FUNDAMENTOS MATEMATICOS (I Bimestre Abril Agosto 2011)

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

ESCUELA:

NOMBRES:

Ciencias de la Computación

Ing. Ricardo Blacio

BIMESTRE: Primero

PERIODO: Abril – Agosto 2011

CONTENIDOS (PRIMER BIMESTRE)

1. Conceptos fundamentales de álgebra.2. Ecuaciones y desigualdades.3. Funciones y gráficas.4. Funciones polinomiales y racionales.

1. Conceptos fundamentales de Álgebra

Sistema de números reales

Números complejos

Números reales

Números racionales

Números Enteros

Negativos 0 Positivos

Números irracionales

R

C

Q Q΄

Z

Z- Z⁺

Recta de números reales

0 1⁄2 1-1-2 2 3∏

R- R⁺

Notación científica

a= c x 10n , donde 1<=c<10 y n es un entero

57700 en notación científica es 5.77 X 104

0.00032 en notación científica es 3.2 X 10-4

Ejemplo:

Leyes (exponentes)

a0 = 1 (a/b)n = an /bn

a-n = 1/an am/an = a m-n

aman = a m+n am/an = 1/a n-m

(am)n = a mn a-m/b-n = bn/am

(ab)n = anbn (a/b)-n = (b/a)n

Exponentes y radicales

Leyes (radicales)

n√a.b = n√a n√b

n√(a/b) = n√a / n√b

m√n√a = mn√a

Exponentes racionales

a1/n = n√a

am/n = (n√a)m = n√am

Monomio axn

Polinomio anxn + an-1xn-1+…+a1x+a0

Operaciones:

Suma, Resta, Multiplicación, División

Expresiones algebraicas

Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural

Es una expresión algebraica que se forma de la suma o resta de dos o más monomios.

Fórmulas de Productos

(x + y)(x – y) = (x2-y2)

(x ± y)2 = (x2 ± 2xy+y2)

(x ± y)3 =(x3±3x2y+3xy2±y3)

Fórmulas de factorización

( x2- y2) =(x + y)(x – y)

(x3- y3) = (x - y)(x2 + xy+y2)

(x3+ y3) = (x + y)(x2 -xy+y2)

Cociente El denominador es cero si: Dominio

6x 2- 5x + 4 x2 - 9

x = ±3 Toda x ≠ ±3

x 3 – 3x 2y + 4y 2

y – x3

y = x3 Toda x y y tales

que y ≠ x3

Expresiones fraccionarias

Expresión racional del tipo p/q donde p y q son polinomios

323/141

÷

−

z

yx

z

xy

Simplifique la expresión:

3

23/1

4

2/1

1

×

−

yx

z

z

xy

61

3

2

44

yx

zx

z

yx −

261

344

zyx

zyx −

10

3

y

zx

Ecuaciones• Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b

= 0; a≠0; (a y b son R) 1 sol.

• Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax2+bx+c = 0;a≠0 2 sol. Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática.

2. Ecuaciones y desigualdades

a

acbbx

2

42 −±−=

Discriminante.

acb 42 −Sí

realesraicestieneNoacb

diferentesyrealesraicesDosacb

raízUnaacb

04

04

04

2

2

2

<−>−=−

Fórmula cuadrática

Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática:

a

acbbx

2

42 −±−=

6x2 + x - 12 = 0

)6(2

)12)(6(4)1(1 2 −−±−=x

12

28811 +±−=x

12

2891±−=x

12

171±−=x

3

41 =x

a b c

2

32 −=x

Otro tipo de ecuaciones como son:

Ecuaciones con valor absoluto. Solución de una Ecuación por

agrupación. Ecuaciones con exponentes racionales Ecuaciones con radicales

51252 =−+x

1511252 +=+−+x6252 =+x

325 =+x

/ 2

5x + 2 = 3 5x + 2 = - 3o

5x = 1

x = 1/5

5x = - 5

x = -1

Si a y b son números reales con b > 0, entonces |a|= b si y sólo si a = b o bien a = - b por lo tanto, si |5x+2|= 3

Ecuaciones con valor absoluto:

a b

Ecuación con radical:

325 −= xx

22 )32()5( −= xx

25 x = 4x2 -12x + 9

4x2 - 37x + 9 = 0

x = 9 x = 1/4

22 )32()5( −= xx

325 −= xx

Desigualdades

Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades.

