Mefisto

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MefistoNúmero 8 Octubre de 2013

En este número:

Presentación 2Daniel Maisner Bush

22:22 3Isaí Moreno Roque

¡Que se acaba el mundo! 6 Fausto Cervantes Ortiz

Frases célebres 11

El cielo de verano 12

Burbujas 14Joel García León

Acertijos 22

Sudoku 24

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, capítulo xviii, verso 37.

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PresentaciónDaniel Maisner

Academia de MatemáticasPlantel San Lorenzo Tezonco

En el año de los grandes nubarrones y el cielo sangriento, cam-biarán los aires de nuestra universidad, Mefisto publicará un número memorable y vendrán tiempos mejores.

Así respondió una conocida pitonisa, quien solicitó per-manecer en el anonimato, cuando le cuestionamos sobre el futuro de nuestra gaceta, y de nuestra querida casa de estu-dios.

A partir de esta profecía una fuerte polémica se desató al interior de nuestro comité editorial. Unos comentaban que la predicción ya se había cumplido, mientras otros conside-rábamos que aún no; los más optimistas argumentaban que todos nuestros números han sido memorables, a la vez que otros insistían que debíamos redoblar nuestros esfuerzos en cada número venidero, para que pronto llegaran los tiempos mejores. ¿Y los grandes nubarrones? Más polémica: unos di-jeron que se refieren a alguna administración de la univer-sidad, de la ciudad o del país; mientras que otros, de forma más literal, lo atribuyeron a una época de lluvias tan grandes, que se inundará toda la ciudad, volviendo los antiguos lagos a sus cauces, resurgiendo del cemento y saliendo de los en-tubados. ¿Y el cielo sangriento? ¿Es una alusión al polvo de la mina que tenemos frente al plantel? ¿O a alguna represión por venir? ¿O es simplemente un magnífico atardecer que nos regalará nuestra contaminada ciudad?

No logramos ponernos de acuerdo; pero de todas formas, hemos decidido emprender algunas acciones al respecto, que iremos revelando a nuestro querido público conforme sea conveniente. Por lo pronto, acordamos que el presente número incluyera dos aproximaciones a las múltiples predic-ciones del próximo fin del mundo, o al menos, de la suicida especie humana a la que pertenecemos .

La primera, es una aportación del multifacético profesor de nuestra universidad Isaí Moreno, quien nos permitió repro-ducir el cuento 22:22, que escribió con motivo del fin de la humanidad, que debió acaecer el 21 de diciembre del 2012 y que resultó ser, o un error calendárico, o la mala interpre-tación de un irrefutable oráculo. Para quien no lo conozca, mencionaremos que Isaí es simultáneamente matemático y escritor, lo cual lo lleva inevitablemente a tener rasgos de ciencia ficción en sus escritos, además de llevar impreso un fino sentido del humor.

La segunda aproximación es del incrédulo científico y editor de nuestra gaceta, Fausto Cervantes, quien descaradamente niega las diversas evidencias de las verdaderas profecías que se han realizado sobre las catástrofes por venir, y nos platica acerca de amenazas reales de extinción de la especie humana por su habitual tendencia hacia la autodestrucción.

Cierra este número, además de las secciones acostumbradas, un artículo del profesor Joel García, que reproduce esencial-mente el contenido de una plática que impartió en el semi-nario Café y Matemáticas, y que trata sobre las relaciones iso-perimétricas (Aquí no hay oráculos, pero sí pensadores que desde una tina son capaces de reflexionar sobre problemas clásicos, y proponer nuevas respuestas y nuevas preguntas; así como complicaciones por la imposibilidad de la represen-tación de más de tres dimensiones).

Finalmente, recomendamos a nuestro amado público que siga todos nuestros números, porque alguno, en un futuro no muy lejano, será memorable, y querrán evitar la vergüenza de no haberlo leído en su momento.

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EditorFausto Cervantes Ortiz

Comité EditorialAna Beatriz Alonso Osorio

Octavio Campuzano CardonaDaniel Maisner Bush Verónica Puente Vera

Publicada electrónicamente en:http://issuu.com/gacetamefisto

http://gacetamefisto.webs.com

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a:gaceta.mefisto@gmail.com

Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

Universidad Autónoma de la Ciudad de MéxicoNada humano me es ajeno

RectorDr. Enrique Dussel Ambrosini

Secretario General Mtro. Ernesto Aréchiga Córdoba

Coordinadora Académica Mtra. María del Rayo Ramírez Fierro

Coordinador de Difusión CulturalMtro. Miguel Ángel Godínez Gutiérrez

Coordinadora del Colegio de Humanidades y Ciencias SocialesDra. Tania Hogla Rodríguez Mora

Coordinador del Colegio de Ciencias y HumanidadesMtro. Guillermo Antonio Flores Carbajal

Coordinador del Colegio de Ciencia y TecnologíaMtro. Raúl Soto Peredo

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22:22Isaí Moreno Roque

Academia de Creación LiterariaPlantel San Lorenzo Tezonco

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Isaı

Que mejor que el mundo no se entere de las ni-mias tragedias que, al final del dıa, aquejaron encadena a Jesus Salvatierra. Cataclismos sin impor-tancia, si viene al caso, aunque nada triviales parael, que magnifica lo microscopico. En mi haber deconocidos, Salvatierra sobresale por dominar el ar-te de ahogarse en un vaso sin agua. Su llamadame extrano porque lo suponıa pegado a la TV mi-rando el show de pago por evento que transmite lallegada del meteorito a la atmosfera terrestre. Hacemas de un ano la gente se rio de las predicciones denuestros ancestros, disemino burlas y pitorreos enlas redes sociales hasta que la NASA revelo toda lamierda de informacion que ocultaba, desparpajaday confusa, al grado que se escindieron las opinionesde los eruditos. Un bando de optimistas afirma queel astro solo rozara la atmosfera, obsequiandonosuna suerte de aurora boreal inofensiva y espectacu-lar. El grupo de los pesimistas se divide en dos: 1)Los ’moderados’, inclinados por la postura de queel cuerpo caera en altamar, elevando tsunamis queanegaran las costas del Pacıfico, dejando apenas

dos millones de muertos. 2) El segmento ’radical’,cuya creencia supone al bolido cayendo en tierraa la altura de Utah, EE. UU., con secuelas inena-rrables para la Humanidad. Kaputt ! Ya les toco alos dinosaurios del jurasico, ahora a nosotros. Esosı, que bendicion que empiece con los mormones,dije a Salvatierra, quien no disfruto de la ironıa yse dejo ahogar por el panico de los cientıficos para-noicos, no sin acumular compras copiosas, tambiende pavor, para refugiarse con Melina en un rusticobunker bajo su departamento. Conozco la esperan-za de ambos de que los estragos no sean tan noto-rios en el DF, hecho por demas risible. Tan luegodescolgue el auricular, escuche la voz chillona demi amigo, hablando apresurada y con atropello.Esta bien, lo detuve, entiendo lo estresado que teencuentras, no es para menos. Se apresuro a de-cir que no era por eso, es decir, sı, por el final delos tiempos tambien, pero que su preocupacion se

debıa a otra cosa, igualmente delicada. Calma en-tonces, acote. A ver, dımelo mas despacio. Su vozse sosego un poco y me comunico un incidente queacababa de ocurrirle. De nueva cuenta, poca clari-dad broto de sus labios, y no es que la retorica leescasease, pero sus palabras se enredaron consigomismas, como trenzadas en una disputa perruna dela que se levanta inmensa polvareda. Del discursopude colegir que su conflicto se referıa a un bichodescubierto bajo la regadera. Para ser precisos, fuesu novia quien hizo el hallazgo tras la puerta ple-gable de la ducha. Melina es adepta de la Luz del

