FUNDAMENTOS DEL ANÁLISISMATRICIAL DE ESTRUCTURAS

ARTICULADAS

Prof. Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA BIARTICULADA

L

X

Y

x

y

x-y: sistema de ejes locales de la barraX-Y: sistema de ejes globales de la estructura

Para el cálculo matricial de estructuras de barras es necesario emplear dos sistemas de referencia para expresar todas las magnitudes que intervienen. Por tanto, en todo lo quesigue, supondremos definidos dos sistemas de coordenadas: uno, que denominaremos global,y que será común para todas las barras de la estructura y, para cada una de las barras de laestructura, un sistema de referencia (que denominaremos local) en el que el eje x tendrá la dirección de la barra y su sentido vendrá definido desde el que consideremos nudo inicio de labarra al que consideremos nudo final de la misma.

Sistemas de referencia que vamos a utilizar:

δδδσεL

EANóNEAL

EA

N

LE==⇒=⇒=

x

y

NN

21

δkNyL

EAk ==

Planteamiento en ejes locales:

x

y

21

Manteniendo el nudo 2 fijo, veamos qué fuerza es necesaria aplicar en el nudo 1 para conseguir un desplazamiento u1 en dicho nudo:

x

y

Nudo 1S’x1

Nudos de la barra y sus desplazamientos:

Emplearemos el símbolo “prima” cuando queramos a magnitudes referidasa los ejes locales de la barra

x

y

Nudo 1S’x1

S’x1

u’x1

11 '' xx ukS ⋅=

Pero en el nudo 2 aparecerá una fuerza horizontal S’x2 de valorigual a la anterior pero de signo contrario

S’x2

12 '' xx ukS ⋅−=

Ec. (1)

Ec. (2)

x

y

Nudo 1 S’x2

x

y

Nudo 1u’x2

Nudo 2

S’x2

Hagamos lo mismo para el nudo 2 manteniendo el nudo 1 fijo:

22 '' xx ukS ⋅= Ec. (3)

21 '' xx ukS ⋅−=

xNudo 1u’x2

S’x2

y

S’x1

Para equilibrar esta fuerza (S’x2) en el nudo 1 tendrá que actuar una fuerza igual y de signo contrario a la anterior, por lo que:

Ec. (4)

xu’x2

S’x2

y

S’x1

u’x1

Si planteáramos un estado de cargas y de desplazamientosgenéricos sobre la barra que estamos analizando:

podríamos escribir:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1

2

1

''

''

x

x

x

x

uu

kkkk

SS

{ } [ ]{ }'' uKS e=

Matriz de rigidezdel elemento en ejeslocales de la barra

Vector de cargasen los nudos enejes locales

Vector desplazamientode los nudos en ejeslocales

CASO DE UNA ESTRUCTURA ARTICULADA DEDOS BARRAS ALINEADAS

X

Y FX2,uX2FX1,uX1

21FX3,uX3

31

2

Analicemos, ahora el problema mostrado en la figura:

Si, para cada una de las barras, se considera que su nudoorigen coincide con el nudo de numeración más baja dela estructura, y su nudo final con el de numeración másalta, los ejes globales de la estructura y los locales decada barra son paralelos.

21 1

S’x1(= FX1), u’x1

(S’x2)’, u’x2

(S’x2)’’, u’x2

2S’x3(=FX3), u’x3

32

X

Y

FX2,u’x2

(S’x2)’’,u’x2

2

(S’x2)’, u’x2

EQUILIBRIO DEL NUDO 2:

y

x y

x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=′=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′=

22

11

11

11

2

11

Xx

Xx

x

xX

uuuu

kkkk

SSF)'('

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=′=′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′=

′

33

22

22

22

33

2

Xx

Xx

xX

x

uuuu

kkkk

SFS ')'(

Ecuación fuerza-desplazamiento para la barra 1 (ejes locales):

Ecuación fuerza-desplazamiento para la barra 2 (ejes locales):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ′

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′

3

2

22

22

3

2

2

1

11

11

2

1

')'(

)'(

X

X

X

x

Y

X

x

X

uu

kkkk

FS

uu

kkkk

SF

Elemento 1

Elemento 2

Como quiera que tenemos tres nudos en este problemavamos a añadir una línea más a las ecuaciones matricialesque hemos planteado de manera tal que:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧′

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′

3

2

1

22

22

3

2

3

2

1

11

11

2

1

00

000')'(

0

00000

0)'(

X

X

X

X

x

X

X

X

x

X

uuu

kkkk

FS

uuu

kkkk

SF

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ′

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′

3

2

22

22

3

2

2

1

11

11

2

1

')'(

)'(

X

X

X

x

Y

X

x

X

uu

kkkk

FS

uu

kkkk

SF

Elemento 1

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧′+′

3

2

1

22

2211

11

3

22

1

0

0')'()'(

X

X

X

X

xx

X

uuu

kkkkkk

kk

FSS

F

Si, ahora sumamos ambas ecuaciones matriciales (procesoconocido como ensamblaje en el análisis matricial de estructuras), tendríamos:

