G5

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

E S C U E L A P R O F E S I O N A L D E I N G E N I E R I A E L E C T R O N I C A - F I E E

Pgina 1

E S C U E L A

P R O F E S I O N A L

D E I N G E N I E R I A

E L E C T R O N I C A

F I E E

U N A C

SOLUCIONARIO DEL

BALOTARIO.

GRUPO N 5

GUTIERREZ ESPINOZA HAIRO-1223210065

CANGALAYA RIOS PEDRO-1223220446

CUELLAR VENTURA ESTTIWARD-1223210038

SALCEDO JANAMPA JAIR-1213220625

TORRES GASTELU FABRIZIO-1223210199

HIDALGO BASALDUA ANDREUS-1223210163

PAREDES LEZCANO JIM-1223220259

SOLUCIONARIO DEL BALOTARIO DE PREGUNTAS DE MATEMTICAS AVANZADAS GRUPO N 5



Pgina 2

PREGUNTA 1

Si z y w son nmeros complejos demuestre que:

a) z a ib

z w z ww c id

z w a ib c id a c i b d

2 2

z w a c b d

2 2

2 2

z a b

w c d

2 2 2 2 2 2a c b d a b c d

b) 2 2 2 2z w z w z z w

2z w z w z w zz ww zw wz

2 2

...(I)z w zw wz

2z w z w z w zz ww zw wz

2 2

...(II)z w zw wz

I II

2 2 2 2 2 2z w z w z w zw wz z w zw wz

2 2 2 22z w z w z w

c) 2 2 2 2

1 1 1zw z w z w

Sabemos: 2

z zz

2 2

1 1 1 ;zw zw zw z w z w z w



Pgina 3

Restamos:

2 2

1 1zw z w zw zw z w z w

1 zw zw zz ww zz wz zw ww

2 2 2 21 1zz ww zz ww z w z w

2 2 2 2 21 1 1 1z w z z w

2 2 2 2

1 1 1zw z w z w

PREGUNTA 3

Sea u la funcin:

a) ( , ) 2 (1 )u x y x y

2(1 )u

yx

|

2 2

2 22 0

u u ux

y x x

Cumple la ecuacin de Laplace de u

2

20

u

x

|

2

20

u

y

Es armnica

( , ) ( , ) ( , )F x y u x y iv x y Es analtica, satisface las ecuaciones de Cauchy Rieman

2 2

u v

x y u vy

u v x y

y x

22 2 ( , ) 2 ( )...( )vdy dy ydy v x y y y h x I

y

'( ) '( ) 2 '( ) 2v u

h x h x x h x dx xdxx y



Pgina 4

2( )h x x C

2 2( , ) 2v x y y y x C

b) 3 2( , ) 2 3u x y x x xy

2 2

2

2

2 3 3

6

ux y

x

ux

x

2

2

6

6

uxy

y

ux

y

2 2

2 20

u u

x y

Cumple la ecuacin de Laplace

( , ) ( , ) ( , )F x y u x y iv x y Al ser analtica cumple las ecuaciones de Cauchy Rieman

2 22 3 3

u v

x y u vx y

u v x y

y x

2 2 2 32 3 3 ( , ) 2 3 ( )...( )vdy dy x dy y dy v x y y x y y h x I

y

6 '( ) 6 '( ) 6v u

xy h x xy h x xyx y

'( ) 0 ( )h x h x C

2 3( , ) 2 3v x y y x y y C

c)2 2

( , )y

u x yx y

2 4 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4

2 ( 2 )( 2 ) (2 )[2( )2 ]

( ) ( )

u xy u x y x y y xy x y x

x x y x x y

2 4 2 2 4

2 2 2 4

2 (3 2 )

( )

u y x x y y

x x y

2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 3

2 2 2 2 2 2 4

( 2 )( 2 ) ( )(4 4 )

( ) ( )

u x y u x y x y y x y x y y

y x y y x y

2 4 2 2 4

2 2 2 4

2 (3 2 )

( )

u y x x y y

y x y



Pgina 5

2 2

2 20

u u

x y

, satisface ecuacin de Laplace, es armnica.

