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Problemas entregables del primer cuatrimestre

Gabriel Soler López

19 de marzo de 2015

Índice general

I Ejercicios de prácticas 4

1. Alumnos del grado de Civil 6ALCARAZ BAEZA, ANTONIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7ALCARAZ HERNANDEZ, CARLOS MANUEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18ASENSIO PEREZ, JUAN FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29BAÑO ALARCÓN, ALFONSO DEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40BARNUEVO PASTOR, ALEJANDRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51BORRAS EGEA, ANTONIO FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62CAMPOVERDE CAMPOVERDE, CRISTINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73CEBALLOS TORRES, ALEJANDRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84CONESA MUÑOZ, ANTONIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95DEL ÁGUILA SÁEZ, ANDRÉS RAMÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106EGEA SANCHO, JAVIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117FERNANDEZ MADRID, LUIS GREGORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128FLORES NICOLAS, FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139GAMBÍN ORTUÑO, JAVIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150GARCÍA GARCÍA, HÉCTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161GARCIA RODRIGUEZ, VICTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172GIANI LAVIOLA, CALEBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183GIMENO MARTINEZ, DAVID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194GONZALEZ ORTIN, MARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205IBAÑEZ GOMEZ, PEDRO EMILIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216JIMÉNEZ BERMUDEZ, JOSÉ RAMÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227JIMÉNEZ GALIANA, MARIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238JIMENEZ VALERA, JOSEANTONIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249LAX ORENES, ISABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260LLORENTE MARTÍNEZ, ENRIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271LÓPEZ BAÑOS, JOSÉ JOAQUÍN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282LÓPEZ RODRÍGUEZ, PABLO MANUEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293LÓPEZ-CERÓN ROBLES, IGNACIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304LORENTE PEREZ, ANGEL DAVID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315LORENZO GOMEZ, GUILLERMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326MARTÍNEZ APARICIO, FÉLIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337MARTÍNEZ GARCÍA, FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348MARTINEZ JIMENEZ, PABLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359MARTINEZ RODRIGUEZ, MARIA DEL MAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370MARTINEZ ROSAURO, OSCAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381MEDINA NAVAS, ALEJANDRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392MÉNDEZ CÁNOVAS, PABLO JOSÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403MOLINA NUÑEZ, ANTONIO JOSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414MOUHSINE , ASMAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425MOURELLE MENDOZA, MARÍA JOSÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436MURILLO ABAD, JEAN CARLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

2

ÍNDICE GENERAL 3

MURILLO LANDIN, PABLO JULIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458OLIVA ALMANSA, IVAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469OLTRA SÁNCHEZ, JOSÉ MANUEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480PEREA TORA, JUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491PEREZ PEREZ, JOSE RAMON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502PIZARRO MUÑOZ, LORENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513RIVERA RENDÓN, ANGELA MARÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524ROCA IBAÑEZ, GONZALO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535SALAS MARTINEZ, ANTONIO JESUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546SANCHEZ BURILLO, MARTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557SANCHEZ CONESA, JUAN ANTONIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568SAURA MARTÍNEZ, CAROLINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579SUÁREZ LÓPEZ, MARÍA VICTORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590TORRES LOPEZ, ANGEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601VASYLOVYCH , IVÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612VILLAESCUSA LARA, EZEQUIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

2. Alumnos del grado de Recursos 634AHMED HAMED, NEYIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634BITSADZE , GURAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646BOLUDA GUTIERREZ, MARTIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657BUCHUKURI , SANDRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668BUENDIA RUIZ, RAUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679CEREZO GARCÍA, ISMAEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690CONEJERO CASTILLO, ANTONIO JOSÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701ES SADKI, ABDELILAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712FEMENIA VIÑAO, FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723GARCIA GRANERO, ESTHER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734GARCIA HERNANDEZ, DANIEL JOSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745GARCÍA MOLERO, ANDRÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756GONZALEZ MARTINEZ, ALVARO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767LOPEZ MARIN, DAVID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778LORENZO MESEGUER, CARLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789MARTÍNEZ MORENO, ALEJANDRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800MATEOS GARCIA, EVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811MOLERA CODINA, ANA CRISTINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822MORENO RIQUELME , MIGUEL ANGEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833MUÑOZ BENITEZ, ANDRES FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844NAVARRO LOPEZ, JUAN FRANCISCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855ORTIZ LÓPEZ, JOSE MARÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866OURYEMCHI , MOHAMED EL AMIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877PEREZ RICO, SERGIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888PÉREZ VÁZQUEZ, ANDRÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899PUERTA LOJAN, MELANY ODALYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910RODRÍGUEZ GUERRERO, JUAN JOSÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921ROMERA MONTANO, MARÍA DEL CARMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932AGAPITO, ALICIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943LÓPEZ, SAMUEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954ARMERO, VICENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965TOLEDANO, PASCUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976LÓPEZ MARTÍNEZ, ESTEBAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987

Parte I

Ejercicios de prácticas

4

. Problema número

5 Problemas para entregar. Matemáticas.

Capítulo 1

Alumnos del grado de Civil

6

ALCARAZ BAEZA, ANTONIO . Problema número 1

Ejercicios para ALCARAZ BAEZA, ANTONIO (ejercicio número 1)

Observaciones

1 . El ejercicio se debe entregar el día del examen parcial.

2 . Se tiene que entregar por un lado las soluciones del test (primera página del ejercicio) y por otrolado el enunciado del ejercicio grapado con las soluciones que justi�can las soluciones del test.

Soluciones del test de ALCARAZ BAEZA, ANTONIO

Pregunta Opción elegida

1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 6


30 1 2 3 4 5 631 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 6



para evitar que el punto se ponga en medio

Introducción a wxMaxima

1 .

Factoriza el polinomio p(x) = x10 − 16x9 + 114x8 − 476x7 + 1289x6 − 2364x5 + 2972x4 −2528x3 + 1392x2 − 448x+ 64Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 7)3 (x− 6)2 (x+ 2)2 (x+ 3)3

2) (x− 8)6 (x− 6)2 (x− 2)2

3) (x− 7)2 (x− 5)3 x2 (x+ 2)3

4) (x− 2)6 (x− 1)4

5) (x− 3)3 (x− 2)2 (x+ 1)3 (x+ 5)2

6) (x− 6)2 (x− 3)6 (x− 2)2

2 . Calcula la suma de los números impares comprendidos entre 1 y 49

Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 620

2) 631

3) 625

4) 626

5) 623

6) 628

3 .

