: Cualquier polinomio obtenido como producto de factores lineales de la

forma es un polinomio mnico, es decir:

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Demostracin: Es evidente que para un polinomio de grado de la forma se verifica

el teorema. Para un polinomio cualquiera de grado , y en virtud del TFA, se escribe la

igualdad:

Desarrollando y agrupando trminos semejantes resulta:

Entonces, para tambin se verifica el teorema, ya que .

De acuerdo con el principio de induccin matemtica, como en un polinomio los exponentes de la

variable son nmeros naturales y el conjunto de los nmeros naturales es un conjunto

inductivo, se tomar como hiptesis inductiva que la afirmacin anterior se cumple para un

polinomio de grado definido como

.

Luego, para un polinomio de grado que est definido como

con se observa que segn el TFA ste tiene idnticamente las

mismas races que y una raz adicional,

Se tiene que

y se quiere probar que si es mnico y

es el producto de por un factor lineal de la forma , entonces

tambin ser mnico.

De las dos definiciones de se tiene:

(

)

Desarrollando el miembro derecho y aplicando la propiedad distributiva se tiene:

[( )

] (

)

Se verifica que el coeficiente de es igual a .

Por hiptesis inductiva , y se observ que , lo que completa la prueba.

Esto quiere decir que cualquier polinomio mnico se puede expresar como producto de factores

lineales. Ahora se presentar otro teorema que permite analizar el comportamiento del cero

como raz de un polinomio:

TEOREMA 3: Cualquier polinomio de grado tiene como raz al cero (0) con

multiplicidad algebraica si todos los coeficientes con son nulos, es

decir, si los primeros coeficientes del polinomio son todos iguales a cero (0).

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Demostracin: Cuando el polinomio tiene la forma

Entonces se puede expresar como:

(

) (

)

Por definicin, se trata de un polinomio que tiene como raz al cero con multiplicidad algebraica

de , y en ste caso se cumple que con , es decir, que el primer coeficiente

es nulo.

Tomando , el polinomio tiene la forma

Que se puede factorizar como:

(

) (

)

Segn la definicin anterior, se trata de un polinomio que tiene como raz al cero con

multiplicidad algebraica , y en ste caso se cumple que con es decir,

que los primeros dos coeficientes son nulos.

Entonces, se quiere probar que el cero ser una raz con multiplicidad algebraica si los

primeros coeficientes son nulos, es decir, si con .

Ya se prob que para se cumple, ahora la prueba contina por induccin.

Para ello, se toma un polinomio de grado fijo con todos los primeros coeficientes nulos, es

decir, para . Por hiptesis inductiva el cero es una raz con multiplicidad

algebraica , as que dicho polinomio se escribe como:

(

) (

)

Entonces, si el primer coeficiente distinto de cero sera y el polinomio se puede

reescribir de la siguiente forma:

( ) (

)

As, si dicho polinomio tiene los primeros coeficientes nulos, entonces el cero es una raz

con multiplicidad algebraica , como se quera probar.

Corolario: La funcin se anula en o no se anula en ningn punto.

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El teorema anterior y su corolario son fundamentales para introducir los conceptos de

divisibilidad de polinomios.

LA DIVISIN DE POLINOMIOS: TEOREMA DEL RESIDUO.

FUNDAMENTOS DE DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS

La divisin de polinomios se define de manera anloga a la divisin de nmeros racionales,

siempre dividiendo las mayores potencias hasta que el residuo sea de menor grado que el

divisor.

Al efectuar la divisin se buscan polinomios y tales que

Donde es el cociente de , es el dividendo y es el residuo.

De otra forma, la divisin de polinomios puede expresarse como:

Como por el TFA se tiene que cualquier polinomio se puede escribir como producto de factores

de la forma entonces resulta interesante considerar la divisin por este factor, de la cual

se origina un teorema fundamental para la bsqueda de los factores irreducibles de un

polinomio:

TEOREMA DEL RESIDUO: El resto de la divisin de un polinomio por el binomio

es igual a .

