G#2.VALAREZO.RAMIREZ.DIEGO.OMAR.ALGEBRA

Actividad de aprendizaje 2.1.

1. Del texto guía Álgebra intermedia de Allen R. Ángel. pp.120 resuelva el ejercicio 11:

11) Exprese la desigualdad utilizando una recta numérica, en notación de intervalo y como un conjunto solución.

−3<q≤45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

notacion deint ervalo

(−3 , 45

]conjunto solucion¿¿¿

¿

2. Del texto guía Álgebra intermedia de Allen R. Ángel . pp. 121 resuelva los ejercicios 33, 43 y 57:

Resuelva cada desigualdad y de la solución en notación de intervalo

33) −3 x+1<3 [ (x+2 )−2x ]−1

−3 x+1<3 [ x+2−2x ]− 11 Re sp : en notacion de int ervalo= (−∞ , ∞ )−3 x +1 < 3 x+6−6 x−1−3 x−3 x+6 x < 6−1−10 < 4

Resuelva cada desigualdad y proporcione el conjunto solución.

43) 5≤ 3 x+1

2<11

51

≤3 x+12

<11 M .C .D . = 2

10≤3x + 1 < 22

10−1≤3 x < 22−1 Re sp . El conjunto solucion es : { x 3 ≤ x <7 }9≤ 3 x < 2193

≤ x < 213

3≤ x < 7

57) 4 x+5≥5 y 3 x−7≤−1

−3 45

4 x+5≥5 y 3 x−7≤−14 x≥5−5 3 x≤−1+74 x≥0 3 x≤6x ≥0

4x ≤6

3x≥0 x≤2

{ x x ≥ 0} y { x x ≤ 2}{ x x ≥ 0}∩ { x x ≤ 2}

[0,2 ]Re sp . El conjunto solucion es : {x 0 ≤x≤2 }


1. Del texto guía de la pp.580 resuelva los ejercicios 20, 30, 39 y 41: Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.

20) 5 x2≤−20x−4

5 x2+20 x +4=0a=5 ; b = 20 ; c =4

x=−b±√b2−4ac2a

x=−20±√400−4 (5 ) (4 )2 (5 )

x=−20±√400−8010

x=−20±√32010

x=−20±√64 .510

x=−2010

±84

√5105

x=−10±4 √55

Los valores frontera son :−10−4 √55

y−10+4√55

−3 , 8 −0 , 2

-4 -3 -2 -1 0 1

−10+4 √55

Valores de prueba: -4 , -2 y 0

Intervalo A :¿¿¿

¿

Intervalo B :¿¿¿

¿

Intervalo B :¿¿¿

¿

Valor de prueba, 4 Valor de prueba, 2 valor de prueba,0

Resp: El conjunto solución es: [−1−4 √55

,−10+4√5

5 ]

30) ( x+3 )2 (4 x−7 )≤0

−10−4√55

5 x2≤−20x−45 (0 )2≤−20 (0 )−45 (0 )≤0−40≤−4falso

5 x2≤−20x−45 (−2 )2≤−20 (−2 )−45 (4 )≤40−420≤30verdadera

5 x2≤−20x−45(−4 )2≤−20 (−4 )−45 (16 )≤80−480≤76falso

(x2+6 x+9 ) (4 x−7 ) → x2+6 x−9=0 o 4 x−7=0( x+3 ) ( x+3 ) =0 o 4 x=7

x+3=0 x+3=0 x¿ x=−3 x=−3

x=1 .8Las soluciones : −3 y 7/ 4

-3 0

74

-3 -2 -1 1 2 3

Intervalo Valor de prueba ( x+3 )2 (4 x−7 ) ≤ 0

A : (∞ , −3 )B: ¿¿¿

¿−40

2

−23−63

25

VerdaderoVerdadero

Falso

Resp. El conjunto solución es : ¿¿

Determinar todos los valores de x para los que f(x) satisface las condiciones que se indican en cada uno de los siguientes ejercicios.