Suma los múltiplos de 6 comprendidos entre 1 y 43


1) 173

2) 162

3) 175

4) 167

5) 168

6) 164

4 .

Calcula, mediante un bucle for, la suma siguiente:∑21

n=11n3.


1) 1.700975821658253

2) 0.60097582165825

3) 1.900975821658253

4) 1.100975821658253

5) 1.500975821658253

6) 1.200975821658253

5 .

Calcula el número de números primos comprendidos entre 176 y 246 (incluyendo estos extremos)


1) 17 2) 7 3) 20 4) 12 5) 13 6) 10

6 .

Calcula la suma de los números primos comprendidos entre 176 y 246 (incluyendo estos extre-mos)


1) 2748

2) 2737

3) 2750

4) 2743

5) 2745

6) 2739


Álgebra lineal



Considera en los siguientes ejercicios las bases

βP = {[0, 0, 0, 4] , [−1, 1, 2, 0] , [0, 1, 2, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[3, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 2]},

los vectores u = [1, 3, 1, 7]βR , v = [2, 1, 2,−1]βP , w = [0, 1,−1, 1]βQ y la aplicación lineal

f : R4 → R4 de�nida por: MβP βP (f) =

0 0 0 00 −1 −1 08 3 3 −116 7 4 −2

.7 . Calcula la matriz MβP βQ


1)

0 14

14 0

−3 0 0 03 1 0 10 2 1 2

2)

14 0 0

14

−3 3 0 04 −3 −1 12 0 −2 3

3)

14 0 −

14

14

0 0 3 01 −1 −4 13 −2 −2 2

4)

14 −

14 −

14

14

0 3 0 01 −4 −1 02 −2 −3 1

5)

14 −

14 −

14 0

0 0 0 30 −1 −1 −31 −3 −2 0

6)

0 −14 −

14 0

3 0 0 0−3 −1 0 −10 −2 −1 −2

8 . Calcula la matriz MβQβR


1)

0 −13 −

13

13

2 1 −2 20 −1 2 −2−2 −1 2 −1

2)

13 −

13 0 −

13

2 −2 −2 3−2 2 0 −1−1 2 2 −3

3)

−13 0 −

13 0

3 −2 −2 0−1 0 2 0−3 2 1 1

4)

13 0 −

13 0

2 0 1 2−2 0 −1 0−2 1 −1 −2

5)

−13

13 0 −

13

1 −3 0 −2−1 1 0 2−1 3 −1 2

6)

−13 0

13 0

−2 0 −1 −22 0 1 02 −1 1 2

9 . Calcula la matriz MβQβR(f)


1)

13 0 −3

103

0 1 0 2−23 0 −3

73

0 0 0 0

2)

103 −3 −

13

13

2 0 0 173 −3

23 −

23

0 0 0 0

3)

13 −

13 −

103

13

1 0 −2 2−23

23 −

73 −

23

0 0 0 0

4)

3 13 0

13

0 2 1 03 −23 0 −

23

0 0 0 0

5)

0 −13 −

13 −3

1 −1 −2 00 23

23 −3

0 0 0 0

6)

−3 −13 0 −

13

0 −2 −1 0−3 23 0

23

0 0 0 0

10 . Calcula las coordenadas del vector u en la base βP .




1)(0 3 0 72

)βP

2)(72

72 3 0

)βP

3)(72 0 3 3

)βP

4)(0 72 0 −3

)βP

5)(−3 −3 72 0

)βP

6)(−72 0 −3 −3

)βP

11 . Calcula las coordenadas del vector v en la base βR.


1)(1 4 3 2

)βR

2)(−1 2 4 1

)βR

3)(−3 1 2 −1

)βR

4)(2 3 3 4

)βR

5)(−4 −3 −1 −3

)βR

6)(−2 −3 −3 −4

)βR

12 . Calcula las coordenadas del vector w en la base βP .


1)(0 0 2 3

)βP

2)(0 0 3 1

)βP

3)(−2 1 0 0

)βP

4)(0 0 1 −2

)βP

5)(−3 −2 0 0

)βP

6)(0 0 −2 −3

)βP

A partir de ahora se trata de hacer la diagonalización de la matriz A =

10 9 −3 0−5 −4 3 0−9 −15 10 00 0 0 4

.13 . Calcula el polinomio característico pA(x).


1) (x− 6) (x− 4) (x− 3)2

2) (x− 9) (x− 7) (x− 6)23) (x− 4) (x− 2) (x− 1)2

4) (x− 7) (x− 5) (x− 4)25) (x− 2) x (x+ 1)2

6) (x− 13) (x− 11) (x− 10)2

La matriz A tiene tres valores propios. Uno de ellos que llamaremos λ tiene multiplicidad 2 yse puede ver que el espacio invariante asociado tiene dimensión 2, luego A es diagonalizablepor ser los demás valores propios simples.

14 . Calcula una base de Vλ.


1) {[−1, 0,−1, 24] , [1, 0, 1, 12]}2) {[1, 0, 1, 48] , [2, 0, 2,−12]}3) {[1, 0, 1,−60] , [5, 0, 5, 24]}

4) {[−1, 1, 1, 24] , [1,−1,−1, 12]}5) {[−11, 0,−11, 12] , [−1, 0,−1,−264]}6) {[−23, 0,−23,−240] , [−10, 0,−10, 276]}

15 . De las siguientes elige cuál es la matriz diagonal D.


1)

3 0 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 6

2)6 0 0 00 6 0 00 0 7 00 0 0 9

3)4 0 0 00 4 0 00 0 5 00 0 0 7



4)

8 0 0 00 8 0 00 0 9 00 0 0 11

5)−1 0 0 00 −1 0 00 0 0 00 0 0 2

6)10 0 0 00 10 0 00 0 11 00 0 0 13

16 . De las siguientes elige cuál es una matriz de paso P para la que P−1AP = D.


