Gaceta Mefisto 07

7/30/2019 Gaceta Mefisto 07

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Nmero 7 Abril de 2013

En este nmero:

Presentacin 2

Las piedras del cielo 3

Fausto Cervantes Ortiz

Sobre un tal Pierre (o Pire) de Fermat 7

Carlos Infante Vargas

Tripletas pitagricas 9Daniel Maisner Bush

El cielo de primavera 12

Sobre San Lorenzo Tezonco 18

Anayatzin Salazar Rodrguez

Frases clebres 21

Acertijos 22

Sudoku 24

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemticos y todos aquellos que hacen profecas

vacas. Existe el peligro de que los matemticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el

espritu y confnar al hombre en el inferno.

San Agustn,De genesi ad Litteram, libro II, captulo xviii, verso 37.


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PresentacinOctavio Campuzano Cardona

Academia de Cultura Cientfco-Humanstica

La imagen colectiva de los cientcos y matemti-cos de hoy es que stos son personas geniales

que obtienen resultados relevantes dentro de suscubculos o laboratorios. Sin embargo, desde lasrefexiones de Tomas S. Kuhn en los aos sesen-tas sobre la actividad cientca, hasta los recientesplanteamientos de los llamados estudios socialesde la ciencia, se ha modicado esa percepcin id-lica de los cientcos. Entre otros argumentos, paracomprender de manera ms prounda el lugar enla dinmica cientca, de los cientcos podemosmencionar:

1) Los cientcos trabajan slo sobre algunos pro-blemas y su quehacer est inserto en tradiciones deinvestigacin. Desde sus carreras, a los estudiantesde ciencia se les inicia en el estudio de su rea deinvestigacin y les ensean las teoras, modelos y,sobre todo, el tipo de problemas relevantes para sucomunidad. 2) Para realizar su investigacin, loscientcos no slo requieren recursos e inraes-tructura, sino tambin de la colaboracin de unamultitud de personas (no necesariamente cient-

cos). 3) Los resultados de las investigaciones pa-trocinadas por transnacionales dejan de lado a losautores y los presentan como desarrollo de la cor-poracin. En sntesis, un cientco no slo requie-re de talento personal para su desarrollo, tambindebe pertenecer a una comunidad y a una insti-tucin que lo respalde.

Sin embargo, en la historia encontramos casosde cientcos extraordinarios, como es el caso dePierre de Fermat, que rompe con todos los esque-mas. En este nmero damos a conocer, por mediode un relato, a este genio que nunca imagin serel padre de uno de los problemas ms ascinantesde la historia de las matemticas: el ltimo teoremade Fermat. En el artculo tripletas pitagricas seabordan algunos elementos para entender en quconsiste el problema planteado por el matemticorancs.

Las preocupaciones cotidianas sobre las catstroesque podran acabar con la ierra se abordan conun enoque cientco en MEFISO, describiendolas historias de dos objetos celestes, el primero queimpact la ciudad rusa de Chelibinsk y el aste-roide 2012 DA

14, mucho ms grande que el prime-

ro, el cual pas muy cerca de nuestro planeta. En elartculo se explican algunos enmenos asociadosa estos objetos y el tipo de estrategias para detectarsus trayectorias y medir sus riesgos.

Finalmente, agregamos aqu un breve ensayo so-bre la historia y caractersticas del pueblo de SanLorenzo ezonco, lugar que alberga la sede msgrande de nuestra universidad, escrito por unaegresada de la Licenciatura en Ciencias Sociales,de este plantel.

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Editor

Fausto Cervantes Ortiz

Comit Editorial

Ana Beatriz Alonso OsorioOctavio Campuzano CardonaFausto Cervantes OrtizDaniel Maisner Bush

Vernica Puente Vera

Publicada electrnicamente en:

http://issuu.com/gacetamefsto

http://gacetamefsto.webs.com

Toda contribucin deber enviarse en versin electrnica a:

[email protected]

Registro ISSN en trmite. Las opiniones expresadas en los artculosson puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reejanla opinin del Comit Editorial.

Universidad Autnoma de la Ciudad de MxicoNada humano me es ajeno


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Las piedras del cieloFausto Cervantes Ortiz

Academia de Matemticas

El cielosuculentono slo tuvo nubes,no slo espacio con olor a oxgeno,sino una piedra terrestreaqu y all, brillando,convertida en paloma,convertida en campana,en magnitud, en viento

penetrante:en osrica echa, en sal del cielo.

Pablo Neruda

El blido de Chelibinsk

La maana del 15 de ebrero, la ciudad de Che-libinsk, en Rusia, suri un enmeno poco usual:recibi un blido que destruy ventanas y provocdaos en edicios, adems de producir heridas acasi 1500 personas, de las cuales, ms de 100 tuvie-ron que ser hospitalizadas.

Este enmeno celeste ocurri cuando una rocade unos 15 por 17 metros ingres a la atmseraa muy alta velocidad, aproximadamente a 65 milkilmetros por hora. Al tocar la atmsera, elchoque con el aire provoc una explosin (que asu vez produjo una onda expansiva) equivalente ala detonacin de treinta bombas atmicas como lade Hiroshima.

Figura 1. Blido de Chelibinsk. Figura 2. Dos aspectos de la trayectoria del blidode Chelibinsk.


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Aunque el objeto se desintegr casi totalmente alcontacto con la atmsera, hubo algunos ragmen-tos que alcanzaron la ierra y ueron hallados porlas uerzas armadas de Kazajstn en su territorio.El impacto dej un crter de ms de 20 metros dedimetro cerca del lago Chebarkul, localizado ams de 50 km al suroeste de Cheliabinsk.