39) f ( x )=2x2+9x−1 ; f ( x )≤5

Los valores frontera son:

−9−√1294

y−9+√1294

−5 , 1 0 , 6

2 x2+9 x−6=0a=2 ; b=9 ; c=−6

x

¿=−b±√b2−4 a c2a

¿

x

¿=−9±√81+484

¿

x

¿=−9±√1294

¿

¿

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

−9−√1294

−9+√1294

Valores de prueba: - 6 ; 0 ; 3

Intervalo Valor de prueba 2 x2+9 x−6 ≤ 5

¿¿¿ ¿

−6

0

3

24

−6

39

Falso

verdadero

falso

Resp. El conjunto solución es : [−9−√129

4,−9+√129

4 ]41) f ( x )=2x3+9x2−35 x ; f ( x )≥0

2 x3+9 x2−35 x=0x (2 x2+9 x−35 ) = 0x = 0 o 2 x2+9 x−35 =0

4 x2+9 (2 x )−702

=0

(21 x+147 ) (2 x−5 )21

=0

x+7=0 o 2 x−5=0

x=−7

x

¿ =52

¿¿

¿

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-70

52

Solución:

[−7 , 0 ] ∪ [ 52

, ∞¿)

¿


Resuelva cada desigualdad y proporcione la solución en notación de intervalos.

103) x4−10 x2+9>0

x4−10 x2+9=0(x2−9 ) (x2−1 )=0x2−9=0 x2−1=0x2=9 x2=1x1=± 3 x2=±1

Resp. El conjunto solución: (−∞ ,− 3 ) ∪ (−1 , 1 ) ∪(3 , ∞ )

106) 2 x3+x2−32x−16<0

1. Del texto guía de la pp. 582 resuelva los ejercicios 103 y 106:

2 x3+x2−32−16=0(2 x3+x2) − (32 x+16 ) =0x2 (2x+1 )−16 (2x+1 ) =0(x2−16 ) (2 x+1 ) 0x2−16=0 2 x+1=0

x2=16 x¿x1=±4

Resp. El conjunto solución es: ¿¿-4 -3 |-2 -1 0 1 2 3 4

−4−12 4

Intervalo Valor de prueba 2 x3+x2−32x−16 ∠ 0

(∞ , −4 )(−4 , −1/2 )(−1/2 , 4 )(4 , ∞ )

−5−335

−8135− 3199

Verdaderofalsoverdaderofalso

2. Del texto guía de la pp. 581 resuelva el ejercicio 81:

81) Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.

x+2=0

x=−2

-2 -1 0

-2 0

4x+2

≥2

4x+2

=2¿

¿

2 ( x+2 )=42 x+4=42 x=4−4x

¿=02

¿ x=0

3. Resuelve para x y exprese la solución como desigualdad: √2 y+5≤y-5

(√2 y+5 )2=( y−5 )2

2 y+5= y2−10 y+25y2−10 y+25=2 y+5y2−10 y+25−2 y−5=0y2−12 y+20=0( y−10 ) ( y−2 ) =0y−10=0 y−2=0y1=10 y2=2

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


1. Del texto guía de la pp.133 resuelva los ejercicios 30, 46, 69 y 86:

Determine el conjunto solución para cada ecuación o desigualdad:

30)

| 5 x−32

|+5 =9

Verificación:

x

¿=11→5

¿ |5 x−32

|+5=9

¿

¿5 x−32

+5¿ 5 x−3+10=18 ¿

|

5 (115 )−32

| +5=9¿

¿|11−32

| +5=9¿

|82| +5 =9¿

|4| +5=9

9=9 verdadero46)

|7 x− 12

|<0

|7 x−12

|0 O 7 x−12

> 0

7x <12

7 x>12

x <114

x>114

conjunto solucion es : {x x <114

O X >114 }

69)

|−34m+8 |=|7−3

4m |

−34m+8=7−3

4m m .c .d .=4 O −3

4m+8=−(7−34 m)

−3m+32=28−3m −34m+8=−7+3

4m m .c .d .=4

−3m+3m=28−32 −3m+32=−28+3m0=−4 no definido? −3m−3m=−28−32

−6m−60

5 x=18−10+35 x=11x

¿=115

¿

conjunto solucion es : {10 } m=−60−6

m=10verificacion :¿¿¿

¿

86)

| 5 t−106

|> 53

5 t−106

<−53m .c .d . =6 O¿ 5 t−10<−10 5 t−10>10 ¿5t<−10+10 5 t>10+10

5t<0 5 t>20

t<05

t>205

conj . sol . es : { t | 0<t<4 }

t<0 t>4



21) Determine la solución del sistema de desigualdades.

{| x−3 |≤4 ¿ {¿ ¿¿¿

{| x−3 |≤4 (1 ) ¿ {¿ ¿¿¿¿

¿Y

6

5

4

3

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

-1

-2

-3

-4

-5

2.- Del texto guía de la pp.167 resuelva el ejercicio 25:

25) Determine si la relación dada también es función y proporcione el dominio y el rango.

R={ (1 ;4 ) , (2 ;5 ) , (3 ;6 ) , (2 ;2 ) , (1 ;1 ) }

Domin . : {1,2,3 }Rango : {1,2,3,4,5 }

1 1

2

2 3

4

3 5

6

No es función:

3.- Del texto guía de la página 169 resuelva el ejercicio 51:

51) Evalúe la función en los valores indicados.

g ( x )= x3−2x−2 ; determine: a) g (0 ) y b) g (2 ) .

a ) g (0 )=03−20−2

=−2−2

=1

b ) g (2 )=23−22−2

=8−20

=60

Indefinida¿

¿


86) Estudio y gráfico de la función: f ( x )= x2+x−6

x−4

f ( x )= x2+x−6x−4

A sin tota : f=x2+x−6x−4

x−4=0

x=4 f (8 )=64+8−68−4

=16 .5

x y8 16 .5

f (7 )=49+7−67−4

16.7

7 16 .76 18

f (6 )=36+6−66−4

=18

5 243 −3

f (5 )=25+5−60−4

=24

2 01 1.3

f (3 )=9+3−63−4

=−6

0 1 .5−1 1.2

f (2 )=4+2−62−4

=0

−2 0 .7−3 0

f (1 )=1+1−61−4

=1 .3Domin io : {x /x≠4 }

−4 −0.8 : : : Rango : {El conjunto de los R }: : :

Y

:

30 :

25 :

20 :

15 :

10 :

5 :

:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x

:

-5 :

-10 :

-15 :

-20 :

-25 :

-30 :



51) Si f ( x )= x+1

x+2 y g ( x )= x

x+4 , determine:

a) el dominio de f ( x ) , b) el dominio de g ( x ) ,

f ( x )=x+1¿ x+2 ¿¿

¿ El domin io es :{x x≠−2}¿¿

g ( x )=xx+4

Eldomin io es :{x x≠−4}

c) ( f +g ) (x )

( f +g ) ( x )=x+1x+2

+xx+4

( f +g ) ( x )=( x+4 ) ( x+1 )+x ( x+2 )( x+2 ) ( x+4 )

( f +g ) (x )=x2+x+4 x+4+x2+2 x( x+2 ) ( x+4 )

( f +g ) (x )=2x2+7 x+4

( x+2 ) ( x+4 )

d) el dominio de ( f +g ) (x ) .

( f +g ) (x )=2x27 x+4

( x+2 ) ( x+4 )

El domin io es :{x x≠−2 y x≠−4 }2. Del texto guía de la pp. 479 resuelva los ejercicios 119 y 122:

119) Si le indican que f ( x )=√x y g ( x )=√ x−2 , a) Trace el gráfico de ( f−g ) ( x ) , y explique

como determino su respuesta y b) ¿Cuál es el dominio de ( f−g ) ( x ) ?

( f−g )( x )=√ x−(√ x−2 )

( f−g )( x )=√ x−√x+2( f−g ) ( x )=2

La respuesta se determina realizando la

diferencia de de dos funciones, lo cual

nos dio como resultado y=2

Y

3

2 ( f−g ) ( x )=2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 X

-1

-2

-3

y b) ¿Cuál es el dominio de ( f−g ) ( x ) :

( f−g ) ( x )=2

El domin io es : {x x≥0}122) Estudio y gráfico de la función: f ( x )=√ x2 −4

x y f ( x )=√x2−43 −1 f (3 )=√9−4=−12 −2 f (2 )=√4−4=−21 −3 f (1 )=√1−4=−30 −4 f (0 )=√0−4=−4−1 −3 f (−1 )=√1−4=−3−2 −2 f (−2 )=√4−4=−2

−3 −1 f (−3 ) √3−4=−1Domin io : {conjunto de los R }

Rango :{y y≥−4 }

2

1

-3 -2 -1 1 2 3

-1

-2

-3

-4

-5


63) Determine todas las intersecciones del eje x en la función: f ( x )=x23−x

13−6

x23−x

13−6=0 Sustituimos : u=x

13

(313)2−x

13−6=0→sea u=x

13 x

13=3 O x

13=−2

u2−u−6=0

(u−3 ) (u+2 )=0 (x13)3=(3 )3 (x

13)2= (−2 )3

u=3 o u=−2 x=27 x=−8

Las int er secciones del eje x son : (−8,0 ) y (27 ,0 )

66) Determine todas las intersecciones del eje x en la función: f ( x )=( x2−6 x )2−5 (x2−6 x )−24

(x2−6 x )2−5 (x2−6 x )−24=0u=x2−6x Sustituimos :u= x2−6 x

u2−6 x−24=0 x2−6 x=8 O x2−6 x=−3x2−6 x−8=0 x2−6 x+3=0

(u−8 ) (u+3 )=0 a=1 ;b=−6 ;c=−2 a=1 ;b=−6 ;c=3

x=6±√36−4 (1 ) (−8 )2

x=6±√36−4 (1 ) (3 )2

u=8 O u=−3 x=6±8 .22

x=6±4 .92

x1=6+8.22

=7 .1 x1=6+4 .92

=5 .5

Las inter sec ciones del eje x son :

(7,1 ; 0 ) ; (−1,1 ; 0 ) ; (5,5 ; 0 ) y (0,6 ; 0 ) x2=6−8,22

=−1.1 x2=6−4 .92

=0,6


1.- Del texto guía de la pp. 568 resuelva el ejercicio 14:

14) ¿La función g ( x )=−1

2x2+2 x−7

, tiene un punto máximo o mínimo? Explique.

Si tiene un valor máximo o minimo ya que es una función de la forma

f ( x )=ax2+bx+c

Ya que estas funciones son parabolas que se habren tanto hacia arriba como hacia abajo y tienen un

punto maxmo y un punto miimo

2.- Del texto guía de las pp. 600 y 601 resuelva los ejercicios 19, 33, 71 y 81:

19) Para las funciones f ( x )=x−4 y g ( x )=√ x+5 ; x≥−5 ; determine: a) ( fog ) ( x ) , b) ( fog ) (4 ) , c) (gof ) ( x ) y d) (gof ) (4 ) .

: a) ( fog ) ( x ) b) ( fog ) (4 )

( fog ) ( x )=√ x+5−4( fog ) (4 )=√x+5−4( fog ) (4 )=√9−4( fog ) (4 )=3−4( fog ) (4 )=−1

c) (gof ) ( x )d)

33) Determinar si la función es uno a uno (inyectiva)f ( x )=x2−2 x+5 .

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

X1 1 x2

f ( x )=x−4f [ g ( x ) ]=√ x+5f [ g ( x ) ]=√ x+5−4( fog ) ( x )=f [g ( x ) ]=√x+5−4

(gof ) (4 )(gof ) ( x )=√x+1(gof ) (4 )=√4+1(gof ) (4 )=√5

g ( x )=√ x+5f ( x )=x−4( gof )( x )=√x−4+5( gof )( x )=√x+1

f ( x )=x2−2 x+5x y f (3 )=9−6+5=83 8 f (2)=4−4+5=52 5 f (1 )=1−2+5=41 4 f (0 )=0−0+5=50 5 f (−1 )=1+2+5=8−1 8 f (−2 )=4+4+5=13−2 13

7654321

1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1

xf 1

xf

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-No es función uno a uno

-para cada valor de y le corresponde dos valores de x

71) Para la función uno a uno determine: a) f−1 ( x ) y b) grafique f ( x ) y f

−1 ( x ) en los mismos ejes

si f ( x )=√x−1 ; x≥1 .

a) f−1 ( x )

f ( x )=√x−1 f −1 ( x )=x2+1x y=f ( x ) x y=f −1 ( x )2 1 2 53 1,4 1 24 1,7 0 15 2 −2 51 0 −1 0

f ( x )=√ x−1y=√ x−1( x )2=(√ y−1 )2x2= y−1y−1=x2

y=x2+1f −1 ( x )=x2+1

81) Para el par de funciones inversas, demuestre que ( fof−1) ( x )=x y que ( f−1of ) ( x )=x ; si

f ( x )= 3√ x−2 y f−1 ( x )=x3+2

f ( x )=3√ x−2f −1 ( x )=x3+2

( f o f −1)( x )=3√x3+2−2

( f o f −1)( x )=3√x3

( f o f −1)( x )

f −1 ( x )=x3+2f ( x )=3√ x−2( f −1o f )( x )=( 3√ x−2)3+2( f −1o f )( x )=x−2+2( f −1o f )( x )=x


a) Si g ( x )=2 , trace la gráfica de ( f +g ) (x )

f ( x )=√x y g ( x )=2( f +g )( x ) = √x+2x 0 1 2 4

( f +g )( x ) 2 3 3 .4 4

b) ¿Qué sucede si se suma 2 a la gráfica de f ( x ) ?

Sube la gráfica dos unidades en el eje y

Seria la misma grafica de ( f +g )( x )


117

) A partir de la gráfica de f ( x ) = √ x

( f +g )( x )=√x+2


57) Determine el rango de la función: f ( x )=3x−5


14) Determine el dominio de la función: f ( x )=Log2

x3 (x−4 )x+2

f ( x )=Log2x3 ( x−4 )x+2

Domin io : {x x≠−2}Log2 x

3 (x−4 )x+2

3 Log2 x+Log( x−4 )x+2

3 Log2 x+Log2( x−4 )−Log2 (x+2 )


19) Estudio y gráfico de la función: f ( x )=2x−1

x y f ( x )=2x−1

4 8 f (4 )=24−1=83 4 f (3 )=23−1=42 2 f (2 )=22−1=21 1 f (1)=21−1=10 0,5 f (0 )=2−1=0,5−1 0 ,25

x y f ( x )=3x−5

7 9 f (7 )=37−5=96 3 f (6 )=36−5=35 1 f (5 )=35−5=30=14 0 .3 f (4 )=34−5=3−1=0 .33 0 .1 f (3 )=33−5=3−1=0.1

El rango es :{y y >0}

Domin io :{x xconjunto de los R}Rango :{y y }>0


31) Estudio y gráfico de la función: f ( x )=Log2 (x−1 )

y=Log2 (x−1 )x−1=2y

x=2 y+1x y x=20+1=1+1=22 0 x=21+1=2+1=33 1 x=22+1=4+1=55 2 x=23+1=8+1=991 .5

31

x=2−1+1¿

Actividad de aprendizaje 2.9

1. Del texto guía de la página 622 resuelva los ejercicios 45 y 59:

Escriba como logaritmo de una sola expresión:

y=log2 ( x−1)

