G4

[Matemticas Avanzadas] TEORIA

1

PRACTICA N1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL

CALLAO

FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA

E. P. INGENIERA ELECTRNICA

ASIGNATURA: Matemticas Avanzadas

GRUPO/TURNO: 01L/ 11:00 14:00

PROFESOR: CASTRO VIDAL RAUL PEDRO

INTEGRANTES: CODIGO

AGUILAR CHAVEZ, EVER 1213220429

AIRE VALENCIA, FRANK 1213220411

QUISPE CHOQUE 1223210056

QUINTEROS PERALTA, EFRAIN 1213220153

LOYO MAYANDIA, KEVIN 1213220545

BARRIENTOS ROJAS, WILLIAM


2

1)

|| | | || | |

Demostracin

Si escribimos z como

Y lo ordenamos

( )

Aplicando valor absoluto

| | | | | | | |..1

Anlogamente para el w obtenemos

| | | | | | | |..2

Ordenando ambas ecuaciones tenemos

| | | | | |..1

| | | | | |..2

Por propiedad de valor absoluto tenemos

| | | |

Suponiendo que:

| | y a=| | | |


3

Por propiedad de valor absoluto tenemos que si

Entonces se cumple que : | |

Por lo cual obtenemos

|| | | || | |

| | | | (| | | | )

Demostracin por partes aplicando las formulas fundamentales

| | ( )( )

( )( )

( )

| | ( ) | |

| | | || | | | 1

| | ( )( )

( )( )

( )

| | ( ) | |

| | | || | | | 2

En la ecuacin principal

| | | | (| | | | )

Reemplazando 1 y 2

| | | || | | | | | | || | | | (| | | | )

| | | | | | | | (| | | | )


4

(| | | | ) (| | | | )

Demostrar que:

c) ( )( )

solucin:

sabemos por nmeros complejos que:

( )

( )

Entonces:

( )( ) ( )( )

..1

( )( )

..2

De 1 y 2

( )

( )

( )( )

( )( )


5

3)

a)

( )

( )

Entonces:

( )

Para que la funcin sea armnica conjugada

Se verifica si es armnica:


6

Por lo tanto:

La funcin es armnica b)

( )

( )

Entonces:

( )



Por lo tanto:

La funcin es armnica


7

c)

( )

( )

Entonces:

( )



( )

( )

( )

( )

Por lo tanto:



8

4.Resuelva:

Para poder hallar la integral primero debemos parametrizar cada espacio de la curva

1

(t) (t)

1 1

01 0

2

( ) (t)

2 0

: 2(1 t) t/ 0,1

2 2

/ (t 2) / (t 2) 1

: / 0,

2/

3

i

i i i

ii

i

t

z t z t dz dt

z zdz dt

e

z e z e dz ie d

ez zdz ie d

e

t

3

(t) (t)

1 1

01 0

2

( ) (t)

2 0

: (1 t) 2 t/ 0,1

1 1

/ (1 t) / (1 t) 1

: 2 / 0,

2 2 2

2 4/ 2

2 3

i

i i i

ii

i

t

z t z t dz dt

z zdz dt

e

z e z e dz ie d

ez zdz ie d

e

t

Por lo cual el resultado final queda expresado de la siguiente manera:


9

4

1

2 4/ / 1 1 0

3 3i yiz zdz z zdz

5.

A)

; ( ) , , -

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

B)

( )

( )

( ) ( )

(( ) )

D)

( )

( )

(

( ) (

)


10

6. Demuestre:

Definimos para z = x+iy

. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para n = 0 (I) ( ) ( )

(II) ( ) ( )

Para n = 1 (I) ( ) ( )

( ) ( )

(II) ( ) ( ) ( ) ( )

Para n=2 (I) ( ) ( )

( )

(

) ( )

(II) ( ) ( ) ( ) (

) ( )

Queda demostrado el punto (a)

Si ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) .

Observamos que en cada situacin quedara de la forma:( )

Entonces ( )

Hallamos la conjugada de


11

( )

Por regla de ruffini descomponemos el polinomio en factores

( ) ( )

Luego

* +

7)

Para que sea armnica:

Ya que se debe comprobar para funciones derivables, se utiliza el criterio de Cauchy-riemann:

Por lo tanto:

Como son funciones continuas y diferenciables:


12

Asi queda comprobado que las funciones derivables en D son armnicas.