222 Xxx FSS =′′+′2

FX2,uX2

(S’x2)’’, u’x2(S’x2)’, u’x2

Como el nudo de conexión de las dos barras (nudo 2) debeestar en equilibrio, debe verificarse que:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

3

2

1

22

2211

11

3

2

1

0

0

X

X

X

X

X

X

uuu

kkkkkk

kk

FFF

Matriz de rigidez dela estructura

Vector de cargasexteriores en nudos

Vector de desplazamientosnodales

Por tanto, podemos plantear en ejes globales de laestructura:

uKF =Matriz de rigidez dela estructura

Vector de cargasexteriores en nudos Vector de desplazamientos

nodales

Pero la estructura que tengamos que calcular puede ser máscomplicada que la que acabamos de ver:

X

Y

X

Y

S’x2,u’x2

S’x1,u’x1

2

1

xy

θ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

2

2

1

1

2

2

1

1

000000000000

y

x

y

x

y

x

y

x

uuuu

kk

kk

SSSS

Sistema de referenciade la barra

Sistema de referenciaglobal de la estructura

Relación entre fuerzas en extremos de barra y desplazamientos nodales (en ejes locales):

Relación entre las fuerzas en los extremos de barra, en ejes globales, y las mismas expresadas en ejes locales. (Paso de ejes globales a locales)

X

Y

SX2

SX1

2

1

xy

θ

SY2

SY1

Y

X

S’x2

S’x1

2

1

xy

θ

S’y1

S’y2

θθθθ

θθθθ

cossensencos

cossensencos

222

222

111

111

YXy

YXx

YXy

YXx

SSSSSS

SSSSSS

+−=′+=′

+−=′+=′

Y

X

S’x2

S’x1

2

1

xy

θ

S’y1

S’y2

θθ

sencos

==

sc

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

2

2

1

1

2

2

1

1

0000

0000

Y

X

Y

X

y

x

y

x

SSSS

cssc

cssc

SSSS

Vector de fuerzas nodalesen coordenadas locales

Vector de fuerzas nodalesen coordenadas globales

θθθθ

θθθθ

cossensencos

cossensencos

222

222

111

111

YXy

YXx

YXy

YXx

SSSSSS

SSSSSS

+−=′+=′

+−=′+=′

{ } [ ] { } globalesejesT

localesejes STS =′

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

cssc

cssc

T T

0000

0000

{ } [ ]{ } localesejesglobalesejes STS ′=

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

cssc

cssc

T

0000

0000

{ } [ ]{ }STS ′=

{ } [ ] { }STS T=′

Propiedad importante de la matriz de transformación T

La matriz de transformación T es ortogonal: su inversa coincide con su transpuesta

TTT =−1

X

Y

u’x2

u’x1

2

1

xy

θX

Y

uX2

uX1

2

1

xy

θ

uY2

uY1

Relación entre los desplazamientos en los extremos de barra, en ejes locales, y los mismos expresados en ejes globales.

u’y1

u’y2

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

2

2

1

1

2

2

1

1

0000

0000

Y

X

Y

X

y

x

y

x

uuuu

cssc

cssc

uuuu

Relación entre los desplazamientos en los extremos de barra, en ejes locales, y los mismos expresados en ejes globales.

Vector de desplazamientosnodales en ejes locales

Vector de desplazamientosnodales en ejes globales

{ } [ ] { } globalesejesT

localesejes uTu =′

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

cssc

cssc

T T

0000

0000

{ } [ ]{ } localesejesglobalesejes uTu ′=

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

cssc

cssc

T

0000

0000

{ } [ ] { }uTu T=′

{ } [ ]{ }uTu ′=

{ } [ ] { } globalesejesT

localesejes uTu =′

{ } [ ] { } [ ][ ] { } globalesejesTe

globalesejesT

localesejes uTKSTS ==′

{ } [ ][ ] [ ] { } globalesejesTe

globalesejes uTKTS =

{ } [ ]{ }STS ′=y, como:

{ } [ ][ ] [ ] { }uTKTS Te=

ó:

[ ] [ ][ ] [ ]Tlocalesejese

globalesejese TKTK =

{ } [ ] { } globalesejesglobalesejese

globalesejes uKS =

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

scsscscsccscscsscscsccsc

kK globalesejese

LEAk =siendo:

P

1X

Y

2

3

1 2

3

L

L

EJEMPLO:

Número Áreade barra

1 A2 2A3 A

112

3

1 2

3

2

6

5

43

GDL DEL SISTEMA ESTRUCTURAL

NUDO HORIZONTAL (X) VERTICAL (Y)1 1 22 3 43 5 6

BARRAS NUDO INICIAL NUDO FINAL1 2 32 1 33 2 1

GDL’s

CONEXIONES

R X1 , u X1

1

2

3

1 2

3

R Y1 , u Y1

RY3 , uY3

RX3 , u X3

R X2 , u X2

R Y2 , u Y2

Fuerzas y desplazamientos (*) en los nudos de la estructura expresadosen ejes globales

(*) Se está realizando un planteamiento general en lo que sigue. Si alguna componente de fuerza o desplazamiento resultara ser nula, posteriormente será anulada.

12

3

1

2

3

R Y1

R Y3

R X3

R X2

R Y2

R X1

13Xs

13Ys

13Xs

13Ys 2

3Xs

23Ys2

3Ys2

3Xs

21Xs

21Ys

21Ys

21Xs

12Xs1

2Xs1

2Ys

12Ys

32Ys3

2Ys 32Xs

32Xs

31Ys

31Ys

31Xs

31Xs

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

3

3

2

2

13

13

12

12

000000

000000

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuu

kk

kk

SSSS

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

3

3

1

1

23

23

21

21

2222

2222

2222

2222

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuu

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

SSSS

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

1

1

2

2

31

31

32

32

000000000000

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuu

kk

kk

SSSS

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Relación entre fuerzas y desplazamientos nodales enejes globales:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

13

13

12

12

0000000000

0000000000000000000000

00

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kk

kk

SSSS

Elemento 1

EXPANSIÓN DE LAS RELACIONES ANTERIORES:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

23

23

21

21

2200

22

2200

22

000000000000

2200

22

2200

22

00

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

SS

SS

Elemento 2

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

32

32

31

31

00000000000000000000000000000000

00

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kk

kk

SSSS

Elemento 3

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

−−−

−

−−

−−−+

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++

+

++

3

3

2

2

1

1

23

13

23

13

32

12

32

12

31

21

31

21

220

22

2200

22

00000000

2200

22

220

22

Y

X

Y

X

Y

X

YY

XX

YY

XX

YY

XX

uuuuuu

kkkkkk

kkkkkk

kk

kkkk

kkkkkk

SSSSSS

SS

SSSS

Sumando las ecuaciones matriciales anteriores:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+++

+

++

3

3

2

2

1

1

23

13

23

13

32

12

32

12

31

21

31

21

Y

X

Y

X

Y

X

YY

XX

YY

XX

YY

XX

RRRRRR

SSSSSS

SS

SSSSEquilibrio de nudos:

1

2

3

1 2

3

R Y1 , u Y1

RY3 , uY3

RX3 , u X3

R X2 , u X2

R Y2 , u Y2

R X1 , u X1

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

−−−

−

−−

−−−+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

220

22

2200

22

00000000

2200

22

220

22

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kkkkkk

kkkkkk

kk

kkkk

kkkkkk

RRRRRR

1

2

3

1 2

3

R Y1 , u Y1

RY3 , uY3

RX3 , u X3

R X2 , u X2

R Y2 , u Y2

R X1 , u X1

P1

X

Y

2

3

1 2

3

L

La) En relación a las fuerzas exteriores (teniendo en cuenta las ligaduras a que se

encuentra sometida la estructura):

RX1 = 0, pues no hay fuerza exterior aplicada en el nudo 1 según el eje X.

RY1 = -P, que es la fuerza exterior aplicada a la estructura en ese nudo.

RY3 = 0, pues el nudo 3 no se encuentra coaccionado en la dirección Y.

Por tanto, del vector de fuerzas sólo tenemos 3 incógnitas: RX2, RY2, RX3

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

−−−

−

−−

−−−+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

220

22

2200

22

00000000

2200

22

220

22

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kkkkkk

kkkkkk

kk

kkkk

kkkkkk

RRRRRR

P1

X

Y

2

3

1 2

3

L

Lb) En relación a los desplazamientos:

uX2 = uY2 =0, por encontrarse impedidos los desplazamientos del nudo 2

uX3 = 0, por encontrarse impedido el desplazamiento del nudo 3 en la dirección X.

En resumen, los desplazamientos incógnitas del problema son, también, 3: uX1, uY1, uY3.