1)

−1 0 0 −11 −1 0 12 −3 0 10 0 −12 12

2)

−1 0 1 −11 0 −1 01 0 −2 −112 −12 0 0

3)

−1 1 1 −10 −1 −1 1−1 −2 −1 10 0 −12 0

4)

−1 1 1 01 −1 0 −11 −1 1 −30 −12 0 0

5)

0 1 1 0−1 0 −1 0−3 1 −1 00 0 0 −12

6)

0 −1 0 −10 1 −1 10 1 −3 212 0 0 0

Comprueba que el polinomio característico de la matriz B =

12 9 −3 0−5 −2 3 0−9 −15 12 00 0 0 6

es pB(x) =x4 − 28x3 + 291x2 − 1332x+ 2268 = (x− 9) (x− 7) (x− 6)2, si éste polinomio lo aplicamosa la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) = B4 − 28B3 + 291B2 −1332B+2268I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería la matriz nula.

17 . Calcula la matriz K = (B − 6I4)2.


1)

0 −9 −18 450 9 17 −430 18 33 −840 0 0 0

2)

45 −18 0 −9−43 17 0 9−84 33 0 180 0 0 0

3)

18 27 −9 0−17 −26 9 0−33 −51 18 00 0 0 0

4)

27 −45 9 −9−26 43 −9 9−51 84 −18 180 0 0 0

5)

−9 9 −27 −189 −9 26 1718 −18 51 330 0 0 0

6)

−18 −27 9 017 26 −9 033 51 −18 00 0 0 0

18 . Calcula la matriz L = B − 7I4.


1)

5 9 −3 0−5 −9 3 0−9 −15 5 00 0 0 −1

2)

14 −5 0 −3−14 5 0 3−24 9 0 50 0 1 −1

3)

−3 0 −14 93 0 14 −95 0 24 −15−1 1 0 0

4)

9 −14 3 −3−9 14 −3 3−15 24 −5 50 0 1 0

5)

−3 3 −9 −53 −3 9 55 −5 15 90 1 0 0

6)

−5 −9 3 05 9 −3 09 15 −5 00 0 0 1

19 . Calcula la matriz M = B − 9I4.




1)

0 −3 −3 120 3 5 −160 3 9 −24−3 0 0 0

2)

12 −3 0 −3−16 5 0 3−24 9 0 30 0 3 −3

3)

−3 0 −12 93 0 16 −113 0 24 −15−3 3 0 0

4)

3 9 −3 0−5 −11 3 0−9 −15 3 00 0 0 −3

5)

−3 3 −9 −33 −3 11 53 −3 15 90 3 0 0

6)

−3 −9 3 05 11 −3 09 15 −3 00 0 0 3

20 . Calcula la matriz KLM .


1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0


Aplicaciones del cálculo integral

Cálculo de la longitud de una curva.Consideremos la curva de�nida por la función derivable f : [a, b] → R. Entonces la longitud dedicha curva es:

L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx

Cálculo del área de una super�cie plana.Recordemos que por de�nición de la integral de Riemann, si f : [a, b] → R con f(x) ≥ 0 paratodo x ∈ [a, b] es integrable, entonces el área delimitada por la grá�ca de f(x), el eje Ox ylas rectas x = a y x = b es

∫ ba f(x)dx. Como consecuencia de esto, si f, g : [a, b] → R son

integrables con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces el área delimitada por las grá�cas def(x) y g(x), la recta x = a y la recta x = b es:

A =

∫ ba(f(x)− g(x))dx

Cálculo del área de un sólido de revolución al girar sobre el eje Ox. Consideremos elsólido tridimensional que se obtiene al girar la grá�ca de la función f : [a, b] → R derivable ycon derivada continua sobre el eje Ox. Entonces el área de la super�cie exterior de dicho sólidoes:

A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx

Cálculo del área de un sólido de revolución al girar sobre el eje Oy.

A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx

Suponemos que dicha grá�ca no corta al eje Oy



Cálculo del volumen de un sólido de revolución al girar sobre el eje Ox.

Consideremos el sólido tridimensional que se obtiene al girar la grá�ca de la función f : [a, b] →R integrable sobre el eje Ox. Entonces el volumen de dicho sólido es

V = π

∫ baf(x)2dx

Cálculo del volumen de un sólido de revolución al girar sobre el eje Oy.

V = 2π

∫ baxf(x)dx

Conviene tener en cuenta que el comando integrate sólo nos resuelve la integral cuandoel programa es capaz de calcular una primitiva de la función involucrada. Por lo tanto sehará necesario recurrir a la integración numérica en muchos casos. Éstos métodos numéricosestán integrados en wxMaxima, por ejemplo, en el comando quad_qags. Explicamos su uso,la función quad_qags devuelve una lista de cuatro elementos: la aproximación de la integral,el error absoluto estimado de la aproximación, el número de evaluaciones del integrando y uncódigo de control de errores que toma valores entr 0 y 6. Cuando dicho código toma el valor 0 esque el programa no ha encontrado ningún problema a la hora de realizar la integral. Tambiénpuede devolver 1 si se utilizaron demasiados intervalos, 2 si se encontraron muchos errores deredondeo, 3 si el integrando tiene un comportamiento extraño frente a la integración, 4 si hayfallo de convergencia, 5 si la integral es divergente o de convergencia lenta, 6 si los argumentosde entrada no son válidos.

Veamos un ejemplo:

quad_qags(4*sqrt(1+di�(f(x),x)�2),x,0,a) =[13.36489322055496, 5.52971002321101× 10−10, 315, 0

]Mientras que el uso de integrate devolvería:

integrate(4*sqrt(1+di�(f(x),x)�2),x,0,1) = 4∫ 10

√9x2

1− x2+ 1 dx

21 . Calcula el área del recinto limitado por las grá�cas de las funciones f(x) = x2 − 5x + 6 yg(x) = x3 − 10x2 + 31x− 30. Haz un dibujo del área que estás calculando.


1) 6562) 836

3) 5364) 956

5) 4166) 716

22 . Calcula el área del recinto limitado por las grá�cas de las funciones f(x) = x4−18x3+111x2−278x+ 240 y g(x) = x3 − 10x2 + 31x− 30. Haz un dibujo del área que estás calculando.


Suponemos que dicha grá�ca no corta al eje Ox



1) 4733202) 479320

3) 4753204) 483320

5) 4653206) 487320

23 . Calcula el área encerrada por la elipse de semiejes 2 y 4.


1) 25.13274122871834

2) 27.13274122871834

3) 28.13274122871834

4) 29.13274122871834

5) 20.13274122871834

6) 31.13274122871834

24 . Calcula la longitud de la elipse de semiejes 2 y 4.


1) 18.37689644109473

2) 21.37689644109473

3) 22.37689644109473

4) 23.37689644109473

5) 14.37689644109472

6) 19.37689644109473

25 . Calcula el volumen que se obtiene al girar al elipse de semiejes 2 y 4 alrededor del eje Ox.


1) 42.66666666666666π

2) 40.66666666666666π

3) 45.66666666666666π

4) 38.66666666666666π

5) 37.66666666666666π

6) 36.66666666666666π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 3 y centro (0, 9) alrededor del ejeOy.


1) 35.0π

2) 34.0π

3) 39.0π

4) 32.0π

5) 41.0π

6) 36.0π

27 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 3 y centro (0, 10) alrededor deleje Ox (volumen de una rosquilla).


1) 564.4866776461628π

2) 567.4866776461628π

3) 565.4866776461628π

4) 561.4866776461628π

5) 570.4866776461628π

6) 559.4866776461628π

28 . Calcula la super�cie del sólido de revolución que se obtiene al girar el círculo de radio 3 ycentro (0, 12) alrededor del eje Ox (super�cie de la rosquilla).


Recuerdo que la ecuación de esta elipse es x2

a2+ y

2

b2= 1.



1) 451.3893421164088π

2) 450.3893421164088π

3) 449.3893421164088π

4) 448.3893421164088π

5) 447.3893421164088π

6) 452.3893421164088π


Métodos numéricos para el cálculo de integrales

La regla del trapecio Dada una función f : [a, b] → R integrable, la regla del trapecioconsiste en aproximar la integral de�nida

∫ ba f(x)dx por

∫ ba P1(x)dx, donde P1(x) es el único

polinomio de grado 1 (recta) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Así que:∫ baf(x)dx ≈

∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))

y el error que cometemos en dicha aproximación, si la función f es de clase C2, es:

E = − 112

(b− a)3f ′′(c),

donde c es un punto del intervalo (a, b).El error anterior puede reducirse si utilizamos la regla del trapecio compuesta, ésta consiste endividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud h = b−an y aplicar la regla del trapeciosimple a cada uno de los intervalos [a+ jh, a+(j+1)h] con j ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. Este métodoproporciona la aproximación:∫ b

af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),

para esta aproximación el error que se comete, si f es de clase C2, es:

E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),

siendo c un punto del intervalo (a, b).La regla de Simpson. La idea de esta regla es aproximar la función f : [a, b] → R a integrarpor el polinomio de grado 2 (único) que pasa por los puntos (a, f(a)), (a+b2 , f(

a+b2 )) y (b, f(b)).

De esta manera, se obtiene la aproximación:∫ baf(x)dx ≈

∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).

Además, si la función es de clase C4, existe c ∈ (a, b) tal que, el error que se comete en laaproximación es:

E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).

Al igual que en la regla del trapecio, si subdividimos el intervalo [a, b] en n partes (con n númeropar) y aplicamos a cada una de ellas la regla de Simpson, se obtiene una mejor aproximaciónde la integral:

∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)

,con un error, si f es de clase C4, dado por:

E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),

estando c en (a, b).



29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 30 sen (2x) + cos (2x) + e

xdx usando 6 particionesen la regla del trapecio compuesta.


1) 19.27186563599673

2) 19.57186563599673

3) 19.37186563599673

4) 19.77186563599673

5) 18.87186563599673

6) 19.97186563599673


xdx usando 6 particionesla regla de Simpson compuesta.


1) 18.87142476222355

2) 19.17142476222355

3) 18.67142476222355

4) 19.37142476222355

5) 18.47142476222355

6) 18.97142476222355


Resolución de ecuaciones por el método de bipartición

Dada una ecuación f(x) = 0 con f continua en [a, b] y tal que f(a)f(b) < 0 y con una raízúnica r en [a, b], el método de bipartición consiste en realizar los siguientes pasos:

1) Calcular el punto medio entre a y b, es decir m0 = a+b2 ,

2) Si f(m) = 0 entonces r = m0,

3) En caso contrario tomamos el intervalo [a1, b1] ⊂ [a, b] entre [a,m0] o [m0, b]. Elegimosaquél en el que la función toma en los extremos puntos opuestos, es decir, r ∈ [a1, b1].

4) Volvemos al primer paso y repetimos la operación hasta que r = mn (puede que no seconsiga).

Si no conseguimos la raíz en un número �nito de pasos, al menos tendremos una sucesión deintervalos encajados en la que se encuentra la raíz:

r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:

bn − an =b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 7) (x− 6) (x− 5) (x− 4) (x− 3) (x− 2) x tiene claramente como raí-ces al conjunto {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 1.0 y b = 6.5.


1) 0

2) 2

3) 3

4) 6

5) 5

6) 7


El método de Newton-Raphson



Suponemos aquí que la función f es derivable. La idea de este método es utilizar las tangentesa la curva y = f(x) como aproximación de la curva.

Se trata en este método de iterar la función g(x) = x− f(x)f ′(x) . Es decir, construimos una sucesión(xn)n que satisfaga xn+1 = g(xn), sucesión que bajo ciertas hipótesis converge a una raíz dela ecuación f(x) = 0. Fijado un error E > 0 consideraremos que el método ha encontrado lasolución cuando encontremos el primer xn para el que |f(xn)| < E.

32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cosx sen (2x) + senx cos (2x) tomando como punto inicial x0 = 0.78539816339744. Fijamosel error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 1.057197555397349

2) 1.027197555397349

3) 1.077197555397349

4) 1.047197555397349

5) 0.99719755539734

6) 1.107197555397349


ALCARAZ HERNANDEZ, CARLOS MANUEL . Problema número 2

Ejercicios para ALCARAZ HERNANDEZ, CARLOS MANUEL (ejercicio número 2)

Observaciones



Soluciones del test de ALCARAZ HERNANDEZ, CARLOS MANUEL


1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 6


30 1 2 3 4 5 631 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 6





1 .

Factoriza el polinomio p(x) = x10−29x9+375x8−2847x7+14052x6−47112x5+108656x4−170224x3 + 173376x2 − 103680x+ 27648Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 6)5 (x+ 2)3 (x+ 4)2

2) (x− 7)5 (x− 5)5

3) (x− 4)3 (x− 3)3 (x− 2)4

4) (x− 6)8 (x− 4)2

5) (x− 9)3 (x− 4)2 (x+ 1)2 (x+ 3)3

6) (x− 7)2 (x− 6)2 (x− 5)3 (x− 4)3



1) 66045

2) 66054

3) 66043

4) 66049

5) 66047

6) 66052

3 .



1) 257

2) 246

3) 252

4) 251

5) 254

6) 249

4 .


n=11n6.


1) 1.517343027386751

2) 0.41734302738675

3) 1.717343027386751

4) 0.81734302738675

5) 1.017343027386751

6) 0.61734302738675

5 .



1) 17 2) 8 3) 20 4) 12 5) 15 6) 13

6 .



1) 3391

2) 3382

3) 3394

4) 3386

5) 3389

6) 3387


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 5] , [−1, 2, 2, 0] , [0, 1, 4, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[5, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 3]},



0 0 0 030 −2 −1 0−40 6 6 −1−100 25 22 −4



1)

0 15 0

15

0 0 5 −51 0 −10 114 1 −30 34

2)

15 0 0

15

−5 5 0 011 −10 −1 134 −30 −4 5

3)

15 0 −

15

15

0 0 5 01 −1 −11 15 −4 −34 4

4)

0 15

15 0

−5 0 0 010 1 0 130 4 1 4

5)

15 −

15 −

15 0

0 0 0 50 −1 −1 −101 −5 −4 −30

6)

0 −15 −

15 0

5 0 0 0−10 −1 0 −1−30 −4 −1 −4



1)

0 −15 −

15

15

3 1 −2 20 −1 2 −2−3 −1 2 −1

2)

15 0 −

15 0

2 0 1 3−2 0 −1 0−2 1 −1 −3

3)

−15 0 −

15 0

4 −3 −2 0−1 0 2 0−4 3 1 1

4)

0 −15

15 −

15

0 −2 −4 10 2 1 −11 1 4 −1

5)

−15

15 0 −

15

1 −4 0 −2−1 1 0 2−1 4 −1 2

6)

−15 0

15 0

−2 0 −1 −32 0 1 02 −1 1 3



1)

13 −2 −

253

203

0 3 0 4−23 4 −

253

353

0 0 0 0

2)

203 −

253 −

13 −

53

4 0 0 3353 −

253

23

103

0 0 0 0

3)

−53 −

13 −

203 −

53

3 0 −4 4103

23 −

353

103

0 0 0 0

4)

−53 −

203

53 −2

4 −4 −3 3103 −

353 −

103 4

0 0 0 0

5)

253 −

53 −2

13

0 4 3 0253

103 4 −

23

0 0 0 0

6)

−253

53 2 −

13

0 −4 −3 0−253 −

103 −4

23

0 0 0 0





1)(−1 −1 2 515

)βP

2)(415

515 −1 −1

)βP

3)(515 2 0 −1

)βP

4)(−2 415 −1 0

)βP

5)(1 0 415 −2

)βP

6)(−515 −2 0 1

)βP



1)(103 4

133

203

)βR

2)(−23

103

203

73

)βR

3)(−133

73

103 −

23

)βR

4)(−4 −23

73 −

133

)βR

5)(−203 −

133 −

23 −4

)βR

6)(−103 −4 −

133 −

203

)βR



1)(0 0 3 11

)βP

2)(0 0 11 8

)βP

3)(−3 8 0 0

)βP

4)(0 0 8 −3

)βP

5)(−11 −3 0 0

)βP

6)(0 0 −3 −11

)βP


41 20 −4 0−68 −33 8 0−52 −30 13 00 0 0 5



1) (x− 8) (x− 6) (x− 4)2

2) (x− 11) (x− 9) (x− 7)23) (x− 6) (x− 4) (x− 2)2

4) (x− 13) (x− 11) (x− 9)25) (x− 9) (x− 7) (x− 5)2

6) (x− 15) (x− 13) (x− 11)2




1) {[−1, 1,−3, 50] , [1,−1, 3, 25]}2) {[−1, 2, 1, 50] , [1,−2,−1, 25]}3) {[1,−1, 3,−125] , [5,−5, 15, 50]}

4) {[−4, 4,−12,−175] , [7,−7, 21,−200]}5) {[−11, 11,−33, 25] , [−1, 1,−3,−550]}6) {[−23, 23,−69,−500] , [−10, 10,−30, 575]}



1)

4 0 0 00 4 0 00 0 6 00 0 0 8

2)7 0 0 00 7 0 00 0 9 00 0 0 11

3)5 0 0 00 5 0 00 0 7 00 0 0 9



4)

9 0 0 00 9 0 00 0 11 00 0 0 13

5)0 0 0 00 0 0 00 0 2 00 0 0 4

6)11 0 0 00 11 0 00 0 13 00 0 0 15



1)

−1 0 0 −12 −1 0 22 −5 0 10 0 −25 25

2)

−1 0 1 −12 0 −2 11 0 −2 −325 −25 0 0

3)

0 −1 0 −10 2 −1 20 1 −5 225 0 0 0

4)

−1 1 1 02 −2 −1 −11 −1 3 −50 −25 0 0

5)

0 1 1 0−1 −1 −2 0−5 3 −1 00 0 0 −25

6)

0 1 0 10 −2 1 −20 −1 5 −2

−25 0 0 0


43 20 −4 0−68 −31 8 0−52 −30 15 00 0 0 7

es pB(x) =x4 − 34x3 +428x2 − 2366x+4851 = (x− 11) (x− 9) (x− 7)2, si éste polinomio lo aplicamosa la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) = B4 − 34B3 + 428B2 −2366B+4851I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería la matriz nula.



1)

0 −16 −144 2240 32 280 −4360 32 248 −3880 0 0 0

2)

144 80 −16 0−280 −156 32 0−248 −140 32 00 0 0 0

3)

−16 0 −224 8032 0 436 −15632 0 388 −1400 0 0 0

4)

80 −224 16 −16

−156 436 −32 32−140 388 −32 320 0 0 0

5)

−16 16 −80 −14432 −32 156 28032 −32 140 2480 0 0 0

6)

−144 −80 16 0280 156 −32 0248 140 −32 00 0 0 0



1)

0 −4 −34 540 8 68 −1080 6 52 −82−2 0 0 0

2)

54 −34 0 −4

−108 68 0 8−82 52 0 60 0 2 −2

3)

34 20 −4 0−68 −40 8 0−52 −30 6 00 0 0 −2

4)

20 −54 4 −4−40 108 −8 8−30 82 −6 60 0 2 0

5)

−4 4 −20 −348 −8 40 686 −6 30 520 2 0 0

6)

−34 −20 4 068 40 −8 052 30 −6 00 0 0 2





1)