De las imgenes captadas, videos tomados por a-cionados, rastros dejados en el cielo, etctera, ueposible calcular la trayectoria de dicho objeto, en-contrndose que aparentemente no tuvo relacin

Figura 3. Crter provocado por el impacto del me-teorito de Chelibinsk en Kasajztn.

Figura 4. Aspecto del teatro de Chelibinsk despusde la explosin del blido.

Algunas deniciones tiles

Meteoroide: Cuerpo menor del Sistema Solar, de entre 100 micrmetros y 50 metros de dimetro(o cualquier otra dimensin mxima, pues sus ormas pueden ser altamente irregulares). El lmiteinerior en tamao es para dierenciarlos del polvo csmico, mientras que el lmite superior espara dierenciarlos de los asteroides y cometas.

Meteoro: Fenmeno luminoso producido por la entrada de un meteoroide en la atmsera terres-tre. La riccin produce calentamiento y evaporacin, y la ionizacin atmosrica produce luz. Siel enmeno es ms brillante que el planeta Venus, se le llama blido.

Meteorito: Meteoroide que no se desintegra por completo al atravesar la atmsera y alcanza lasupercie terrestre. Puede producir un crter debido al impacto.

Asteroide: Cuerpo menor del Sistema Solar, de tamao mayor que el de un meteoroide y menorque el de un planeta. La mayora de los asteroides orbitan entre Marte y Jpiter, pero hay muchosque tienen rbitas que cruzan entre los planetas mayores o los planetas interiores.

alguna con otro evento celeste, en el que un aste-roide pas a una distancia mnima de la supercieterrestre slo unas pocas horas ms tarde.

El asteroide 2012 DA14

El 22 de ebrero de 2012, astrnomos de la Uni-versidad de Granada (Espaa) descubrieron unasteroide de dimetro aproximado de 50 metros.


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Siguiendo su trayectoria y calculando a uturo, seconcluy que el 15 de ebrero de 2013 dicho aste-roide pasara a unos 27 700 km de la supercie te-rrestre, lo que constituira un rcord para un ob-jeto de tales dimensiones. La imagen a escala esten la gura 5.

El asteroide 2012 DA14 es uno ms de los muchosobjetos que orbitan el Sol en trayectorias elpticasnotablemente excntricas, lo que hace que atra-viese la rbita de la ierra acercndose tambina la de Venus en su mayor lejana con la ierra,como se ve en la gura 6.

Interacciones gravitacionales

Si bien al calcular las rbitas de los objetos an-teriormente descritos nos encontramos que lastrayectorias se calculan en base a los datos que se

Figura 5. rbitas de los planetas Mercuro, Venus,ierra y Marte, as como del meteoroide de Chelia-

bynsk y el asteroide 2012 DA14

.

Figura 6. Representada a escala, se muestra la dis-tancia a la que pas el asteroide 2012 DA

14.

tienen a la mano. Si bien en el caso del asteroide2012 DA

14se tenan datos desde hace ms de un

ao, para el caso del meteoroide de Chelibynskslo se conocen los datos que dej al ingresar a laatmsera de la ierra y caer en su corteza. De estemodo, realmente no sabemos qu pas anterior-

mente con este cuerpo.

Sin embargo, lo que s es seguro es que el meteo-roide no pudo ser un ragmento que se haya des-prendido del asteroide. Por qu podemos estarseguros de ello? Porque si eso hubiese ocurrido, sumasa hubiera disminuido en orma sensible, lo quehabra aectado la uerza gravitacional con el Sol,teniendo como consecuencia un cambio orbitalconsiderable. Pero no se report absolutamenteningn cambio en la rbita que no se pudiera ex-

plicar sin la suposicin inicial de que hubo unadisminucin de masa.

En el caso del meteoroide, no sabiendo ms quelo que pas al ingresar a la ierra, no sabemossi hubo cambios orbitales de importancia. Pudohaber interacciones gravitacionales no slo con laierra, sino tambin con el asteroide 2012 DA

14,

que sin embargo no lo aectaron, dada la gran die-rencia de masas.

Rodeados de rocas

Los meteoritos, o piedras celestes, se conocen des-de hace mucho. La utilizacin del hierro por lasculturas prehistricas est vinculada con el apro-vechamiento del hierro de los meteoritos. Algunosde los meteoritos grandes sirvieron de objetos di-vinos a los pueblos primitivos.

Hasta antes de los viajes a la Luna, de donde setrajeron muestras rocosas, los meteoritos eran losnicos cuerpos csmicos que se podan investigardirectamente en los laboratorios terrestres. De ahque la recoleccin e investigacin de meteoritostenga tanta importancia cientca.

Hasta antes de la segunda mitad del siglo pasado,los enmenos celestes en donde haba cada de ro-


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cas del cielo eran reportados en orma altamenteimprecisa, dado que no se tenan instrumentos nipersonal que cubriera el cielo en busca de tales ob-jetos. Sin embargo, conorme ue desarrollndosela tecnologa de las telecomunicaciones, as comola de los telescopios, aunado al inters creciente de

astrnomos acionados de todo el mundo, talesenmenos se ueron reportando con precisincada vez mayor. Hoy se dice que diariamente caena la ierra tres trailers de meteoritos.

De ello se cay en la cuenta de que estamos ro-deados de rocas que en cualquier momento po-dran impactar en nuestro planeta (como acaba deocurrir en Chliabynsk), y de que era importantemonitorear a los objetos que pasaran cerca de laierra. Dicho monitoreo se ha llevado a cabo con

gran precisin, lo que permiti predecir el pasodel asteroide 2012 DA

14, sin embargo, seguimos te-

niendo eventos imprevistos, como lo ue el blidode Chelibynsk.