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

−−−

−

−−

−−−+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

220

22

2200

22

00000000

2200

22

220

22

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kkkkkk

kkkkkk

kk

kkkk

kkkkkk

RRRRRR

P1

X

Y

2

3

1 2

3

L

L

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−

−−−

−

−−

−−−+

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

220

22

2200

22

00000000

2200

22

220

22

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

uuuuuu

kkkkkk

kkkkkk

kk

kkkk

kkkkkk

RRRRRR

P1

X

Y

2

3

1 2

3

L

L

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−−

−+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

3

1

1

222

222

222

0

0

Y

Y

X

uuu

kkkk

kkk

kkkk

P

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

3

1

1

000

Y

Y

X

u

uu

Vector desplazamientos de la estructura (en ejes globales):

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−−

−+

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

0

0

222

222

222

1

3

1

1

P

kkkk

kkk

kkkk

uuu

Y

Y

X

Ya podríamos determinar las fuerzas que actúan en los extremos de todas y cada una de las barras de la estructura:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′′′′

Yj

Xj

Yi

Xi

yj

xj

yi

xi

SSSS

cssc

cssc

SSSS

0000

0000

y las reacciones:

3113

32

12

222 YYXX

YY

XX

ukukukR

ukRukR

⋅−⋅+⋅−=

⋅−=⋅−=

[ ]

[ ] { }

[ ] { } globalesejesT

localesejes

uT

u

0101L1

0101L1

u'u'u'u'

0101L1

Lu'u'ε

y2

x2

y1

x1

x1x2

−=

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

=

Cálculo de las deformaciones de cada barra (en ejes locales)

[ ] { }

[ ]{ }

[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

Y2

X2

Y1

X1

uuuu

L1

L1

0000

0000

0101L1ε

scsc

uscsc

u

cssc

cssc

globalesejes

globalesejes

Cálculo de las tensiones y axiles en cada elemento

( ) [ ]{ } globalesejesuscsc −−=−==σLEu'u'

LEEε x1x2

Esfuerzo axil:

Tensión:

( ) [ ]{ } globalesejesuscscN −−=−==L

EAu'u'L

EAEAε X1X2

¿Cómo ensamblar directamente la matriz de rigidez de la estructura?

P

1X

Y

2

3

1 2

3

L

L

112

3

1 2

3

2

6

5

43

GDL DEL SISTEMA ESTRUCTURAL

NUDO HORIZONTAL (X) VERTICAL (Y)1 1 22 3 43 5 6

BARRAS NUDO INICIAL NUDO FINAL1 2 32 1 33 2 1

GDL’s

Conexiones ó Incidencias

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

5

4

3

6

5

4

3

000000

000000

dddd

kk

kk

FFFF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

5

2

1

6

5

2

1

2222

2222

2222

2222

dddd

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

FFFF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

2

1

4

3

2

1

4

3

000000000000

dddd

kk

kk

FFFF

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Relación entre fuerzas en cada gdl (Fi) y los desplazamientos en cada gdl (di) en ejes globales:

ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

12

3

1 2

3

2

6

5

43 1

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

5

4

3

6

5

4

3

000000

000000

dddd

kk

kk

FFFF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

6

5

2

1

6

5

2

1

2222

2222

2222

2222

dddd

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

FFFF

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

2

1

4

3

2

1

4

3

000000000000

dddd

kk

kk

FFFF

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Matrices de rigidez de los elementos (en ejes globales):

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

0 0 0 0

k 0 -k

0 0

k

SIMÉTRICA

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

0 0 0 0

k 0 -k

0 0

k2/k

2/k 2/k−

2/k 2/k 2/k−

2/k 2/k2/k− 2/k−

SIMÉTRICA

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

0 0 0 0

k 0 -k

0 0

k2/k

2/k 2/k−

2/k 2/k 2/k−

2/k 2/k2/k− 2/k−

k 0

-k

0

0

0

0

k 0

0

SIMÉTRICA

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

k 0 -k

k+ 2/k

2/k 2/k−

2/k 2/k 2/k−

2/k 2/k2/k− 2/k−

k 0 0 0

-k

0

0

0

k+

SIMÉTRICA

Significado físico de la matriz de rigidez

Si consideramos, en general, una matriz de rigidez de la forma:

y la relación carga-desplazamiento:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

FFF

ddd

kkkkkkkkk

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

kkkkkkkkk

K

La primera ecuación es:

1313212111 Fdkdkdk =++Equilibrio de fuerzas en el nudo 1

¿Qué sucede si d1=1, d2=0, d3=0 ?

313

212

111

kFkFkF

=== Fuerza actuando según el gdl 1 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1

Los gdl 2 y 3 se mantienen sin desplazamiento y el gdl 1 sufre un desplazamiento unidad en la dirección de F1

De manera similar se podría ver qué significado físico tienen los otros términos de la matriz de rigidez

Significado de los elementos de las columnas de la matriz K:

Fuerza actuando según el gdl 2 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1

Fuerza actuando según el gdl 3 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1

ijK = Fuerza actuante en el gdl “i” debida a un desplazamientounidad del gdl “j” manteniendo el resto de gdl del sistemafijos

En general: