Mefisto

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MefistoNúmero 10 Abril de 2014

En este número:

Presentación 3Fausto Cervantes Ortiz

La transformación de Möbious 4Emiliano Geneyro Squarzon

El cielo de invierno 12

Jorge Luis Borges y su libro de páginas de arena 14Joel García León

Frases célebres 21

Acertijos 22

Sudoku 24

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen pro-fecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

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MefistoEditor

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Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial

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Fausto Cervantes Ortiz

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PresentaciónFausto Cervantes Ortiz

Academia de MatemáticasPlantel San Lorenzo Tezonco

La tarea fundamental de loss matemáticss consiste en demostrar teoremas. Es por ello que, cuando algún despistado acude a ellos para realizar op-eraciones difíciles en tiempo record, generalmente no obtiene el comportamiento esperado. Por otro lado, los no matemáticos que usan las matemáti-cas como herramienta para hacer su trabajo (in-genieros, físicos, economistas, etc.), generalmente encuentran en libros u otros medios fórmulas, y las usan sin preocuparse de la teoría que funda-menta a las mismas. Correspondientemente, los matemáticos frecuentemente usan herramien-tas como las computadoras y sus programas, sin preocuparse de la teoría electrónica y de software que las hace funcionar, y que permite realizar pro-gramas, gráficas, etc., con resultados de uso diario en esta disciplina. Sin embargo, cuando unos y otros se asoman al campo del otro, puede ser muy estimulante enter-arse de la forma en que trabaja cada quien, apre-nder cosas nuevas, y hasta aplicarlas a su propio campo de estudio. En este número, Emiliano Geneyro nos expone la deducción de la fórmula de Möbius paso a paso, así como una aplicación al conteo de polinomios mónicos irreducibles. El conteo o combinatoria, es una de las ramas de la matemática que en la ac-tualidad está teniendo un renacer, al observarse la utilidad que ésta tiene en criptografía, base de los modernos sistemas de seguridad computarizada. Es así como una rama de las matemáticas que apa-rentemente no tenía mucha utilidad práctica, de manera súbita se vuelve indispensable en la vida diaria. Esto nos recuerda la aseveración de Luis

Pasteur: No hay ciencias aplicadas, hay aplicacio-nes de la ciencia. Como Emiliano nos lo dice clara-mente, hacer matemáticas puede no ser tan simple como usarlas, pero por otro lado puede ser alta-mente estimulante. Las matemáticas han recibido menos atención de la que merecen en algunas manifestaciones del arte, a pesar de lo cual ,en los casos en que sí se les involucra, los resultados pueden ser altamente estimulantes a nivel intelectual Baste recordar la obra de Leonardo Da Vinci y otros artistas re-nacentistas, mismos que al hacer uso de resulta-dos matemáticos obtuvieron resultados artísticos asombrosos. Pero el uso de las matemáticas en el arte no se limita a las artes visuales; también en la literatura se han hecho obras importantes. En esta ocasión Joel García se interna en la lit-eratura para analizar el contenido matemático de algunas de las obras más conocidas del escritor ar-gentino Jorge Luis Borges. Como el autor admite en su artículo, él mismo no es especialista en litera-tura, sin embargo considera oportuno realizar un análisis que difícilmente veríamos hacer a un espe-cialista literario. Es entonces que Joel nos explica algunos de los conceptos matemáticos presentes en la obra de Borges, como los infinitos, las curvas que llenan espacios completos, la geometría plana y esférica, etc. Como de costumbre, a los artículos presentados se añaden las secciones usuales en nuestra gaceta: mapa estelar, frases, acertijos y sudokus. Espera-mos que nuestros lectores disfruten este número de Mefisto.

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La transformación de MöbiusEmiliano Geneyro Squarzon

Facultad de Ciencias, UNAMDeduciendo la formula de inversion de Mobius

Emiliano Geneyro Squarzon

Facultad de Ciencias, UNAM

Introduccion

Dentro de las matematicas existen muchas herramientas que nos permiten alcanzar nuestrosobjetivos. Algunas de ellas suelen ser complejas en su desarrollo o en su presentacion final; sinembargo existen otras de gran simpleza pero no por eso con menor grado de importancia. Unejemplo de estas ultimas es la formula de inversion de Mobius, la cual posee una expresion simple.

La formula de inversion de Mobius fue introducida en la teorıa de numeros por AugustFerdinand Mobius (1790-1868). En ella se establece que si dos funciones aritmeticas (funcio-nes definidas en los naturales que contribuyen al estudio de las propiedades aritmeticas de losnumeros) f y g poseen una relacion entre ellas, dada por la siguiente formula:

f(n) =∑

d|n

g(d)

donde d|n significa que “d divide a n” o “d es divisor de n”; entonces, esta relacion se puede in-vertir para todo entero n > 1, es decir g puede escribirse como una suma de imagenes de f dela siguiente manera:

g(n) =∑

d|n

µ(n

d

)

f(d).

La funcion µ que aparece en la formula se definira mas adelante.Esta formula permanecio en el olvido durante mucho tiempo, hasta avanzado el siglo XX

cuando Louis Weisner (1935) y Phillip Hall (1936), de manera independiente, dieran una ge-neralizacion motivados por diversos problemas de la teorıa de grupos. Sin embargo, ellos serestringieron a las aplicaciones de la formula de su interes y ninguno profundizo en la teorıarelacionada con la inversion de Mobius.

No fue hasta 1964, cuando Gian-Carlo Rota publico un artıculo dedicado a la funcion deMobius, que comenzo a tomar relevancia en el desarrollo de otras ramas de las matematicas.Rota no solo profundizo en la teorıa relacionada a esta formula, sino que generalizo dichosresultados a cualquier conjunto que posea una relacion binaria de orden que cumpla con serreflexiva, transitiva y antisimetrica; a estos conjuntos se les denomina conjuntos parcialmenteordenados. Esta generalizacion le permitio a Gian-Carlo Rota encontrar diversas aplicaciones,principalmente en problemas de conteo en el area conocida como combinatoria. Desde entonces,la teorıa de la formula de inversion de Mobius se ha convertido en una herramienta sumamenteutil dentro de la combinatoria.