8)

a)

( )

( )

Entonces:

( )




13

Por lo tanto:


b)

( )

( )

Entonces:

( )



Por lo tanto:



14

c)

( )

( )

Entonces:

( )



( )

( )

( )

( )

Por lo tanto:



15

9. RESUELVA:

Sabemos que: ( )

Podemos aplicar el teorema de integrales para derivadas, pero se debe cumplir los siguientes

pasos.

Entonces ( ) ( )

Centro = (0,0) y radio 1.

Analizamos el denominador z , ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Entonces aplicamos el teorema

( )

( )

( )

( )

As que ( ) ( ) ( ) ( )

Reemplazamos

( )

( )

Para utilizar el teorema entonces, verificamos las condiciones:


16

( )

Es una circunferencia de centro 1 y radio

( ) ( )

( ) .

/ .

/

Ahora si aplicamos el teorema

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

10)


17

( )

( )

( )

Por lo tanto:

( ) ( )

b)

( )

Si R>1

( )

( ) ( )

Si R


18

(IV) ( ) ( )

Para n = 1 (III) ( ) ( )

( ) ( )

(IV) ( ) ( ) ( ) ( )

Para n=2 (III) ( ) ( )

( )

(

) ( )

(IV) ( ) ( ) ( ) (

) ( )

Queda demostrado el punto (a)

Si ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) .

Observamos que en cada situacin quedara de la forma:( )

Entonces ( )

Hallamos la conjugada de

( )

Por regla de ruffini descomponemos el polinomio en factores

( ) ( )

Luego

* +


19

12. Demuestre

Para que sea armnica:

Ya que se debe comprobar para funciones derivables, se utiliza el criterio de Cauchy-riemann:

Por lo tanto:

Como son funciones continuas y diferenciables:

Asi queda comprobado que las funciones derivables en D son armnicas.


20

13.

.a)

( )

( )

Entonces:

( )




21

Por lo tanto:


b)

( )

( )

Entonces:

( )




22

Por lo tanto:

La funcin es armnica c)

( )

( )

Entonces:

( )



( )

( )

( )

( )

Por lo tanto:


23

La funcin es armnica 14. RESUELVA

Sabemos que: ( )

Podemos aplicar el teorema de integrales para derivadas, pero se debe cumplir los siguientes

pasos.

Entonces ( ) ( )

Centro = (0,0) y radio 1.

Analizamos el denominador z , ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Entonces aplicamos el teorema

( )

( )

( )

( )

As que ( ) ( ) ( ) ( )

Reemplazamos

( )

( )


24

Para utilizar el teorema entonces, verificamos las condiciones:

( )

Es una circunferencia de centro 1 y radio

( ) ( )

( ) .

/ .

/

Ahora si aplicamos el teorema

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

15)


25

a) si

ya que: z=x+iy,dz=d(x+iy)

En el tramo 1:

R es cte. , entonces: x=R -> dx=0 y se trabaja con y = {-R,R}

-para

( ) ( )

-para

,( ) - ,( )

-

-para

( ) ( )

En el tramo 2:

1

2

3

4

(R,-R) (-R,-R)

(-R,R) (R,R)


26

R es cte. , entonces: y=R ->dy=0 y se trabaja con x = {R,-R}, adems de q a la integral debemos

multiplicarle -1, para asi trabajar con rangos opuestos de la integral ( la regin trabaja en sentido

positivo, osea en contra reloj)

-para

( ) ( )

-para

- ,( ) - ,( )

-

-para

( ) ( )

En el tramo 3:

R es cte. , entonces: x=-R -> dx=0 y se trabaja con y = {R,-R}, adems de q a la integral debemos



-para

( ) ( )

-para

- ,( ) - ,( )

-

-para

( ) ( )

En el tramo 4:

R es cte. , entonces: y=-R ->dy=0 y se trabaja con x = {-R,R}

-para

( ) ( )


27

-para

,( ) - ,( )

-

-para

( ) ( )

Resolviendo por tramo:

Tramo 1: 0

1

Tramo 2: 0

1

Tramo 3: 0

1

Tramo 4: 0

1

Sumamos los resultados por tramo:

0

1 0

1 0

1 0

1

b) si

( )