Despus de ver las consecuencias de ese en-meno, el primer ministro ruso Dmitri Medvdevdeclar que era una prueba de la vulnerabilidaddel planeta y que ste necesita protegerse contrasucesos uturos.

Esto es precisamente lo que se viene advirtiendoa los gobiernos de todos los pases del mundopara promover el desarrollo de la astronoma delSistema Solar, que ha cado en crisis despus delos grandes descubrimientos de la astronoma ex-tragalctica.

Reerencias

Bakulin et al. Curso de Astronoma General. Mir.Mosc, 1987.Diario La Jornada. Mxico.Wikipedia, Te Free Encyclopedia.


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Sobre un tal Pierre (o Pire) de FermatDr. Carlos Infante Vargas

Pror. del Instituto Barcelona

Hoy es una maana ra de invierno, como cadaro invierno en oulouse desde que lleg aqua estudiar derecho, enviado por su padre Domi-nique, abandonando su pequeo pueblo natal enBeaumont de Lomagne. Hace un ao se ha casadocon Louise de Long (prima de su madre) y haceun par de meses ha nacido el primero de sus hijos,Clemont, quien despus de su muerte llegar a sersu albacea cientco; pero eso l an no lo sabe.Antes de salir de su apartamento, vuelve a mirar

su ejemplar de laArithmetica de Dioanto (aquellatraduccin latina de Bachet) que, hasta entrada lamadrugada, ha estado leyendo.

Lo ha entretenido una de las muchas proposicio-nes del matemtico alejandrino (la quaestio VIII)sobre ternas pitagricas y aunque sabe que no esposible generalizar el resultado a tercias de gradosuperior, an no ha podido demostrarlo. Siguepensando en ello mientras baja las escaleras de sucasa para dirigirse a la Rue de Metz, mientras pasapor la Cathdrale de St. Etienne (cuyo retablo y r-gano estn recin terminados) y mientras gira a laderecha para coger la Rue de Changes hacia el Ca-pitoli. Hoy tiene la sesin del pleno ms importantedesde que trabaja como consejero real en el Parla-mento de oulouse: la condena a muerte del duquede Montmorency -gobernador del Languedoc- porsu rebelin contra el rey Luis XIII y, sobre todo,contra su excelencia el cardenal Richelieu.

Durante uno de los intermedios del pleno, en lasescaleras del Parlamento, habla con su amigo Car-cavi y le comenta la posibilidad de publicar untra-tado que ha titulado Novus secundarum et ul-terioris radicum in analyticis usus. A pesar de losenormes esuerzos de Carcavi, esto nunca serpublicado, al igual que ninguno de sus escritosmatemticos. La sesin del Parlamento ha termi-nado ya entrada la noche y, una semana despus,

Montmorency acabar ejecutado en el interior delCapitoli: el Midi nunca ser liberado de la corona.

El problema de las tercias pitagricas vuelve a ocu-par sus pensamientos mientras atraviesa las es-trechas y hmedas calles del casco antiguo, hastallegar al convento de los Agustinos. Hace un roterrible y las manos se le hielan. oca en el granportn de madera y uno de los sesenta monjes queah se albergan lo introduce hasta el claustro menordonde, entre bvedas acanaladas y ras imgenes

de piedra, le entrega a otro monje dos cartas: unadirigida a su padre Dominique donde le comentala gran variedad de pieles y cueros que se encuen-tran en el mercado al otro lado del recin acabadoPont Neu (que une la Gascua con el Languedoc),y otra dirigida a Monsieur Blas Pascal relativa a susavances en el clculo de probabilidades. Despusde cuatro meses, Pascal le contestar: Seor, bus-cad en otras partes quien os siga en vuestras inven-

Figura 1. Pierre de Fermat.


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ciones numricas; en cuanto a m, os coneso queestoy muy lejos de ello.

Al salir del convento, observa la silueta faca de unperro que busca comida en una de las estrechascalles medievales, Por n llega a casa. Est cansa-

do. Sin hacer ruido, se dirige a la habitacin dondeLouise y el nio ya duermen. Desde el marco de lapuerta observa la tranquilidad de su sueo. Enton-ces se dirige a su despacho, toma laArithmetica, y,en un perecto latn (lengua que, junto al griego yla mayora de las lenguas europeas, tambin do-mina), en el margen de la pgina donde aparece laquaestio VIII, escribe:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadra-tum in duos quadratoquadratos, et generaliter nul-

lam in infnitum ultra quadratum potestatem induos eiusdem nominis as est dividere cuius rei dem-onstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginisexiguitas non caperet1

S. Ha logrado completar la prueba -una hermosaprueba- utilizando un razonamiento que l llamadescenso innito. Sin embargo, los matemticostardarn ms de tres siglos en demostrar que tienerazn. Pero eso, l an no lo sabe

1 La traduccin es la siguiente:Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, unbicuadrado en dos bicuadrados, y en general, unapotencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dospotencias del mismo exponente. He encontrado unademostracin realmente admirable, pero el margendel libro es muy pequeo para ponerla.

Figura 2. Pginas del libro de Aritmtica deDioanto, la primera con el comentario de

Fermat, editado por su hijo en 1670.