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2( , ) ( )...( )

( ) ( )

u xy v v xy xdy dy v x y h x I

x x y y y x y x y

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) '( ) 0 ( )

( ) ( ) ( )

v y x v u y x y xh x h x h x h x C

x x y x y x y x y

2 2( , )

xv x y C

x y

PREGUNTA 4

1 2 3 4

1 (1 )( 2) ( 1) / 0 1t t t 1 2 / 0 1t t

z(t)=-2+t z(t)=1

2z t

1 1

1

0

0 0

21

2

tdt dt t

t

2

3

0

0 0 0

/ 0 2 |

( )

( )

( )

(cos3 3 ( 3 cos3 )

( ( )) 2

i

i

i

i

ii i

i

e

z e

z ie

z e

eie d ie d i isen d i sen i

e

i i i



Pgina 6

3

2 2

2

1

1 1

(1 )(1) 2 / 0 1 1 / 0 1

( ) 1

( ) 1

( ) 1

11

1

t t t t t

z t t

z t

z t t

tdt dt tt

4

3

0 0 0

0

2 / 0 2

( ) 2

( ) 2

( ) 2

22 2 2 (cos3 3 )

2

2 ( 3 cos3 ) 2

i

i

i

i

ii i

i

e

z e

z ie

z e

eie d ie d i isen d

e

i sen i

1 2 3 4 2 2 1 1 2

PREGUNTA 5

A)

; ( ) , , -

( )

( )

( )( )

( )

( )( )



Pgina 7

( ) ( )

B)

( )

( )

( ) ( )

(( ) )

D)

( )

( )

(

( ) .

/

PREGUNTA 6

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

1

1 1 0

) ( ) ...

( ) ...

( ) ...

( ) . . ... .

( ) ...

( ) ...

( ) ( )

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

a P x a x a x a x a

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z P z

0

0

1

0 0 1 0 1 0 0

1

0 0 1 0 1 0 0

1

0 0 1 0 1 0 0

1

0 0 1 0 1 0 0

0

0

)

( ) 0

( ) ... 0

( ) ... 0

( ) ... . 0

( ) ... 0

( ) 0

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

b z solucion

P z

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z a z a z a z a

P z

z solucion



Pgina 8

2

1

2

3

4

) :

( )( )( 1) 0

1

1

c Factorizando

x i x i x

x i

x i

x

x

PREGUNTA 7

En la armona se cumple:

( ) ( , ) ( , )f z u x y y x y

Si son analtica y de clase 2C en una regin D

Por CAUCHY RIEMAN

( , ) ( , )

( , ) ( , )

du x y dv x y

dx dy

du x y dv x y

dy dx

Lugo para ser armonica

2 2

2

2 2

2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

d u x y d v x y

dx dydx

d u x y d v x y

dy dxdy

Si sumamos

2 2

2 2

( , ) ( , )0

d u x y d u x y

dx dy

Ahora hacemos:



Pgina 9

2 2

2

2 2

2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

d v x y d u x y

dx dydx

d v x y d u x y

dy dxdy

Sumamos

2 2

2 2

( , ) ( , )0

d v x y d v x y

dx dy

Se demuestra que las partes real e imaginaria de una funcin compleja

( ) ( , ) ( , )f z u x y y x y

Analticas son soluciones de la ecuacin Laplace donde

2 22

2 2

u uu

dx dy

2 22

2 2

v vv

dx dy

En este caso se dice tambin que u y v son funciones armnicas ademas de ser conjugadas

armonicas

PREGUNTA 9

Siendo ze analtica en todo

00

( )2

f zdz if z

z z

sin

2 0zedz if

z

0(0) sin sin1f e

sin2 sin1

zedz i

z

PREGUNTA 10



Pgina 10

1/

2, ( ) 1

21

z ite et

z

1/ ze Analtica en todo

( )

0

1

0

2 ( )( )

( ) !

n

n

if zf z dz

z z n

1/ 1/

2

1( ) , '( ) '(1)z zf z e f z e f e

z

1/ '

2

2 (1)2

( 1) 1!

ze dz ifei

z

PREGUNTA 14

PREGUNTA 16

Grafica del cuadrado : sentido positivo (antihorario)