0 −4 −32 520 8 68 −1100 4 52 −82−4 0 0 0

2)

32 20 −4 0−68 −42 8 0−52 −30 4 00 0 0 −4

3)

−4 0 −52 208 0 110 −424 0 82 −30−4 4 0 0

4)

20 −52 4 −4−42 110 −8 8−30 82 −4 40 0 4 0

5)

−4 4 −20 −328 −8 42 684 −4 30 520 4 0 0

6)

−32 −20 4 068 42 −8 052 30 −4 00 0 0 4



1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0




L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx




A =



A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx


A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx






V = π

∫ baf(x)2dx


V = 2π

∫ baxf(x)dx


Veamos un ejemplo:




√9x2

1− x2+ 1 dx



1) 241122) 27712

3) 217124) 30112

5) 193126) 25312






1) 8285122) 829712

3) 8261124) 834512

5) 8237126) 836912



1) 87.96459430051421

2) 89.96459430051421

3) 84.96459430051421

4) 91.96459430051421

5) 82.96459430051421

6) 93.96459430051421



1) 34.2031621972858

2) 33.2031621972858

3) 32.2031621972858

4) 31.2031621972858

5) 40.2031621972858

6) 35.2031621972858



1) 262.3333333333333π

2) 263.3333333333333π

3) 261.3333333333333π

4) 257.3333333333333π

5) 266.3333333333333π

6) 255.3333333333333π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 5 y centro (0, 15) alrededor deleje Oy.


1) 165.6666666666666π

2) 164.6666666666666π

3) 169.6666666666666π

4) 170.6666666666666π

5) 166.6666666666666π

6) 160.6666666666666π



1) 2671.353755551324π

2) 2668.353755551324π

3) 2667.353755551324π

4) 2670.353755551324π

5) 2675.353755551324π

6) 2676.353755551324π




a2+ y

2

b2= 1.



1) 1193.805208364306π

2) 1191.805208364306π

3) 1196.805208364306π

4) 1189.805208364306π

5) 1198.805208364306π

6) 1187.805208364306π




∫ ba f(x)dx por



∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))


E = − 112

(b− a)3f ′′(c),


af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),


E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),


a+b2 )) y (b, f(b)).


∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).


E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).


∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)


E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),




29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 50 sen (4x)+cos (2x)+e



1) 149.2956694362695

2) 149.5956694362695

3) 149.0956694362695

4) 149.7956694362695

5) 148.8956694362695

6) 149.3956694362695

30 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 50 sen (4x)+cos (2x)+e



1) 147.221812301578

2) 147.521812301578

3) 147.021812301578

4) 147.721812301578

5) 146.821812301578

6) 147.321812301578









r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:

bn − an =b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 10) (x− 8) (x− 7) (x− 6) (x− 5) (x− 4) x tiene claramente comoraíces al conjunto {0, 4, 5, 6, 7, 8, 10}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 2.0 y b = 9.0.


1) 0

2) 4

3) 5

4) 8

5) 7

6) 10







32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cos (2x) sen (4x) + sen (2x) cos (4x) tomando como punto inicial x0 = 0.39269908169872.Fijamos el error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.53359877769867

2) 0.52359877769867

3) 0.55359877769867

4) 0.56359877769867

5) 0.57359877769867

6) 0.58359877769867


ASENSIO PEREZ, JUAN FRANCISCO . Problema número 3

Ejercicios para ASENSIO PEREZ, JUAN FRANCISCO (ejercicio número 3)

Observaciones



Soluciones del test de ASENSIO PEREZ, JUAN FRANCISCO


1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 6


30 1 2 3 4 5 631 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 6





1 .


1) (x− 8)2 (x− 4)3 (x− 1)3 (x+ 1)2

2) (x− 4)3 (x− 3)5 (x− 1)2

3) (x− 9)3 (x− 8)2 (x+ 2)3 (x+ 3)2

4) (x− 9)6 (x− 4)2 (x− 2)2

5) (x− 5)2 (x− 4)3 (x− 2)3 (x+ 5)2

6) (x− 8)2 (x− 7)2 (x− 6)6



1) 73441

2) 73447

3) 73434

4) 73443

5) 73438

6) 73445

3 .



1) 364

2) 354

3) 360

4) 359

5) 362

6) 357

4 .


n=11n4.


1) 1.08229757218993

2) 0.58229757218993

3) 1.68229757218993

4) 0.98229757218993

5) 1.28229757218993

6) 0.78229757218992

5 .



1) 10 2) 5 3) 17 4) 9 5) 12 6) 7

6 .



1) 3262

2) 3252

3) 3265

4) 3257

5) 3258

6) 3255


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 6] , [−1, 1, 3, 0] , [0, 1, 3, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[4, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 2]},



0 0 0 00 −1 −1 018 4 4 −154 13 9 −3



1)

0 16 0

16

0 0 4 −41 0 −4 53 1 0 3

2)

16 0 0

16

−4 4 0 05 −4 −1 13 0 −3 4

3)

16 0 −

16

16

0 0 4 01 −1 −5 14 −3 −3 3

4)

0 16

16 0

−4 0 0 04 1 0 10 3 1 3

5)

16 −

16 −

16 0

0 0 0 40 −1 −1 −41 −4 −3 0

6)

0 −16 −

16 0

4 0 0 0−4 −1 0 −10 −3 −1 −3



1)

0 −14 −

14

14

2 1 −2 20 −1 2 −2−2 −1 2 −1

2)

14 −

14 0 −

14

2 −2 −2 3−2 2 0 −1−1 2 2 −3

3)

−14 0 −

14 0

3 −2 −2 0−1 0 2 0−3 2 1 1

4)

14 0 −

14 0

2 0 1 2−2 0 −1 0−2 1 −1 −2

5)

−14

14 0 −

14

1 −3 0 −2−1 1 0 2−1 3 −1 2

6)

−14 0

14 0

−2 0 −1 −22 0 1 02 −1 1 2



1)

163

13 0

13

0 3 2 0163 −

23 0 −

23

0 0 0 0

2)

173 −

163 −

13

13

3 0 0 2143 −

163

23 −

23

0 0 0 0

3)

13 −

13 −

173

13

2 0 −3 3−23

23 −

143 −

23

0 0 0 0

4)

13 −

173 −

13 0

3 −3 −2 2−23 −

143

23 0

0 0 0 0

5)

