FVV-IntegralDobleV2-Ruiz (1).pdf
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INTEGRALES MLTIPLES
INTEGRAL DOBLE
Prof. Isidoro Ruiz Arango
-
LOGROS DE
APRENDIZAJE
1. Evaluar una integral iterada y
encontrar el rea de una regin
plana.
2.Usar una integral doble para
encontrar el volumen de una
regin slida.
3.Escribir y evaluar integrales
dobles en coordenadas polares
4.Resolver problemas de
aplicacin de integrales dobles.
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
La integral definida bidimensional es conocida como
integral doble de una funcin de dos variables.
Por medio de una retcula
de lneas verticales y
horizontales paralelas a
los ejes coordenados,
forme una particin P de R
en subregiones
rectangulares Rk de reas
Ak= xkyk
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
1
( , ).n
n k k k
k
S f x y A
Formamos la sumatoria
Cuando existe el lmite la funcin es integrable y se
conoce como la integral doble
1
lim ( , ). ( , )
0
n
n k k kn
k R
k
S f x y A f x y dA
A cuando n
Si f(x,y) es continua es integrable
Calculamos el lmite cuando n
aumenta ya que los rectngulos
son cada vez ms pequeos 1( , ).
n
n n k k k
k
lm S f x y A
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
Cuando n crece, las sumas de Riemman
se aproximan al volumen del slido
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
El lmite o integral
doble es el volumen
del slido sobre la
base R.
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
PROPIEDADES Sean f y g funciones de dos variables que son integrables
sobre una regin R del xy, entonces:
-
El proceso de las integrales iteradas con cualquier
orden de integracin dan el volumen y es igual a la
integral doble. Sin embargo, como se incluyen dos
variables, se debe integrar (x; y) manteniendo una variable fija e integrando respecto a la otra. Esto es:
INTEGRALES ITERADAS P
rof.
Isid
oro
Ru
iz A
ran
go
TEOREMA DE FUBINI:
Si f(x,y) es continua en la regin rectangular
R,entonces:
( , ) ( , ) ( , )d b b d
c a a cR
f x y dA f x y dxdy f x y dydx
-
22
2 2 2
11
1
2 xxy dx x y
23
2y
Por ejemplo, para calcular , se integra
respecto de x, utilizando el teorema fundamental del
clculo y manteniendo y constante.
22
1xy dx
INTEGRO
RESPECTO DE X
CONSTANTE!
1
02y xdx
1
02 xydx
Solucin:
Resolver la siguiente integral iterada: Ejemplo (1):
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
12
0yx
2
22
xy
2 21 0y y
y
-
En general, integrar parcialmente una funcin
(x, y) respecto de x en a, b genera una funcin
que depende slo de y, y que puede integrarse en
c, d como una funcin de una sola variable,
produciendo as lo que se llama una integral
iterada
( ( , ) )d b
c af x y dx dy
Ejemplo:
1 2 21 1 xy dx dy
INTEGRO
RESPECTO DE X
CONSTANTE!
INTEGRO
RESPECTO DE Y
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
13
1
11
2
y
yy
12
1
3
2y dy
-
De manera semejante, la integral iterada
se obtiene integrando primero respecto de y en
c, d, manteniendo x constante, y luego integrando
respecto de x en a, b.
( ( , ) )b d
a cf x y dy dx
2 1 21 1xy dy dx
INTEGRO
RESPECTO DE Y
CONSTANTE!
INTEGRO
RESPECTO DE X
Ejemplo:
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
22
1
11
3
x
xx
2
1
2
3xdx
-
1 2
0 0dydx
1 2
0 0dxdy
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
Ejemplo (2):
Calcular la siguiente integral iterada:
1 2
0 0dydx
Solucin:
1 2
0 0dx dy
1 2
0 0x y 1 0 2 0 1 2 2
Ejemplo (3):
Resolver la siguiente integral iterada:
1 2
0 0dxdy
Solucin:
1 2
0 0dy dx
1 2
0 0y x 1 0 2 0
1 2 2
-
1 3
0
y
ydxdy
12
0
22
y
Ejemplo (4):
Resolver la siguiente integral iterada:
1 3
0
y
ydxdy
Solucin:
Ejemplo (5):
Resolver la siguiente integral iterada: 2
1
0
x
xdydx
Solucin:
2
1
0
x
xdydx
12 3
02 3
x x
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
1 3
0
y
ydy dx
1 3
0
y
ydy x
1
03y y dy
1
02ydy
1
02 ydy
12
0 y
2 21 0 1
2 2
1 1
0 0
xx
x xdx dy dx y
12
0x x dx
1 12
0 0xdx x dx
2 3 2 31 1 0 0
2 3 2 3
1 1 3 2 1
2 3 6 6
-
2 3
1
y
yx y dxdy
32
2
1 2
y
y
xyx dy
Ejemplo (6):
Resolver la siguiente integral iterada: 2 3
1
y
yx y dxdy
Solucin:
2 22
2 2
1
93
2 2
y yy y dy
2
2 2
14 2 y y dy
3 3
2 2 2 1 2 8 2 1 16 2 14
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
2 3
1
y
ydy x y dx
2 3 3
1
y y
y ydy xdx y dx
2 22 2 21
33
2 2
y yy y dy
228 2
2
yy dy
22
16 y dy
22
16 y dy
3 2 3 2
1 1
62
3 y y
-
x
y
a b
d
c
Integral doble sobre una regin rectangular:
La integral doble de f sobre la regin rectangular
es: R : a x b, c y d
( , ) R
f x y dA
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
( ( , ) ) b d
a cf x y dy dx ( ( , ) )
d b
c af x y dx dy
( , ) 1Como f x y
( , ) b d
a cR
f x y dA dydx b d
cay dx ( )
b
ad c dx
b
a= (d-c)x
= (b -a)(d-c)
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
INTEGRAL DOBLE SOBRE UNA REGIN PLANA
Consideremos la regin plana R acotada por ax b y g1(x) y g2(x).
( )A R
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
Consideremos la regin plana R acotada por cy d y h1(y) x h2(y).
( )A R
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
Ejemplo (7): Evale la integral iterada de f(x,y)=2xy sobre la regin que se muestra en el siguiente grfico.
Solucin:
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
Ejemplo (8):
Solucin:
-
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
Ejemplo (9): Halle el rea de la regin R que se
encuentra bajo la parbola y=4x-x2; sobre el eje X,
y sobre la recta y=-3x+6.
Solucin:
Primero, dividimos la regin en
R1 y R2.
-
dx: constante dy: variable 1y x yx
Punto de interseccin en x:
3
1
1
1
1
xx
x x
x
x
1 2
: 1
x
Dy x
x
2
11
ln lnx
D
x
y xdA y xdydx
Planteamos la Integral:
2;;1: xxyxyDD
xdAy ln
Ejemplo(10): Calcular la integral doble donde la
regin D esta formada por las curvas:
Solucin:
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
-
Se calcula la Integral:
2
11
lnx
x
y xdydx
2 2
11
ln2
x
x
yx dx
2
2
1
1 lnln
2
xx x dx
x
1
2
2 2
2
1 1
1 lnln .........(
21)
I
I
xx x dx dx
x
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
2
11
lnx
x
x ydydx 22
2
1
1 1ln
2x x dx
x
-
2 2 2 2
ln ln2 2 2 4
x x dx x xx x
x
1 lnI x xdx 2
u = lnx dv = xdx
dx xdu = v =
x 2
Por partes
uv vdu
2 2
ln xI dx
x 2ln . x x dx -2
Otra vez por partes :
u = lnx dv = x dx
dx 1du = v = -
x x
2ln ln 1 x x
x dxx x x
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
-
22 2
1
1 ln 1ln
2 2 4
x x xx
x x
1 ln2 1 12ln2 1 0 0 1
2 2 2 4
1 ln2 52ln2
2 2 4
0,241
1
2
2 2
2
1 1
1 lnln
2 II
xx x dx dx
x
2 2
1 ln2 4
x xI x
2
ln 1xI
x x
Pro
f. Is
ido
ro R
uiz
Ara
ngo
-
MUCHAS GRACIAS POR TU ATENCIN.