Mundo y querıa estar atildada –lease pulcra, in-terpretese purificada– para el Rapto, por lo quedecidio darse un buen bano. Ahı vio a la criatura,destacando entre el blancor de los mosaicos, he-cho que de inmediato comunico a Salvatierra. Estehabıa decidido beber un vaso de leche, dijo, o ası lodeduzco, pues hambre no sintio durante el dıa, sinosed, por eso del estres referido. Se disponıa a encen-der la TV, ansioso de mirar el aerolito y oır algunaindicacion util para salvar el cataclismo, cuandoMelina se le acerco, tomo su hombro y dijo, comosintiendo culpabilidad: Amor, creo que esto no teva a gustar, pero hay un alacran en el piso de laregadera. De inmediato, me confeso Jesus Salva-tierra, corrio insecticida en mano donde el suceso,con Melina pisandole los talones. Lanzo una nebu-lizacion del cilindro antiplagas, rico en elementosquımicos alacranicidas. La alimana se movio en di-reccion de Jesus, quien reacciono lanzando un ge-mido prolongado, agudo, que bien hubiese podidoproferir una nina, no el hombre de treinta y ochoanos que conozco. Se sentıa, dijo desde su auricu-lar, avergonzado de por vida ante su novia. Pres-to sintio avanzar el anquilosamiento por los teji-dos musculares. ¡Paralisis! Era natural en su per-sona debido a la aracnofobia adquirida en su ninez,cuando el veneno de un alacran circulo por las ve-nas de Pody, su french poodle, costandole la vida.Que el aracnido avanzase un poco hacia el, inmu-

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ne al parecer al rocıo asesino, le hizo pensar quela suya serıa una variedad imposible de clasificarpara los biologos. Creyo distinguir en este un parde antenas diminutas –como las de las cucarachas,agrego–, producto de vaya a saberse que accidentesde la seleccion natural de las especies. Eso no im-porta. Aquı solo incumbe que Salvatierra volvio agritar como una pequena de seis anos, y antes deretroceder para ser presa de la inmovilidad abso-luta, logro balbucir a Melina que no, que eso nopodıa permitirse, por el bien de ambos. Amor, di-jo ella moviendo las trenzas de su cabello, imaginoque entornando los ojazos cafes y arrugado la na-riz respingona, solo quiero que lo saques al jardın.Y Salvatierra casi se infarta, valiendole un cominoque el destino de la Humanidad estaba, esta enuna situacion altamente crıtica. Se expreso a gri-tos entrecortados que esa abominacion no debıacontinuar ahı. No. No debe quedar vivo. Ni pue-de. Quien sabe de donde salio para invadirnos, ocomo entro aquı, pero no puedo permitir que que-de vivo. ¡Debe morir!, sentencio. Luego rogo a suamada: ¡Ayudame, corazon, porque yo no puedo!¡Encargate tu! Al llegar a este punto en la narra-cion telefonica de su cataclismo personal se le fuela voz, al parecer moqueo y se quedo callado uninstante, de tal suerte que pude echar un ojo altelevisor. Por alguna razon aparecieron las cone-jitas de Playboy bailando en el Yankee Stadium.¿Recepcion del dıa del Juicio?, tal vez, pero lasimagenes pasaron a una transmision en la que losprimeros ministros de Corea del Norte y Corea delSur mantenıan un acercamiento. Entendı que desobrevivir el mundo las dos Coreas se unificarıan.Y Salvatierra volvio a su narracion desconsolada,diciendome que una vez hecha su peticion a Melina,ella interpelo en favor de la criatura abyecta algoası como Pero quiere vivir, Chucho, ¿no ves que

quiere vivir? Jesus insistio en lo abominable delanimal, en sus antenas menudas explorando al fren-te, de modo avieso. Logro salir del bano. Una vezen la sala se entrego por completo a esa comunioncon la inmovilidad, no sin antes cerrar la puerta.En la pantalla de la TV distinguı al vicepresidentede los EE. UU. dirigiendo un mensaje al mundo,despidiendose quiza, mas lo que hubiese sido re-sulto inaudible para mı ante la voz angustiada deSalvatierra, en referencia a como, mientras el yacıaparalizado, Melina hablo al bicho. Ven chiquito,

ven... Conozco a Melina desde hace anos y puedohacer constar ante notario su apego a la naturale-za y defensa a ultranza de los derechos animales,formando parte de al menos un par de asociacio-nes. Es de las que recogen en la calle a un perrodesamparado y lo llevan a casa, por mas sarnosoque se encuentre. Mi amigo balbuceo que tras unintervalo de silencio, en que no supo como proce-derıa su hermosa chica dentro, y pese a la paralisis,le fue posible mover los pies para dirigirse al sofa ydesplomarse. Luego escucho el sonido del inodorovaciandose. A los pocos segundos, o minutos, Me-lina asomo por la puerta y dijo que ya todo estababien y no debıa preocuparse mas. Lo miro con ter-nura antes de darse el regaderazo deseado. Esa fuela cuestion por la que Jesus me llamo hace minutos,mientras el chorro benefactor banaba el cuerpo desu novia. Subrayo su preocupacion porque la pre-sencia del aracnido, evolucionado o involucionado,hubiera sido algun tipo de heraldo y su muerte em-peorase los acontecimientos venideros.

(Quiero hacer un parentesis filosofico aquı. Essabido que la tragedia se soporta mejor en tantoes colectiva y no personal, verbigracia, los cataclis-mos. Esta manana me machuque el pulgar con lapuerta del coche y mi tragedia es solo mıa. Esta no-che Salvatierra no distingue que Melina contravinosus principios altruistas por amor a el y su tragediaes solo suya. Ni Jesus me reconfortarıa deseando lasalud de mi pulgar doliente ni yo a el motivando-lo, pues en ambos casos no nace desde el interiorla conexion emocional debida. De ahı que lo quedijese a mi amigo, por mas sincero en su conteni-do y forma, no encontrarıa la recepcion adecuada.(Permıtaseme un parentesis dentro del parentesis:Soy dionisıaco y Salvatierra apolıneo, por tanto, adecir de Nietzsche, distamos de compartir el mismosentido de lo tragico)).

Deja de atormentarte, querido Jesus, le con-mine mirando el reloj. Es verdad que tenemos ala vuelta de la esquina acontecimientos decisivospara la Humanidad, pero creeme, ninguno de no-sotros es tan importante para lo que sea que ocu-rra. Haz como yo: descorchate un vinito en tubunker mientras esperas a que Melina salga de laducha, te aseguro que bien lo vale. Justo termina-ba mi sugerencia cuando se oyo desde la regaderala voz presurosa, francamente atribulada de Meli-na. ¡Querido... acaba de irse el agua y estoy llena

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de jabon! Aun alcance a oır un gemidito de Salva-tierra. ¿Que hare ahora?, me pregunto a punto deuna crisis. Era momento de colgarle porque a travesdel televisor empezo a perfilarse la cauda del astroy recorde mis binoculares guardados en el buro.Nada iba a impedirme admirar el espectaculo enlos bordes del cielo defeno, incluso invite a JesusSalvatierra a imitarme, haciendolo partıcipe de unritual. ¿Pero como dejar a Melina enjabonada enel bano?, refunfuno el, ademas no creo que el aguaregrese... Pensaba colgar a la de ya mismo, sabedorde que no era ese un gesto civilizado. Mi mente fueinvadida por la imagen de Melina y Salvatierra, alos que quise imaginar como una pareja romantica,en el sentido tragico aleman, por supuesto, paraser sumados a la lista de pares emblematicos co-mo Marco Antonio y Cleopatra, Romeo y Julieta,etcetera. Menudas ocurrencias las mıas, me esta-ba poniendo sensible al grado que mire el reloj depulsera para registrar el suceso en mi mente, nadadespreciable por la hora cabalıstica que senalabanlas manecillas: las 22:22 horas. En momentos detanta simetrıa pueden elaborarse plegarias afortu-nadas. Te dejo, sople a Salvatierra, y no te apurestanto porque ante el Cosmos, nuestro hogar, es-taremos siempre confesados. ¡Habıan dado ya las22:23! Que importaba. Corrı por los binocularescon la certeza viva de que al ingresar algun cuerpoceleste a la atmosfera, con el despido consecuentede luz, el deseo que se pida sera cumplido.