( )

como : z=x+iy, dz=d(x+iy)

1

2

3

(-R,-R)

(-R,R) (R,R)


28

En el tramo 1:

R es cte. , entonces: x=R -> dx=0 y se trabaja con y = {-R,R}

( )

( )

( ) , z=x+iy

-,( ) - ,( )

-

En el tramo 2:

R es cte. , entonces: y=R ->dy=0 y se trabaja con x = {R,-R}}, adems de q a la integral debemos



( )

( )

( ) , z=x+iy

,( ) - ,( )

-

En el tramo 3:

R es cte. , entonces: x=-R -> dx=0 y se trabaja con y = {R,-R}}, adems de q a la integral debemos



( )

( )

( ) , z=x+iy

,( ) - ,( )

-

En el tramo 4:

R es cte. , entonces: y=-R ->dy=0 y se trabaja con x = {-R,R}

( )

( )

( ) , z=x+iy

-,( ) - ,( )

-

4

(R,-R)


29

Resolviendo por tramos:

Tramo 1: -4iR2

Tramo 2: 4iR2

Tramo 3: -4iR2

Tramo 4: 4iR2

Sumando los resultados por tramo = 0

16

El vector en que se transforma al girarlo

El angulo necesario para que el resultado sea

PREGUNTA 17

a) ( ) ( )

Entonces, por Cauchy Riemann:

( )

( ) ( ) ( )

Adems:

( )


30

Entonces:

( ) ( )

Reemplazando:

( )

Finalmente:

( ) ( ) ( )

b) ( )

Entonces, por Cauchy Riemann:

( ) ( ) ( )

Adems:

( )

Entonces:

( ) ( )

Reemplazando:

( )

Finalmente:

( ) ( ) ( )

c) ( )

Entonces por Cauchy Riemann:

( )

( ) (

( ) )

( )

Adems:

( )

( )

( )

( ) ( )


31

Entonces:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Reemplazando:

( )

Finalmente:

( ) (

) (

)

18.

z=x+iy

f(z)=x-iy

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )


32

( )

19. RESUELVA

)

Circunferencia centro 1 y radio r, circunferencia curva cerrada

Aplicacamos teorema de Cauchy ( ) ( )

( )

( ) = (

( )

( )

)

( )

( )

( ) (

)

B)



( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( ) (

( ))

( )

20.


33

a) f es derivable si se cumple el teorema de cauchy-Rienam

y

( ) ( )

(

) (

)

( ) .

/ ( ) (

)

-2senx.seny = -seny .cosx

Vemos que la funcin no cumple con el teorema de cauchy , por lo tanto la funcin no es

derivable, solo seria derivable en 0,0

b) aplicando el teorema de cauchy

( )

( )

( )

Esto comprobara lo anteriormente dicho solamente seria derivable en 0.0 mas no en otro punto.


34

PREGUNTA 21

a) Re( ) Im( )z x iy

z z zzz x iy

2 2x iy x iy

13

3iy x y x

b) 1 2 2

2 2

11 1 1z x y

x y

c)

e) 2 2 2 2Im( ) 2 2z z x iy z x y ixy


35

2 2

1

xy

yx

f) 1Re 1z

1 12 2 2 2

1 x iy x iyz z

x iy x iy x y x y

1

2 2 2 2

x iyz

x y x y

2 2

2 2

2 2

2

0

1 1

2 2

x x y

x x y

x y

i) 2 1 2z z

2 1 2 2x iy x iy

2 2 222 1 2 2x y x y


36

2 2 2 24 4 1 4 4 4x x y x x y

2 2 2 23 3 3 0 1x y x y

j)2Re( ) 0z z

2 2 2 2 0x iy x iy x y ixy x iy

2 2 2 0x y x i xy y

2

2 2 21 102 4

x y x x y

22. RESUELVA

17. Determina los puntos singulares de las siguientes funciones.

) ( )

( )


37

Para hallar los puntos singulares el denominador se igual a cero y tenemos.