Pgina 11

3 2

2 2

2 20

2

21

2

1)

2

1 1

( 2 1) ( 1)

0

1

( 1) ( 1)Re( ,0) lim ] 1

( 1) ( 1)

1 ( 1)Re( , 1) lim [( 1) ] 1

(2 1)! ( 1)

.Re :

12 [Re( ,0) Re( , 1)]

( 1)

1

z

z

za dz

z z z

z zdz dz

z z z z z

z

z

z zf z

z z z z

zf z

z z z

T siduo

zdz i f f

z z

z

22 [ 1 1] 0

( 1)dz i

z z

4 2

2 2 2 2

2

2 2

2

2

2 2

2)

2 1

2 2

( 1) ( ) ( )

1 2Re( , ) lim [( ) ]

(2 1)! ( ) ( )

2Re( , ) lim [ ] 0

( )

1 2Re( , ) lim [( ) ]

(2 1)! ( ) ( )

2Re( , ) lim [

z i

z i

z i

z i

zb dz

z z

z zdz dz

z z i z i

z i

z i

zf i z i

z z i z i

zf i

z z i

zf i z i

z z i z i

f iz

2

2 2

2 2

] 0( )

.Re :

22 [Re( , ) Re( , )]

( 1)

22 [0 0] 0

( 1)

z

z i

T siduo

zdz i f i f i

z

zdz i

z



Pgina 12

PREGUNTA 17

a) ( ) ( )

Entonces, por Cauchy Riemann:

( )

( ) ( ) ( )

Adems:

( )

Entonces:

( ) ( )

Reemplazando:

( )

Finalmente:

( ) ( ) ( )

b) ( )

Entonces, por Cauchy Riemann:

( ) ( ) ( )

Adems:

( )

Entonces:

( ) ( )

Reemplazando:

( )

Finalmente:

( ) ( ) ( )



Pgina 13

c) ( )

Entonces por Cauchy Riemann:

( )

( ) (

( ) )

( )

Adems:

( )

( )

( )

( ) ( )

Entonces:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Reemplazando:

( )

Finalmente:

( ) (

) (

)

PREGUNTA 18

Estudie la convergencia de las series:

Expresando en forma polar:

(

)

Observamos de la forma binomica, que el vector se encuentra en el segundo cuadrante, lo que

es corroborado con el valor del argumento.

Calculamos el modulo:

| | ( ) ( )

Entonces:



Pgina 14

Si giramos el vector

Del argumento se observa que este nuevo vector se encuentra en el tercer cuadrante.

Al pasarlo a su forma binomica, resulta:

Para que el resultado del vector sea , bastara con llevar al vector al eje Imaginario

superior (positivo), ya que de esa forma solo tendr dicha componente.

Si:

Entonces si giramos (sentido horario) el vector resultara:

El mismo que en forma binomica es:

PREGUNTA 19

Es derivable si

0

00

0

( ) ( )( ) lim

z z

f z f zf z

z z

0 0( ,xu x y



Pgina 15

0 00

( ; ) 0

0 00

( ; ) 0

0 0 0 00

0

0 0 0 00

0

0 0 0 0 0

( ) ( )Re( ( )) lim Re( )

( ) ( )Im( ( )) lim Im( )

( , ) ( , )Re( ( )) lim

( , ) ( , )Im( ( )) lim

( ) ( , ) ( , )......(1)

x y

x y

x

x

x y

f z z f zf z

z

f z z f zf z

z

u x x y u x yf z

x

v x x y v x yf z

x

f z u x y iv x y

0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( , ) ( , ).......(2)

( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y

x y

y x

f z v x y iu x y

u x y v x y

y

u x y v x y

Pero como z=C

u(x,y)=C v(x,y)=0

0

0

u v

x y

u v

y x

Por lo tanto no cumple con la ecuacion de Couchy-Rieman entonces no es derivable

PRE

GUN

TA

20



Pgina 16

1

1 2

1

0 0

2

2

observa: =

Parametrizando cada una de las sub lineas

{1. / 0 },de donde z( )=e z( ) e ( ) i

e . e ...........(1)