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de jabon! Aun alcance a oır un gemidito de Salva-tierra. ¿Que hare ahora?, me pregunto a punto deuna crisis. Era momento de colgarle porque a travesdel televisor empezo a perfilarse la cauda del astroy recorde mis binoculares guardados en el buro.Nada iba a impedirme admirar el espectaculo enlos bordes del cielo defeno, incluso invite a JesusSalvatierra a imitarme, haciendolo partıcipe de unritual. ¿Pero como dejar a Melina enjabonada enel bano?, refunfuno el, ademas no creo que el aguaregrese... Pensaba colgar a la de ya mismo, sabedorde que no era ese un gesto civilizado. Mi mente fueinvadida por la imagen de Melina y Salvatierra, alos que quise imaginar como una pareja romantica,en el sentido tragico aleman, por supuesto, paraser sumados a la lista de pares emblematicos co-mo Marco Antonio y Cleopatra, Romeo y Julieta,etcetera. Menudas ocurrencias las mıas, me esta-ba poniendo sensible al grado que mire el reloj depulsera para registrar el suceso en mi mente, nadadespreciable por la hora cabalıstica que senalabanlas manecillas: las 22:22 horas. En momentos detanta simetrıa pueden elaborarse plegarias afortu-nadas. Te dejo, sople a Salvatierra, y no te apurestanto porque ante el Cosmos, nuestro hogar, es-taremos siempre confesados. ¡Habıan dado ya las22:23! Que importaba. Corrı por los binocularescon la certeza viva de que al ingresar algun cuerpoceleste a la atmosfera, con el despido consecuentede luz, el deseo que se pida sera cumplido.

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¡Que se acaba el mundo!Fausto Cervantes OrtizAcademia de Matemáticas

Plantel San Lorenzo TezoncoEl 21 de diciembre de 2012, el mundo se acabó por n-ésima vez. Como cada vez que se acaba el mundo, en esta ocasión también hubo gente que se dedicó a tratar de hacer cundir el pánico (en algunos casos, con éxito), otros que aprovecharon para hacer sornas acordes al suceso, unos más para hacer dinero... Pero, a la fecha, el mundo sigue su curso.

La religiónHistóricamente, el mundo se ha terminado tantas veces, que es imposible llevar la cuenta. Sin em-bargo, hay algunas que se han documentado debi-do a la importancia que tuvieron en su momento. Las crónicas de los sumerios en el poema de Gil-gamesh preservan la leyenda del diluvio (que más tarde plagiarían los hebreos en la historia del Arca de Noé) como una importante memoria de un fin del mundo particular. También otros pueblos tu-vieron fines del mundo que se conservan en leyen-das, pero la era cristiana hizo que esto se volviera costumbre de cada generación (de ahí nace la Es-catología como materia de estudio).

Según la Biblia, Jesús anuncia el fin del mundo en reiteradas ocasiones, dando como plazo para ello una generación:

Hay algunos de los que están aquí, que no gustarán la muerte, hasta que hayan visto al Hijo del hombre viniendo en su reino. Mateo 18:28.

De cierto os digo que todo esto vendrá sobre esta generación. Mateo 23:36.

De cierto os digo que no pasará esta generación, que todas estas cosas no sean hechas. Marcos 13:13.

De cierto os digo, que no pasará esta generación hasta que todo sea hecho. Lucas21:32.

Si yo quiero que él quede hasta que yo venga, ¿qué a tí? Juan 21:22.

Pero las generaciones pasaron y nada de lo anun-ciado sucedió.

Cuando los españoles invadieron América en 1492, obligaron a los nativos a dejar sus antiguas creencias y convertirse al catolicismo. También, al-gunos frailes compilaron las historias de algunos pueblos, o les enseñaron a escribir en español y los persuadieron para que escribieran sus historias. Producto de lo anterior son los códices y otros tex-tos, como el Popol Vuh. Sin embargo, es imposible ignorar la influencia de las doctrinas católicas, bas-tante extendidas por la época en que se escribieron los textos referidos, al mencionar hechos como el de que Quetzalcóatl era hijo de una virgen, que hubo un diluvio, etc. Por ello, es muy difícil esta-blecer cuáles historias del fin del mundo son legíti-mamente originales de los pueblos autóctonos, y cuáles fueron importadas de Europa, y por ende de la mitología hebrea y otras mitologías europeas y asiáticas.

Posteriormente, conforme el cristianismo fue to-mando diferentes matices en todo el mundo, y

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surgieron múltiples denominaciones y sectas, cada una dio su propia profecía del fin del mundo. Los Testigos de Jehova anunciaron a principios del si-glo XX que el mundo se acabaría en 1914. Después de tal año, y al ver que el mundo no se había acaba-do, en lugar de reconocer su error, insistían en que el mundo se había acabado pero no nos había-mos dado cuenta. Recientemente, los Testigos de Jehova ya reconocieron su error, probablemente para anunciar una nueva fecha del fin del mundo.

En los años recientes, algunas personas veían en el derrumbe de la URSS una señal inequívoca del fin del mundo, que finalmente no llegó, pero que en su momento tuvo bastante resonancia. Alguien incluso identificó a Gorbachov con el anticristo (Robert W Faid). Las “profecías” tampoco en este caso se cumplieron (pero las religiones ganaron muchos adeptos después de la caída de la URSS), y el mundo siguió su curso.

Sin embargo, hasta la fecha las diferentes religio-nes cristianas continúan manipulando números para ajustar fechas del fin del mundo y de la se-gunda venida de Jesús a la Tierra, y llamando al arrepentimiento. Es imposible llevar la cuenta de las profecías no cumplidas. Una de las más recien-tes ocurrió en el año 2000, cuando a las profecías religiosas se sumó la amenaza informática del lla-mado “efecto 2000”, que como se vio, fue tan cierta como las religiosas.

A pesar de las “profecías” no cumplidas, las reli-giones y sectas han tenido a últimas fechas muchas nuevas predicciones del fin del mundo, basándose en diferentes fuentes, mismas que tampoco se han cumplido, pero que han generado fabulosas ga-nancias a sus proponentes.

NostradamusDespués de que las Torres Gemelas de Nueva York se derrumbaran, aparentemente a causa de los incendios provocados por dos aviones que se estre-llaron contra ellas (hay serias dudas de que esa haya sido la causa real, pero no analizaremos esa postura aquí), uno de los libros más vendidos

a nivel mundial, incluyendo a México, fue el de las profecías de Noatradamus.

En 1655 se publicó el libro “Las verdaderas centu-rias astrológicas y profecías”, de Michel de Nôtre-Dame, mejor conocido por la forma latinizada de su nombre, Nostradamus. A partir de sus cuarte-tas, mucha gente se ha dedicado a leer y ajustar los sucesos del diario acontecer mundial a alguna de ellas. Profecías a la inversa, le llaman algunos. Por ejemplo, después del ataque terrorista a las to-rres gemelas en Nueva York el 11 de septiembre de 2001, muchos escatólogos ajustaron cuartetas de Nostradamus para decir que éste había previsto tal suceso. Pero, ¿de verdad fue así? Juzgue el lector. La cuarteta en cuestión se lee:

Cinco y cuarenta grados el cielo quemará,Fuego se acerca a la gran ciudad nueva:En un instante una gran llama dispersa saltará,Cuando se querrá hacer prueba de los Normandos.

Ahora bien, si el lector hubiese leído esta cuarteta el 10 de septiembre de 2001, ¿hubiera pensado de inmediato: “mañana unos terroristas van a estre-llar unos aviones contra las torres gemelas en Nue-va York”? Los detractores de Nostradamus también tienen algo que decir: La latitud de “cinco y cuarenta” así como la gran “ciudad nueva” se pueden aplicar a Nueva York. Pero Nueva York se encuentra debajo del 41° paralelo. Además, la palabra “cité neuve”, ciudad nueva, es el nombre de una ciudad francesa

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que por coincidencia se encuentra en la misma la-titud. “Hacer prueba de los Normandos” se inter-preta en muchas maneras; “Normandos” se puede aplicar a residentes de Norteamérica, Inglaterra, o Francia. En cuanto a la frase “Hacer prueba”, ¿necesariamente implica muerte?

Como la anterior, las otras cuartetas de Nostrada-mus consideradas proféticas son extremadamente ambiguas, imprecisas, confusas, e igualmente se pueden aplicar a muchos otros acontecimientos con la misma “precisión” profética. Asimismo, tales profecías se pueden “reinterpretar” posterior-mente, para corregir errores en las primeras inter-pretaciones en caso necesario.

Vemos entonces que, ni las “profecías” religiosas, ni las que provienen de otra clase de creencias místicas, han resultado acertadas. Por ello, resulta harto incomprensible para el ser humano racional que aun haya gente que crea a pie juntillas en tales supercherías.

Las verdaderas amenazas a la vida

Los meteoritos

Como se estudió en el número 7 de Mefisto, dos eventos muy cercanos uno del otro nos recordaron que no estamos exentos de una nueva catástrofe cósmica como la que aparentemente provocó la extinción de los dinosaurios. La caída sobre la su-perficie terrestre de un meteorito del tamaño del asteroide 2012 DA14 es una posibilidad real de peli-gro para la vida sobre la Tierra.

Los volcanes

Como ya se examinó en el número 3 de Mefisto, la actividad volcánica ha afectado frecuentemente las actividades humanas en forma significativa, de-bido a una creciente intensidad en las manifesta-ciones de tales fenómenos. En los últimos meses, el volcán Popocatépetl ha registrado actividad cons-tante, que ha provocado la caída de ceniza en las áreas vecinas, incluyendo a la Ciudad de México.

Esto supone peligro inminente para las comuni-dades aledañas, que ya tuvieron eventos destructi-vos en el año 2000.

Los terremotos

En Mefisto 1 se compara la actividad telúrica del siglo 20 y el siglo 21, observándose un aparente au-mento en un orden de magnitud en la intensidad de los terremotos. Esta clase de fenómenos ha oca-sionado tragedias terribles tanto en países donde no estaban preparados por la ausencia de sismos durante la historia conocida, como en países que históricamente siempre han estado preparados.

Los huracanes

Los huracanes Katrina (2005), Sandy (2012) y otros han causado serios estragos en diferentes ciudades de los Estados Unidos, cuyos gobierno finalmente parece entender que el cambio climático es una amenaza real para todo el mundo, incluidos ellos, a pesar de su gran potencial militar y económico. En futuras entregas de Mefisto se analizará más ampliamente esta clase de fenómenos.

El cambio climático

Mucho se ha hablado del tema en múltiples me-dios de información, y continúa la discusión so-bre si la civilización contribuye al mismo o si es un fenómeno natural inevitable. Casualmente, los que más contribuyen a la emisión de gases de efecto invernadero, son quienes rechazan que el ser hu-

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mano contribuya a este cambio. Mientras que los países de la Unión Europea discuten qué acciones tomar, Estados Unidos aún debate si ellos son o no parte de la causa.

Lo que es innegable es que el planeta se está calentando en forma acelerada. Los glaciares en los polos y las montañas altas están disminuyendo sus niveles en forma alarmante, mientras que las tem-peraturas invernales en Europa están provocando mortandad como no se recuerde con anterioridad. Este problema se examinará en otras entregas de Mefisto.

La guerra

Es indiscutible que por todo el mundo hay guerra: Irak, Afganistán, Palestina, Israel, Líbano, Siria, Congo, Somalia, Myanmar y un largo etcétera. En meses recientes ha llamado la atención el caso de Corea del Norte.

El 17 de diciembre de 2011, Kim Jong-Il, hasta entonces líder de Corea del Norte, muere, here-dando el cargo a su hijo Kim Jong-Un. Corea del Norte es un país de contrastes, que lo mismo gana medallas de oro en los juegos olímpicos (en 2012 ganó 4 medallas de oro, contra 1 de México, país “democrático”) o en las olimpiadas de matemáticas (este año ganó 2 oros y cuatro platas, contra cero oros, tres platas y tres bronces de México), que raciona la electricidad con apagones programados por horario (en México no hay apagones, pero la electricidad se cobra a precios millonarios, sobre todo después de la extinción de Luz y Fuerza del Centro).

Durante el gobierno de Kim Jong-Il, Corea del Norte desarrolló un programa nuclear que lo llevó a obtener la bomba atómica, razón por la cual la ONU sancionó a esa nación.

Desde los años de Kim-Il Sung como presidente de Corea del Norte, las naciones de occidente blo-quearon todo comercio con esa nación, lo que la llevó a un aislamiento similar (o peor) al de Cuba. Y lo mismo que en Cuba, la publicidad imperialis-

ta exagera los problemas del país como una me-dida de propaganda anticomunista. Ese estado de aislamiento continuó con Kim Il-Jong, a pesar de que algunos esperaban que con la muerte de Kim Il-Sung las cosas tal vez cambiarían.

De Kim Jong-Un también se esperaba un cambio en las políticas tanto interna como externa, dado que éste estudió en Suiza, pues se pensaba que haría honor a su educación occidental e impulsaría la democratización de Corea del Norte.

El 29 de marzo de 2013, el líder supremo de Corea del Norte declaró estado de guerra con Corea del Sur y sus aliados (comenzando, por supuesto, con EUA), debido al sobrevuelo sobre suelo nor-coreano de naves de guerra estadunidenses.

Sabedores de la posesión de la bomba atómica por parte de Corea del Norte, Estados Unidos no envió tropas inmediatamente después de esta declara-ción. Lo más que ocurrió fue que se sucedieron declaraciones de presidentes y primeros ministros condenando la posibilidad de una guerra.

La crisis de 2013 en Corea fue una escalada de ten-siones que se desencadenó en febrero de este año, debido a una prueba nuclear realizada por parte de Corea del Norte en respuesta a la resolución 2087 del Consejo de Seguridad de la ONU solicitada por Estados Unidos, que la sancionó por el lanza-miento del satélite Kwangmyongsong-3.

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La prueba nuclear llevó a Estados Unidos a solicitar nuevamente al Consejo de Seguridad la aplicación de más sanciones contra el gobierno norcoreano, lo que se produjo a través de la resolución 2094. Días después, Corea del Sur y EUA anunciaron que se reforzarían las maniobras militares conjuntas que llevan a cabo anualmente. En respuesta a estas maniobras, Corea del Norte anuló el pacto de no agresión que mantenía con Corea del Sur y cortó las líneas de comunicación directas con su vecino.

El 29 de marzo, dos bombarderos B-2A estaduni-denses con capacidad nuclear lanzaron proyectiles frente al mar de Corea, lo que fue considerado por Pionyang como el inicio de la guerra contra su nación.

A mediados de abril, tanto Corea del Sur como Corea del Norte realizaron propuestas para iniciar el diálogo entre las partes, pero no han sido acep-tadas por sus contrapartes por las condiciones ini-ciales para reunirse.

Desde el fin de la Guerra de Corea con un armis-ticio en 1953, la tensión en la península coreana nunca ha desaparecido, debido a la sucesión de di-versos movimientos militares a ambos lados de la frontera y en los mares adyacentes por parte de los dos países y el resto de potencias regionales.

Sin embargo, después de haber llamado la atención internacional, el 15 de junio de 2013, Corea del Norte hace un llamado a “conversaciones de alto nivel” con EUA, a fin de “aliviar la tensión en la península coreana”. Aparentemente, como algunos comentaran durante la guerra de declaraciones, Kim Jong-Un sólo trataba de llamar la atención in-ternacional sobre su país.

El problema con una guerra entre Estados Unidos y Corea del Norte es la indiscutible posesión de la bomba atómica por ambas partes, razón por la cual EUA no ha procedido como en los casos de Afganistán e Irak, donde la invasión no resultó un problema por la certeza de que no había arsenal suficiente para contrarrestar un ataque directo. Un ataque nuclear, en cualquiera de las dos direccio-

nes posibles, acabaría con millones de vidas en un abrir y cerrar de ojos. Hasta el país con la mayor industria de guerra del mundo se va con tiento en un caso así.

ConclusiónEsta es, pues, la situación de la vida en la Tierra, y la de la humanidad. Vemos que aunque las ame-nazas reales están aquí, visibles y tangibles, el ser humano de inteligencia promedio prefiere hacer más caso de las amenazas religiosas y místicas que de los problemas reales. Recientemente, el diario La Jornada publicó un artículo titulado Mexicanos confían más en la fe, la magia y la suerte que en la ciencia. ¿Nos dice algo esto?

Hay más gente interesada en saber qué deberes religiosos cumplir, o qué signos astrales obedecer, que en saber cómo modificar sus hábitos de vida para disminuir la emisión de gases de efecto inver-nadero.

ReferenciasDrew, Patrick. 101 Places to Go Before They Disap-pear. Harry N. Abrams. New York, 2011.Biblia Reina-Valera de 1909. SBU. Miami, 2009.Asimov, I. y Pohl, F. La ira de la Tierra. Ediciones B. Barcelona, 1994.Faid, Robert W. Gorby, el anticristo. Revista Nexos, 01 de julio de 1989.Diario La Jornada. Wikipedia, the Free Encyclopedia.

Mefisto

11

La gente dice que reflexiono mucho sobre sexo y mujeres; pero a decir verdad, ¿qué otra cosa hay más importante?

Auguste Rodin (1840 - 1917) Escultor francés.

Frases célebres

Un intelectual es alguien que ha encontrado algo más im-portante en qué pensar que el sexo.

Edgar Wallace (1875 - 1932) Escritor inglés.

Dejad á los niños, y no les im-pidáis de venir a mí; porque de los tales es el reino de los cielos.

Mateo 19:14

Jesús (4 A. C. - 29 D. C.) Rey de los judíos.

Bienaventurado el que tomará y estrellará tus niños contra las piedras.

Salmo 137:8

David (1040 - 970 A. C.) Rey de Israel.

¿Por qué será que uno se siente tan inseguro con tanta seguri-dad?

David Brooks (1961 - ) Perio-dista estadunidense.

Nuestros programas de vigi-lancia y seguridad nos ayu-dan a prevenir ataques te-rroristas.

Barack Obama (1961 - ) Político estadunidense.

Mefisto

12

El cielo de verano

Fases de la Luna

Luna nueva

6 de agosto5 de septiembre4 de octubre

Cuarto creciente

13 de agosto12 de septiembre11 de octubre

Luna llena

20 de agosto19 de septiembre18 de octubre

Cuarto menguante

28 de agosto26 de septiembre26 de octubre

Mefisto

13

Lluvias de estrellas

Delta Acuáridas

28 y 29 de julio

Perséidas

12-13 de agosto

Dracónidas

7 de octubre

Planetas

Mercurio en GéminisVenus en LeoMarte en GéminisJúpiter en GéminisSaturno en VirgoUrano en PiscisNeptuno en Acuario

Mefisto

14

BurbujasJoel García León

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

.

I. Burbujas

Richard Courant1 fundo, a finales de los anos treinta del siglo pasado, el Mathematical Institute of Applied

Mathematics para la Universidad de New York, USA. Desde 1964, el Instituto lleva su nombre: Courant Institute(ver obra de Preston [7]).

Figura 1: Richard Courant

Existen algunas anecdotas que, por “irrelevantes”, son olvidadas en la historia oficial de algunos personajes.He aquı una de ellas: Courant invertıa horas en la banera. Por supuesto no solo fue el placer de regresar ala edad del feto2: aprovechaba el descanso y el reposo para pensar en problemas matematicos. Segun cuentanalgunos estudiosos de este asunto, pasaba horas produciendo burbujas de jabon. Cierto o no, esta aparenteociosidad trae consigo la siguiente pregunta:

¿Por que las burbujas tienen forma esferica?

Existen al menos dos respuestas a la pregunta original, rastreadas a lo largo de la historia de la ciencia:

1. Fısica: Hay dos fuerzas actuando, una interior y la otra exterior. Ambas tienen la misma magnitud ydireccion (es decir, son paralelas), pero con sentido contrario. Su suma vectorial (la resultante) es cero.

1(1888-1972) Matematico aleman de origen polaco, miembro del Partido Social-Democrata de Alemania -de corte Socialista- yex-combatiente en la Primera Guerra Mundial. Exiliado polıtico al inicio de la Segunda Guerra Mundial.

2Segun algunos analistas, el placer por la banera es una regresion psicologica al estado fetal, ademas de un descanso recomendado.

1

Mefisto

15

Para entender esta respuesta necesitamos conocer un poco sobre calculo vectorial simple: cada fuerzaactua de tal manera que una es el inverso aditivo de la otra. Entonces la forma obtenida -la esfera-, es lasuperficie que permite el “equilibrio”entre ambas.

2. Geometrica: En realidad este es un replanteamiento de un problema que proviene desde la antiguedad,llamado problema isoperimetrico, su forma clasica se puede plantear de dos maneras equivalentes:

a) De las figuras geometricas con area dada, encontrar la que minimiza el perımetro3.

b) De todas las figuras geometricas con perımetro dado, encontrar la que maximiza el area.

La respuesta a este problema era conocida desde la antiguedad por los babilonios, los egipcios y todas lasculturas que cultivaron la arquitectura, la astronomıa, la poesıa y las matematicas, entre otras.