Demostracin: Como donde es un polinomio de grado cero (es

decir, una constante independiente del valor de ), llamndola simplemente y haciendo

se tiene:

Como se quera probar.

Corolario: es una raz del polinomio s y slo si es divisible por .

Existe una forma simplificada y ms rpida de evaluar la divisin de polinomios cuando el

dividendo se trata del binomio , a este algoritmo se le conoce como divisin sinttica o

Regla de Ruffini.

Una utilidad prctica para esta regla consiste en evaluar para algn cierto valor de sin

calcular potencias y productos de magnitudes considerables.

Por el teorema del residuo se tiene que el resto de la divisin

es , luego aplicando la

Regla de Ruffini se puede evaluar el polinomio para .

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RELACIONES DE CARDANO-VITE

TEOREMA DE CARDANO-VITE-FERNNDEZ

Por el Teorema Fundamental del lgebra se tiene que para un polinomio de segundo grado:

Desarrollando el miembro derecho y agrupando los trminos semejantes, queda:

De la igualdad de polinomios se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

{

De dnde en un polinomio mnico, si son races, entonces deben cumplir las condiciones

del sistema: la suma de las races debe ser el opuesto del coeficiente del trmino lineal y el

producto de las races debe ser igual al trmino independiente.

Lo anterior es equivalente al mtodo de factorizacin empleado en secundaria que consiste en

encontrar dos nmeros que sumados den como resultado y multiplicados , colocando como

signo del mayor el del coeficiente y como signo del menor el producto de los signos de .

Se ha obtenido una interesante relacin entre las races y los coeficientes para polinomios de

grado dos. Pero an es muy trivial resolver dichas ecuaciones polinmicas, ya que es bien

conocida la frmula resolvente general para ecuaciones de segundo grado.

Entonces, se considerar la igualdad respectiva para polinomios de grado tres (3):

De la misma forma que antes, se desarrolla el lado derecho y se agrupan los trminos

semejantes:

As, se obtiene el sistema:

{

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A partir de este sistema es vlido realizar tres observaciones:

Primera: el primer coeficiente es siempre igual a 1 porque est expresado como el producto de

factores lineales (esto ya se demostr en el Teorema 2).

Segunda: si el cero fuese raz simple (con multiplicidad 1) del polinomio, entonces . Si el 0

fuese una raz con multiplicidad entonces (esto ya se demostr en el

Teorema 3).

Tercera: en ambos casos el segundo mayor coeficiente ( ) es igual al opuesto de la sumatoria

de todas las races ( ), y el trmino independiente ( ) es el producto de todas las

races multiplicado por menos uno elevado al grado del polinomio, es decir:

La tercera observacin an no se ha probado. Se demostrar entonces, que es vlida para un

polinomio mnico de cualquier grado mayor o igual que uno (1).

Antes de proceder con la prueba formal, ntese que la tercera observacin se cumple de igual

forma para polinomios de grado 4. El lector puede desarrollar y agrupar la siguiente expresin:

As, se obtiene:

Y el sistema asociado es:

{

De nuevo se cumple la tercera observacin.

As queda probado para polinomios de grado (para es trivial y se prueba por

simple inspeccin).

A continuacin se presenta el teorema y su demostracin para polinomios de cualquier grado:

TEOREMA DE CARDANO-VITE-FERNNDEZ:

Si

con entonces:

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Demostracin: Ya se prob anteriormente que para un polinomio de grado el teorema se

cumple. Como es una variable natural y el conjunto de los nmeros naturales es inductivo,

entonces la prueba se realizar por induccin.

Como hiptesis inductiva se asume que el enunciado del teorema se cumple para un polinomio

mnico cualquiera de grado fijo, y se debe probar que esto implica que dicha afirmacin

tambin se cumple para un polinomio mnico cualquiera de grado que tenga como factor al

polinomio inductivo de grado , es decir, que tenga por races (segn el TFA) a todas las races

del polinomio de grado y una raz adicional ( .