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ripletas pitagricasDaniel Maisner

Academia de Matemticas, SL

Introduccion

Pierre Fermat (1601-1665) es, sin lugar a dudas, uno de los mas grandes matematicos de todos los tiempos.Tuvo importantes contribuciones en diferentes areas de la matematica, entre las que podemos destacar: calculodiferencial (especficamente, estudio como calcular rectas tangentes a curvas y su aplicacion para la solucionde problemas de maximos y mnimos con anterioridad a los dos grandes padres del area: Newton y Leibnitz),probabilidad (desarrollando sus bases en conjunto con Pascal), geometra analtica (que desarrollo de formaparalela e independiente a Descartes), y especialmente aritmetica, en donde sus trabajos forman un pilar delalgebra moderna, particularmente de la teora de numeros.

En algunas biografas se le conoce con el sobre nombre de prncipe de los aficionados porque, por increbleque parezca, Fermat no tena una profesion cientfica. Oficialmente, era experto en derecho, area en la quetrabajo remuneradamente durante su vida, ocupando cargos judiciales en la ciudad de Toulouse. Desde estaperspectiva, sus traba jos cientficos fueron un pasatiempo, un trabajo no remunerado pero, sin lugar a dudas,profundamente mas trascendentes y con mayor trabajo en el sentido amplio de la palabra. Quiza por ello,practicamente nunca publico sus resultados cientficos, los cuales solo se conocen por algunas cartas dirigidasa matematicos contemporaneos o encontrados como apuntes personales tras su muerte. Tal es el caso de suextraordinaria contribucion a la teora de numeros.

Fermat aprendio aritmetica estudiando el libro Aritmetica del matematico griego Diofanto, editado y co-mentado por Bachet de Meziriac. Este libro resume gran parte del conocimiento de la teora de numeros de la

antiguedad. Sus reflexiones sobre este texto las fue anotando en los margenes de su ejemplar. A su muerte, suhijo Samuel publico una nueva edicion de Aritmetica, anadiendo las notas de su padre en forma de apendice.Sera injusto considerar a este nuevo libro como una version de Difanto con pequenas notas, explicando yreescribiendo resultados. Los apuntes de Fermat hallados son de una profundidad asombrosa y no es exageradoafirmar que son la base de la teora de numeros moderna.

En estos apuntes se encontro el enunciado que a veces se conoce como ultimo teorema de Fermat, teoremagrande de Fermat o conjetura de Fermat, que en lenguaje moderno dice que para enteros n 3 no existesolucion entera, no trivial, de la ecuacion:

xn + yn = zn.

Ademas, Fermat comenta que tiene una demostracion sencilla pero que no cabe en el margen (la cita exactase puede encontrar en el relato de Infante, publicado en este mismo numero).

En este artculo abordaremos el enunciado de la conjetura de Fermat explicando el caso n = 2, mucho massencillo, ampliamente conocido antes de la epoca de Diofanto y expuesto en su libro de aritmetica. La conjeturade Fermat generaliza este resultado, por lo cual la comprension de su enunciado se facilita al conocer a fondoeste caso.

En la primera parte del artculo (secciones 1 y 2) presentamos el problema, damos una solucion parcial yenunciamos la solucion general. En la seccion 3, explicamos con detalle la prueba, tal seccion sugerimos saltarlaa los lectores que solo quieren tener una idea general del problema. Finalmente, en la secci on 4 enunciamos laconjetura de Fermat y damos brevemente algunas ideas sobre los primeros trabajos dirigidos a su solucion.


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1. Tripletas pitagoricas

El teorema de Pitagoras nos dice que, dado un triangulo rectangulo, si se traza un cuadrado sobre cadalado, entonces la suma de las areas de los cuadrados formados sobre los catetos es igual al area del cuadradotrazado sobre la hipotenusa. Ver figura 1.

Figura 1: Ilustracion del teorema de Pitagoras.

Si denotamos con a y b a la longitud de los catetos y c a la longitud de la hipotenusa, Pitagoras se expresaalgebraicamente como:

a2 + b2 = c2. (1)

La pregunta sobre la que reflexionaremos en este artculo es, que condiciones se deben cumplir para que

exista una terna de numeros enteros: (a,b,c) satisfaciendo la igualdad (1)? A estas ternas se les conoce comotripletas pitagoricas.En otras palabras, queremos encontrar las ternas de numeros enteros (a,b,c) que satisfacen la ecuacion:

x2 + y2 = z2. (2)

Ejemplo 1. (Solucion trivial) El problema algebraico de encontrar soluciones enteras a la ecuacion (2)admitedos familias de soluciones triviales

a = 0 y b = c, b,c enteros

oa = c enteros y b = 0,

es decir las tripletas(0, b , b) y (a, 0, a).

Desde el punto de vista geometrico estas soluciones corresponden a triangulos degenerados, es decir, se esta con-siderando a una recta de lado a o c como un triangulo de altura cero.

El problema enunciado admite tambien soluciones no triviales como podemos ver en el siguiente

Ejemplo 2. (Solucion clasica) En la mayora de las exposiciones tradicionales del teorema de Pitagorassuele presentarse el ejemplo de la tripleta pitagorica (3, 4, 5) que cumple la ecuacion (1). En efecto,

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.


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Utilizando el ejemplo anterior podemos generar una familia infinita de ejemplos considerando cualquier multiplode (3, 4, 5). Mas especficamente, cualquier tripleta de la forma

(3, 4, 5) := (3, 4, 5) siendo un numero entero

es una pitagorica. En efecto,

(3)2 + (4)2 = 322 + 422 = (9 + 16)2 = 252 = 522 = (5)2. (3)

De hecho el comportamiento de la ecuacion (3) es general:

Proposicion 1. Si (a,b,c) es una tripleta pitagorica, entonces ,

(a, b, c), entero

tambien lo es.

Demostracion: Como (a,b,c) es una tripleta pitagorica:

a2 + b2 = c2

y en consecuencia se tiene

(a)2

+ (b)2

= a2

2

+ b2

2

= (a2

+ b2

)2

= c2

2

= (c)2

.

Llamaremos tripleta pitagorica primitiva a una tripleta (a,b,c), siendo a,b,c primos entre s, es decir, en dondelos unicos divisores en comun de a, b y c son 1. Claramente, toda tripleta pitagorica o es primitiva o es unmultiplo de una primitiva, por lo cual, para determinar todas las tripletas pitagoricas, basta encontrar todaslas primitivas.

Ejemplo 3. (18, 24, 30) es una tripleta pitagorica pero no es primitiva, dado que todos los miembros sondivisibles entre 6. Como 6 es el maximo divisor comun, si lo factorizamos obtenemos una tripleta pitagorica oprimitiva que no es otra que nuestra vieja conocida:

(18, 24, 30) = (6(3), 6(4), 6(5)) = 6(3, 4, 5).

Ejemplo 4. Entre los hallazgos de la cultura babilonica existe una tablilla en escritura cuneiforme con tripletas

pitagoricas de gran tamano, que hacen pensar que los babilonios conocan el teorema de Pitagoras varios mile-

nios antes de la vida de este. Entre otras tripletas se puede ver (4961, 6480, 8161). Se deja al lector comprobarque es una tripleta pitagorica primitiva.

En resumen podemos reducir nuestro problema a:

Problema 1. Describir todas las tripletas pitagoricas primitivas.

2. Solucion al problema 1

En esta seccion daremos respuesta al problema 1. A partir de ahora, para no hacer cansada la lectura,diremos simplemente tripleta en vez de tripleta pitagorica.

Comenzaremos esta seccion dando un metodo general para construir tripletas, aunque no necesariamente,primitivas. La clave esta en la siguiente identidad derivada de la formula del binomio al cuadrado:

(u v)2 + 4uv = (u + v)2. (4)La ecuacion (4) nos permite construir una tripleta haciendo:

a = u v, b =

4uv = 2

uv y c = u + v (5)

siempre y cuando aseguremos que b es entero o equivalentemente si

uv lo es.

Nota: Claramente existe simetra entre los valores de a y b y tambien se puede construir una tripleta haciendo:

a = 2

uv, b = u v, y c = u + v.


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El cielo de primavera

Fases de la Luna

Luna nueva

10 de abril9 de mayo8 de junio

Cuarto creciente


Luna llena


Cuarto menguante

2 de abril

2 de mayo31 de mayo30 de junio


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Lluvias de estrellas

Lridas

21-22 de abril

Eta Acuridas

4-5 de mayo

Planetas

Mercurio en AcuarioVenus en PiscisMarte en Piscis

Jpiter en auroSaturno en Libra


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Ejemplo 5. 1. Si u = 9 y v = 4 entonces tenemos una tripleta pitagorica

(9 4,

(4)(9)(4), 9 + 4) = (5, 12, 13).

2. Si u = 32 y v = 18 tenemos:

(32 18,(4)(32)(18), 32 + 18) = (14, 48, 50) = 2(7, 24, 25).En el inciso 1 obtuvimos una tripleta primitiva, no as en el 2. Esto nos muestra que para resolver comple-

tamente el problema 1 debemos refinar el metodo propuesto.

De la ecuacion (5) observamos que para el funcionamiento del metodo descrito es necesario que uv sea uncuadrado, porque en caso contrario

uv no sera entero. Ademas, de los ejemplos se desprende que esto no

es suficiente para que la tripleta obtenida sea primitiva. Es decir, para garantizar que con el procedimientodescrito obtenemos una tripleta primitiva debemos imponer condiciones adicionales. El resultado preciso es elsiguiente:

Teorema 2. Si existen enteros u y v tales que:

1. u, v son primos relativos, es decir, no tienen divisores comunes salvo 1,2. u y v son cuadrados, digamos u = s2, v = t2 y

3. u, v son de paridad contraria

entonces, haciendo

a = u v, b =

4uv y c = u + v

o

a =

4uv, b = u v, y c = u + v

(6)

obtenemos una tripleta pitagorica primitiva.

Recprocamente, si (a,b,c) es una tripleta pitagorica primitiva, entonces a y b son de paridad contraria, ydefiniendo:

u = c+a2

, v = ca2

si a es non,

u = c+b2

, v = cb2

si b es non,

se tiene que u y v son enteros que satisfacen alguna de las ecuaciones (6) y las propiedades 1, 2 y 3.

En la proxima seccion daremos en detalle la prueba del teorema. Para finalizar esta demos un ejemplo decomo funciona el recproco del teorema.

Observacion: Por razones teoricas en muchas ocasiones solo se consideran como tripletas pitagoricasaquellas en que a, b y c sean numeros estrictamente positivos, eliminando el caso trivial. Por esta razon a vecesse impone la condicion adicional v > u

1.

Ejemplo 6. Si consideramos la tripleta (24, 7, 25) entonces, al ser 7 non:

u =c + b

2=

25 + 7

2= 16 = 42, v =

c b2

=25 7

2= 9 = 32

cumpliendo los incisos del teorema:

24 = 2

42 32 = 2

uv, 7 = 16 9 = u v y 25 = 9 + 16 = u + v.


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3. Prueba del teorema

Para la prueba del teorema 2 utilizaremos sin prueba los siguientes resultados de los numeros enteros:

Lema 3. Sean r, n y m numeros enteros, entonces:

1. Si r divide a n y m, entonces tambien divide a su suma n + m y a su diferencia n m.

2. Sea A = u2

un numero entero cuadrado. Si A = mn y m y n son primos relativos, entonces m y ntambien son cuadrados.

3. Si n2 divide a m2 entonces n divide a m.

Demostracion del teorema:

Demostremos primero que dados dos enteros u y v cumpliendo

u, v primos relativos, u = s2, v = t2, u y v de paridad contraria

entonces haciendo:

a = u v, b =

4uv y c = u + v

obtenemos una tripleta pitagorica primitiva. Para probar el enunciado del teorema debemos probar que b esentero y que a, b y c primos relativos.

Como u y v son cuadrados, existen r y s cumpliendo

u = r2 y v = r2

y por lo tantob = 2

uv = 2rs

es entero.


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Veamos ahora que (a,b,c) es primitiva. Como u y v son de paridad contraria,

a = u v, c = u + v

son numeros nones mientras que b = 2

uv es par.Sea m un divisor comun de a, b y c, vamos a demostrar que necesariamente m = 1. Como m divide a a y

c, por el lema 3 tambien m divide a

a + c = 2u y c a = 2v.Como u y v son primos relativos las unicas posibilidades son: m = 2 o m = 1. Pero, m = 2 es imposibleporque implicara a y c pares.

Recprocamente, supongamos que (a,b,c) es una tripleta pitagorica primitiva. Probemos primero que secumple:

a y b son de paridad contraria y consecuentemente c es non.

Si a y b fueran ambos pares, digamos a = 2k1 y b = 2k2, entonces:

a2 = 4k21, b2 = 4k22 y por tanto c

2 = a2 + b2 = 4(k21 + k2

2).

En consecuencia c2 es multiplo de 4 y c es par, contradiciendo que la tripleta es primitiva.Si a y b fueran ambos nones, entonces existiran k1 y k2 cumpliendo

a = 2k1 + 1 y b = 2k2 + 1,

y por lo tantoc2 = a2 + b2 = 4(k21 + k

2

2 + k1 + k2) + 2,


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Mefisto

17

lo cual es imposible, dado que si c es par, c2 es de la forma 4k y si c es non, entonces c2 es de la forma 4k + 1.Supongamos que a es non y b es par y sean

u =c + a

2y v =

c a

2.

Como c tambien es non, u y v son enteros. Veamos que cumplen las propiedades enunciadas en el teorema.Las igualdades:

u v =c + a (c a)

2= a,

u + v =c + a + (c a)

2= c,

4uv = 4(c + a)

2

(c a)

2= 4

c2 a2

4= c2 a2 = b2

muestran que se satisfacen las ecuaciones (6). Veamos ahora que se cumplen cada uno de los incisos del teorema:

1. Vamos a probar que u y v son primos relativos. Sea m un divisor comun de u y v, entonces m divide a:

a = u v y c = u + v,

en particular m = 2 y por tanto, de4uv = b2

concluimos m2 divide a b2 y, por el lema 3, que m divide a b. Como la tripleta es pitagorica esto implicam = 1.

2. Como u y v son primos relativos y uv = (b/2)2, por el lema 3 ambos son cuadrados.

3. Mostrar que u y v son de paridad contraria equivale a ver que 2u y 2v dejan diferente residuo modulo 4,es decir, uno es de la forma 4k (multiplo de 4) y otro es par pero no multiplo de 4, esto es, de la forma4k + 2.

Si ambos son multiplos de 4 digamos 2u = 4k1 y 2v = 4k2 entonces:

2u + 2v = 4(k1 + k2) = 2c

y por tanto c = 2(k1 + k2) contradiciendo que c es non.

Si ninguno es multiplo de 4, entonces

2u = 4k1 + 2, y 2v = 4k2 + 2

y

2c = 2(u + v) = 2(4k1 + 2 + 4k2 + 2) = 4(2k1 + 2k2 + 1),

y nuevamente se tiene c par, lo cual es imposible.

4. La conjetura de Fermat

Para finalizar este artculo enunciemos la conjetura de Fermat y hagamos algunos comentarios sencillossobre la misma.

En las secciones anteriores trabajamos en el problema de determinar todas las tripletas pitagoricas primiti-vas. La conjetura de Fermat generaliza el problema para exponentes mayores a 2. Especficamente, la preguntaes: Cuales son las soluciones enteras de una ecuacion:


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xn + yn = zn n 3 entero?

La respuesta hallada en los apuntes de Fermat es: Para n 3 solo existen las soluciones triviales:

(x, 0, x) o (0, y , y).

No se sabe a ciencia cierta si Fermat tena una demostracion correcta para esta afirmacion, aunque en gene-ral, parece poco probable. Lo que s podemos afirmar, sin lugar a dudas, es que Fermat reflexiono ampliamenteen el problema y que contaba con una amplia evidencia de su veracidad, esto es, conoca su veracidad en casosconcretos. En particular, se conoce la prueba de Fermat para el caso n = 4, que no reproduciremos aqu porrazones de espacio, pero que puede construirse con lo explicado a lo largo del artculo. La idea es la siguiente,si existen x , y , z positivos tales que:

x4 + y4 = z4

tambien son soluciones para:(x2)2 + (y2)2 = (z2)2 (7)

y por tanto deben cumplir las condiciones del teorema 2. A partir de aqu se puede construir una nuevasolucion x1, y1, z1 con

0 < xi < x, 0 < yi < y y 0 < zi < z,

lo cual es una contradiccion porque implicara que iterando el proceso puede construirse una infinidad desoluciones positivas, mas pequenas que la inicial, lo cual es imposible porque entre 0 y x no puede haber unainfinidad de numeros diferentes.