{(1 t)( 1) t(1) / 0 1};simplificar

i i i i

i i

Se

e z e

zdz i d id i

t

2

1 2

1 1 1

0 0 0

2

1

{1 2 / 0 1},de donde se tiene

z(t)=1+2t,entonces z (t)=2

z(t)=1+2t z(t)=1 2 1 2

(1 2 t)dt 2 2............(2)

...................(3)

Reemplazando (1) y

i

i

t t

t t

zdz dt tdt

zdz zdz zdz zdz

(2) en (3)

2zdz i

PREGUNTA 22

a)

2

2 1( )

( 1)

zf z

z z

2

0

2 1 2 1( )

( 1) ( )( )

:

1lim * ( ) 0z

z zf z

z z z z i z i

analizamos

z f zi i

Por lo tanto z =0 es punto singular (polo)



Pgina 17

2 1lim( )* ( ) 0

(2 )z i

iz i f z

i i

Por lo tanto z=i es un punto singular(polo)

2 1lim( )* ( ) 0

( 2 )z i

iz i f z

i i

Por lo tanto z=-i es un punto singular(polo)

b)

3

2( )

3 2

z if z

z z

3 3

2

2

1

( )3 2 ( 2)( 1)

:

8lim( 2)* ( ) 0

1

1lim( 1)* ( ) 0

1

z

z

z i z if z

z z z z

anamlizamos

iz f z

iz f z

Por lo tanto z=2 y z=1 son puntos singulares (polo)

c)

2

2

1( )

( 2)( 2 1)

zf z

z z z



Pgina 18

2 2

2 2

2

2

1

1 1( ) ( )

( 2)( 2 1) ( 2)( 1)

:

5lim( 2)* ( ) 0

1

2lim( 1) * ( ) 0

1

z

z

z zf z f z

z z z z z

analizamos

z f z

z f z

Por lo tanto z=-2 en un punto singular (polo) y z=-1 en un polo de orden 2

PREGUNTA 23

a)

( ) zf z e

Recondarmos la formula de Euler

cosipe p isenp

Entonces:

( ) cos cosz x iy x iy x x xf z e e e e e y iseny e y ie seny cosx

x

u e y

v e seny

Verificamos que la funcin sea analtica y para esto debe cumplir las ecuaciones de cauchy

riemman

u v

x y

u v

y x

Hallando las derivadas:



Pgina 19

cosx

x

u ve y

x y

u ve seny

y x

La funcin cumple las ecuaciones por lo tanto es analtica y sus derivadas parciales son

continuas en R

Entonces

( )u v v u

f z i ix x y y

( ) cosx x x iy zf z e y ie seny e e

c)

( ) cosf z z

2 2

2 2

cos( ) cos( ) cos *cos( ) * ( )

:

cos( ) cos( ) cos ( )2 2 2

( ) ( ) ( )2 2 2

:

cos( ) cos *cosh( )

iz iz i y i y y y

iz iz i y i y y y

z x iy x iy senx sen iy

recordemos

e e e e e ez iy h y

e e e e e esen z sen iy isenh y

i i i

reemplazando

z x y isenx

* ( )senh y



Pgina 20

cos *cosh *

cos *cosh

*

u x y v senx senhy

du dvx y

dx dy

du dvsenx senhy

dy dx

Entonces :

( )u v v u

f z i ix x y y

cos *cosh cos *

( ) ( ) *cos( ) ( )*cos

( ) *cosh cos *

z senx y x senhy senz

demostracion

sen z sen x iy senx iy sen iy x

sen z senx y i x senhy

b)

( )f z senz

De lo anterior se demuestra por las ecuaciones de cauchy riemman:

cossenz z

d)

( ) zf z ize

Entonces: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )



Pgina 21

Por lo tanto:

( )

( )

Calculando las derivadas parciales:

( )

( )

La derivada resulta ser:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Por lo tanto:

( ) ( )