En el plano, la figura que resuelve el problema isoperimetrico es el cırculo; mientras que en el espacio, lasolucion es dada por la esfera. Este problema aparece, junto con su solucion, en diversos trabajos. Algunos sonleyenda, como el caso de la reina Dido, quien construyo su reino a la orilla del mar, sabiendo cual es la longitudde su frontera y, por tanto, su territorio tiene forma semicircular. Algunos otros han llegado a nuestros dıascomo referencia historica unicamente.

Los antiguos sugieren la siguiente respuesta (claro, interpretada de manera moderna por nuestra culturaoccidental): si tomamos una figura con el area dada, digamos representada por el numero A, entonces al trazar

una recta que divida en dos partes iguales el area, numericamente representada por A

2, una parte del perımetro

queda del lado de una region y la otra del lado contrario. Al reflejar sobre dicha recta el perımetro menor,obtenemos una nueva figura que tiene la misma area como numero, pero con menor perımetro; esto es, la nuevafigura es simetrica respecto a esta recta. Por tanto, si procedemos del mismo modo para cualquier recta quecumple esta propiedad, la figura debe ser simetrica en toda direccion; dicho de otra manera, la figura debe serel cırculo.

La cultura Griega conocıa perfectamente el cırculo y su perımetro: la circunferencia. Las leyes que pro-pusieron hoy en dıa parecen un juego de ninos de escuela primaria. Por ejemplo, si dividimos la longitud delperımetro entre el diametro, el resultado es el numero π, del cual hasta el momento se han calculado variosmillones de dıgitos. En terminos numericos, esto significa

2πr

2r= π.

Otra propiedad no tan obvia es: si tomamos el cuadrado del perımetro y lo dividimos entre el area, elcociente resulta una constante. En numeros tenemos:

(2πr)2

πr2= 4π. (1)

Esta ultima ecuacion ya no resulta transparente para todos. Sin embargo, es su sencillez y belleza la queatrae a propios y extranos. El numero 4π es conocido como constante isoperimetrica para el plano. Lapregunta obligada es:

¿Cuales figuras geometricas cumplen la igualdad (1)?

Para buscar una respuesta es necesario hacer notar que, si denotamos por ℓ el numero que representa elperımetro y A el area, la pregunta se convierte en la siguiente:

¿Cuales figuras geometricas cumplen la igualdad ℓ2

A= 4π?

La respuesta tambien es conocida: solo el cırculo satisface dicha igualdad. Sin embargo, cualquier otra figurasatisface la desigualdad:

ℓ2

A≥ 4π, (2)

o bienℓ2 ≥ 4πA. (3)

De este modo, tenemos una propiedad generica de las figuras geometricas:

3Por perımetro se entiende en ocasiones la longitud del borde de una figura geometrica, aunque tambien se sobre-entiendesimplemente como el contorno. Aquı usaremos ambas aseveraciones mientras el contexto permita su claridad.

2

Mefisto

16

Proposicion I.1 Toda figura regular satisface la desigualdad (3). A esta desigualdad se le conoce como des-

igualdad isoperimetrica. El numero 4π se conoce como constante isoperimetrica en el plano.

Si buscamos alguna propiedad similar para los cuerpos solidos, tenemos que limitarnos por el momentoa la esfera. En este caso su volumen esta dado por 4

3πr3, mientras que el area de su superficie es 4πr2.

Aquı obviamente tenemos el problema de los exponentes. El ejemplo anterior fue sencillo, pues bastaba conelevar al cuadrado, sin embargo aquı tenemos dos exponentes: 2 y 3, lo cual no nos parece familiar. Sin embargo,se puede salvar el punto. Si A denota el area de superficie y V el volumen, tenemos una forma de comparar;esta es: A3 y V 2. Notemos entonces:

A3 = (4πr2)3 = 324π

(

4

3πr3

)2

= 324πV 2.

Ası, con esta forma de comparar, tenemos la desigualdad isoperimetrica para los cuerpos planos y solidos.

Proposicion I.2 El plano y el espacio satisfacen la propiedad isoperimetrica, pues cumplen la siguiente ley:

1. Las figuras planas satisfacen la desigualdad:

ℓ2 ≥ 4πA.

2. Todo cuerpo geometrico solido satisface la desigualdad:

A3≥ 324πV 2.

Una observacion pertinente: En matematicas, el plano lo denotamos por R2, mientras que el espacio esreconocido con el sımbolo R

3.

Parece que no tiene sentido en primera instancia; sin embargo, no es ası. El preguntarse: R2 es un planoy por tanto lo podemos pensar como de dimension dos, y el espacio como dimension tres, ¿se puede pensaren una dimension superior? La respuesta la obtenemos en diversas ramas de las matematicas, como el algebralineal y la geometrıa diferencial.

II. El problema de la dimension

El artista renacentista Alberto Durero (Albrecht Durer, 1471-1528), en sus Instituciones en Geometrıa (ver[4]), nos define de una manera simple la diferencia entre el plano y el espacio:

Empecemos con las mas simple de las ideas, para medir la longitud, se necesita solo una cantidad,digamos ℓ.

Para medir la region plana, se necesitan dos cantidades, la primera denominada longitud y usa-mos al igual que antes la letra ℓ para representarla. La segunda cantidad es la anchura, representadacon a. De este modo, si consideramos cuan grande es la region rectangular comprendida, la cantidades el producto a · ℓ.

Para medir cual es la capacidad en el espacio, necesitamos de manera obvia tres cantidades:la longitud ℓ, la anchura a y la profundidad p. De este modo, calcular dicha capacidad para unparalelepıpedo es lo mismo que calcular un triple producto p · a · ℓ.

No es inutil destacar que Durero habla de cantidades que hoy conocemos con otros nombres: distancia, areay volumen. Esta precision del artista nos pone en la puerta del problema matematico llamado dimension: larecta tiene dimension uno, el plano dimension dos, y el espacio dimension tres. Esta idea no es contradictoriacon la idea geometrica del significado de dimension: un punto genera un espacio de dimension cero; segun

3

Mefisto

17

Euclides, la recta es generada por dos puntos, el plano es generado por tres puntos y el espacio es generadopor cuatro puntos, y ası de manera recurrente generamos espacios de dimension mayor4.

Como vemos, la dimension entonces esta relacionada directamente con cantidades de numeros necesariospara describir los cuerpos metidos en ese espacio. De esta manera podemos ordenarlos en funcion de numerode cantidades: respetando la notacion de Durero tenemos: (ℓ) dimension uno, (ℓ, a) dimension dos y (ℓ, a, p)dimension tres. Si continuamos “de manera recurrente”, con cuatro cantidades tenemos dimension cuatro, concinco dimension cinco, etc. Tambien si seguimos con nuestros modelo de letras representado numeros, estaremoscondicionados a no pasar de dimension veintinueve, por ello necesitamos crear nuestra propia notacion que nodependa unicamente de letras, pues aun usando el alfabeto cirılico no pasarıamos de dimension treinta ycinco. Adoptando las letras n o k como dimension, notemos que el area o volumen se convierten en algoası como el producto de una cantidad de numeros igual a la dimension. Algunos autores prefieren los nombresde “hiperarea”o “hipervolumen”. Nosotros procederemos de manera natural y simplemente seguiremos usandolos mismos nombres. Siguiendo entonces con la misma tradicion el “espacio de dimension k” lo denotaremospor Rk. De este modo, si tenemos un paralelepıpedo en R

k, este tiene k lados, digamos d1, d2, . . . , dk− 1 y dk.Entonces el volumen esta dado por el producto

V = d1 · d2 · . . . · dk.

