Escuela Politécnica Nacional

Transformada de Laplace

Integrantes

Velasco Kevin Tacan Deysi Chirau Diana Cerón Laura

Primer teorema de traslaciónNo es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calcular

es bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Primer teorema de traslación

:

A veces es útil, para enfatizar, emplear el simbolismo

)( ass

Demostración

Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Agrupando las funciones exponenciales:

Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda:

Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que

s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo

Donde

Si encadenamos esta serie de igualdades

Ejemplo 1:ℒሼ𝑒5𝑡𝑡3ሽ= ℒሼ𝑡3ሽ )5( ss = 3!𝑠4 4)5(

1.2.3

sss )5( ss =4)5(

6

s

Ejemplo 2:

ℒሼ𝑒−2𝑡 cosሺ4𝑡ሻሽ= ℒሼcosሺ4𝑡ሻሽ )2( ss

2a

2)2( ssas

ℒሼcosሺ4𝑡ሻሽ )2( ss = 𝑠𝑠2 + 16 )2( ss =16)2(

22

s

s

ℒሼ𝑒−2𝑡 cosሺ4𝑡ሻሽ= ℒሼcosሺ4𝑡ሻሽ )2( ss

2a

2)2( ssas

ℒሼcosሺ4𝑡ሻሽ )2( ss = 𝑠𝑠2 + 16 )2( ss =16)2(

22

s

s

ℒሼ𝑒−2𝑡 cosሺ4𝑡ሻሽ= ℒሼcosሺ4𝑡ሻሽ )2( ss

2a

2)2( ssas

ℒሼcosሺ4𝑡ሻሽ )2( ss = 𝑠𝑠2 + 16 )2( ss =16)2(

22

s

s

ℒሼ𝑒5𝑡𝑡3ሽ= ℒሼ𝑡3ሽ )5( ss = 3!𝑠4 4)5(

1.2.3

sss )5( ss =4)5(

6

s

Forma inversa del primer teorema de traslación

La forma inversa del teorema es:La forma inversa del teorema es:

ℒ−1{𝐹ሺ𝑠− 𝑎ሻ= ℒ−1ቄ )()( asssF ቅ= 𝑒𝑎𝑡𝑓ሺ𝑡ሻ

Ejemplo:Completar el cuadrado para determinar

Evalúe }

Solución:

Si tuviera factores reales, emplearíamos fracciones parciales; pero como este término cuadrático no se puede factorizar, completamos su cuadrado.

CONCEPTO: En ingeniería se presentan con mucha frecuencia funciones que están ya sea “desactivadas” o “activadas”. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito, se puede desactivar después de cierto tiempo. Así, es inconviente definir una función especial que es el número 0 (desactivada) hasta un cierto tiempo t = y luego el número 1 (activada) después de ese tiempo. La función se llama función escalón unitario o función de Heaviside.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

La función escalón unitario se define como:)( atu

at

atatu

,1

0,0)(

(2)

LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO EN FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

La función escalón unitario se puede usar para escribir funciones definidas por partes en una forma compacta o también cuando la función esta definida por partes en forma general como los siguientes tipos:

)()()()()()(),(

0),()( atthattgtgtf

atth

attgtf uu

(3)

)()()()(

,0

),(

0,0

)( btattgtf

bt�btatg

at

tf uu

(4)

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO

Exprese en términos de funciones escalón unitarias

5,0

50,20)(

t

tttf

y grafique.

SOLUCIÓN: La gráfica de f se muestra en la figura 7.14. Ahora de (3) y con:

0)(,20)(,5 thttga

se obtiene:

)()()()()()( atthattgtgtf uu

)5(2020)( ttttf u

SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION 

Demostración

Ejemplo:

Evalúe

 

Solución.

Identificamos a=2, entonces según el teorema tenemos:

Con frecuencia se desea hallar la transformada de Laplace sólo de la función escalón unitario. Esto se puede hace, partiendo del segundo teorema de traslación. Si identificamos f(t) = 1, entonces f(t - a) = 1, F(s) = { 1 } = 1/s y así:

 

Forma alternativa del segundo teorema de traslación

Con frecuencia sucede que debemos determinar la transformada de Laplace de un producto de una función g por una función escalón unitario (t - a), cuando la función g carece de la forma f(t - a) desplazada que se requiere en el segundo teorema de traslación. Para hallar la transformada de Laplace de g(t) (t - a) es posible “arreglar” a g(t) con manipulaciones algebraicas, para forzarla a adquirir la forma deseada f(t - a); pero como esas maniobras son tediosas y a veces no son obvias, es más sencillo contar con una versión alternativa al teorema. Emplearemos (t - a) y la sustitución u = t - a, para obtener:

 

Esto es,

Ejemplo:

Evalúe

Solución.

Hacemos g(t) = sen (t), a = 2 y tenemos

g(t + 2) = sen (t + 2) = sen t porque la función seno tiene periodo 2. De acuerdo con la ecuación con la forma alternativa del teorema de traslación

Forma inversa del segundo teorema de traslación

Si , la forma inversa del segundo teorema de traslación, cuando a>0, es:

Ejemplo:

Evalúe

Solución:

DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

)(

)(

)()(

)()(

0

0

0

ttfL

dtttfe

dttfeds

dsF

ds

d

dttfesF

st

st

st

𝑳 {𝒕 𝒇 (𝒕) }=− 𝒅𝒅𝒔

𝑭 (𝒔)

PARA LA SEGUNDA DERIVADA

Por Inducción

)(

)(

)()(

)()(

0

0

0

ttfL

dtttfe

dttfeds

dsF

ds

d

dttfesF

st

st

st

𝒅𝟐

𝒅𝒔𝑭 (𝒔 )=

𝟎

∞ [ 𝒅𝟐

𝒅𝒔𝒆−𝒔𝒕] 𝒇 (𝒕 )𝒅𝒕

𝒅𝟐

𝒅𝒔𝑭 (𝒔 )=

𝟎

∞

𝒕𝟐𝒆−𝒔𝒕 𝒇 (𝒕 )𝒅𝒕

𝒅𝟐

𝒅𝒔𝟐 𝑭 (𝒔 )=𝑳 {𝒕𝟐 𝒇 (𝒕)}

L

EJEMPLO

Sacamos aparte f(t)

Aplicamos la formula encontrada

L