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En matematicas estamos acostumbrados a ver resultados presentados en su version final; esdecir, se nos da el resultado y la demostracion de la veracidad de este. Sin embargo, es comunque surjan cuestionamientos naturales o inquietudes sobre el proceso deductivo que siguieronquienes llegaron al resultado, por ejemplo:

¿Como se le ocurrio esto?, ¿cual era la motivacion para llegar a este resultado?, ¿cuales eranlos intereses cientıficos del autor?, ¿como paso de este paso al siguiente?, ¿cual es la teorıa queesta utilizando?, etc.

En particular, en la teorıa relacionada a la formula de inversion de Mobius, es comun que enquien se adentra en ella tenga este tipo de inquietudes. Por ello, en la primera seccion del presentetrabajo mostraremos como se deducen algunos elementos necesarios para el planteamiento dedicha formula de inversion y su generalizacion. Posteriormente mostraremos como se utiliza estaformula en combinatoria.

Deduccion de la formula

El principio de inclusion y exclusion y la funcion µ

El primer elemento que descibiremos es la funcion µ, que aparece explıcitamente en la formulade inversion de Mobius.

La funcion µ se obtiene al buscar una formula para contar todos aquellos numeros enterospositivos menores a un entero n que sean primos relativos con este, es decir, el maximo comundivisor sea 1. La funcion ϕ(n) de Euler se define como esta cantidad:

ϕ(n) := |{x ∈ {1, 2, . . . , n} : M.C.D(x, n) = 1}|.

Lo que buscamos entonces, es dar una expresion simple de ϕ(n) que nos permita obtener estascantidades para cualquier numero entero positivo que queramos. Para esto utilizaremos una delas herramientas de conteo mas importantes, el Principio de Inclusion y Exclusion (P.I.E)

que describimos a continuacion:

Sea C un conjunto con N elementos y sean S1, · · ·Sr subconjuntos de C no necesariamente di-ferentes. Para cada subconjunto M ⊂ {1, · · · , r} definamos N(M) como el numero de elementosde C pertenecientes a la interseccion de los Si con i ∈ M , es decir

N(M) = |⋂

i∈M

Si| siendo M ⊆ {1, . . . , r}

y sea

Nj :=∑

|M |=j

N(M) con 0 ≤ j ≤ r

es decir, Nj es la suma de la cantidad de elementos de C que estan en las distintas interseccionesde j elementos de los subconjuntos {S1, . . . , Sr}.

Entonces, el Principio de Inclusion y Exclusion afirma que el numero de elementos deC que no pertenecen a ninguno de los Si, 1 ≤ i ≤ r es:

N −N1 +N2 −N3 + · · ·+ (−1)rNr

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A continuacion utilizaremos el principio P.I.E para encontrar una expresion en terminos dela descomposicion en primos de n para ϕ(n). Como cualquier numero entero se puede factorizaren producto de numeros primos (aquellos cuyos unicos divisores son productos de las unidades± 1 y el mismo).

Sean = pα1

1· pα2

2· · · pαr

r, piprimo, 1 ≤ i ≤ r y 0 ≤ αi.

Calcular la cantidad de primos relativos a n es equivalente a determinar aquellos enteros menoresque n que no sean divisibles por ninguno de los pi. Sean entonces

Si = {x ∈ {1, 2, 3, . . . , n} : pi divide a x},

aplicando el P.I.E. tenemos:

ϕ(n) = n−N1 +N2 −N3 + · · ·+ (−1)rNr

donde:

N1 =r

∑

i=1

|{x ∈ {1, 2, . . . , n} : pi divide a x}|

N2 =∑

1≤i<j≤r

|{x ∈ {1, 2, . . . , n} : pi · pj divide a x}|

N3 =∑

1≤i<j<k≤r

|{x ∈ {1, 2, . . . , n} : pi · pj · pk divide a x}|

...

Nr = |{x ∈ {1, 2, . . . , n} : p1 · p2 · p3 · · · pr divide a x}|

Ahora bien, los numeros x < n que son divididos por pi son de la forma x = βpi, donde

β ∈ {1, 2, 3, . . . , pα1

1pα2

2· · · pαi−1

i· · · pαr

r}

y por tanto la cantidad de numeros enteros menores o iguales a n que son divididos por pi esn

pi.

Analogamente, la cantidad de numeros menores o iguales a n que son divididos por p1 · · · pr es:n

p1···pr.

Usando los resultados anteriores vemos que:

ϕ(n) = n−

r∑

i=1

n

pi+

∑

1≤i<j≤r

n

pipj− · · ·+ (−1)r

n

p1p2 · · · pr(1)

= n

[

1−r

∑

i=1

1

pi+

∑

1≤i<j≤r

1

pipj− · · ·+ (−1)r

1

p1p2 · · · pr

]

(2)

(3)

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Si bien de esto ultimo es posible encontrar una formula para ϕ(n), recordemos que nuestroproposito es deducir la funcion µ que aparece en la formula de inversion de Mobius.

Observemos que los terminos de ϕ(n) con productos con una cantidad impar de factoresprimos son negativos, y los terminos que poseen un producto par de primos son positivos. Ahorabien, los divisores de n que no estan libres de cuadrados (aquellos que estan divididos por algunapotencia mayor o igual a 2 de los primos pi) no aparecen en los sumandos de la formula 1 deϕ(n). De las observaciones anteriores, podemos definir la siguiente funcion:

µ(d) :=

− 1 Si d es producto impar de primos distintos,1 si d es producto par de primos distintos,0 si d no esta libre de cuadrados

A esta funcion es a la que llamamos funcion de Mobius clasica.