;son singulares no aisladas o presentan singularidad

) ( )

( )

( )( )

; son singulares no aisladas o presentan singularidad

) ( )

( )( )

( )

( )(

)(

)

; son singulares no aisladas o presentan singularidad

18. Calcular a partir de las condiciones de Cauchy- Rieman, las derivadas de las funciones

) ( )

( ) ( )

Se tiene que cumplir:

y

, si remplazamos con (x,y)=0,0 vemos que 0 1

, si remplazamos con (x,y)=0,0 vemos que 0 = 0

Vemos que no cumple la primera condicin por lo tanto decimos que la funcin no es derivable

B) ( )

( ) ( ) ( ) ( )


y


38

( )

Vemos que SI cumple las condiciones por lo tanto decimos que la funcin es derivable.

( )

( ) ( ) ( ) ( )


y

( )

Vemos que SI cumple las condiciones por lo tanto decimos que la funcin es derivable.

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )


y

Vemos que no cumple la primera condicin por lo tanto decimos que la funcin no es derivable.

23. SEA LA F LA FUNCIN

SOLUCIN

Tenemos ( ) | ( )| y considerando ( ) , | ( )|


39

Entonces ( )

( )

( ) | ( )|

| ( )| | ( )|

| ( )|

Sabemos

( )

( )

| ( )|

Haciendo la respectiva derivacin

( )

Vemos que si la igualdad y adems de que es clase 2 no es necesario comprobar sus derivadas.

24. RESUELVA

)



( )

( ) = (

( )

( )

)

( )

( )


40

( ) (

)

B)



( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( ) (

( ))

( )

25.

a) f es derivable si se cumple el teorema de cauchy-Rienam

y


41

( ) ( )

(

) (

)

( ) .

/ ( ) (

)

-2senx.seny = -seny .cosx

Vemos que la funcin no cumple con el teorema de cauchy , por lo tanto la funcin no es

derivable, solo seria derivable en 0,0

b) aplicando el teorema de cauchy

( )

( )

( )

Esto comprobara lo anteriormente dicho solamente seria derivable en 0.0 mas no en otro punto.

26

a) 2

4

cos

1

x xdx

x

SOLUCION:

Sea: ( )

( )( )( )( )


42

*

(

( )( )

(

( )( )+

0 ( ) ( )1

[ (

) (

)]

b) 2

cos

1

xdx

x x

( )

( )( )

*

+

[

(

)

]

* (

) (

)+

(

)


43

27.- Sea :F S C C una funcin analtica en el interior de una curva de Jordan C y sobre C,

excepto en nmero finito de puntos singulares 1 2 3, , ,..............., na a a a del interior de C=C. Demuestre que

1

( ) 2 Re ( )n

j

jC

F z dz i sF a

.

DEMOSTRACION:

Sea ( )f z una funcin analtica y sobre una curva simple y cerrada en C excepto en los puntos

1 2 3, , ,..............., na a a a dentro de C.

Tambin sea ( )j jCr a la circunferencia de centro ja y de radio jr sufrientemente pequeo para que

( ) ,j jCr a C j

( ) ( ) ,j j k kCr a Cr a k j Entonces:

( )1

1

1

( ) ( )

( ) 2 Re( , )

( ) 2 Re ( )

j j

n

Cr ajC

n

j

jC

n

j

jC

F z dz F z dz

F z dz i F a

F z dz i F a

28

2

02

xe dx

SOLUCION:

(

)


44

Haciendo:

(

)|

( )

29. Demostrar

(

)

*( ) +

*( ) +

|

|

30) Pregunta en contexto:

Importancia de los nmeros complejos en la solucin de problemas

elctricos.

Algebra fasorial y el anlisis de circuitos elctricos y principales leyes.

Transformada Z e importancia.

Solucin:

Importancia en la solucin de problemas elctricos, algebra fasorial y el anlisis de

circuitos elctricos y principales leyes.


45

Cuando se trabaja con corriente alterna en los circuitos elctricos, se tratan con seales en formas

de senos y cosenos las cuales en los clculos generan extensas y tediosas operaciones como

representaciones, por ello en estos circuitos se le asocia el trmino impedancias a los elementos

llamados capacitores, inductores y resistencias, los cuales trabajan con nmeros complejos al igual

que los valores de voltajes y corrientes, al representarlos de manera compleja facilita el manejo

matemtico .

Leyes de circuitos

Utilizando el Algebra Fasorial , las tcnicas para resolver circuitos de corriente continua se

pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna. A continuacin se indican las

leyes bsicas.

Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por

tanto no cambia la fase de una seal. Por tanto V=IR sigue siendo vlida.

Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia

compleja.En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representacin

de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia

atrs y adelante. Se puede definir tambin la potencia compleja S=P+jQ y la potencia

aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada

mediante fasores es entonces S=VI* (donde I* es el complejo conjugado de I).

Las Leyes de Kirchhoff son vlidas con fasores en forma compleja.

Dado esto, se pueden aplicar las tcnicas de anlisis de circuitos resistivos con fasores para

analizar cicuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores.

Los circuitos AC con ms de una frecuencia o con formas de oscilacin diferentes pueden ser

analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilacin en

sus componentes sinusoidales y despus analizando cada frecuencia por separado. Este mtodo,

resultado directo de la aplicacin del principio de superposicin, no se puede emplear para el

clculo de potencias, ya que stas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de

tensiones e intensidades. Sin embargo, s es vlido resolver el circuito mediante mtodos de

superposicin y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.

Aplicaciones e importancia de la transformada z en el mbito de las telecomunicaciones

La TZ convierte una seal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una

representacin en el dominio de la frecuencia compleja [1], en este sentido la TZ es una

herramienta muy importante para el procesamiento de seales digitales y de all parte su

aplicacin en la ingeniera dedicada al estudio de las telecomunicaciones. Este modelo matemtico

aplica en el procesamiento de seales digitales, especficamente para el anlisis


46

y proyectos de circuitos digitales, de los sistemas radar o en sistemas de comunicaciones como

la telefona mvil, la televisin digital entre otros.

De esta manera, se pueden ejemplificar el radar, la telefona o la TV digital donde:

Entrada Sistema Salida

Onda

electromagntica Radiocomunicaciones

Emisin de la

voz

Onda emitida Radar

Informacin

sobre posicin

de blancos

Onda emitida TV Digital Recepcin

de video.

Ejemplo de Aplicaciones

A modo de explicacin, se tomara como ejemplo la codificacin diferencial que es empleada en la Tv digital

o en un sistema radar. En este caso se considera la codificacin de seales de audio y video de Tv digital,

cuyo mtodo de compresin reside en el formato MPEG para codificar algunos de los coeficientes

transformados. De esta forma se utilizara esta idea para ilustrar la transformacin de la seal en tiempo

discreto mediante la TZ.

Aritmtica fasorial

Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma exponencial polar

simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana(rectangular) simplifica las sumas y restas. c) Transformada Z e importancia La transformada z juega el mismo papel en el anlisis de seales de tiempo discreto ysistemas LTI que la transformada de Laplace en el anlisis de tiempo continuo ysistemas LTI. Definicin. La transformada z de una seal de tiempo discreto x[n] se define como:

n z n x z Xdonde z es una variable compleja. La transformada z de una seal x[n] se denota por

Mientras que la relacin entre x[n] y X(z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemtico, la transformada z es simplemente unarepresentacin alternativa de la seal. De este modo el coeficiente de z-n, para unatransformada determinada, es


47

el valor de la seal en el instante n. Y por tanto, elexponente de z contiene la informacin necesaria para identificar las muestras de laseal. Ejemplo 1. Determina la transformada z de la secuencia mostrada en la figura 1.

Fig. 1 Secuencia x[n].

Regin de convergencia de la transformada z. Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie depotencias infinita y existe slo para aquellos valores de z para los cuales converge laserie. De esta forma, se define la regin de convergencia (ROC) de X(z) como elconjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe tambin indicarsu correspondiente ROC. En el ejemplo 1, X(z) toma valores finitos para todo zexcepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se define como C-{0} (ver figura 2).

Fig. 2 Regin de convergencia de la secuencia x[n], del ejemplo 1.

Si se expresa ahora la variable compleja z en su forma polar lo que se tiene es:


48

donde r =| z | y q . De este modo X(z) se puede expresar ahora como:

En la ROC de X(z) se debe cumplir que |X(z)| , pero

Por tanto |X(z)| es finito slo si la secuencia x[n] r -n es absolutamente sumable. Deesta forma, el problema de encontrar la ROC de X(z) es equivalente a determinar elrango de valores de r para los cuales la secuencia x[n] r -n es absolutamente sumable.

Fig. 3 Regin de convergencia de |X(z)|.

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