Simblicamente, la hiptesis inductiva es:

Sea

con

Entonces:

Como es cierta para , entonces se sustituirn las expresiones para los coeficientes y

en ambas definiciones de :

[

] [

]

Sea un polinomio mnico de grado definido como con ,

entonces tendr las mismas races que ms una raz adicional ( ).

Ya se demostr que si es mnico y se obtiene al multiplicar un polinomio mnico por

entonces tambin es mnico (ver Teorema 2).

Para probar el teorema se debe probar que en el polinomio mnico :

1) El coeficiente del trmino de grado es igual al opuesto de la sumatoria de las races del

polinomio .

2) El trmino independiente es igual al producto de las races del polinomio

multiplicado por y por menos uno elevado a la .

Simblicamente, se pretende probar que si

Entonces

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Para ello se sustituye la expresin de y se desarrolla aplicando la propiedad distributiva el

lado derecho:

{[

] [

] }

{[

] [

] }

{[

] [

] }

Solamente interesan los coeficientes de y el trmino independiente ( , as que no es

necesario desarrollar la suma completa sino notar nicamente el desarrollo de esos trminos:

{[

] [

] }

{[

] [

] }

Agrupando y ordenando se obtiene:

[

] [

]

Como

se observa que:

{

(

)

[

]

Simplificando se tiene:

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Pero es una raz del polinomio que tiene las mismas races que el polinomio ,

entonces esta nueva raz es la raz (como se defini anteriormente) de modo que las

expresiones anteriores se reducen a:

{

(

)

[

]

Como se quera probar.

POLINOMIOS CON RACES RACIONALES

El Teorema de Cardano-Vite-Fernndez (TCVF) seala que en un polinomio mnico,

necesariamente la suma de las races debe ser igual al opuesto del segundo mayor coeficiente, y

que su producto debe ser igual al trmino independiente con un signo positivo si el polinomio es

de grado par y negativo si es de grado impar.

De esta forma, se pueden eliminar las posibles races muy rpidamente, sin evaluarlas.

Cuando las races son nmeros enteros o fraccionarios (es decir, nmeros racionales), es muy

fcil derivar del TCVF que necesariamente estos nmeros deben ser divisores del trmino

independiente. Entonces, se plantea a continuacin un mtodo para factorizar polinomios que

utiliza el TCVF para eliminar las posibles candidatas. Se presentar con un ejemplo:

PROBLEMA: Hallar las races y factorizar el polinomio

SOLUCIN:

MTODO ALTERNATIVO DE FACTORIZACIN DE POLINOMIOS

CON RACES RACIONALES

PASO 1) Es un polinomio mnico de grado 8, es decir, de grado par. Se verifica que el trmino

independiente est presente. Como no lo est, entonces una de las races es y el polinomio

se factoriza como:

( )

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PASO 2) Para el polinomio se tiene

que es un polinomio de grado impar. Su trmino independiente es distinto de cero. Por el TCVF,

sus races deben cumplir las dos condiciones:

PASO 3) Colocamos 7 casillas (porque se trata de un polinomio de grado 7) y probamos con

distintos nmeros enteros, divisores del trmino independiente, hasta encontrar una

combinacin que cumpla AMBAS condiciones (la suma y el producto). Los signos de cada casilla

vendrn dados por el trmino independiente y el grado del polinomio:

A) Para un polinomio de grado IMPAR:

a. Si el trmino independiente es POSITIVO, slo puede haber un nmero

IMPAR de signos negativos.

b. Si el trmino independiente es NEGATIVO, slo puede haber un nmero PAR

de signos negativos.

B) Para un polinomio de grado PAR:

a. Si el trmino independiente es POSITIVO, slo puede haber un nmero PAR

de signos negativos.

b. Si el trmino independiente es NEGATIVO, slo puede haber un nmero

IMPAR de signos negativos.