De esta manera hemos obtenido la funcion principal involucrada en la formula de inversionde Mobius.

Deduccion de la formula

Para demostrar la formula, sean f(n) y g(n) funciones definidas para todo entero positivo n,tales que:

f(n) =�

d|n

g(d), donde d|n significa d divide a n

Como d es un divisor de n si y solo si n/d lo es, tenemos:

�

d|n

µ(d)f�n

d

�

=�

d|n

µ�n

d

�

f(d)

al tener los mismos sumandos. Ademas, como d tambien es un entero, tenemos que:

f(d) =�

d′|d

g(d′)

Finalmente, si d′ es divisor de d tambien lo es de n, podemos reescribir los anteriores resultadoscomo:

�

d|n

µ(d)f�n

d

�

=�

d|n

µ�n

d

�

f(d) =�

d|n

µ�n

d

�

�

d′|d

g(d′) =�

d′|n

g(d′)�

m|(n/d′)

µ(m)

Hasta aquı solamente hemos utilizado propiedades de los divisores de n, lo cual nos lleva a lanecesidad de encontrar alguna propiedad de µ que nos permita avanzar mas en la simplificacionde la ultima suma.

En concreto, necesitamos saber cuanto vale la suma de todos los valores de µ sobre los divi-

sores de un numero entero (en nuestro cason

d′).

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Sea ℓ un entero positivo. Si ℓ = 1 se tiene que µ(1) = 1, ya que por definicion 1 posee unnumero par de factores primos (al tener 0 factores). Ahora si ℓ > 1, se descompone como

ℓ = pα1

1· · · pα2

2· · · pαr

r, pi primo , αi > 0.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que αi = 1 para toda i porque en caso contrario ℓ

no serıa libre de cuadrados y la funcion µ valdrıa 0.Ahora bien, existen

(

r

i

)

divisores de ℓ con i factores por lo cual:

∑

d|ℓ

µ(d) =r

∑

i=0

(

r

i

)

(−1)i = (1− 1)r = 0 (4)

donde la ultima igualdad se obtiene por la formula del binomio de Newton.Con lo cual podemos concluir que:

∑

d|ℓ

µ(d) =

{

1 ℓ = 10 en otro caso

Este resultado nos permite concluir que

∑

m|(n/d′)

µ(m) = 0

excepto cuando n/d′ = 1; con lo cual la suma anterior es 0 excepto para d′ = n.Retomando el desarrollo (4) tenemos:

∑

d|n

µ(d)f(n

d

)

=∑

d′|n

g(d′)∑

m|(n/d′)

µ(m) = 0 + 0 + · · ·+ g(n) + 0 + 0 + · · · = g(n)

y por lo tanto:

g(n) =∑

d|n

µ(n

d

)

f(d) =∑

d|n

µ(d)f(n

d

)

Con esto hemos obtenido:

Teorema: (Formula de Inversion de Mobius:)Sean f(n) y g(n) funciones definidas para todo entero positivo n, tales que

f(n) =∑

d|n

g(d)

entonces g(n) satisface

g(n) =∑

d|n

µ(d)f(n

d

)

En el proceso de la deduccion de la formula hemos construido su demostracion.

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Algunas aplicaciones

La formula de inversion que hemos obtenido tiene diversas aplicaciones. En particular, re-cientemente han habido importantes contribuciones a los problemas de conteo en el area de lacombinatoria.

A continuacion ejemplificamos el uso de la formula de inversion de Mobius contando el numerode polinomios monicos irreducibles de grado n con coeficientes en un campo finito k = Fq.

La formula buscada la obtendremos de manera indirecta realizando de dos formas diferentesel conteo de todos los polinomios monicos de grado n en k.

Seak[x]mon = {fj(x)}

∞j=1

= {f1(x), f2(x), f3(x), · · · } (5)

un listado de todos los polinomios monicos e irreducibles.Ademas denotemos por

k[x]mon

d

a los polinomios monicos de grado exactamente d ≥ 1.Sea Nd el numero de polinomios monicos irreducibles de grado d ≥ 1, es decir

Nd = |k[x]mon

d|.

Ahora bien, todo polinomio f(x) ∈ k[x]mon

dfactoriza de manera unica, fijando el orden en los

polinomios como en (5), como un producto de polinomios irreducibles:

f(x) = fd1

i1· · · fds

is, donde fi ∈ kdi [x]

mon, d = i1d1 + · · ·+ isds.

Podemos reescribir esta igualdad como un producto formal:

f(x) = (f1(x))i1 · · · (fj(x))

ij · · · , con fi ∈ k[x]mon.

en donde los exponenetes ij son cero para casi toda j, es decir cero salvo un numero finito.

Por tanto podemos establecer una correspondencia uno a uno entre k[x]mon y Z(N)

+ las suce-siones de enteros positivos

Xj = {i1, · · · , ij, · · · }, ij = 0 para casi toda j

y en particular se tiene una correspondencia entrek[x]mon

dy las sucesiones:

Z(N)

d:= {Xj ∈ Z

(N)

+ con d = i1d1 + · · ·+ isds.}

Esta correspondencia nos permitira contar el numero de polinomios monicos de grado d dedos formas diferentes.

Observemos que el numero de polinomios monicos de grado n es qn dado que cualquier polino-mio de esta forma tiene d coeficientes diferentes y cada uno de ellos puede elegirse de q maneras.Esta cantidad aparece en la siguiente serie de potencias como el coeficiente correspondiente axn:

1

1− qx= 1 + qx+ (qx)2 + (qx)3 + · · ·

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Por otro lado, el numero de sucesiones Xj ∈ Z(N)

n i1, i2, i3, . . . que cumplen con la condicionn = i1d1 + i2d2 + i3d3 + · · · se puede obtener como el coeficiente de xn en la multiplicacion delas siguientes series de potencias:

(1 + xd1 + x2d1 + x3d1 + · · · )(1 + xd2 + x2d2 + x3d2 + · · · ) · · ·

Juntando ambos resultados obtenemos:

1

1− qx=

∞∏

i=1

1

1− xd1=

∞∏

d=1

(

1

1− xd

)Nd

.

Aplicando el logaritmo en ambos lados de la igual, se tiene que:

log

(

1

1− qx

)

= log

(

∞∏

d=1

(

1

1− xd

)Nd

)

.

Utilizando las propiedades del logaritmo y de su expresion como suma infinita, obtenemos:

∞∑

n=1

(qx)n

n=

∞∑

n=1

Nd · log

(

1

1− xd

)

=∞∑

d=1

Nd

∞∑

j=1

(xd)j

j

El coeficiente de xn en la serie del lado izquierdo es qd

d. Para obtener dicho coeficiente en

la serie de la derecha debemos considerar unicamente los sumandos de∞∑

j=1

(xd)j

jque cumplen la

condicion n = jd, equivalentemente cuando j = n

d, es decir cuando d|n; de donde tenemos que

el coeficiente de xn es:

∑

d|n

Nd ·1

n/d

Juntando ambos resultados, se tiene que:

qn

n=

∑

d|n

Nd ·1

n/d⇒ qn =

∑

d|n

Nd · (1

n/d)n =

∑

d|n

Nd · d

Es decir

qn =∑

d|n

Nd · d

Esta expresion cumple con todas las hipotesis de la formula de inversion de Mobius, que alaplicarla haciendo f(n) = qn y g(d) = Nd · d, se obtiene:

n ·Nn =∑

d|n

µ(n

d

)

qd ⇒ Nn =1

n

∑

d|n

µ(n

d

)

qd

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De esta forma hemos obtenido que el numero de polinomios monicos irreducibles de grado n,en un campo con q elementos es

1

n

∑

d|n

µ(n

d

)

qd

Con esto hemos mostrado parte del proceso deductivo que se hace para formular y demostrarla formula de inversion y como hacer uso de esta para obtener resultados importantes. Este pro-ceso deductivo no es evidente y muchas veces requiere dedicacion para comprender claramentelos diferentes pasos que nos permiten desarrollar la teorıa deseada.

Tambien la aplicacion de la teorıa puede no ser clara y directa como uno esperarıa. Muchasveces este uso puede surgir de manera indirecta al desarrollar otro resultado. En nuestro ejemploel conteo de polinomios monicos irreducibles se obtiene de manera indirecta al contar algo massencillo como es la cantidad de polinomios monicos en general.

Ası pues, las matematicas poseen procesos deductivos y constructivos que requieren destreza ydedicacion. El proceso de aprendizaje dentro de las distintas ramas de la matematicas, constituyeun reto intelectual para cualquier persona ya que esta debe llenar los espacios vacıos que conectanlos distintos pasos de la teorıa para poder comprenderla a profundidad. Por ello es fundamentalmantener siempre vigentes las preguntas mas basicas durante la construccion del pensamientomatematico. Nada es evidente, pero con dedicacion y perseverancia todo puede serlo.

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El cielo de primavera

Fases de la Luna

Luna nueva

28 de abril28 de mayo26 de junio

Cuarto creciente

6 de abril6 de mayo5 de junio

Luna llena

14 de abril14 de mayo12 de junio

Cuarto menguante

21 de abril21 de mayo19 de junio

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Lluvias de estrellas

Líridas

21 y 22 de abril

h Acuáridas

6 de mayo

Planetas

Mercurio en PiscisVenus en AcuarioMarte en LibraJúpiter en CáncerSaturno en EscorpiónUrano en AriesNeptuno en Piscis

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La ciencia ha hecho más en cien años por el desarrollo de la civilización occidental que lo que ha hecho el cristian-ismo en mil ochocientos años

John Burroughs (1837 - 1921) Biólogo estaduni-dense.

Frases célebres

La ciencia no deja mucho es-pacio para milagros, ni para Dios

Stephen Hawking (1942 - ) Físico inglés.

La violencia crea más prob-lemas sociales que los que re-suelve

Martin Luther King Jr. (1929 - 1968) Líder social estadunidense.

Vivimos en un mundo donde hay que esconderse para hacer el amor, pero donde la violen-cia se practica a la vista de to-dos

John Lennon (1940 - 1980) Músico inglés.

Es más fácil engañar a la gente, que convencerlos de que han sido engañados.

Mark Twain (1835 - 1910) Escritor estadunidense.

Más que por la fuerza, nos dominan por el engaño

Simón Bolivar (1783 - 1830) Político venezolano.

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Jorge Luis Borges y su libro de páginas de arena

Joel García LeónAcademia de Matemáticas, SLT

IntroducciónConfieso que hacer un ensayo sobre Jorge Luis Borges no sólo es presuntuoso, sino una ardua tarea, al menos desde la óptica de un matemático que se limitó a disfrutar algunas de sus obras. Es por ello que sólo expresaré mi experiencia como lector; un placer que por primera vez sentí, cuan-do descubrí su obra más famosa a mi entender: El Aleph.

El maestro Jorge LuisJorge Luis Borges es —al menos para mí— un filó-sofo griego contemporáneo nacido en la Argen-tina: para muchos de nosotros, él nos introduce en la Grecia antigua, quizá sin proponérselo. Nos recuerda aquella imagen del hermoso toro blanco robándose a la bella Europa quien, sentada en su lomo, observa la arena de la playa hasta que ambos desaparecen en el mar. Los laberintos y el infinito aparecen recurrente-mente en la obra de Borges: El espía Yu Tsun, al servicio del espionaje alemán durante la segunda guerra mundial, casualmente encuentra que su bisabuelo, el sabio y astrólogo Ts’ui Pên, fue un personaje que durante toda su vida pretendió dos cosas: escribir un libro de páginas infinitas y crear un laberinto con infinitos caminos. Él nos recuerda cómo un náufrago estelar, venido del cielo, cae en una isla griega, paulatinamente se convierte en el Minotauro —hijo del Toro blanco y Pesífae— y vive en un laberinto extraordinario. Cada vez que el personaje pasa por alguno de sus puntos, jamás regresa a él, tiene que verlo por primera y última vez, pues es un laberinto sin final ni principio. La isla de Creta es su prisión y su casa al mismo tiempo. El libro infinito es la obsesión, la acumulación de dudas, la falta de explicación que tanto necesita la

humanidad sobre el mundo que le rodea; es sim-plemente lo que nunca agotaremos y lo que nunca supimos cuándo empezamos. Los griegos tenían ese temor también, para ellos el infinito era un tabú: la paradoja de Xenón nos llegó como expli-cación del no movimiento. El infinito de Borges es palpable, contraria y paradójicamente a las inten-ciones de Xenón, lo cosifica en un aparato extraño en el cual vemos todo lo que sucede en distintos lugares al mismo tiempo, e inversamente, también vemos lo que sucede en un sólo lugar en tiempos distintos: el infinito de Borges es un instrumento de movimiento. Naturalmente, su obra recuerda aquel reto que Demócrito lanzó a sus contrincantes (cito de me-moria): “Escribid un libro que contenga tantas ho-jas como granos de arena tiene la playa”. El libro infinito, entonces, se convierte en añoranza para algunos lectores: ojalá alguno hubiese vivido lo suficiente para escribir tal libro, tan humanamente imposible y tan cercano a la inteligencia que Borg-es representa. Quiero suponer que su frase célebre “No soy un buen escritor, pero sí un buen lector” tiene que ver con aceptar que no podría escribir tal libro, humildad que todo escritor debe aprender como una buena lección.

El infinitoLos libros religiosos se estrellan ante la lógica bor-giana, la palabra de Dios es infinita y él sería el au-tor del libro que exigía Demócrito. No hay libro religioso que cumpla con este requisito; cualqui-era de ellos, por muy grande que sea su número de páginas, siempre será finito. Esto significa que Dios no escribió un libro para los humanos, o que simplemente Dios está aún ausente entre nosotros. La herencia dejada en El Aleph es complicada: de haber un infinito, entonces hay más de un infinito. ¿Son todos iguales entre sí? La respuesta se deja

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como ejercicio mental al lector, el que lee la pre-gunta es quien debe de dar su propia respuesta; sin embargo, hay una luz que nos deja: hay dos infini-tos que son iguales; ver todo al mismo tiempo y ver todo en tiempos distintos. Su idea no es irreal, cualquiera que sea su con-cepto de realidad. Para visualizarlo, pensemos en cómo aprende a contar un infante sin saber números: colocando en filas horizontales los obje-tos que se quieren contar; cotejamos uno a uno los elementos sin repetir, que es lo mismo que decir “las filas son iguales, o tienen el mismo número de elementos”. De este modo, Borges rompe una regla socialmente aceptada: el total es mayor que sus partes. Para tener la certeza de que no siempre el total es mayor que sus partes, tomemos el ejemplo de los números conocidos como naturales y pongamos nuestras listas antes mencionadas:

Los puntos suspensivos indican que no nos de-tenemos. Si seguimos la lista hacia la derecha y ha-cia abajo notamos que tienen el mismo número de elementos; esto es, los números tienen la propie-dad siguiente: hay al menos uno de ellos que, siendo una parte “pequeña” del original, tiene el mismo tamaño. En este caso, los números pares, los múltiplos de tres, los múltiplos de cuatro, etc., todos tienen el mismo tamaño que los números naturales, que es el total que los contiene. Así, entendemos una de las reglas más preciadas que la inteligencia humana ha producido: la idea del infinito como el total, y éste puede ser exacta-mente igual a una de sus “pequeñas partes”. Ésa es su esencia, es lo que lo diferencia de lo finito, donde el total de lo finito siempre es mayor que cu-alquiera de sus partes, que por supuesto es finita.

Infinitos “grandes” e infinitos “pequeños”Surgen infinidad de preguntas de tan sólo leer la obra de Borges, por ejemplo: ¿Hay un infinito más pequeño? La respuesta contundente es “sí”. Natu-ralmente diríamos que no hay un infinito más grande; siempre hay uno más grande que el ante-rior, de otro modo tenemos sólo un número finito de infinitos, lo cual contradice el principio del in-finito. Por supuesto el infinito más pequeño es aquél que tiene tantos números como el conjunto de los números naturales, que puede ser representado como una sucesión interminable de puntos alin-eados. El “siguiente infinito”, lo conocemos con el nombre de números reales, o el conjunto de todos los números que se pueden escribir con represen-tación decimal. También —por razones geomé-tricas— es el que se puede representar como una línea recta que se puede trazar sin despegar el lápiz del papel, o una sucesión continua de puntos inter-minables, y que es nombrado “el continuo”. Notemos dos cosas cruciales: la primera de el-las es que los números naturales son ordenados, mientras que el continuo no lo es. ¿Qué significa ello? Significa que el primer número natural está representado por el 1, el segundo, por el 2 y así sucesivamente; es decir si tenemos un número natural podemos decir con precisión cuál es el siguiente en el orden dado. Esto no ocurre con el continuo, a pregunta expresa ¿cuál es el sucesor del número uno en el continuo? Como simples lecto-res diríamos el 1.1, pero inmediatamente notamos nuestro error:

1.01 > 1 y < 1.1;

entonces diríamos que ése es el elegido. Nueva-mente caemos en un error, pues

1.001 > 1 y < 1.01.

Este proceso se vuelve infinito, y terminamos con la frustración de no poder elegir el sucesor del

1 2 3 4 5 6 ...

2 4 6 8 10 12 ...

3 6 9 12 15 18 ...

4 8 12 16 20 24 ...

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número 1, lo cual ocurre en realidad con cualquier otro número en el continuo: simplemente no tiene sucesor, mientras que en los números naturales sí lo podemos señalar. La segunda observación es que nunca se puede establecer una relación entre los números reales y los naturales, como la que se realiza entre los números pares y los naturales, lo cual quiere decir que el continuo es mayor que los naturales. Esta diferencia entre el continuo y los naturales se sin-tetiza de la manera siguiente: “mientras los natura-les es un conjunto numerable, el continuo no lo es, o bien, el continuo es inconmensurable”. Un juego que fascinaba y retaba la inteligencia entre los filósofos de la antigüedad griega es el siguiente: “Dado un punto sobre una recta, éste representa un número; inversamente, dado un número hay un punto en la recta que lo representa. Decidme, cuando doy el número, ¿podeís trazarlo exactamente con sólo regla y compás en la recta continua? Inversamente, al tener un número, ¿qué punto representa en la recta?”. La respuesta es “sí se pude”; sin embargo, no nos describieron el mé-todo para ello, de tal suerte que, de manera lógica, se puede reducir al problema ya tratado: “¿Qué número precede a la unidad?”

El infinito y el laberintoEs sabido que la recta no tiene grosor. En el len-guaje moderno diremos que la línea no tiene área, aunque tiene longitud. Sin embargo, el punto no tiene longitud, mientras que la línea si la tiene, ¿cómo puede ser ello si la línea es una sucesión de puntos, mientras que el plano es una sucesión de líneas? Esta incógnita es parte de la crisis intelec-tual a la que no sobrevivió la Grecia antigua. El miedo al infinito es justificado: no es gratuito que la humanidad tardó más de diecinueve siglos en entender la profundidad de este problema. Para pasar de un estatus a otro (es decir, una línea tiene longitud, pero para un punto la longitud es nula), la pregunta inmediata es: ¿cuántos puntos necesitamos para llenar la recta?; o bien, en tér-minos de longitudes: ¿cuántos puntos se requieren para generar un longitud positiva? Decir “millones

de millones” es poco: se necesita una infinidad mayor que con la que cuentan los números natura-les, esto es, el continuo es un infinito mayor nece-sario para generar dichas cantidades, como ya lo habíamos previsto. Esta misma incógnita se trasla-da a las figuras geométricas planas: si tenemos un cuadrado, ¿cuántas curvas necesitamos para llenar el cuadrado?; o bien, ¿hay una curva con la cual podamos llenar un cuadrado? La solución de este problema tardó siglos en llegar. La clave está en la siguiente construcción: si el cuadrado lo subdividimos en cuatro cuadrados iguales contenidos en el original, al tomar sus centros podemos unirlos con una poligonal. El siguiente paso es subdividir el mismo cuadro pero ahora en ocho cuadrados iguales contenidos en el original. El siguiente es dividirlo en dieciséis cuadrados y seguir este procedimiento de manera indefinida; nótese que le número de cuadrados debe ser igual al número de centros. Al final del proceso, tendremos la curva que llena el cuadrado. Gráficamente podremos ver los primeros pasos de este proceso en la Figura 1. Los únicos requisitos que debe cumplir nuestro trazo son los siguientes:

• El trazo debe ser continuo; esto es, no se debe despegar el lápiz de la hoja de papel

• No se debe pasar por el mismo punto más de una vez

• No se deben cruzar ni repetir las líneas• Por cada punto en el rectángulo debe existir

una polígonal que lo contenga

Esta curvas son conocidas como curvas de Peano o curvas de Hilbert. Éste es el laberinto referido por el cual camina el Minotauro, o bien el laberinto infinito creado en los libros de Borges: en efecto, al recorrer este laberinto, por cada lugar que pasa-mos jamás regresamos a él; por tanto, la cantidad de paisajes contemplados son inagotables. Y los más importante: no estamos posibilitados para de-jar dicho laberinto, estamos atrapados en él de por vida. En la actualidad, este problema de “llenar figu-ras geométricas” con curva, ha llevado al estudio de distintas ramas de las matemáticas, una de ellas conocida como “fractales”. Aquí el problema es in-

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teresante: Dado un “paisaje” o “mapa”, ¿lo podem-os llenar con una curva? Parece sencillo; no lo es. Más aún: es un terreno nuevo en las matemáticas y las ciencias de la computación. El ejemplo de la figura 2 fue hecho con computadora, y nos mues-tra cómo es posible llenar una figura con curvas continuas: Es sencillo ahora concluir: el laberinto no nece-sariamente es rectangular; puede tener cualquier forma, sin importar cuán complicada sea y, por su-puesto, éste es infinito: es decir, es un laberinto del cual, una vez dentro, es imposible salir.

El Aleph El Aleph, es la primera letra del alfabeto hebreo, que indica el comienzo y la unidad entre dios y los hombres, según reza el judaísmo. ¿De dónde obtuvo Borges el título de este cuento? Aleph cero es conocido como el número de elementos de los números naturales, el “infinito más pequeño”; el número de elementos es, a su vez, nombrado car-

Figura 1. Curva de Hilbert.

Figura 2. Lena, curva generada con una computadora.

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Imaginemos que el tiempo es una recta inter-minable, sin principio alguno ni final específico. Al mismo tiempo —valga la redundancia—, pen-semos en todos los sitios en el espacio como una recta similar. Así, a cada tiempo, vivimos en un lugar determinado. De este modo imaginaremos la relación espacio-tiempo como un plano con dos medidas únicas; éstas las expresamos gráficamente como la Figura 3, abajo, donde E representa el es-pacio y t el tiempo. Cada punto, en dicho plano, nos informa de un lugar determinado en un tiem-po dado. Pensemos nuevamente en la Figura 3. Al expre-sar nuestra relación y tomar un punto, como aquél ubicado en la intersección de las líneas punteadas, indica que estamos en un lugar y un tiempo espe-cíficos. Así, si iniciamos nuestro camino desde este punto, ya sea hacia arriba o hacia abajo, estamos recorriendo todos los lugares del espacio al mismo tiempo. Contrariamente, si tomamos el camino de la línea horizontal punteada, ya sea izquierda o derecha, recorremos todos los tiempos en el mis-mo lugar. Durante siglos, la humanidad ha cultivado la manía de dibujar mapas y fabricar globos ter-ráqueos; mientras los primeros son planos, los segundos son esféricos. Esta actividad de aplanar esferas y envolver esferas con planos, contribuye a nuestra comprensión del Aleph de Borges.

dinalidad y de ahí surgen los números cardinales. Vemos todo al mismo tiempo y, en el mismo lugar, vemos que ocurre en distintos tiempos: en principio, sólo los dioses pueden hacerlo. Borges encontró que ese principio no es así. A pesar del miedo, su Aleph nos acercó a la verdad: no es privativo de los habitantes del Olimpo; por el con-trario, algún Prometeo, al igual que el fuego, trajo esta verdad a la Tierra y la donó a la humanidad como un regalo inconmensurable. Al descubrir el hecho anterior, el narrador del cuento pierde el control y corre a la calle despav-orido, esa reacción que la humanidad tuvo en su primer contacto con la eternidad, ese miedo que aún hoy en día se le tiene al infinito y a su rep-resentante en la tierra: los números, aquéllos que muchos odian sin meditarlo, y sólo unos cuantos cultivan como un arte que la humanidad heredó de los dioses. Los mortales nacemos y morimos, nuestra corta vida se rige por la relación espacio-tiempo: si bien no podemos ocupar dos lugares al mismo tiempo, sí podemos vivir el mismo lugar en tiempos dis-tintos aunque notamos, con cierta tristeza, que ese tiempo para nosotros es finito. Borges nos hace trascender este concepto, el Aleph nos infunde miedo, desasosiego e incer-tidumbre; sin embargo, éstos desaparecen si en-tendemos y manejamos nuestra propia relación espacio-tiempo.

Figura 3. Relación espacio-tiempo. Figura 4. El Aleph.

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En la esfera, las rectas se convierten en meridi-anos, como se muestra arriba en la Figura 4. En-tonces, nuestra relación obligada, explicada en el plano, se convierte en una relación en la esfera. El efecto es el mismo: si recorremos el meridiano ver-tical identificado por la letra E, recorremos todos los lugares al mismo tiempo; mientras que cami-nar sobre el meridiano horizontal t nos permite recorrer un sólo lugar en todos los tiempos. Éste es el Aleph de Borges: una esfera. Si nos ubi-camos en un punto de ella nos posibilita ver todos los lugares al mismo tiempo y, a su vez, desde un sólo lugar, ver todos los tiempos.

El libro de arena“La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen de un número infinito de planos; el híper-volumen de un número infinito de volúmenes …”. Así inicia su libro de arena, aunque la siguiente línea niega éste como un buen principio; por el contrario, es un excelente principio a nuestro entender. El libro de arena está compuesto por un número infinito de páginas, tantas como granos de arena tiene una playa, dicho metafóricamente según la visión de Demócrito. El número de páginas de este libro es el mismo que el continuo, esto es, la numeración de dichas hojas impresas tiene que ser usando el punto deci-mal. Así, este extraño libro tiene tantas hojas como la recta puntos, de otra manera sería un libro con número de hojas infinito numerable. El leer este libro es placer de unos cuantos, tiene un número incontable de cuentos, novelas, y poe-sías, es el libro que registra todo, es el libro que da cuenta de todo lo que pasa, incluso de escritos futuros —si es que ello es posible—, historias en-terradas en la memoria de la humanidad, que por supuesto se hacen imperecederas gracias al libro de arena. Para imaginar la magnitud del libro de arena adaptamos la paradoja de Xenón: Adso de Mon-tealbán y Buenaventura era poseedor del libro de arena, tutor del novicio Daniel Ambrosio Raiwzc. Teniendo fama de lector de zagas y entendedor de

sus dominios, ante los dioses Adso juró educar a su discípulo para caminar por la brecha del bien y el camino de la sabiduría; así retó a su iniciado a leer el libro de arena como primer comienzo; más aún, le concedió ventaja de tres páginas: —Antes que la aurora repunte, habré leído más que tú—, sentenció Adso.

Daniel replicó ante la arrogancia de su maestro:

—Con toda humildad, le contradigo su aventurada aseveración maestro y le pido disculpas por ello—. Intrigado, el sabio le pidió a cambio una expli-cación del porqué de su atrevimiento; esto fue lo que respondió:

—Si mi comienzo es la página tres, entonces usted señor tendría que llegar primero a la página uno—.

—Cierto—, dijo Adso, —¿y eso qué argumenta?—, respondió sabedor de su excelente retórica.

—Antes de que usted llegue a la página uno, ten-drá que pasar por la página enumerada por 0.5 que antecede a la número 1, y antes de ello, tiene que leer aquella numerada por 0.25, que es anterior a la página 0.5, pero entonces tiene primero que leer una anterior a 0.25, digamos la 0.125—.

Con esto el mentor entendió lo que nunca cruzó por mente: Ambos nunca terminarían el libro y Daniel siempre llevaría una ventaja imposible de rebasar.

—Tienes razón Adso, te pido mil perdones por mi arrebato de pedantería, con este libro nadie sale ganando—, terminó diciendo de manera humilde.