En este tenor, notamos que el perımetro es la cantidad que nos mide distancia o longitud, para la cual solonecesitamos una cantidad, mientras que para el area se necesitan dos cantidades y ambas estan relacionadas porla desigualdad isoperimetrica (3). Para el caso de la comparacion entre area y volumen, aunque de dimensionesdistintas, hemos logrado una comparacion denominada desigualdad isoperimetrica en el espacio:

A3≥ (324π)V 2. (4)

Si tomamos c(1) = 4π, c(2) = (324π), entonces debe existir una relacion parecida a la desigualdad isope-rimetrica en el espacio de dimension cuatro, al igual que en dimension cinco, y ası sucesivamente; por tantotenemos numeros c(1), c(2), . . . , c(k − 1) y c(k), de tal manera que tenemos la relacion

Ak≥ c(k)V k− 1. (5)

En efecto es la desigualdad isoperimetrica clasica para el espacio Rk, y tenemos la ultima proposicion de este

apartado:

Proposicion II.1 El espacio Rk satisface la propiedad isoperimetrica, puesto que cualquier cuerpo regular

cumple la desigualdad

Ak≥ c(k)V k− 1.

Convencernos de la veracidad de esta proposicion implica dar argumentos matematicos (o demostracion).Para ello se utiliza una proposicion matematica llamada teorema de la divergencia, que es material de un cursode calculo vectorial. Por cierto, es un buen ejercicio para los estudiantes avanzados calcular las cantidades A yV para las esferas, cuando la dimension es mayor que tres, y relacionarlas con los numeros obtenidos c(k).

III. Espacios curvos

Einstein, en su teorıa de la relatividad, nos ensena que “el tiempo es una curva en R4”. El significado de

esta frase, en un buen contexto, quiere decir que el tiempo es una dimension mas en nuestras vidas. Dichode otra manera, somos seres tridimensionales, pero existe una cantidad que rige nuestras vidas y fısicamenteestamos impedidos de ver: el tiempo. Sin embargo, este lo podemos medir y, gracias a ello, el desarrollo dela humanidad se ha catapultado. En la vida cotidiana hemos experimentado con curvas. En la escuela porejemplo, aprendimos la lınea recta, la circunferencia, mientras que en el bachillerato aprendimos la elipse, la

4Es importante senalar que es imposible visualizar dimension cuatro, por ello nuestra limitacion a poner graficamente solamenteR, R

2 y R3.

4

Mefisto

18

parabola y la hiperbola, todas ellas llamadas curvas conicas. Que tanto es mas pronunciada una curva que otra(por ejemplo, la circunferencia tiene mayor curvatura que la recta), nos conduce al concepto de curvatura.

La curvatura la entenderemos como una funcion tal que a cualquier punto en una curva le asociamos unnumero real. Por supuesto, la lınea recta la entendemos como aquella curva que tiene curvatura cero. Noteseque no es lo mismo decir: “no tiene curvatura”, que decir “tiene curvatura, y esta es cero o nula”. De estemodo tenemos espacios curvos de dimension uno, llamadas curvas. El manejo analıtico de las curvas se puededesarrollar con herramientas del calculo vectorial y puede extenderse hasta la teorıa de curvas que se analizaen un curso de geometrıa diferencial.

Los espacios curvos de dimension dos son conocidos como superficies, y nuevamente su estudio requiere decalculo vectorial. Dibujarlas en una hoja de papel en blanco, tanto curvas como superficies, puede ser simple;aunque tambien la computadora es de gran ayuda para este proposito. Sin embargo, su manejo analıtico oalgebraico puede ser bastante complicado.

Existen tambien espacios curvos de dimension mayor que tres. Esto significa un curso avanzado de geometrıadiferencial, estos espacios son conocidos como variedades diferenciales.

IV. Calculando curvaturas

Una forma de construir la funcion curvatura es la siguiente: Empecemos con curvas: la mas simple de todasellas es la recta, cuya curvatura es la constante cero.

Figura 2: Curvaturas de circunferencias

La siguiente curva es la circunferencia de radio r > 0. En la figura 2 observamos lo siguiente:

1. Si tomamos los radios de las circunferencias C1, C2, y C3, vemos que se cumple r1 < r2 < r3. Entoncesla mas pequena tiene mayor curvatura, mientras que la mas grande tiene tiene menor curvatura5.

2. Si el radio de la curvatura crece indeterminadamente, entonces su curvatura decrece hasta parecer nula.

3. De este modo, si denotamos la funcion curvatura por κ(p)6, esta debe ser constante en la circunferencia

y dada por: 1r. Notemos entonces que, en las circunferencias de la figura 2, se satisface

Si r1 < r2 < r3, entonces κ1 =1

r1> κ2 =

1

r2> κ3 =

1

r3. (6)

5Una circunferencia de radio ∞ es una recta.6Aquı p es el punto correspondiente de la curva, en este caso de la circunferencia.

5

Mefisto

19

Como conclusion, la curvatura de una circunferencia de radio r > 0, esta dada por

κr =1

r.

Observacion IV.1 De aquı se puede afirmar que el punto es un cırculo de radio cero y la recta es un cırculode radio infinito, cuyas respectivas curvaturas son infinito y cero respectivamente.

Proposicion IV.2 Para el caso de una curva arbitraria, usamos un teorema de geometrıa que dice los si-guiente: si una curva no tiene picos, y se puede trazar por cada punto su recta tangente, entonces existe unacircunferencia que se le asemeja (ver Figura 3)7.

Figura 3: Curvatura en el plano

Pasamos al siguiente problema: como construir la curvatura para superficies. Siguiendo el esquema decurvas, R2 es una superficie de curvatura cero (el equivalente al plano). Ahora, la siguiente superficie a tratares la esfera, sin embargo el caso ya no es tan simple como el de la circunferencia. El problema es el siguiente:las superficies son espacios curvos de dimension dos. Una idea para abordar el problema es: si cortamos con unplano perpendicular la superficie en un punto determinado, entonces obtenemos de esta interseccion una curva.Por supuesto, esta curva tiene una curvatura, sin embargo, existen multitud de curvas al rotar dicho plano sindejar de ser perpendicular. El problema es cual direccion o direcciones elegir entre todas ellas. Por ejemplo, enla figura 4, tenemos dos curvas α y β con esas caracterısticas, ambas tienen curvaturas distintas.

Existe un resultado en geometrıa que nos dice que existen dos curvas tales que una tiene curvatura maximay la otra curvatura mınima, y son perpendiculares. Si denotamos por κ1 la maxima y κ2 la mınima, entoncesla curvatura de la superficie en el punto p es por definicion el producto de ambas, es decir:

κ = κ1 κ2.

En el caso de la esfera, k1 = k2 por (6), ası tenemos que la curvatura en la esfera de radio r > 0 esta dadapor

κ = κ1 κ2 =1

r·1

r=

1

r2.

Tambien tenemos una resultado en geometrıa que dice los siguiente:

Proposicion IV.3 Si S denota una superficie que tiene plano tangente en cada punto, se tiene:

7Dicha circunferencia es llamada circunferencia osculatriz.

6

Mefisto

20

Figura 4: Curvatura en el espacio

1. El plano R2 y el cilindro S1 × R son espacios de curvatura constante cero, aquı S1 representa la circun-

ferencia de radio unitario.

2. Si κ > 0 es constante, entonces S es una esfera.

Observacion IV.4 Existen espacios de curvatura negativa; en particular, los espacios de curvatura negativa

y constante son conocidos como “espacios hiperbolicos”.