PREGUNTA 24

a) Re( ) Im( )z x iy

z z zzz x iy

2 2x iy x iy

13

3iy x y x



Pgina 22

b) 1 2 2

2 2

11 1 1z x y

x y

c)

e) 2 2 2 2Im( ) 2 2z z x iy z x y ixy

2 2

1

xy

yx



Pgina 23

f) 1Re 1z

1 12 2 2 2

1 x iy x iyz z

x iy x iy x y x y

1

2 2 2 2

x iyz

x y x y

2 2

2 2

2 2

2

0

1 1

2 2

x x y

x x y

x y

i) 2 1 2z z

2 1 2 2x iy x iy

2 2 222 1 2 2x y x y

2 2 2 24 4 1 4 4 4x x y x x y

2 2 2 23 3 3 0 1x y x y



Pgina 24

j)2Re( ) 0z z

2 2 2 2 0x iy x iy x y ixy x iy

2 2 2 0x y x i xy y

2

2 2 21 102 4

x y x x y

PREGUNTA 28

Sea :F S C C una funcin analtica en el interior de una curva de Jordan C y sobre C, excepto

en nmero finito de puntos singulares 1 2 3, , ,..............., na a a a del interior de C=C. Demuestre que

1

( ) 2 Re ( )n

j

jC

F z dz i sF a

.

DEMOSTRACION:

Sea ( )f z una funcin analtica y sobre una curva simple y cerrada en C excepto en los puntos

1 2 3, , ,..............., na a a a dentro de C.

Tambin sea ( )j jCr a la circunferencia de centro ja y de radio jr sufrientemente pequeo para que

( ) ,j jCr a C j



Pgina 25

( ) ( ) ,j j k kCr a Cr a k j Entonces:

( )1

1

1

( ) ( )

( ) 2 Re( , )

( ) 2 Re ( )

j j

n

Cr ajC

n

j

jC

n

j

jC

F z dz F z dz

F z dz i F a

F z dz i F a

PREGUNTA 29

2

02

xe dx

4) : ,

f D C C esuna funcinanalitica demuestreque

esderibable y severifica laecuaciones deCauchi Riemann

(

)

*( ) +

*( ) +

|

|

PREGUNTA 30

Importancia de los nmeros complejos en la solucin de problemas elctricos. Algebra fasorial y el anlisis de circuitos elctricos y principales leyes. Transformada Z e importancia. a) Importancia de los nmeros complejos en la solucin de problemas elctricos. Los nmeros complejos se usan en ingeniera electrnica y en otros campos para una descripcin adecuada de las seales peridicas variables. En una expresin del tipo z = r ei podemos pensar en r como la amplitud y en como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una funcin de variable compleja de la forma: f(t) = z eit donde representa la frecuencia angular y el nmero complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las frmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos ltimas. Ingenieros elctricos y fsicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que est tpicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo complejo es igualmente importante en mecnica cuntica cuya matemtica subyacente utiliza Espacios de Hilbert de



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dimensin infinita sobre C (). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas frmulas para la mtrica del espacio-tiempo son mucho ms simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las races (en general complejas) del polinomio caracterstico, lo que permite expresar la solucin general del sistema en trminos de funciones de base de la forma: Los fractales son diseos artsticos de infinita complejidad. En su versin original, se los define a travs de clculos con nmeros complejos en el plano. La ingeniera no existira sin las matemticas. A la inversa, la sentencia podra ser falsa, las matemticas existen, independientemente de la ingeniera. Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las matemticas en s mismas, sino de la aplicacin de ellas. Las matemticas aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la ingeniera. b) Algebra fasorial y el anlisis de circuitos elctricos y principales leyes. Los fasores se utilizan directamente en ingeniera elctrica, ptica, ingeniera de telecomunicaciones y acstica. La longitud del fasor da la amplitud y el ngulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemtica de oscilaciones, en electrnica los fasores se utilizan habitualmente en el anlisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados fsicos. Los fasores se usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo: "existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y despus se aplica la suma fasorial (similar a la suma vectorial) sobre ellos. La longitud del fasor resultante es la amplitud de la oscilacin resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Ntese que mientras que la suma de varias oscilaciones sinusoidales no es necesariamente otra oscilacin sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia s lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ngulo del fasor resultante.

Diagrama fasorial de la impedanciade distintos elementos de un circuito. El fasor rojo es la

impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores.