El libro inconmensurable tiene un defecto: al abrir un página, se tiene que leer sin descanso, se tiene que abarcar lo más posible; de otro modo, al cerrarse el libro, jamás se vuelve a la misma página, imposible regresar a la lectura donde se dejó, esto es precisamente lo que se obtiene de la numeración de sus hojas, encontrar el lugar preciso donde se estaba es imposible. Si se siguen sus reglas, los lec-

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tores paulatinamente se convierten en el libro, sus voluntades son doblegadas y sus vidas como hu-manos son parte de lo imposible: El libro de arena.

El amorUna lección más que nos da el maestro es acerca del amor. Si bien nadie ha expuesto una definición precisa de éste, negar que es finito resulta inútil. Como sentimiento humano, que comprende una parte y su antípoda, que va acompañado de una mezcla de inumerables experiencias, que éstas a su vez contienen otras experiencias, como cuento de nunca acabar, como páginas del libro de arena, como caminos que tiene el laberinto impuesto al Minotauro en castigo, decir que el amor es finito es imponernos limitaciones innecesarias. Beatriz Viterbo es la heroína desparecida, la rep-resentación no corporal del amor que el maestro Borges nos muestra; quién es y cómo era resultan preguntas irrelevantes. El amor se mantiene más allá de la muerte, la vida se aleja de Beatriz Viterbo, y él se da cuenta por un cartel de teatro pegado en la calle, que la vida ya no es ella pero su amor vive. Con la lejanía corporal de Beatriz no se rompe ni desaparece el amor, él sigue ahí dentro sin que na-die más que el narrador y Beatriz lo noten.

La familia de ella se vuelve el único enlace entre el narrador y su Beatriz, como un enlace irrompible, el hilo de longitud infinita que los une. Eso es Bea-triz y ese amor por Beatriz permanecerá eterna-mente ente ambos como un lazo irrompible.

EpílogoSin proponérselo quizá, el maestro nos explica el infinito y sus paradojas, como un ente real y al mismo tiempo imaginario, como una forma de explicar la eternidad, el tiempo, el amor y otros tabúes. El Maestro Borges seguirá hasta donde la hu-manidad llegue, a pesar del mundo destructivo que nos tocó vivir, él será recordado hasta que el último ser humano perezca, y para ello falta to-davía un Aleph.

ReferenciasBorges, Jorge Luis El Aleph, Siglo XXI, México, 1949.Borges, Jorge Luis El jardín de los senderos que se bifurcan, Alfaguara, México, 1941.Borges, Jorge Luis Cuentos completos, Lumen, México, 2011.

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2 Un hombre comienza un trabajo cuando las manecillas del reloj coinciden entre las 8 y las 9 de la mañana, y termina entre las 2 y las 3 de la tarde, cuando las manecillas forman un ángulo de 180º. ¿Cuántos minutos tardó en realizar el trabajo?

1 Un rey dejó como herencia un cierto número de perlas para repartirse entre sus hijas. La repartición se efectuó de la siguiente manera: A la primera hija le tocó una perla más la séptima parte de las per-las que quedaban; a la segunda le tocaron dos per-las más la séptima parte de las que quedaban; a la tercera tres perlas más la séptima parte de las que quedaban, y así sucesivamente. Si toda la herencia se repartió y cada hija recibió la misma cantidad de perlas, ¿cuántas perlas y cuántas hijas había?

4 Un cubo de madera se pinta de color rojo. Después de ello, se divide en 1000 cubitos iguales. ¿Cuántos de esos cubitos tienen una sola cara pin-tada de rojo?

3 En un cajón hay 47 calcetines, 23 de ellos azules y 24 negros. ¿Cuántos calcetines se deben sacar, sin verlos, para estar seguros de que se tiene un par del mismo color?

Acertijos

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AcertijosSolución a los anteriores

1 Si el pegaso miente, ese día tendría que ser el lunes, pero ese día el unicornio dice la verdad y no podría decir lo que dijo, porque el domingo también dice la verdad. Si el pegaso dice la verdad, ese día tendría que ser jueves, y el unicornio men-tiría, lo cual también tendría que ser el jueves. Por lo tanto, el único día de la semana en que puede ocurrir la situación descrita, es el jueves.

?

4

y

x2y

2

z2 1

72 Para hallar la solución, escribimos en forma matemática lo que el burro está diciendo:

y + 1 = 2(x - 1)y - 2 = x + 2

donde x es el número de bultos que carga el ca-ballo, y y es el número de bultos que carga el burro.Resolviendo este sistema se encuentra que x = 7 y y = 22.

3 Notemos que entre las 12 y antes de la 1, las manecillas hacen dos veces ángulo de 90º, y lo mismo entre 1 y antes de las 2. Pero entre las 2 y antes de las 3, sólo ocurre 1 vez (la segunda ocurre exactamente a las 3). Entre 3 y antes de las 4, 4 y antes de las 5, y 5 y antes de las 6 también ocurre 2 veces. Entonces en total hay sólo 11 veces en que las manecillas hacen un ángulo de 90º.

4 Al dividir 5 entre 8, resulta que a cada niño se le deben dar 5/8 de pliego. Esto se lograría recortan-do a la mitad cuatro pliegos, y el último en octavos, pero esto inutilizaría los últimos trozos. Sin em-bargo, si en lugar de repartirles sus 5/8 como 1/2 + 1/8 se les reparten como 1/4 + 3/8, también se tienen 5/8 sin cortar en trozos de 1/8. Esto se logra cortando un pliego en cuartos y los otros cuatro en trozos de 3/8, 3/8 y1/4, con lo que se reparte a cada niño un trozo de 1/4 y uno de 1/8, sin que haya desperdicio.

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Sudoku

Fácil

Difícil

Solución al anterior

Solución al anterior

1

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1

1

11

1

1

1

2

22

2

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2

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3

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3

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