0 −13 −

13 −

163

2 −2 −3 00 23

23 −

163

0 0 0 0

6)

−163 −

13 0 −

13

0 −3 −2 0−163

23 0

23

0 0 0 0





1)(7 10 2 163

)βP

2)(103

163 10 7

)βP

3)(−3 7 163

103

)βP

4)(−2 103 7 −3

)βP

5)(163 2 3 10

)βP

6)(−163 −2 −3 −10

)βP



1)(5 9 3 3

)βR

2)(0 3 9 5

)βR

3)(3 3 4 9

)βR

4)(−3 0 5 −4

)βR

5)(−9 −4 0 −3

)βR

6)(−3 −3 −4 −9

)βR



1)(3 5 0 0

)βP

2)(0 0 2 5

)βP

3)(−2 3 0 0

)βP

4)(0 0 3 −2

)βP

5)(−5 −2 0 0

)βP

6)(0 0 −2 −5

)βP


14 16 −4 0−7 −9 4 0−20 −44 18 00 0 0 6



1) (x− 9) (x− 6) (x− 5)2

2) (x− 12) (x− 9) (x− 8)23) (x− 7) (x− 4) (x− 3)2

4) (x− 14) (x− 11) (x− 10)25) (x− 10) (x− 7) (x− 6)2

6) (x− 16) (x− 13) (x− 12)2




1) {[−1, 1, 2, 48] , [1,−1,−2, 24]}2) {[1, 0, 1, 96] , [2, 0, 2,−24]}3) {[1, 0, 1,−120] , [5, 0, 5, 48]}

4) {[−4, 0,−4,−168] , [7, 0, 7,−192]}5) {[−11, 0,−11, 24] , [−1, 0,−1,−528]}6) {[−23, 0,−23,−480] , [−10, 0,−10, 552]}



1)

5 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 9

2)8 0 0 00 8 0 00 0 9 00 0 0 12

3)3 0 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 7



4)

6 0 0 00 6 0 00 0 7 00 0 0 10

5)1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 5

6)12 0 0 00 12 0 00 0 13 00 0 0 16



1)

−1 0 0 −11 −1 0 13 −4 0 20 0 −24 24

2)

−1 0 1 −11 0 −1 02 0 −3 −124 −24 0 0

3)

−1 1 1 −10 −1 −1 1−1 −3 −2 20 0 −24 0

4)

−1 1 1 01 −1 0 −12 −2 1 −40 −24 0 0

5)

0 −1 0 −10 1 −1 10 2 −4 324 0 0 0

6)

0 1 0 10 −1 1 −10 −2 4 −3

−24 0 0 0


16 16 −4 0−7 −7 4 0−20 −44 20 00 0 0 8




1)

0 −16 −32 960 16 31 −940 48 92 −2800 0 0 0

2)

96 −32 0 −16−94 31 0 16−280 92 0 480 0 0 0

3)

−16 0 −96 6416 0 94 −6348 0 280 −1880 0 0 0

4)

64 −96 16 −16−63 94 −16 16−188 280 −48 480 0 0 0

5)

32 64 −16 0−31 −63 16 0−92 −188 48 00 0 0 0

6)

−32 −64 16 031 63 −16 092 188 −48 00 0 0 0



1)

7 16 −4 0−7 −16 4 0−20 −44 11 00 0 0 −1

2)

23 −7 0 −4−23 7 0 4−64 20 0 110 0 1 −1

3)

−4 0 −23 164 0 23 −1611 0 64 −44−1 1 0 0

4)

16 −23 4 −4−16 23 −4 4−44 64 −11 110 0 1 0

5)

−4 4 −16 −74 −4 16 711 −11 44 200 1 0 0

6)

−7 −16 4 07 16 −4 020 44 −11 00 0 0 1





1)

0 −4 −4 200 4 7 −260 8 20 −64−4 0 0 0

2)

20 −4 0 −4−26 7 0 4−64 20 0 80 0 4 −4

3)

−4 0 −20 164 0 26 −198 0 64 −44−4 4 0 0

4)

4 16 −4 0−7 −19 4 0−20 −44 8 00 0 0 −4

5)

−4 4 −16 −44 −4 19 78 −8 44 200 4 0 0

6)

−4 −16 4 07 19 −4 020 44 −8 00 0 0 4



1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0




L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx




A =



A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx


A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx






V = π

∫ baf(x)2dx


V = 2π

∫ baxf(x)dx


Veamos un ejemplo:




√9x2

1− x2+ 1 dx



1) 12742) 1394

3) 13144) 1474

5) 11146) 1554






1) 16637102) 1666710

3) 16617104) 1664710

5) 16597106) 1670710



1) 46.12388980384689

2) 47.12388980384689

3) 50.12388980384689

4) 51.12388980384689

5) 52.12388980384689

6) 53.12388980384689



1) 26.52699886326359

2) 27.52699886326359

3) 22.52699886326359

4) 29.52699886326359

5) 25.52699886326359

6) 19.52699886326359



1) 100.0π

2) 98.0π

3) 103.0π

4) 104.0π

5) 105.0π

6) 106.0π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 4 y centro (0, 12) alrededor deleje Oy.


1) 86.33333333333333π

2) 83.33333333333333π

3) 82.33333333333333π

4) 89.33333333333333π

5) 90.33333333333333π

6) 85.33333333333333π



1) 1305.902543893354π

2) 1308.902543893354π

3) 1306.902543893354π

4) 1302.902543893354π

5) 1301.902543893354π

6) 1300.902543893354π




a2+ y

2

b2= 1.



1) 803.2477193189353π

2) 806.2477193189353π

3) 804.2477193189353π

4) 800.2477193189353π

5) 809.2477193189353π

6) 798.2477193189353π




∫ ba f(x)dx por



∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))


E = − 112

(b− a)3f ′′(c),


af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),


E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),


a+b2 )) y (b, f(b)).


∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).


E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).


∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)


E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),







1) 54.5080630245177

2) 54.6080630245177

3) 54.30806302451771

4) 55.0080630245177

5) 54.1080630245177

6) 55.2080630245177




1) 53.38459706242911

2) 53.68459706242912

3) 53.48459706242912

4) 53.88459706242911

5) 52.98459706242912

6) 54.08459706242912









r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:

bn − an =b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 8) (x− 7) (x− 6) (x− 5) (x− 4) (x− 3) x tiene claramente como raí-ces al conjunto {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 1.5 y b = 7.5.