Para simplificar, SIEMPRE quitaremos el signo negativo (si lo hay) del miembro derecho y lo

colocaremos en el izquierdo:

Por la regla de signos dada en el paso N 3, el trmino independiente es positivo y el polinomio

es de grado impar, luego el nmero de signos negativos debe ser impar, es decir, tenemos 4

posibilidades:

Descartamos la primera fila porque la suma de nmeros negativos es un nmero negativo.

Algunos de los divisores de son: pero no los necesitamos todos.

Como la suma es un nmero menor que 10 entonces la distancia entre las races debe ser menor

que 10.

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Probamos entonces en la segunda fila con los nmeros ms pequeos cuyo producto sea 480 (sin

signo), que son

Hemos encontrado en la segunda fila una combinacin de nmeros que satisface el producto y la

suma.

Si uno de ellos NO es raz entonces ninguno podr serlo, ya que la combinacin de nmeros

enteros que arroja un producto y una suma determinadas es NICA.

Probemos con el ms alto:

(

)

Por el teorema del resto y utilizando el mtodo de divisin sinttica de Ruffini, el lector puede

verificar que

Como el es una raz, entonces todas las dems lo son.

Hemos factorizado y se tiene que ( ) entonces:

El lector puede verificar tambin que cada uno de los otros nmeros encontrados es

efectivamente una raz de .

En la prctica, la aparicin de polinomios de grado superior a 4 es escasa, pero este ejemplo

permite mostrar al lector que el mtodo es igual de vlido para polinomios de cualquier grado.

Del Teorema de Cardano-Vite-Fernndez se pueden derivar una serie de corolarios que sern

de utilidad en otros casos:

COROLARIOS DEL TEOREMA DE CARDANO-VITE-FERNNDEZ

1. Si un polinomio tiene al menos dos races irracionales distintas con signos distintos

entonces al menos uno de sus coeficientes ser irracional.

Demostracin: Como el coeficiente es igual al opuesto de la suma de las

races del polinomio, es evidente que si

son dos nmeros irracionales,

entonces tanto su suma como su diferencia tambin lo sern, entonces al menos el

coeficiente ser irracional.

2. Si todas las races son enteras, entonces todos los coeficientes son necesariamente

enteros (El recproco es por lo general falso).

P S

4

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3. Si un polinomio de la forma (con ) no tiene races enteras, entonces

es

irracional.

Demostracin: Como el trmino independiente es igual al producto de las races

del polinomio y en este caso el polinomio tiene una nica raz con multiplicidad

entonces es obvio que si un entero es imposible de obtener como potencia de otro

entero, entonces al menos existe un nmero irracional tal que el entero en cuestin

sea potencia del mismo. Pero dicho nmero irracional ser precisamente

, como

se quera probar.

4. Si todos los coeficientes son reales, por cada raz compleja que tenga tambin tendr

como raz a su conjugada.

Demostracin: Si es una raz, entonces, como el producto de un complejo

por su conjugado es un nmero real (que sera el cuadrado de su mdulo vectorial)

y la suma de un complejo y su conjugado tambin lo es, ya est:

y , ambos nmeros reales. Tambin se

tiene que .

5. Si tiene slo races enteras, stas deben ser divisores del trmino independiente.

Demostracin: Como el trmino independiente es igual al producto de las races,

entonces ya est.

6. Si el trmino independiente es un nmero primo, entonces las nicas races enteras

posibles son con cualquier multiplicidad algebraica.

(Hay muchos ms corolarios posibles, pero no son de importancia para este artculo)

MTODO DE DESCOMPOSICIN DE COCIENTES DE

POLINOMIOS EN FRACCIONES PARCIALES

Definicin: Se denomina fraccin propia a una fraccin de polinomios tal que el grado del

numerador sea estrictamente menor que el del denominador. Se supone que la fraccin es

irreducible, es decir, que numerador y denominador NO tienen races comunes.