La mayor parte de las desigualdades posee un infinito número de soluciones.

La solución de las desigualdades se dan en notación de intervalos.

Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notación especial. Ejemplos:

( )[ ][ )( ] initoIntervalobxb

osemiabiertIntervalobxaba

cerradoIntervalobxaba

abiertoIntervalobxaba

inf,

,

,

,

≤→−<≤→≤≤→<<→

α

Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas

Desigualdad con valor absolutoPropiedades|a| < b equivale a –b < a < b|a| > b equivale a a < –b ó a > b

Resuelva la desigualdad:

1/4x + 7 ≤ 1/3x - 2

1/4x + 7 - 7 ≤ 1/3x – 2 - 7

1/4x ≤ 1/3x – 9

1/4x - 1/3x ≤ 1/3x - 1/3x – 9

-1/12x ≤ – 9

x ≥ 108

[ 108 , ∞ )

1027112 >−−− x

127112 >−− x

6711 >−− x

/ 2 Propiedades de los valores absolutos (b > 0)2.lal < b - b < a < b3.lal > b a < - b o a > b

6711 −<−− x


210227112 +>+−−− x

6711 >−− xo

11611711 +−<+−− x 11611711 +>+−− x

57 <− x 177 >− x/ -7 / -7

7/5−>x 7/17−<x

(- 5/7, ∞) U (-∞ , -17/7 ]

02

)3(2 ≤+

−x

xxx2 ( 3 – x ) = 0

x2 = 0 3 – x = 0

x1 = 0

x2 = 3

x + 2 = 0

x3 = - 2

Ambos valores forman parte de la solución , por cuanto la

condición dice ≤ 0.

- ∞ -2 0 3 + ∞

(- ∞, - 2) (- 2, 0) (0 , 3) (3 , + ∞)


Intervalo (-∞ , -2) -3

(-2 , 0) -1

(0 , 3) 1

(3 , +∞) 4

x2 ( 3 – x ) + + + -

x + 2 - + + +

Resultado - + + -

≤ 0

Solución: (- ∞ , -2) U {0} U [ 3 , ∞ )

Puntos críticos:

3. Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas rectangulares

II I

III IV

P(a,b)

a

b

O

Fórmula de la distancia entre dos puntosd(P1,P2)= √(x2−x1)2+(y2−y1)2

El punto medio M de un segmento entre P1y P2

M= x2+x1 , y2+y1

2 2

y

x

Gráfica de ecuaciones

Graficar una ecuación quiere decir representar en un plano coordenado todas los pares ordenados que hacen que la relación se cumpla.

Existen formas de graficar una ecuación marcando el mínimo número de puntos, esto se consigue aplicando ciertas propiedades.

Intersecciones con los ejes. Simetrías.

Intersecciones: Estos valores se los encuentran haciendo x=0 para encontrar la intersección con y, y para encontrar la intersección con x, hacemos y = 0

Simetrías: Para saber si la gráfica es simétrica con respecto • Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a la misma ecuación.• Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a la misma ecuación.• Al origen sustituimos simultáneamente x por − x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

Trace la gráfica de la ecuación: x = -y2 +3

Intersección con x hacer y = 0

x = - (0)2 +3 x = 3

Intersección con y hacer x = 0

0 = - y2 +3 y2 = 3 y =±√3

Simetrías

• Al eje x, sustituimos y por -y

x= - (-y)2 +3 x= - y2 +3

• Al eje y, sustituimos x por -x

- x= - y2 +3

• Al origen, sustituimos x por –x y y por -y

- x= - (-y)2 +3 - x= - y2 +3

Lleva a la misma ecuación, por lo tanto es simétrica con respecto al eje x.