Una sinusoide u oscilacin sinusoidal est definida como una funcin de la forma

donde y es la magnitud que vara (oscila) con el tiempo

es una constante (en radianes) conocida como el ngulo de fase de la sinusoide



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A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la funcin sinusoidal.

es la frecuencia angular dada por donde f es la frecuencia. t es el tiempo. Esto puede ser expresado como

donde

i es la unidad imaginaria definida como . En ingeniera elctrica y telecomunicaciones se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se produciran con el mismo smbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente elctrica.

da la parte imaginaria del nmero complejo "Y". De forma equivalente, segn la frmula de Euler,

"Y", la representacin fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente:

de forma que

As, el fasor Y es el nmero complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notacin, los fasores se escriben habitualmente en notacin angular:

Dentro de la Ingeniera Elctrica, el ngulo fase se especifica habitualmente en grados sexagesimales en lugar de en radianes y la magnitud suele ser el valor eficaz en lugar del valor de pico de la sinusoide. Leyes de circuitos Utilizando fasores, las tcnicas para resolver circuitos de corriente continua se pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna. A continuacin se indican las leyes bsicas. Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una seal. Por tanto V=IR sigue siendo vlida. Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia compleja. En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representacin de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrs y adelante. Se puede definir tambin la potencia compleja S=P+jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI* (donde I* es el complejo conjugado de I). Las Leyes de Kirchhoff son vlidas con fasores en forma compleja. Dado esto, se pueden aplicar las tcnicas de anlisis de circuitos resistivos con fasores para analizar cicuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con ms de una frecuencia o con formas de oscilacin diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilacin en sus componentes sinusoidales y despus analizando cada frecuencia por separado. Este mtodo, resultado directo de la aplicacin delprincipio de superposicin, no se puede emplear para el clculo de potencias, ya que stas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, s es vlido resolver el circuito mediante mtodos de superposicin y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.



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Transformada fasorial La transformada fasorial o representacin fasorial permite cambiar de forma trigonomtrica a forma compleja:

donde la notacin se lee como "transformada fasorial de X" La transformada fasorial transfiere la funcin sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los nmeros complejos o dominio de la frecuencia. Transformada fasorial inversa

La transformada fasorial inversa permite volver del dominio fasorial al dominio del tiempo. Aritmtica fasorial Lo mismo que con otras cantidades complejas, el uso de la forma

exponencial polar simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la

forma cartesiana(rectangular) simplifica las sumas y restas. c) Transformada Z e importancia La transformada z juega el mismo papel en el anlisis de seales de tiempo discreto y sistemas LTI que la transformada de Laplace en el anlisis de tiempo continuo y sistemas LTI. Definicin. La transformada z de una seal de tiempo discreto x[n] se define como:

n z n x z X donde z es una variable compleja. La transformada z de una seal x[n] se denota por

Mientras que la relacin entre x[n] y X(z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemtico, la transformada z es simplemente una representacin alternativa de la seal. De este modo el coeficiente de z-n, para una transformada determinada, es el valor de la seal en el instante n. Y por tanto, el exponente de z contiene la informacin necesaria para identificar las muestras de la seal. Ejemplo 1. Determina la transformada z de la secuencia mostrada en la figura 1.

Fig. 1 Secuencia x[n].



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Regin de convergencia de la transformada z. Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe slo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la regin de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe tambin indicar su correspondiente ROC. En el ejemplo 1, X(z) toma valores finitos para todo z excepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se define como C-{0} (ver figura 2).

Fig. 2 Regin de convergencia de la secuencia x[n], del ejemplo 1.

Si se expresa ahora la variable compleja z en su forma polar lo que se tiene es:

donde r =| z | y q . De este modo X(z) se puede expresar ahora como:

En la ROC de X(z) se debe cumplir que |X(z)| , pero

Por tanto |X(z)| es finito slo si la secuencia x[n] r -n es absolutamente sumable. De esta forma, el problema de encontrar la ROC de X(z) es equivalente a determinar el rango de valores de r para los cuales la secuencia x[n] r -n es absolutamente sumable.



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Fig. 3 Regin de convergencia de |X(z)|.

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