Para usar este mtodo, primero hay que asegurarse de que la fraccin involucrada es propia

(esto es, que el grado del numerador sea menor que el del denominador). Si no lo es, se debe

hacer la divisin correspondiente. Luego se debe factorizar totalmente el denominador, de donde

se distinguen cuatro casos (En todo momento se requiere que los factores lineales contengan

nicamente nmeros reales):

CASO I: Factores lineales distintos.

CASO II: Factores lineales repetidos.

CASO III: Factores cuadrticos irreducibles distintos.

CASO IV: Factores cuadrticos irreducibles repetidos.

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A continuacin se presentan los teoremas asociados:

PRIMER TEOREMA DE DESCOMPOSICIN (Ostrogradski) [Casos I y II]:

Sea una raz de multiplicidad del denominador, es decir, , donde

. Entonces la fraccin propia se puede descomponer en la suma de dos fracciones

propias:

Con y un polinomio de grado inferior al grado del denominador .

Demostracin: Escribiendo la siguiente identidad:

Que se verifica para cualquier , y definiendo la constante de forma tal que el polinomio

sea divisible por . Por el Teorema del residuo, es necesario y suficiente que se

verifique la igualdad:

Puesto que entonces

Para tal se tiene:

Donde es un polinomio de grado inferior al del polinomio . Sustituyendo se

tiene:

Como se quera probar.

SEGUNDO TEOREMA DE DESCOMPOSICIN (Ostrogradski) [Casos III y IV]:

Si , donde el polinomio no es divisible por , la

fraccin racional propia puede ser representada por la suma de dos fracciones propias:

Donde es un polinomio de grado inferior al del polinomio .

Demostracin: Escribiendo la siguiente identidad:

Que se verifica para todo , y definiendo las constantes tales que el polinomio

sea divisible por . Para ello, es necesario y suficiente que la

ecuacin

Tenga las mismas races que el polinomio (para el polinomio anterior sea

divisible entre , ya que compartiran al menos un par de races).

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Por lo tanto, si , en particular, si entonces:

[ ]

De donde:

Pero

Luego:

De donde:

Con estos valores de y , el polinomio tiene como raz a , y por

tanto a su conjugada. Al ocurrir esto, por el Teorema del Residuo es divisible por ambas, luego es

divisible por su producto, es decir, es divisible por . Designando al cociente de esta

divisin como se obtiene:

Al sustituir en la primera igualdad y simplificar se obtiene el resultado deseado.

Combinando los dos teoremas anteriores se tiene:

TEOREMA GENERAL DE DESCOMPOSICIN:

Si

Entonces la fraccin propia

puede ser descompuesta de la siguiente manera:

[

] [

] [ ]

[

] [ ]

[

]

Donde todos los coeficientes pueden determinarse a travs de un sistema de

ecuaciones lineales (SEL), considerando que al llevar el miembro derecho a comn denominador

el polinomio obtenido en el numerador es idnticamente igual a . Tambin es posible

obtener el SEL dando a valores particulares.

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Ejemplo: Descomponer la siguiente fraccin en fracciones parciales:

Segn lo anterior se tiene que:

Reduciendo a comn denominador e igualando los numeradores se tiene:

Igualando coeficientes se tiene:

{

Resolviendo el sistema se tiene:

{

Entonces:

El lector puede verificar la igualdad sumando las fracciones del miembro derecho.

NOTA: Se le denominan fracciones parciales porque cada una de las fracciones representa

una parte del cociente general. No se emplea la nomenclatura fracciones simples porque no se

trata de algo simple sino de una avanzada tcnica de descomposicin de cocientes de

polinomios, y como tal se le debe dar un nombre que le de mrito a la tcnica empleada.

Aqu termina la presente gua.

Srvase enviar cualquier comentario, duda, reclamo o sugerencia al correo

RicharOrange@hotmail.com

Diciembre 2011 v1.0