Intersección con x

Intersección con y

Circunferencias:

La forma de la ecuación de una circunferencia con centro en el punto (h,k) esta dada de la siguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2

Si la circunferencia tiene su centro en el origen del sistema, la ecuación adopta la siguiente forma:

x2 + y2 = r2

Encuentre el centro y radio de la circunferencia

x2 + y2 -10x +18 = 0

(x2 – 10 x + _ _ )+ y2 = -18

(x2 – 10 x + 25 )+ y2 = -18 +25

(x – 5)2+ y2 = 7 (x – h)2+ (y - k)2 = r2

h=5 y k = 0

Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) y radio √7

Rectas

Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos.

Formas de la ecuación de la recta:

General ax + by = c Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1)Punto y pendiente con intersección con el eje y y = mx + b

La pendiente de la recta es: M = (y2-y1) / (x2-x1)

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales.

Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.

Definición de funciónUna función es una relación en la que se

agrega la restricción de que, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno de los elementos del rango.

Dominio Rango

fx y

Variables:x se denomina variable independiente.y se denomina variable dependiente.

DominioEl dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.

RangoEl rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.

Gráficas de Funciones

Toda función que tiene un dominio y un rango de números reales tiene una gráfica

Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.

f es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.

f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda x1 y x2.

Función creciente, decreciente o constante

Al reemplazar la variable x por –x:

Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) = -f(x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y.Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen.

Paridad de una función

Encuentre el dominio y la imagen de f si: 2)3(

1)(

+=

xxf

Dominio: todos los reales excepto cuando x = -3

Imagen: El intervalo abierto (0,+∞)

x y

0 1/9

1 1/16

2 1/25

-1 1/4

-2 1

-3 No existe

--- ---

Creciente : (-∞, -3)

Decreciente: (-3, +∞)

Dominio

Imag

en

Tipos de Funciones

Funciones Lineales

Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0Se llaman así porque su gráfica es una línea

recta

Funciones Cuadráticas

Del tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0Su gráfica es una parábola

Operaciones con funciones

Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

)(

)()(

)()())((

)()())((

)()())((

xg

xfx

g

fCociente

xgxfxfgProducto

xgxfxgfDiferencia

xgxfxgfSuma

=

=−=−+=+

La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x))

Composición de funciones

Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones

4. Funciones polinomiales y racionales

Una función polinomial tiene la forma:

Si el coeficiente se dice entonces que la función polinomial es de grado n, el número se denomina coeficiente principal del polinomio.

Generalmente, a medida que el grado aumenta, la gráfica es más complicada.

011

1 ....)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

−

0≠na

na

Se puede obtener una gráfica totalmente precisa utilizando el procedimiento sugerido a continuación:

•Calcule ƒ(−x) para determinar si la gráfica tiene alguna simetría.•Calcule el intersecto ƒ(0) en y. •Factorice el polinomio. •Determine los intersectos en x, hallando las soluciones reales de la ecuación ƒ(x) = 0.•Trace una recta numérica. Determine los signos algebraicos de todos los factores entre los intersectos en x. Esto indicará dónde ƒ(x) > 0 y donde ƒ(x) < 0.•Grafique la función utilizando los resultados de los pasos 1 – 5 y marcando puntos adicionales donde sea necesario.

En los casos en los que ƒ(x) son positivos (ƒ(x)>0), la gráfica de la función está por encima del eje x.

La gráfica de la función esta por debajo del eje x, en aquellos intervalos donde los valores de ƒ(x) son

negativos (ƒ(x)< 0).

Funciones racionales Las funciones racionales se definen en términos de cocientes de polinomios. En general, una expresión R es una función racional sí:

g(x), h(x) son polinomios; el dominio de F es el conjunto de todos los números reales tales que h(x) ≠ 0. Las funciones racionales son continuas para todo valor de x, con excepción de aquellos para los que el denominador h(x) es cero.

0)()(

)()( ≠= xh

xh

xgxF

Asíntotas

Las rectas fijas a las que se aproxima una gráfica, se llaman asíntotas.

Asíntotas verticales Se dice que una recta x = a es una asíntota vertical para la gráfica de una función ƒ sí.