45) 4 Log63−{2 Log6 ( x+3 )+4 Log6 x }

Log6 34− {Log6 ( x+3 )2+Log6 x

4 }Log6 81− {Log6 ( x+3 )2 x4 }Log6¿

59) Evalúe: 5 ( 3√ 27 )Log35

5 ( 3√ 27 )Log35→5 (3)log

35

como3log

35=5 , tenemos :5(5 )=25

19) 23 x−2=128

23 x−2=27

3 x−2=73 x=7+2x¿x=3

30) 5x=2x+5


Resuelva las ecuaciones exponenciales sin utilizar calculadora:

log 5x=log 2x+5

x log5=( x+5 ) log2x log5=x log 2+5 log2x log5−x log 2=5 log 2x ( log 5−log2 )=5 log 2

x

¿=5 log 2log 5− log2

¿

x

¿= log25

log52

¿ x¿x¿x¿ x=3 ,78

37) Ln ( x )+ Ln (x+1 )=Ln 12

3. Del texto guía de las pp. 644 y 645 resuelva los ejercicios 37, 43 y 65:

Resuelva las ecuaciones logarítmicas sin utilizar calculadora:

Ln [x ( x−1 )]=Ln 12

Ln(x2−x )=Ln12x2−x−12=0( x−4 )(x+3 )=0x−4=0 x+3=0x=4 x=−3

comprobacion :Ln(x )+ Ln( x−1)=Ln12 Ln( x )+Ln( x−1 )=Ln12Ln(4 )+Ln(4−1 )=Ln12 Ln(3 )+ Ln(3−1 )=Ln12Ln (4 )+Ln(3)=Ln12 Ln(3 )+Ln(2)=Ln12

Ln12=Ln12 Ln6≠Ln12

43) Ln (x2−4 )−Ln ( x+2 )=Ln 4

Ln¿

X2−4x+2

=4 ¿( x+2 ) ( x−2 )( x+2 )

=4

x−2=4x=4+2x=6

Comprobacion :Ln( x2−4 )−Ln ( x+2 )=Ln4Ln (36−4 )−Ln (6+2 )=Ln4Ln (32 )−Ln (8 )−Ln4

Ln(328 )=Ln 4

Ln4=Ln4

65) Despeje la variable “y” de: Ln ( y )−Ln ( x+6 )=5

Ln ( y )−Ln ( x+6 )=5

Ln( yx+6 )=5yx+6

=ℓ5

y= (x+6 ) ℓ5

4. Del texto guía de la pp. 636 resuelva los ejercicios 82, 88 y 89:

82) En el siguiente procedimiento empezamos con una afirmación verdadera y terminamos con una falsa. ¿Puede encontrar el error?

2<3 Verdadero

2 Log (0 .1 )<3 Log (0.1 ) Multiplicar ambos lados por Log (0.1)

Log (0 .1 )2< Log (0 .1 )3 Propiedad 3 de los logaritmos

(0 .1 )2< (0 .1 )3 Propiedad 6d

0 .01< 0 .001 Falso

Resp:El error se da al multiplicar ambos miembros por log(0.1)que representa a x ;es decir

( x<0 )esto comtradize la definición de logaritmo que dice :sea un a un numero real positivo diferente

de uno. El logaritmo de x con base a se define como:

y=Loga x→si y solo si : x=a y

Para todo ( x>0 )

y todo numero real y

88)

{32 x=9 y+1 ¿ {¿ ¿¿¿

Resuelva los sistemas de ecuaciones:

{32 x=9y+1 (1 ) ¿ {¿ ¿¿¿¿

¿Remplazox=5 en (2 )x−2 y=−35−2 y=−3 VERIFICACION :−2 y=−3−5 5−2 y=−3−2 y=−8 5−2 (4 )=−3

y=−8−2

5−8=−3

y=4 −3=−3

89) {Log ( x+ y )=2 ¿ {¿¿¿¿

{Log ( x+ y )=2 (1 ) ¿ {¿¿¿¿¿

¿

G#2.VALAREZO.RAMIREZ.DIEGO.OMAR.ALGEBRA

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