En toda su generalidad, la conjetura de Fermat permanecio como un problema sin resolver hasta los anosnoventa del siglo pasado, en que el matematico ingles Andrew Wiles (con ayuda de su estudiante Richard Taylor)probo otra conjetura: la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, de la cual previamente se haba probado (porFrey y Ribet) que, si era cierta, tambien lo era la de Fermat.

Para los romanticos, debemos agregar que la demostracion definitiva no utiliza tecnicas elementales y quedefinitivamente no estaba al alcance de Fermat. Por otro lado, debemos remarcar que la demostracion de Wiles-Taylor tiene muchas aplicaciones de gran importancia para las matem aticas modernas, que no se reducen aprobar la conjetura de Fermat.

Decir que el teorema permanecio sin demostrar hasta 1995 es una afirmacion que debe tomarse con cuidadoporque no significa que durante tres siglos no se haya avanzado en la comprension de la conjetura y en resultadosparciales de ella, solo quiere decir que no se haba demostrado por completo. Tampoco quiere decir que eltrabajo realizado en busca de probar la conjetura haya sido inutil o esteril. Los diferentes intentos por probarla conjetura nos heredaron una gran base para el algebra y la teora de numeros moderna.

De forma analoga a la ecuacion (7) puede mostrarse que basta probar la conjetura para n primo; y paraalgunos primos especficos existen pruebas desde hace siglos (Euler para 3, Lame para 5, 7 y 11). Lo que noestaba probado, hasta muy recientemente, es que la conjetura fuera cierta para absolutamente todos los primos.

Por ejemplo, de los trabajos de Sophie Germain se desprende una prueba de que Fermat es verdaderoimponiendo ciertas condiciones adicionales al enunciado para los hoy llamados primos de Sophie Germain.Kummer probo el teorema para una familia de primos llamados primos regulares, sin embargo, no se sabe siexiste una infinidad de primos de Sophie Germain, tampoco si hay una infinidad de primos regulares, y s sesabe que estas dos familias estan lejos de cubrir al total de numeros primos.

Como vemos, la demostracion de la conjetura de Fermat fue alcanzada hasta el siglo pasado, pero dejo enel camino muchsimos resultados de valor incalculable a la teora de numeros.

Referencias

[Edwards] Harold M. Edwards, Fermats last theorem, 1977, Springer-Verlag.


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En Hollywood te pagan mildlares por un beso y cin-cuenta centavos por tu alma.

Marilyn Monroe (1926 -1952) Actriz estadunidense

Frases clebres

odo lo que necesito parahacer una comedia es unparque, un polica y una chi-ca guapa.

Charlie Chaplin (1889 -1977) Actor britnico

La experiencia de los siglos

prueba que el lujo anuncia ladecadencia de los imperios.

Francis Bacon (1561 - 1626)Filsoo ingls

Fcilmente se contraen hbitos

de lujo y dicil se hace despusprescindir de ellos, cuando sehan convertido en necesidad.

Fidor Dostoievski (1821 -1881) Escritor ruso

Inteligencia es lo que usas cu-ando no sabes qu hacer.

Jean Piaget (1896-1980) Fil-soo y psiclogo suizo.

La inteligencia consiste noslo en el conocimiento, sinotambin en la destreza deaplicar los conocimientos enla prctica.

Aristteles (384 AC-322 AC)Filsoo griego.


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Mefisto

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Sobre San Lorenzo ezoncoAnayatzin Salazar Rodrguez

Lic. en Ciencias Sociales, UACM

San Lorenzo ezonco es un pueblo que se ubicaen la Delegacin Iztapalapa. ezonco es una pala-bra de origen nhuatl compuesta por dos vocablos:ezontlyco, y juntos signican donde abunda eltezontle. Cabe mencionar que existen otras inter-pretaciones sobre el signicado de ezonco, perosta es la ms aceptada por los habitantes del pue-blo.

Geogrcamente, San Lorenzo ezonco colinda alSur con el pueblo de Santiago Zapotitln, lhuac,al Este con el pueblo de omatln, Iztapalapa, alNorte con los ejidos de San Gregorio Atlapulco,Xochimilco y al Oriente con el pueblo de SantaCruz Meyehualco, Iztapalapa. Una caractersticaimportante del pueblo de San Lorenzo ezoncoha sido su ubicacin a las orillas del Cerro de SanNicols, Yehualichan o Yehualiztla, que signicaen el lugar redondo y que debido a su signica-

do el cerro es conocido por sus habitantes comoel cerro del cajete o molcajete. Hasta nuestros das,el cerro es importante porque ha dado identidad alos habitantes del pueblo de San Lorenzo ezonco.

Los habitantes comentan que antiguamente elpueblo estaba dividido en dos calpullis o barriosantiguos llamados etzoneros y excaleros, peroactualmente estn subdivididos en cuatro espaciossimblicos: San Salvador, Guadalupe, San Lorenzoy San Antonio; los dos primeros pertenecen al bar-

rio antiguo de los etzoneros y los otros dos al bar-rio de los excaleros.

Existen varias celebraciones religiosas que sonproducto de la historia colectiva de los originariosde San Lorenzo ezonco, como la historia oral delSeor de la Salud, a quien se le atribuye el milagrode sanacin del clera, que atacaba comnmentea la poblacin en 1850. La gente comenta que el

agua del pozo que se encuentra rente a la Iglesiade San Lorenzo Dicono y Mrtir es milagrosa,porque con ella se curaron los habitantes en esosdas. La celebracin del Seor de la Salud es el 29de mayo. Otras celebraciones importantes son lade San Lorenzo Diacono y Mrtir el 10 de agosto,San Antonio el 14 de junio, San Salvador el 5 deagosto y la Virgen de Guadalupe el 12 de diciem-bre. Las celebraciones religiosas corres-ponden a

un ciclo estivo que por medio de mayordomas,scalas, comits y otras organizaciones compues-tas por las amilias originarias del pueblo de SanLorenzo ezonco se pueden disrutar ao trasao. Cohetes, recorridos en las calles principales,msica, comida, colores y un ambiente de alegraorman parte de las celebraciones anuales de SanLorenzo ezonco.