1) 0

2) 3

3) 4

4) 6

5) 7

6) 8







32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cosx sen (3x) + senx cos (3x) tomando como punto inicial x0 = 0.58904862254808. Fijamosel error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.78539816654801

2) 0.80539816654801

3) 0.81539816654801

4) 0.82539816654801

5) 0.73539816654801

6) 0.84539816654801


BAÑO ALARCÓN, ALFONSO DEL . Problema número 4

Ejercicios para BAÑO ALARCÓN, ALFONSO DEL (ejercicio número 4)

Observaciones



Soluciones del test de BAÑO ALARCÓN, ALFONSO DEL


1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 6


30 1 2 3 4 5 631 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 6





1 .


1) (x− 9)2 (x− 7)3 (x− 3)3 (x+ 5)2

2) (x− 10)2 (x− 9)6 (x− 4)2

3) (x− 5)3 (x− 4)2 (x− 3)3 (x− 1)2

4) (x− 6)6 (x− 5)2 (x− 2)2

5) (x− 8)3 (x− 5)2 (x− 4)3 (x+ 1)2

6) (x− 9)3 (x− 8)2 (x− 4)3 (x− 2)2



1) 231357

2) 231366

3) 231355

4) 231361

5) 231359

6) 231364

3 .



1) 495

2) 490

3) 502

4) 494

5) 497

6) 492

4 .


n=11n4.


1) 1.08230058627172

2) 0.48230058627172

3) 1.78230058627172

4) 0.98230058627172

5) 1.38230058627172

6) 0.68230058627172

5 .



1) 16 2) 7 3) 19 4) 11 5) 12 6) 9

6 .



1) 4511

2) 4506

3) 4513

4) 4504

5) 4509

6) 4502


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 6] , [−1, 1, 4, 0] , [0, 1, 3, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[4, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 2]},



0 0 0 0−6 −1 −1 024 5 4 −148 15 8 −3



1)

0 16 0

16

0 0 4 −41 0 −4 53 1 4 −1

2)

16 0 0

16

−4 4 0 05 −4 −1 1−1 4 −3 4

3)

16 0 −

16

16

0 0 4 01 −1 −5 14 −3 1 3

4)

16 −

16 −

16

16

0 4 0 01 −5 −1 03 1 −4 1

5)

16 −

16 −

16 0

0 0 0 40 −1 −1 −41 −4 −3 4

6)

0 16

16 0

−4 0 0 04 1 0 1−4 3 1 3



1)

0 −14 −

14

14

2 1 −2 20 −1 2 −2−2 −1 2 −1

2)

14 0 −

14 0

2 0 1 2−2 0 −1 0−2 1 −1 −2

3)

−14 0 −

14 0

3 −2 −2 0−1 0 2 0−3 2 1 1

4)

0 −14

14 −

14

0 −2 −3 10 2 1 −11 1 3 −1

5)

−14

14 0 −

14

1 −3 0 −2−1 1 0 2−1 3 −1 2

6)

−14 0

14 0

−2 0 −1 −22 0 1 02 −1 1 2



1)

13

13 −

163 6

0 2 0 3−23 −

23 −

163 4

0 0 0 0

2)

163

23

13

13

0 3 2 0163 −

43 −

23 −

23

0 0 0 0

3)

23 −

13 −6

23

2 0 −3 3−43

23 −4 −

43

0 0 0 0

4)

23 −6 −

23

13

3 −3 −2 2−43 −4

43 −

23

0 0 0 0

5)

13 −

23 −

23 −

163

2 −2 −3 0−23

43

43 −

163

0 0 0 0

6)

−163 −

23 −

13 −

13

0 −3 −2 0−163

43

23

23

0 0 0 0





1)(9 12 2 163

)βP

2)(103

163 12 9

)βP

3)(−3 9 163

103

)βP

4)(−2 103 9 −3

)βP

5)(−12 −3 103 −2

)βP

6)(163 2 3 12

)βP



1)(143 9 3

103

)βR

2)(13

103 9

143

)βR

3)(103 3

133 9

)βR

4)(−3 13

143 −

133

)βR

5)(−9 −133

13 −3

)βR

6)(−103 −3 −

133 −9

)βR



1)(3 5 0 0

)βP

2)(0 0 5 3

)βP

3)(−2 3 0 0

)βP

4)(0 0 3 −2

)βP

5)(0 0 2 5

)βP

6)(0 0 −2 −5

)βP


11 20 −5 0−4 −13 5 0−16 −76 26 00 0 0 6



1) (x− 10) (x− 6) (x− 5)2

2) (x− 13) (x− 9) (x− 8)23) (x− 11) (x− 7) (x− 6)2

4) (x− 15) (x− 11) (x− 10)25) (x− 6) (x− 2) (x− 1)2

6) (x− 17) (x− 13) (x− 12)2




1) {[−1, 0, 0, 48] , [1, 0, 0, 24]}2) {[1, 0, 0, 96] , [2, 0, 0,−24]}3) {[1, 0, 0,−120] , [5, 0, 0, 48]}

4) {[−4, 0, 0,−168] , [7, 0, 0,−192]}5) {[−1, 1, 3, 48] , [1,−1,−3, 24]}6) {[−23, 0, 0,−480] , [−10, 0, 0, 552]}



1)

5 0 0 00 5 0 00 0 6 00 0 0 10

2)8 0 0 00 8 0 00 0 9 00 0 0 13

3)3 0 0 00 3 0 00 0 4 00 0 0 8



4)

10 0 0 00 10 0 00 0 11 00 0 0 15

5)1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 6

6)6 0 0 00 6 0 00 0 7 00 0 0 11



1)

0 −1 0 −10 1 −1 10 3 −4 424 0 0 0

2)

−1 0 1 −11 0 −1 03 0 −4 024 −24 0 0

3)

−1 1 1 −10 −1 −1 10 −4 −3 30 0 −24 0

4)

−1 1 1 01 −1 0 −13 −3 0 −40 −24 0 0

5)

0 1 1 0−1 0 −1 0−4 0 −3 00 0 0 −24

6)

0 1 0 10 −1 1 −10 −3 4 −4

−24 0 0 0


13 20 −5 0−4 −11 5 0−16 −76 28 00 0 0 8




1)

0 −25 −25 1250 25 24 −1230 100 96 −4920 0 0 0

2)

125 −25 0 −25−123 24 0 25−492 96 0 1000 0 0 0

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