En la literatura especializada abunda material sobre los espacios de curvatura constante, por ejemplo, laobra de Wolf [9]. Sin embargo, este es un libro difıcil de entender si no se tienen herramientas matematicasadecuadas. A pesar de que es una obra dirigida a estudiantes de licenciatura en matematicas, suele usarse encursos de posgrado. Su primera publicacion fue en 1936, sin que pierda vigencia hasta nuestros dıas.

Regresando a nuestro problema original, ahora tenemos superficies, las que denotamos genericamente comoS, y queremos ver como generalizamos la desigualdad isoperimetrica clasica. En la figura 4 tenemos que laregion Ω en gris tambien tiene area y su borde longitud, a pesar de que ambos se encuentran dentro de unespacio curvo. El problema entonces nos plantea si la desigualdad isoperimetrica clasica sigue siendo valida ensuperficies.

Existen desde luego varias formas de generalizar el resultado, sin embargo nos limitaremos a una forma dehacerlo, nos reduciremos solamente al caso particular de la esfera.

Supongamos que ahora queremos comparar el area de pedazo de cascara de naranja con la longitud desu borde, por supuesto que existe una relacion, si consideramos la naranja como una esfera de radio r > 0,entonces para cualquier “conjunto flaco”como Ω en la figura 4, se cumple la desigualdad:

ℓ2 ≥ 4πA −

(

A

r

)2

. (7)

Recordemos que la curvatura de la esfera es κ = 1

r2, entonces la desigualdad se convierte en

ℓ2 ≥ 4πA − κA2. (8)

Esta ultima ecuacion (8) se conoce como desigualdad isoperimetrica en espacios bidimensionales de cur-vatura constante, pues cualquier superficie de curvatura constante la satisface. Note, ademas, que es unageneralizacion de nuestra desigualdad isoperimetrica para el plano, dada por la ecuacion (3), esto es cuandoκ = 0. Una observacion mas, que pondremos en forma de proposicion:

Proposicion IV.5 Si S es una superficie de curvatura negativa, entonces tiene la propiedad isoperimetrica

clasica.

7

Mefisto

21

Para notar la veracidad de la proposicion, es de notarse que si la curvatura es negativa, entonces −κ > 0,y por tanto

ℓ2 ≥ 4πA − κA2≥ 4πA.

Tenemos que detenernos aquı. Para los interesados que pretendan profundizar estos temas, se puede con-sultar J. Garcıa Leon, [5] y [6], entre otros.

8

Bibliografıa

[1] Bell, E.T. Men of Mathematics. Simon and Schuster. New York, 1965.

[2] Courant, R. and Robbins, H. What is mathematics? Oxford University Press, New York and London 1941.De esta obra existen dos traducciones. La primera data de 1955 y existe una reimpresion de 1967, realizadaen Madrid por Aguilar Ediciones bajo el tıtulo ¿Que es la Matematica?.ISBN 84-03-20032-3.La segunda es hecha en Mexico por el Fondo de Cultura Economica en 2002 (un ano despues de la muertede Robbins), con el nombre de ¿Que son las matematicas?, esta edicion fue prologada por el academicode la University of Warwick, Ian Stewart en 1995. ISBN 978-968-16-6717-7.

[3] Courant, R. Dirichlet’s Principle, Conformal Mappings and Minimal Surfaces. Interscience Publishers,New York, 1950. Existe una reimpresion de esta obra por Dover Publications en 2005.ISBN 0-486-44552-6.

[4] Durer, A. Institutionum Geometricarum libris. 1557. El Instituto de Investigaciones Bibliograficas de laUNAM posee la obra bajo su resguardo. En 1979 publica por primera vez una copia traducida al castellano,despues, en 1987, publica una segunda edicion, ambas bajo el nombre de Instituciones de Geometrıa,UNAM 1987.ISBN 968-58-2572-6 (1a edicion), ISBN 968-36-0144-8 (2a edicion).

[5] Garcıa Leon, J. La constante de Cheeger. Por aparecer en Proceeddings de la Sociedad Matematica Mexi-cana.

[6] Garcıa Leon, J. Cheeger’s constant in balls and Isoperimetric Inequality on Riemann Manifolds Proceedingsof the AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. Volume 136, Number 12, December 2008, pages 4445-4452. S 0002-9939(08)08824-2.

[7] Preston, R. Panic in Level 4: Cannibals, Killer Viruses, and Other Journeys to the Edge of Science. NewYork: Random House, 2008.ISBN 978-1-4000-6490-8.

[8] Struik D. J. A Concise History of Mathematics. Dover Publications, Inc. Fourth edition, NY, 1987. ISBN0-486-60255-9. De esta obra existe una traduccion editada por el Instituto Politecnico Nacional en 1980,titulada Historia Concisa de las Matematicas, perteneciente a la serie CIENCIA Y TECNICA.

[9] Wolf J. A. Spaces of constant curvature. Publish or Perish, Inc. Fifth Edition, Wilmington, Delaware, USA1984. ISBN 0-914098-07-1.

9

Mefisto

22

Acertijos

2 3x

¿6

8

9

z5 0

2 Un hombre sale de su casa y ve un oso dormido a 100 metros al este, por lo que hecha a correr en dirección al norte para encontrar un arma. Una vez que toma su arma, dispara al oso, quien se encuen-tra en el mismo lugar que antes (no se ha movido), apuntando en dirección hacia el sur. ¿De qué color es el oso?

1 Cien zanahorias están sembradas en una fila en la tierra, a una distancia de un metro entre una y otra. A un metro de la primera zanahoria está una cesta. Un campesino decide extraer las zanahorias de una en una, depositando cada zanahoria en la cesta cada vez. ¿Cuál será la distancia total reco-rrida por el campesino cuando termine de recoger las zanahorias?

4 ¿Cuántos toques da un reloj de campana en un día completo?

3 En el fondo de un pozo de 30 m de profundidad hay una rana. Cada hora sube 3 metros y descansa otra hora, bajando 2 metros desde el punto en que se encontraba. ¿Cuántas horas tardará en salir del pozo?

Mefisto

23

AcertijosSolución a los anteriores

1 Porque desde el principio no se había repartido la herencia en su totalidad:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

Al traer el beduino su propio camello, se completa el entero, y al repartir según las condiciones esta-blecidas, el sobrante, 1/18, es su propio camello.

?

4

y

x2

y2z2

17

2 En una hora, la primera llave llena 1/5 de tinaco y, la segunda 1/6 de tinaco. Si funcionan al mismo tiempo, llenarán 1/5 + 1/6 = 11/30 de tinaco, por lo que tardarán 30/11 de hora, es decir, 2 horas 44 minutos, aproximadamente.

3 El primer pintor pinta 1/4 de pared en una hora. El segundo pinta en una hora 1/3 de pared. Tra-bajando juntos, en una hora pintarían 1/4 + 1/3 = 7/12 de pared. Por lo tanto, para pintar toda la pared tardarían 12/7 de hora, es decir, 1 hora 43 minutos aproximadamente.

Para los problemas 2 y 3, se puede generalizar con la fórmula:

1/T = 1/T1 + 1/T2

y si hay n:

1/T = 1/T1 + 1/T2 + . . . + 1/Tn

4 Ambos trenes están a la misma distancia de México.

Mefisto

24

Sudoku

Fácil

Difícil

Solución al anterior

Solución al anterior

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11

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1

1

1

1

1

2

22

22

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3

3

3

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11

1

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4

5

77

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923

3

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1

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1

1

2

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5

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1

1

1

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7

9

9

8

8

4

4

6