Pese a los incesantes cambios de la Ciudad de

Mxico, San Lorenzo ezonco mantiene vivo suterritorio por medio de las actividades de su pro-pio calendario ritual y de las organizaciones socia-les que se encargan de representar a la poblacin.La iglesia, el panten vecinal, la comisaria ejidal,la Plaza Benito Jurez, la biblioteca, el mercado yotros espacios han sido producto de negociacionescon los gobiernos en curso, donaciones de terre-nos o luchas por espacios para la comunidad. Cadauno de los espacios construidos en su territorio hasido parte de la dinmica del pueblo, y hoy orman

parte de su historia, como es el plantel San Lorenzoezonco de la UACM, que deenden y consideranparte del pueblo. Para ellos es una victoria que unode los planteles de la UACM se encuentre ubicadodentro de su territorio simblico y que lleve pornombre San Lorenzo ezonco. Adems, para lapoblacin, el proyecto de la UACM repre-sentamejorar las condiciones de vida de los alrede-doresde la universidad.


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Mefisto

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Presento esta pequea resea para dar a conocerapenas un acercamiento al gran trabajo de inves-tigacin que signica el pueblo de San Lorenzoezonco, pues es rico en cultura, su gente es alegre

y siempre est dispuesta a trabajar por el bien desu pueblo. Hago entonces una invitacin a conocerun poco ms de los alrededores de nuestra univer-sidad.

Agradezco a los habitantes del Pueblo de San Lorenzo ezonco el haberme permitido entrevistarlos, yagradezco tambin a los investigadores que han podido publicar material sobre el pueblo, pues su ayudaes imprescindible para elaborar este tipo de trabajos.


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Acertijos

2

3

x6

8

z

5

y

0

1 Un beduino deja como herencia a sus tres hijosun rebao con 17 camellos. En su testamento, elbeduino dispone que, al mayor de sus hijos, le to-car la mitad de los camellos, al segundo, la ter-cera parte y al ltimo, la novena parte. Los treshermanos no pueden llegar a un acuerdo sobrecmo repartirlos, puesto que no desean sacricara ningn animal, por lo que solicitan ayuda. Otrobeduino toma uno de sus propios camellos y pro-cede a repartirlos. Como ahora ya hay 18 camellos,al primer hijo le tocan 9, al segundo 6 y al tercero2. Pero como slo se repartieron 17, el beduino quelos ayud toma nuevamente su camello y se retira.

Cmo es que primero no se podan repartir los 17camellos y despus se repartieron exactamente sinsacricar a ninguno?

2 Una llave de agua tarda 5 horas en llenar un ti-naco. Otra llave tarda 6 horas en llenar el mismotinaco. Cunto tardar en llenarse el tinaco si am-bas laves uncionan al mismo tiempo?

4 Un tren sale de Mxico a Guadalajara en el mis-mo momento que otro tren sale de Guadalajaraa Mxico. El primer tren va a 80 km/h, mientrasque el segundo va a slo 50 km/h. Cul de los dostrenes est ms lejos de Mxico en el momento enque se cruzan?

3 Un pintor pinta una pared en 4 horas. Otro pin-tor tarda 3 horas en pintar la misma pared. Cun-to tardarn si pintan la pared entre los dos?


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Mefisto

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Acertijos

Solucin a los anteriores

1 Slo puede haber uno. El primero contesta queNO siempre, pues si no es poltico la verdad escontestar que no, y si es poltico, la mentira tam-bin es contestar que no. El segundo dice que elprimero lo neg, lo que es cierto, entonces no espoltico. El tercero dice que el primero es poltico.Si el tercero no es poltico, es verdad y entonceshay un poltico, que es el primero. Si el tercero ses poltico, es mentira y entonces hay un poltico,el tercero.

9

?

4x2

y2

z2

1

72 Si el primero dice todos somos, es mentira, pues

si uera verdad l no sera poltico. Entonces l espoltico y hay alguien que no lo es. Si el segundodice que slo 2, puede ser verdad y l no lo es. En-tonces, el tercero s es poltico. Y como la segundaresuesta es verdadera, el tercero miente. Si el se-gundo es poltico, miente y entonces slo hay unpoltico. Pero como el primero es poltico y el se-gundo tambin, eso no puede ser verdad. Entoncesel tercero es poltico.

3 Como B tiene una hermana, no es el copiloto.ampoco lo es C, pues gana ms que el piloto, en-tonces el copiloto es A. Y como C tampoco es elpiloto, entonces es el ingeniero. Por lo tanto, el pi-loto es B.

4 Por a), el mejor y el peor jugador son del mismosexo. ienen que ser dos hombres o dos mujeres.

Por b), no puede ser el padre, que no puede tenerla misma edad que su hijo. ienen que ser dos mu-jeres. Entonces el mejor jugador es la hija, porquees gemela de su hermano. La hermana del padreno puede ser gemela, pues tendra la misma edad

que el padre, y eso no es posible.


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Sudoku

Fcil

Difcil

Solucin al anterior

Solucin al anterior

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1

1

1

11

1

1

1

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2

2

2

2

2

2

2

2

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3

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3

3

3

3

3

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4

4

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Gaceta Mefisto 07

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