+−

+−

→→−→

→→→

axoaxquemedidaaxf

óaxoaxquemedidaaxf

αα

)(

)(

Asíntotas horizontales

Sea R una función racional definida como cociente de dos polinomios de la forma:

Teoremas:1.- Sí m< n, el eje x (y = 0) es una asíntota horizontal.2.- Sí m =n, la recta y=am/bn es una asíntota horizontal.3.- Sí m > n, no hay asíntotas.

bxbxbaxaxa

n

n

m

mxF01

01

.......

.......)(

+++

+++= 0, ≠ba nm

Gráfica de funciones racionales

Si F(x)= g(x)/h(x) donde g(x) y h(x) son polinomios se debe seguir las siguientes pautas:

2.Encontrar las intersecciones con x, haciendo g(x) = 0.

3.Hallar la asíntota vertical resolviendo h(x)=0.4.Encontrar las intersecciones con y, obteniendo

F(0), trazamos la intersección (0,F(0)).5.Aplicar teorema de asíntotas horizontales y=c.6.Si existen asíntotas horizontales determinar si

corta la gráfica con f(x) = c.7.Trazar la gráfica en cada región.

1. Intersección con x hacer y = 0

Ejercicios. Trace la gráfica de f

2)1(

2)(

+−=

xxfa.-

0 = - 2 No hay intersección con x

2. Asíntota vertical

x + 1 = 0

x = - 1

3. Intersección con y hacer x = 0

2)1(

2)(

+−=

xxf

2)10(

2

+−=

1

2−= = - 2

4. Asíntota horizontal

2)1(

2)(

+−=

xxf

1

1 < 2 Entonces el eje x es la asíntota horizontal

Teorema 1

5. No aplica Este paso se da cuando se tiene el teorema 2 en el paso anterior.

6. Trazar la gráfica x y

1 -1/2

2 -2/9

3 -1/8

-2 -2

-3 -1/2

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Intersección con y


2

2

16

3)(

x

xxf

−=b.-

0 = 3x2

2. Asíntota vertical16 – x2 = 0


= 0

x = 0

– x2 = - 16 x2 = 16 x2 = ± 4

2

2

16

3)(

x

xxf

−= 2

2

)0(16

)0(3

−=


2 = 2 La recta y=am/bn es la asíntota horizontal

Teorema 2

5. Determinar si la asíntota horizontal corta la gráfica

2

2

16

3)(

x

xxf

−=

y=3 /-1 y= -3

316

32

2

−=− x

x f(x) = c

3x2 = - 48 + 3x2

0 = - 48 La gráfica no cruza la asíntota horizontal y = -3 porque f(x) = - 3 no tiene solución real.

50

6. Trazar la gráfica

x y

1 1/5

2 1

3 27/7

--- ---

--- ---

Asíntota vertical

Asíntota horizontal

Intersección con x, y

xx

xxxxf

2

82)(

2

23

+−−−=

)2(

)82()(

2

+−−−=

xx

xxxxf

2

82)(

2

+−−−=

x

xxxf

x2 - 2x – 8 = 0 x2 - 2x – 8 = 0 (x - 4) (x + 2) = 0x = 4x = - 2

- x + 2= 0 - x = - 2 x = 2

)0(2)0(

)0(8)0(2)0()0(

2

23

+−−−=f

2

8−= = - 4

c.-


2. Asíntota vertical


2

82)(

2

+−−−=

x

xxxf

12 > 1


No hay asíntota horizontal

Teorema 3

5. No aplica

6. Asíntota oblicua

Una función racional tiene una asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.2

82)(

2

+−−−=

x

xxxf

1

x2 - 2x – 8 - x + 2- x2 + 2x

- 8- x

Uno de los métodos más usados es la división sintética para hallar la ecuación de la asíntota oblicua.

Este cociente es la ecuación de la asíntota.

y = - xx y

0 0

1 -1

2 -2

-1 1

-2 2

--- ---

Asíntota vertical

Intersección con y

Asíntota oblicua

Intersección con x

6. Trazar la gráfica

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